5.3一元一次方程的应用（分层作业，20大题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 5.3 一元一次方程的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 工程问题 题型02 商品销售问题 题型03 比赛积分问题 题型04 方案决策问题 题型05 数字问题 题型06 几何图形问题 题型07 等积变形问题 题型08 分段计费问题 题型09 行程问题 题型10 比例问题 题型11 古代问题 题型12 配套问题 题型13 和、差、倍、分问题 B组 能力进阶 题型01 银行储蓄 题型02 增长（下降）率问题 题型03 “盈不足”问题 C组 思维拔高 题型01 动点问题 题型02 图表信息问题 题型03 幻方问题 题型04 探究图形排列规律 工程问题题型01 1．一条长的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖，乙队每天挖，挖好水渠需要多少天？设挖好水渠需要天，根据题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设挖好水渠需要天，根据甲队每天挖的米数×天数+乙队每天挖的米数×天数，列出方程即可． 【详解】解：甲队每天挖，乙队每天挖，天共挖. ∵ 水渠总长为. ∴ . 2．整理一批图书，由一个人完成需要h．现计划由一部分人先整理4h，然后增加4人与他们一起整理2h，完成这项工作．若工作效率相同的前提下，则先安排了______人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意设先安排整理的人员有人，则，据此即可求解． 【详解】解：设先安排整理的人员有人， 根据题意，可得， 解得， 故答案为： 3．某文件需要打印，小李独立做需要完成，小王独立做需要完成．如果他们俩共同做，需要多长时间完成？ 【答案】小时 【分析】设他们俩共同做，需要小时完成，则小李完成的工作量是，小王完成的工作量是，由小李完成的工作量小王完成的工作量建立方程求出其解就可以了． 【详解】解：设他们俩共同做，需要小时完成， 由题意得：， 解得：． 答：他们俩共同做，需要小时完成． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天．已知乙单独做这项工程需20天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 【答案】10天 【分析】本题考查了列方程解决问题，根据题干从乙开始做完工时间要比前一种多半天，得出甲的工作效率要比乙的工作效率高，每次交替轮流做这项工程时，最后一次都是由甲做才能满足题意，这也是理解并解决本题的一个难点． 把这项工程总量看作单位“1”，根据题干可知，乙的工作效率是，设甲的工作效率为，则可以得出：（1）如果按照甲、乙、甲、乙…交替轮流做，；（2）如果按照乙、甲、乙、甲…交替轮流做，由上述推理可得：甲的工作效率=乙的工作效率甲的工作效率；由此即可解决问题， 【详解】解：把这项工程总量看作单位“1”，根据题干可知，乙的工作效率是，且甲的工作效率乙的工作效率甲的工作效率． 设甲的工作效率为，可得方程： （天） 答：甲单独完成这项工程需要10天． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）2023年2月7日，武汉新城规划发布，为了加快推进武汉新城的建设，一项工程，若甲工程队独做，需20天完成，共需费用32000元；若乙工程队独做，需30天完成，共需费用30000元； (1)若由甲、乙两个工程队合做6天后，剩余工程由乙工程队单独完成， ①求乙工程队单独完成剩余工程还要多少天？ ②求完成工程所需的总费用是多少元？ (2)若工期要求不超过24天，如何安排施工，可使工程所需的总费用最少？最少是多少？ 【答案】(1)①乙工程队单独完成剩余工程还要15天；②总费用为元 (2)施工方案：甲、乙两队合做4天，剩余的工程由乙队单独完成，总工程费用最少，最少费用为30400元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）①设乙工程队单独完成剩余工程还要x天，将整个工程看作单位1，列出方程，解方程即可； ②根据甲工程队独做，需20天完成，共需费用32000元；若乙工程队独做，需30天完成，共需费用30000元，列出算式进行计算即可； （2）根据乙工程队需要的费用较少，得出要使工程费最少，乙队工作24天，设甲、乙两队需要合做t天，将整个工程看作单位1，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①设乙工程队单独完成剩余工程还要x天， 由题意可列方程， 解得：， 答：乙工程队单独完成剩余工程还要15天． ②甲工程队每天费用为（元）， 乙工程队每天费用为（元）， 甲、乙合做6天的费用为（元）， 乙单独做15天的费用为（元）， 总费用为（元）． （2）解：要使工程总费用最少即乙队工作24天，其中甲、乙两队需要合做t天． 由题意可列方程， 解得， 总工程费（元）； 答：施工方案：甲、乙两队合做4天，剩余的工程由乙队单独完成，总工程费用最少，最少费用为30400元． 商品销售问题题型02 1．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（　　） A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元 【答案】C 【详解】分析：设两件衣服的进价分别为x、y元，根据利润=销售收入-进价，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再用240-两件衣服的进价后即可找出结论． 详解：设两件衣服的进价分别为x、y元， 根据题意得：120-x=20%x，y-120=20%y， 解得：x=100，y=150， ∴120+120-100-150=-10（元）． 故选C． 点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）某商品按定价的八折出售，售价为56元，则原定价为_____元． 【答案】70 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程解题关键． 设原定价为x元，根据题意列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设原定价为x元， 由题意得：， 解得：， 即商品原定价为70元． 故答案为：70． 3．滕州购物中心将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是．已知这种商品的进价为元，那么这种商品的原价是______元． 【答案】 【分析】设这种商品的原价是x元，则该商品打8折后的实际售价为，根据该商品的实际售价等于它的进价与利润的和列方程求出x的值即可． 【详解】解：设这种商品的原价是x元， 根据题意得， 解得， 所以，这种商品的原价是元． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法；正确地用代数式表示这种商品的实际售价是解题的关键． 4．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）列方程解应用题 商场准备将某商品打折出售，如果按原价的折出售，每件将亏损元；如果按原价的折出售，每件将盈利元，求该商品每件的原价是多少． 【答案】答：该商品每件的原价是元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握一元一次方程的应用，根据题意，设该商品每件的原价是元，则，解出方程，即可． 【详解】解：设该商品每件的原价是元， ∴， 解得：， 答：该商品每件的原价是元． 5．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2)购进甲种商品件． (3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题： （1）根据利润率的定义求解即可． （2）设购进甲商品件，根据题意可得． （3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况． 【详解】（1）(元) 故答案为：，． （2）设购进甲商品件． 根据题意可得 ． 解得 ． 答：购进甲种商品件． （3）设打折前应付款为元． 第一天，购买甲商品： 当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．   当时，由，得，商品件数为(件) ．   第二天，购买乙商品： 当时，由，得(元)，舍去． 当时，由，得，商品件数为(件) ．   当时，商品件数为(件) ，舍去． 两天一共购买的商品件数为(件) ． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共件． 比赛积分问题题型03 1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在8场比赛中得到12分，那么这个队胜的场数是（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】B 【分析】设这个队胜场，则负场，根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这个队胜场，则负场，根据题意得， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 2．（25-26七年级上·宁夏·期末）为提高青少年体质，某地组织当地各校篮球队进行了联赛，比赛的部分积分情况如表： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 10 6 4 16 10 3 7 13 10 0 10 10 … … … … … 某球队参加了10场比赛，积分为15分，则该球队的胜场数为________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据所给数据列出方程是解题的关键． 根据C球队的积分可知负一场积1分，再结合A球队的积分可知胜一场积2分，设胜场数为x，根据积分列方程求解即可． 【详解】解：由C球队可知负一场积分， 由A球队可知胜一场积分， 设该球队胜场数为，则负场数为， 由题意得：， 解得． 故答案为5． 3．（25-26七年级上·云南昭通·月考）某校七年级学生进行数学知识竞赛，共有20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．小明最终得分是72分，问他答对了几道题？ 【答案】小明答对了16道题 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，由等量关系准确列出方程求解是解决问题的关键． 设小明答对了道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 解得， 答：小明答对了16道题． 4．某次篮球联赛中，每队都要进行14场比赛，部分代表队积分如下表： 比赛场数 胜场数 负场数 积分／分 队 14 10 4 24 队 14 7 7 21 根据表格提供的信息解答下列问题． (1)列方程求出胜一场、负一场分别积多少分． (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2) 胜场总积分不能等于负场总积分．理由如下： 设胜场，则负场． 依题意得， 解得． 因为为整数，所以不符合题意． 故胜场总积分不能等于负场总积分． 【分析】（1）设胜一场积分，负一场积分，根据表格中的数据列出方程组，解之即可；（2）设胜场数是，则负场数是，结合（1）中结论，根据胜场总积分能等于负场总积分，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积分，则负一场积分．根据题意， 得， 解得， 所以． 故胜一场积2分，负一场积1分． （2）略 【点睛】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，恰当地设未知数并正确地列方程是解题的关键． 5．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 （1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ （2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由． （3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？ 【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分．（2）胜6场，负12场．（3）胜2场时，负场总积分是它的胜场总积分的4倍；胜6场时，负场总积分是它的胜场总积分的1倍． 【分析】（1）依题意找出等量关系，设胜一场积为x分，则负一场积分，列方程，解方程得到胜一场积分数，再求出负一场积分数即可. （2）依题意找出等量关系，设胜场数是a，负场数是（18﹣a），列方程，如果有解，即某队的胜场总积分能等于它的负场总积分；无解则某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分. （3）依题意找出等量关系，设胜场数是a，负场数是（18﹣a），某队的胜场数它的胜场总积分的k倍，列方程，解出a＝，2k+1是奇数，依题意找到符合题意的数，解出k即可. 【详解】解：（1）设胜一场积x分，则负一场积分， 依题意得：14x+4×＝32   解得：x＝2 此时＝1 ∴胜一场积2分，负一场积1分． （2）答：能．理由如下： 设胜场数是a，负场数是（18﹣a），依题意得：            2a＝18﹣a      解得：a＝6 18﹣a＝18﹣6＝12 答：胜6场，负12场． （3）设胜场数是a，负场数是（18﹣a）， 依题意得：18﹣a＝2ka 解得：a＝ 显然，k是正整数，2k+1是奇数 符合题意的有：2k+1＝9，k＝4，a＝2；2k+1＝3，k＝1，a＝6． 答：胜2场时，负场总积分是它的胜场总积分的4倍；胜6场时，负场总积分是它的胜场总积分的1倍． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程和解方程，正确找出等量关系是解题的关键. 方案决策问题题型04 1．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同． 故选：D 2．某家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 某校计划添置100张课桌和x把椅子（x＞100）． （1）用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ （2）当x＝300时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ （3）当x为何值时，按两种优惠方案购买付款金额相同？ 【答案】（1）方案一：80x+12000；方案二：64x+16000； （2）方案二省钱；（3）当x=250时，两种优惠方案购买付款金额相同． 【分析】（1）当x＞100，直接根据题意列代数式即可求解； （2）当x=300，可计算出方案一、方案二的费用，再比较即可； （3）按两种优惠方案购买付款金额相同让方案一与方案二相等，求出x即可． 【详解】（1）方案一：200×100+80（x-100）=80x+12000， 方案二：200×80﹪×100+80×80﹪x=64x+16000； （2） 当x=300时， 方案一：80x+12000=80×300+12000=36000元， 方案二：64x+16000=64×300+16000=35200元， ∵36000﹥35200， ∴方案二省钱； （3）∵按两种优惠方案购买付款金额相同， ∴80x+12000=64x+16000 ， 解得x=250， 所以，当x=250时，两种优惠方案购买付款金额相同． 【点睛】本题考查的知识点是代数式求值与一元一次方程，掌握列代数式与求代数式值的步骤和方法，读懂题意，根据题意列出方案一、二所需费用的代数式，抓住两种优惠方案购买付款金额相同构造方程是解此题的关键． 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）某市招标建设一段无桥梁的高速公路路基，现有A，B两家公司竞标这项工程．若A公司每天能修建路基，B公司每天能修建路基，若单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，在修建路基过程中，该市要付A 公司每天费用2万元，付B 公司每天费用6万元． (1)求这段高速公路路基一共有多少千米？ (2)若先由A，B 两家公司合作一段时间后，A 公司停工了，B 公司单独完成剩余部分．且 B公司的全部工作时间是A公司的工作时间的3倍少4天，求B 公司共修建多少天？ (3)现设置三个方案：方案一：由A 公司单独完成；方案二：由B 公司单独完成；方案三： 按（2）的方式完成；你认为该市选择哪一种方案最省钱，并说明理由． 【答案】(1)千米 (2)天 (3) 方案一最省钱，理由如下： 公司单独修建需要：（万元）； 公司单独修建需要：（万元）； 按照（2）中方案需要：（万元）； ∵， ∴方案一最省钱． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）设这段高速公路路基一共有千米，根据单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，列出方程进行求解即可； （2）设A公司共修建了天，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）分别求出三种方案所需费用，进行判断即可． 【详解】（1）解：设这段高速公路路基一共有千米，由题意，得：， 解得：； 答：这段高速公路路基一共有10千米； （2）设A公司共修建了天，则公司共修建了天，则： ， 解得：， ∴； 答：B 公司共修建8天； （3）略 4．某校七年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员打8折；方案二：打9折，有5人可以免票． (1)若一班有人，则方案一需付______元钱，方案二需付______元钱；（用含a的代数式表示） (2)若二班有41名学生，则他选择哪个方案更优惠？ (3)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？（用一元一次方程作答） 【答案】(1)； (2)选择方案二更优惠 (3)45人 【分析】（1）根据两种不同的优惠方案解答； （2）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题； （3）设一班有x人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可． 【详解】（1）若一班有人，则方案一需付（元）， 方案二需付元． 故答案是：；； （2）由题意，得 方案一的花费为（元）， 方案二的花费为（元）， 因为， 所以若二班有41名学生，则他选择方案二更优惠． （3）根据（1），得． 解得． 答：一班有45人． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出关于x的方程是解题关键． 5．（25-26上·上海·期末）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 【答案】(1)230；8 (2)方式二更优惠 (3)点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 【分析】本题考查了一元一次方程应用题中的方案选择类问题，解题的关键是列出每种方案费用的表达式． （1）依题意，直接求解即可； （2）根据两种付款方式计算出付款，再比较即可得解； （3）根据、、、四种情况求出两种方式付款，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵菜品总价270元，其中锅底40元， ∴其余菜品（元）， 又每次最多用3张100元代金券，270元最多用2张代金券，每张代金券80元， 所以代金券花费元， 剩余（元）需现场支付， 方式一总付款为（元）； 方式二总付款为224元，则有：， 解得：， 故答案为：230；8； （2）解：方式一付款： ∵菜品总价285元，最多用2张代金券， ∴代金券花费（元），剩余（元）， ∴总付款（元）； 方式二付款： ∵菜品价格为（元），打8折后：（元）， ∴总付款（元）， ∴， 所以方式二更优惠； （3）解：设菜品总价为元（含40元锅底），其余菜品为元．分情况讨论： 情况1： 方式一无法使用代金券，付款元； 方式二付款元； 根据题意可得方程：， 解得：； 情况2： 方式一用1张代金券，付款元； 方式二付款元． 根据题意得方程：； 解得： ； 情况3： 方式一用2张代金券，付款元． 方式二付款元． 根据题意得方程， 解得 ； 情况4： 方式一用3张代金券，付款元， 方式二付款元， 根据题意得方程： 解得：． 综上，点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 数字问题题型05 1．（25-26七年级·期末）如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字形中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字形后所得五个数之和为115，那么该“十”字形中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该“十”字形中正中间的号数为x，则另外四个号数分别为，，，，根据移动“十”字形后所得五个数之和为115，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该“十”字形中正中间的号数为x，则另外四个号数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， ∴该“十”字形中正中间的号数为23． 故选：D． 2．已知四个连续偶数的和为220，则这四个偶数中最小的数是________． 【答案】52 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． 设四个连续偶数中最小的偶数为，则另外三个偶数分别为，，，这四个偶数的和可以表示为 ，合并同类项，得，解出方程即可． 【详解】解：设四个连续偶数中最小的偶数为，则另外三个偶数分别为，，， 由题意得： ， ∴， 解得：， ∴这四个偶数中最小的数为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数是_______． 【答案】75 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，根据题意，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 根据题意，得， 解得， 则， 这个两位数是75， 故答案为：75． 4．阅读材料：设...，则，由得．即，所以．根据上述方法化成分数，则________． 【答案】 【分析】仿照题中给出的例子进行运算即可求解． 【详解】解：设， 则式两边同时乘以，得到：， 式得到：， 解得：， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题借助无限循环小数化分数的知识点考查了一元一次方程的解法，关键是读懂题意，能仿照题中给出的思路求解． 5．定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）． 若，为整数，我们称为“倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；，则称1940为“倍数”；，因为不是整数，所以2548不是“倍数”． (1)直接判断3274和2961是否为“倍数”，若是，直接写出的值； (2)若一个三位数为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； (3)若一个四位数为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为（即），十位数字和个位数字组成的两位数记为（即）．若为整数，求这个四位数． (4)若一个四位数为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，为“倍数”，直接写出满足条件的的最大值． 【答案】(1)3274不是“倍数”；2961是“倍数”， (2)可以， ∵为三位数， ∴，， ， 整理得：， 这个三位数为： ， ∵是整数， ∴这个三位数x能被7整除． (3)9810或1098 (4)8888 【分析】（1）根据题干信息列出关于m的方程，求出m的值，再进行判断即可； （2）根据为“倍数”，且个位数字为7，得出，然后表示出这个三位数为，再进行判断即可； （3）根据四位数为“1倍数”，得出，根据为整数，得出为8的倍数，求出，，即可得出答案； （4）设x的四位数字分别为a、b、c、d，根据为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，得出，，根据为“倍数”，分两种情况：当时，当时，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：令， 解得：， ∵不是整数， ∴3274不是“倍数”； 令， 解得：， ∴2961是“倍数”，； （2） 略 （3）解：∵四位数为“1倍数”， ∴， 即， ∵ ， ∵为整数， ∴为8的倍数， ∴，， ∵各数位的数字互不相等， ∴，，，或，，，， ∴这个四位数为或． （4）解：设x的四位数字分别为a、b、c、d， ∵为“4倍数”， ∴， ∵将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”， ∴， 得：， ∴， 即， 将代入得：， 整理得：， ∵为“倍数”， ∴当时，， 把，代入得： ， 整理得：， ∵a，b，c，d均为小于10的非负整数， ∴不可能等于6， ∴不符合题意； 当时，， 整理得：， 把，代入得： ， 整理得：， ∴， 即， ∴， ∵为四位数， ∴， ∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，一元一次方程的应用，整式加减的应用，等式的性质，解题的关键是理解题意，根据题意列出等式． 几何图形问题题型06 1．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽各是多少？设这枚纪念币的长宽分别为，，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据长和宽的比例关系设出未知数，再结合周长公式列出方程．已知长和宽的比为，设长为，宽为，根据长方形周长（长+宽），将长、宽和周长的数值代入公式即可得到对应的方程． 【详解】解：∵这枚纪念币的长宽分别为，， ∴根据题意，可得． 故选：B． 2．若一个角的补角比这个角大，则这个角是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（几何问题），读懂题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 设这个角为，则它的补角为，依据题意可得，解方程即可求出这个角的度数． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为， 依据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 3．如图，是线段上的两点，已知分别为的中点，，且，求线段的长． 【答案】12cm 【分析】设的长分别为,根据题意列出方程解出三条线段的长度,再根据中点的性质计算即可. 【详解】设的长分别为, ∵ ∴ 解得 ∴ ∵为的中点， ∴ ∴ ∴的长为． 【点睛】本题考查线段的计算,关键在于运用方程的思维解题. 4．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为多少？ 【答案】正方形的边长 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据正方形边长相等这一条件列出方程． 设长方体的高为，根据正方形纸板边长相等的关系列出方程，求解出高的值，进而求出正方形纸板的边长． 【详解】解：设长方体的高为， 则， 解得：， ， 答：正方形的边长为6cm． 5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查几何体的点、棱、面，有理数的四则运算，一元一次方程的应用等知识，理解多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系并灵活运用． （1）根据正方形的顶点数、面数和棱数直接求解即可； （2）法一：根据多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系求得足球的总块数，进而可求解； 法二：根据一个顶点处有1个五边形求解即可； （3）设该足球表面共有个顶点，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：图1的正方体面数，顶点数，棱数， 故答案为：8，12； （2）解：法1： ， 五边形块数六边形块数（块）； 法2：（块）； （3）解：设该足球表面共有个顶点． ， 解得， ∴八边形块数：． 等积变形问题题型07 1．有一块棱长为4cm的正方体铜块，要将它熔化后铸成一块长4cm、宽2cm的长方体铜块．铸成后的长方体铜块的高为（   ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程的应用，利用长方体与正方体的体积相等列方程即可解决问题． 【详解】解：设铸成的铜块的高为． 则， 解得． 故铸成的铜块的高为． 故选：． 2．一个底面直径为40cm、高为的圆柱形水缸装满了水，把水倒入底面直径为20cm、高为30cm的圆柱形水桶中，刚好倒满10桶，则水缸的高为_________cm． 【答案】75 【分析】根据水的体积不变，即水缸的容积等于个水桶的容积之和，利用圆柱体积公式来建立方程求解． 【详解】解：首先，确定水缸和水桶的底面半径： 水缸底面直径为，则底面半径，高为，根据圆柱体积公式，水缸的容积： ． 水桶底面直径为，则底面半径，高为，一个水桶的容积： ，∴个水桶的容积为：． ∵水的体积不变， ∴，即：． 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆柱的体积计算知识点，解题关键是利用水的体积不变，建立水缸容积与个水桶容积的等式，进而求解水缸的高． 3．（25-26七年级上·广东阳江·月考）有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30立方分米，现在它里面装有一些饮料，正立时饮料高度为20厘米，倒立时空余部分高度为5厘米，则瓶内现有饮料______立方分米． 【答案】24 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设饮料瓶瓶底的面积为平方分米，根据瓶内饮料的体积不变，列出方程即可求解． 【详解】解：20厘米分米，5厘米＝分米， 设饮料瓶瓶底的面积为平方分米， 由题意得：， 解得， ∴瓶内现有饮料为． 故答案为：24． 4．（24-25·上海·期末）一个圆柱形容器的底面半径为，高，其中盛有一定量的水，液面高度为．现有一个圆柱形铁块，其底面半径为，高为．如图（1），将其水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没；如图（2）将其竖直放置于容器底部，发现铁块没有被完全淹没．则上述两种放置方法的液面高度差为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，圆柱体积的计算，先分别求出当圆柱水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没时，液面高度，竖直放置于容器底部，铁块没有被完全淹没是，液面高度，然后相减即可． 【详解】解：容器内液体的体积为：， 圆柱体的体积为：， 当圆柱水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没时，液面的高度为： ， 设竖直放置于容器底部，铁块没有被完全淹没是，液面高度为， ， 解得：， ∴． 故答案为：． 5．课外活动时，小兵用超轻黏土切割刀竖直切割一块用超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图所示．若这两个长方体的体积之比是，试求被切割的棱的两部分的长度． 【答案】被切割的棱的两部分的长度分别为和． 【分析】设被切割的棱的其中一部分的长度为，则另一部分的长度为，利用长方体体积公式结合题目给出的条件列出方程求解即可． 【详解】解：设被切割的棱的其中一部分的长度为，则另一部分的长度为， 由题意得， 化简得， 解得， ， 答：被切割的棱的两部分的长度分别为和． 分段计费问题题型08 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用水立方米（），根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设用水立方米（），根据题意得 故选：B． 2．（25-26七年级·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)20元 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），先确定用水量属于第二档，再求出水费即可； 对于（2），先确定该用户属于超过用水量，再根据水费相等列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（元）， 所以某户居民1月份用水，应缴水费20元； （2）解：第一档最高水费为（元）； 第二档最高水费为（元）； 可知， 所以该用户用水量超过10，设用水量为x，根据题意，得 ， 解得（）． 所以该用户2月份的用水量为11.5． 3．根据最新版苏州市市民价格手册，苏州市对居民生活用电实行阶梯电价，居民阶梯电价按“年”为周期执行，即每年1月1日至12月31日为一周期，视为一年，执行标准如下： 档次 阶梯分档电量 电价（元/千瓦时） 第1档 不超过2760千瓦时的部分 a 第2档 超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时的部分 0.6 第3档 超过4800千瓦时的部分 已知2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元；老王家交电费1524元． (1)表中a的值为______； (2)求老王家2023年用电量； (3)若2023年老张家用电的平均电价为0.6元/千瓦时，求老张家2023年的用电量． 【答案】(1) (2)老王家2023年用电量为3000千瓦时 (3)老张家2023年用电量为6180千瓦时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）根据2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元计算a即可； （2）先确定老王家电费处在第几档，再设老王家2023年用电量为x千瓦时，列方程计算即可； （3）先确定2023年老张家用电量超过了4800千瓦时，设老张家2023年用电量为y千瓦时，列方程计算即可． 【详解】（1）∵2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元； ∴， 解得， 故答案为：； （2）设老王家2023年用电量为x千瓦时， ∵（元），（元）， ∴， 根据题意，得：， 解得： 答：老王家2023年用电量为3000千瓦时． （3）若用电量为4800千瓦时，则， 所以2023年老张家用电量超过了4800千瓦时． 设老张家2023年用电量为y千瓦时， 根据题意，得：， 解得：， 答：老张家2023年用电量为6180千瓦时． 4．某市电力部门对居民用电按月收费，标准如下：①用电不超过100度的，每度收费0.5元；②用电超过100度的，超过部分每度收费0.8元． (1)小明家2月份用电86度，应缴费________元；3月份用电140度，应缴费________元； (2)小明家4月份电费为90元，则他家4月份用了多少度电？ (3)小明家5月份和6月份共用电260度，共缴费154元，并且6月份的用电量超过5月份的用电量，那么，他家5、6月份各用了多少度电？ 【答案】(1)43，82 (2)小明家4月份用了150度电 (3)小明家5月份用了80度电，6月份用了180度电 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算的应用： （1）利用总价=单价×数量，结合该市的收费标准，即可求出结论； （2）设小明家4月份用了x度电，根据设小明家4月份用了x度电，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设小明家5月份用了y度电，则6月份用了度电，分及两种情况考虑，根据小明家5月份和6月份共缴电费154元，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）； （元）． ∴小明家2月份用电86度，应缴费43元；3月份用电140度，应缴费82元． 故答案为：43，82； （2）解：设小明家4月份用了x度电， 根据题意得：， 解得：． 答：小明家4月份用了150度电； （3）解：设小明家5月份用了y度电，则6月份用了度电． 当时，， 解得：， ∴（度）； 当时，， 方程无解，舍去． 答：小明家5月份用了80度电，6月份用了180度电． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限将分别增加，，同时，第二、三阶梯年用气量的下限随着调整，每一阶梯的价格保持不变 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为 ．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用_______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用_______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人，某年甲、乙两户年用气量之和为 ，甲户年用气量大于乙户年用气量．设甲用户年用气量为 ，请用 x 分别表示甲、乙两户需缴纳的燃气费． (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，按上表的收费标准进行收费．假定每名员工的年用气量为 ，要使该公司员工宿舍当年缴纳总天然气费用最低，则3人间的房间数为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，甲、乙两户需缴纳的燃气费分别是元，元，当时，甲、乙两户需缴纳的燃气费分别是元，元． (3)3人间的房间数为 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键． （1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：； （2）设甲户年用气量为，则乙户年用气量为(，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过，那么乙户年用气量不足，分两种情况进而列出代数式即可； （3）设3人间有间，则4人间有间．根据为正整数，可得可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和4人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案． 【详解】（1）解：∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为3人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． ∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为4人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． （2）解：设甲用户的用气量为，则乙用户的用气量为． ∵甲户年用气量大于乙户年用气量， ， 解得：． ， 当时， ∴甲户年用气量为：元， 乙用户的用气量为：元， 当时， ∴甲户年用气量为：元， 乙用户的用气量为：元， 答：当时，甲、乙两户需缴纳的燃气费分别是元，元，当时，甲、乙两户需缴纳的燃气费分别是元，元． （3）解：设3人间有间，则4人间有间． ∵为正整数， ∴或． ∴人间有4间或1间． 一个3人间用气量为：， 一个4人间用气量为：． ①3人间2间，4人间4间． 需缴纳燃气费用：(元)． ②3人间6间，4人间1间． 需缴纳燃气费用：(元)． ， ∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间． 行程问题题型09 1．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用小时，已知轮船在静水中的速度为千米时，求水流的速度，若设水流的速度为千米时，则列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用中顺水航行，逆水航行的过程，正确理解顺水速度、逆水速度、静水速度之间的关系是解决本题的关键． 等量关系为：顺水速度顺水时间逆水速度逆水时间．即：静水速度水流速度静水速度水流速度． 【详解】解：设水流的速度为千米时， 由题意得：． 故选：B． 2．奇思家到妙想家的距离是960米，两人同时从家出发相向而行，奇思每分走70米，妙想每分走50米，几分钟后两人相遇？（用方程解决） 【答案】8分钟后两人相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟后两人相遇，利用两家之间的距离两人的速度之和时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设x分钟后两人相遇 答：8分钟后两人相遇． 3．（24-25七年级·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 【答案】(1)若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇 (2)若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可； （2）设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇． （2）解：设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇． 4．已知某铁路桥桥长1800米．现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒． (1)这列火车的长度是多少？ (2)求这列火车通过铁路桥的速度． 【答案】(1)这列火车的长度为200米 (2)这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握火车过桥问题中的等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设火车的长度为米，根据火车的速度不变，列出方程进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：设这列火车的长度是米，由题意，得： ， 解得：； 答：这列火车的长度为200米； （2）（米/秒）； 答：这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒． 5．甲、乙两车从A地驶往C地，途经B地．已知A地到B地的路程比B地到C地的路程多，两车在行驶过程中均保持各自的行驶速度不变，两车运行时间如表所示． A地 B地 C地 车辆 发车时刻 到达时刻 发车时刻 到达时刻 甲车 乙车 途经B地，不停车 (1)求出A、B两地之间的路程； (2)设甲车的行驶速度为，离A地的路程为；乙车的行驶速度为，离A地的路程为． ①求的值； ②从上午开始计时，时长记为t分钟（如：上午，则），在乙车的行驶过程中（），若，直接写出t的值． 【答案】(1)A、B两地之间的路程为 (2)①，②90或130 【分析】本题考查了行程问题(一元一次方程的应用) ，解题关键是正确列出方程求解． （1）设A、B两地之间的路程为，则B、C之间的路程为，根据题意列出一元一次方程求解； （2）①分别求出甲、乙两车的速度，再求出它们的比值； ②分、、三种情况，分别列出关于时间的方程求解． 【详解】（1）解：设A、B两地之间的路程为， 则B、C之间的路程为， 由题意，（），（）， 所以， 解得：． 答：A、B两地之间的路程为； （2）①由（1）知、两地路程为， 则、两地路程为， 甲车总行驶时间为， A，C两地间的距离为： ， 甲车的速度为， （）， 所以乙车的速度为：， 所以． ②当时，，， 所以， 所以或， 解得：或（舍去）； 当时，， 所以， 所以或， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，， ， 所以， 所以或， 解得：或（舍去）， 综上所述，t的值为90或130． 答：t的值为90或130． 比例问题题型10 1．已知三个数的比是2：3：7，这三个数的和是144，则这三个数最大数为_____． 【答案】84 【分析】设一份为x，表示出三个数，根据三个数之和为144求出x的值，即可确定出最大数． 【详解】设一份为x， 根据题意得：2x+3x+7x=144，即12x=144， 解得：x=12， 则最大数为12×7=84， 故答案为：84． 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，解题的关键是正确找出题目中的相等关系，并且注意本题中，已知几个量的比值时的设法． 2．某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 【答案】六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册 【分析】设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册，根据他们共捐了374册，列方程求出x，即可得出这三个班级各捐多少册． 【详解】解：设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册， 依题意有：， 解得， ∴，，， 答：六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【答案】A种商品元，B种商品元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设这两种商品的原价分别是元和元，列出比例式子，即可求解． 【详解】解：设这两种商品的原价分别是元和元， 解得：， ∴元，元； ∴A种商品元，B种商品元． 4．某学校六年级学生分成甲、乙两组参加航模比赛，甲、乙两组的人数比是8：7．如果从乙组调8人到甲组，则乙组人数是甲组人数的80%．六年级参加航模比赛的一共有多少人？ 【答案】360人． 【分析】原来甲、乙两组的人数比是8：7，设出甲组、乙组人数，根据人数比，求出总人数． 【详解】设甲组人，乙组人， 则，∴，解得：， 故六年级共有：（人）． 答：六年级共有360人参加航模比赛． 【点睛】根据甲、乙两组的人数比列出等式，依据等式，进行求解． 5．（24-25上·黑龙江哈尔滨·期中）风华中学六年（1）班为准备《一二·九红色歌曲展演》将全班同学分成合唱组和表演组，表演组中女生人数人，是全班女生的人数的；表演组中男生占小组人数的，表演组人数和全班人数的比是． (1)目前表演组有多少学生？ (2)六年（1）班有多少名男生？ (3)出于对活动时间、场地等角度考虑，学校调整活动方案，每两个班为一个组合，六年（2）班同学分别加入表演组和合唱组．六年（2）一共有22名男生，分别加入表演组和合唱组，名女生加入表演组，其余女生加入合唱组，调整后表演组男生与合唱组女生之比是：，合唱组男生与合唱组女生之比是，求六年（2）班人数是多少？ 【答案】(1)人 (2)人 (3)人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、比的应用以及分数乘除法的应用， （1）根据“男生占小组人数的”，易得女生占小组人数的，结合小组中女生人数即可求得表演组总人数，进而计算小组中男生人数； （2）根据“表演组的学生人数与全班学生人数的比是：”计算出全班总人数，然后根据“小组中的女生人数占全班女生人数的”计算出班内女生人数，进而计算该班男生人数； （3）方法一：根据题意，分别求得表演男生人数与合唱男生人数，合唱女生人数，进而得出合唱六年（2）女生人数，进而计算总人数即可求解． 方法二：设六年（2）班有名男生加入表演组，名男生加入合唱组，根据题意列出一元一次方程，解方程，进而计算总人数即可． 【详解】（1）解：． 答：目前表演组有学生人． （2）（人） （人） （人） 答：六年（1）班有男生人． （3）方法一、表演男合唱女， 合唱男合唱女， 表演男合唱男， 男生总数份数：人 表演男：人 合唱男：人 合唱女：人 六年（1）班合唱女人 六年（2）合唱女人 六年（2）班总人数（人） 答：六年（2）班有人 方法二、表演男合唱女， 合唱男∶合唱女， 表演男∶合唱男， 六年（1）班表演男：人， 六年（1）班合唱男：人， 解：设六年（2）班有名男生加入表演组，名男生加入合唱组，根据题意可得 解得 合唱女人数人 六年（2）班总人数人 答：六年（2）班有人． 古代问题题型11 1．我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 2．（24-25上·上海·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿________斗． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗，根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：设羊的主人赔斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗， 根据题意得：， 解得， 所以羊的主人赔斗，牛的主人赔（斗）， 所以牛主人比羊主人多赔偿（斗）． 故答案为：． 3．（25-26上·上海·质检）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据一百个和尚分一百个馒头，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据题意，可列方程： ， 整理得：， 解得： 小和尚的人数是（人）， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，这样一共走了六天才到达目的地，请问此人第三天走了多少里？    【答案】48里 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到列方程是解题的关键．设第一天走了x里，则第二天走了里，第三天走了、…第六天走了里，根据路程为378里列出方程的x，最后求出前三天的路程即可． 【详解】解：设第一天走了x里，则第二天走了里，第三天走了、第四天走了、第五天走了、第六天走了里， 依题意得：， 解得． ∴则第三天走的路程为里． 5．阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——丢番图．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但他的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公墓，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 【答案】84岁 【分析】设丢番图寿命为x岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数列方程为，然后解方程即可． 【详解】解：设丢番图寿命为x岁，根据题意列式： ， 答：丢番图寿命是84岁． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答． 配套问题题型12 1．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，设分配名工人生产螺母，由题意可知下面所列的方程正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目已经设出分配x名工人生产螺母，则（22-x）人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设分配x名工人生产螺母，则（22-x）人生产螺钉，由题意得 2000x=2×1200（22-x），故B答案正确， 故选：B． 【点睛】本题是一道列一元一次方程解的应用题，考查了列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． 2．有一个加工茶杯的车间，一名工人每小时平均可以加工杯身12个或者加工杯盖15个，车间共有90人．安排加工杯身的人数为多少时，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？设安排加工杯身的人数为，则可列方程为___________________，解得_______． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题——配套问题，设安排加工杯身的人数为人，则加工杯盖的人数为人，通过“一名工人每小时平均可以加工杯身个或者加工杯盖个，车间共有人”列方程即可. 【详解】解：设安排加工杯身的人数为人，则加工杯盖的人数为人，每小时加工杯身个，杯盖个.根据题意得： 解得：. 故答案为：①② ． 3．某家具厂现有10立方米木材，准备用来制作方桌，其中用部分木材制作桌面，其余木材制作桌腿．已知制作一张方桌需要1张桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作50张桌面或300条桌腿，要使制作出的桌面、桌腿恰好配套． (1)求制作桌面的木材和制作桌腿的木材分别为多少立方米？ (2)若该家具厂的木材进货价为每立方米1500元，制成方桌后（边角废料忽略不计），每张方桌的售价为150元，则该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利多少元？ 【答案】(1)分配6立方米木材制作桌面，4立方米木材制作桌腿 (2)共获利30000元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． （1）设分配立方米木材制作桌面，则分配立方米木材制作桌腿，然后根据等量关系“制作一张方桌需要1张桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作50张桌面或300条桌腿，要使制作出的桌面、桌腿恰好配套”列一元一次方程求解即可； （2）先列式求出制作方桌数，然后列式求获利即可． 【详解】（1）解：设分配立方米木材制作桌面，则分配立方米木材制作桌腿， 根据题意得：，解得：， ． 答：分配6立方米木材制作桌面，4立方米木材制作桌腿． （2）解：共制作方桌（张） 故共获利（元）． 答：该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利30000元． 4．某工厂加工齿轮，已知每1块金属原料可以加工成3个A齿轮或4个B齿轮（说明：每块金属原料无法同时既加工A齿轮又加B齿轮），已知1个A齿轮和2个B齿轮组成一个零件，为了加工更多的零件，要求A、B齿轮恰好配套．请列方程解决下列问题： （1）现有25块相同的金属原料，问最多能加工多少个这样的零件？ （2）若把36块相同的金属原料全部加工完，问加工的A、B齿轮恰好配套吗？说明理由 （3）若把n块相同的金属原料全部加工完，为了使这样加工出来的A、B齿轮恰好配套，请求出n所满足的条件． 【答案】（1）30； （2）不能恰好配套，理由： 若把36块相同的金属原料全部加工完，加工的A、B齿轮不能恰好配套．理由如下：设用y块金属原料加工A齿轮，则用（36﹣y）块金属原料加工B齿轮． 由题意，可得2×3y＝4（36﹣y）， 解得y＝14.4．由于14.4不是整数，不合题意舍去， 所以若把36块相同的金属原料全部加工完，加工的A、B齿轮不能恰好配套； （3）n是5的正整数倍的数． 【分析】（1）设用x块金属原料加工A齿轮，则用（25﹣x）块金属原料加工B齿轮，根据题意列出一元一次方程，故可求解； （2）设用y块金属原料加工A齿轮，则用（36﹣y）块金属原料加工B齿轮，依题意列出方程求解，得到解不是整数，即可判断； （3）设用a块金属原料加工A齿轮，则用（n﹣a）块金属原料加工B齿轮，根据配套列出方程即可求解. 【详解】解：（1）设用x块金属原料加工A齿轮，则用（25﹣x）块金属原料加工B齿轮． 由题意，可得2×3x＝4（25﹣x） 解得x＝10，则3×10＝30． 答：最多能加工30个这样的零件； （2）略 （3）设用a块金属原料加工A齿轮，则用（n﹣a）块金属原料加工B齿轮，可使这样加工出来的A、B齿轮恰好配套． 由题意，可得2×3a＝4（n﹣a）， 解得a＝n，则n﹣a＝n， 即n所满足的条件是：n是5的正整数倍的数． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程. 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)一共做了8个无盖长方体纸盒； (2)大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； (3) 解：该说法正确，理由如下： 设按图①方式裁剪的大长方形纸板有张，按图②方式裁剪的大长方形纸板有张，按图③方式裁剪的大长方形纸板有张(为自然数)， 根据裁剪规律，裁剪得到的小长方形总数为，正方形总数为， ∵制作纸盒恰好用完所有材料， ∴，展开整理得， ∵按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张， ∴设(为正整数)， 将其代入得， ∵为正整数， ∴为正整数，即是4的倍数， ∴按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料，故该说法正确． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用以及方案设计的数学问题，核心是根据三种裁剪方式得到的小长方形、正方形数量，结合无盖长方体纸盒的制作要求建立数量等量关系，通过设未知数、列方程、分析数量需求和代数推理解决问题． （1）设出两种裁剪方式的纸板张数，分别表示出小长方形和正方形的总数，根据纸盒制作的数量关系列一元一次方程求解； （2）先明确制作14个纸盒所需的小长方形和正方形数量，再分别分析任选两种裁剪方式的三种组合，计算每种组合所需的大长方形纸板总数，对比后确定耗材最少的方案； （3）设出三种裁剪方式的纸板张数，列出小长方形总数与正方形总数的等量关系，化简得到三者的代数关系式，结合图②裁剪纸板张数为偶数的条件，通过代数变形推导出图①裁剪纸板张数为4的倍数． 【详解】（1）解：设将张大长方形纸板按图①方式裁剪，则张大长方形纸板按图②方式裁剪，则小长方形总数为，正方形总数为， 根据题意，列方程， 解得， 则正方形个数为，即为无盖长方体纸盒的个数， 答：一共做了8个无盖长方体纸盒； （2）解：制作14个无盖纸盒，根据制作要求可知至少需要14个正方形纸板和个小长方形纸板， ①采取图①、图②方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪，此方式同时得到个小长方形纸板，还需要小长方形纸板个， 故需要张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ②若采取图①、图③方式裁剪， ∵正方形纸板只能由图③裁剪得到， ∴需要张，即需3张大长方形纸板按图③裁剪， 张，即需19张大长方形纸板按图①裁剪， 该组合共需张大长方形纸板； ③若采取图②、图③方式裁剪， ∵小长方形纸板只能由图②裁剪得到， ∴需要张大长方形纸板按图②裁剪； ∵， ∴大长方形张数最少的裁剪方案是14张大长方形纸板按图①方式裁剪，7张大长方形纸板按图②方式裁剪，共需21张大长方形纸板； （3）略 和、差、倍、分问题题型13 1．（2026·河南项城·模拟）河南多地推行城市口袋公园建设，某公园计划种植月季和蔷薇两种花木，已知种植月季的数量比蔷薇的2倍少15株，设蔷薇种植x株，一共种植花木285株，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意用含的代数式表示出月季的种植数量，再根据两种花木总种植数量为株，列出等式判断正确选项． 【详解】解：∵设蔷薇种植株，种植月季的数量比蔷薇的倍少株， ∴月季的种植数量为株， ∵一共种植花木株，即蔷薇数量与月季数量之和为， ∴列方程得 ，整理得 ． 2．我校开设了4间大教室和5间小教室同时进行公开课活动，其中一间大教室和2间小教室可容纳168人；2间大教室和一间小教室可容纳228人，设一间小教室可容纳x人，则下列方程正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设1间小教室可同时容纳x人，则1间大教室可同时容纳人，根据“2间大教室和1间小教室可同时容纳228人”列出方程． 【详解】解：设1间小教室可同时容纳x人，则1间大教室可同时容纳人， 根据题意，得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 3．过完清明小长假后即将迎来“五一”劳动节，劳动使人快乐，艾霸舒同学决定让自己劳动起来，思来想去发现刷数学题是一种劳逸结合的劳动方式，于是针对自己的短板决定五一节前刷满足够的题．艾霸舒同学准备刷几何证明、二次函数、阅读理解三种题型：第一次刷题时几何题和二次函数平均每道题得分分别为3分和5分，且几何题和二次函数题得分占总得分的，几何证明题和阅读理解题得分占总得分的；第二次刷题，艾霸舒发现自己每道题得分情况都增长了，其中几何题和阅读理解每道题平均得分提高了x%，二次函数题每道题平均得分提高50%，第二次刷题时几何证明、二次函数、阅读理解的数量分别是第一次的2倍、1.2倍、1倍，且刷题总分比第一次刷题时提升了40%，则x＝_____． 【答案】6 【分析】设第一次刷几何题、二次函数、阅读题的题量依次为a，b，c，求出第一次刷题时阅读题的得分，再依据第二次刷题的题量与得分列出方程求解即可． 【详解】解：设第一次刷几何题、二次函数、阅读题的题量依次为a，b，c，第一次阅读题平均每题得y分，得分为n分， ∵几何题的得分+二次函数的得分=总得分的 几何题的得分+阅读题的得分=总得分的 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 第二次刷题几何题、二次函数、阅读题的题量依次为：2a，1.2b，c，几何题每道得分，二次函数每道得分，阅读题每道得分，根据题意得， 把代入上式，整理得， 解得， ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解应用题，本题阅读量大，数量关系复杂，弄清数量关系并找到等关系是解答此题的关键． 4．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【答案】1500人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 5．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人，现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？ 【答案】调往甲处人，调往乙处人． 【详解】试题分析：本题可列方程进行解答，设调往甲处x人，甲处现有23+x人，则调往乙处20-x人，乙处现有17+20-x人，此时甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，由此可得方程：．解此方程后即得调往乙处的人数，进而求出调往甲处多少人． 试题解析：设调往甲处人， 则调往乙处人， ， ∴， ∴调往甲处人，调往乙处人． 银行储蓄题型01 1．银行三年定期储蓄的年利率是，小明的父亲取出三年到期的本利和共22550元，设小明父亲存入本金x元，则可列出方程为_____________________________． 【答案】 【分析】根据本利和等于本金加上利息，列出方程即可． 【详解】解：设小明父亲存入本金x元，由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 2．某人在银行存有一笔钱，已知年利率为，一年到期后所得利息为元，则一年前他在银行存了________元． 【答案】 【分析】本题考查了利率问题，先明确利息的计算公式，再根据已知的利息和年利率通过公式变形求出本金. 【详解】解：设一年前他在银行存了元 ， 解得， 一年前他在银行存了元； 故答案为： ． 3．（25-26七年级上·山东潍坊·月考）冯老师利用手机银行将储蓄卡中的16000元转存为三年定期存款，预计到期收益为1320元，则此时三年定期存款的年利率是_______． 【答案】2.75% 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利息计算公式是关键；根据利息计算公式，利息本金年利率时间，代入已知数据求解年利率． 【详解】解：设年利率为， 由题意得：． 所以， 解得， 即年利率为． 故答案为：． 增长（下降）率问题题型02 1．某企业今年1月份产值为万元，2月份的产值比1月份减少了15%，则2月份的产值是(　　) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【分析】减少用减法，故2月产值是1月的(1-15%)，进而得出2月产值． 【详解】根据题意，2月产值是1月的(1-15%) ∴2月的产值为： 故选：D 【点睛】本题考查一元一次方程的运用，注意本题被比较量是1月，故求2月的产值用乘法． 2．某公司三月份的产值为万元，比二月份减少了，那么二月份的产值（单位：万元）为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设二月份的产值为万元，根据三月份产值与二月份产值的数量关系，列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：设二月份的产值为万元， ∵三月份产值为万元，比二月份减少了， ∴， 解得：． 3．（25-26七年级上·广东深圳·期末）有一批商品，售价不变，如果成本上涨，那么利润率将降低；如果成本上涨，那么利润率变为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——销售利润问题，掌握销售利润问题中的有关概念及相关公式的应用是解题关键．涉及了商品利润率；根据利润=售价−进价，利润率=利润÷成本，再由已知条件成本上涨，利润率将降低，列出方程求解即可． 【详解】解：假设成本为“1”，利润率为，售价为． 成本上涨，即成本变为“1.2”，利润为， 则：， 解得． 成本上涨：， 利润率为． 故选：C． 4．某家电商场销售A，B两种品牌的冰箱，5月份A品牌冰箱的销售量为80台，B品牌的销售量为120台，6月份A品牌冰箱的销售量减少了，但总销售量增长了，问：B品牌冰箱6月份的销售量比5月份增长了百分之几？ 【答案】B品牌冰箱6月份的销售量比5月份增长了30% 【分析】此题考查一元一次方程的应用，找到相应的等量关系是解决问题的关键．等量关系为：6月份A品牌冰箱的销售量月份B品牌冰箱的销售量增长率． 【详解】设B品牌冰箱6月份的销售量比5月份增长了． 根据题意得：， 解得：． 答：B品牌冰箱6月份的销售量比5月份增长了． 5．某品牌汽车生产厂为了占领市场提高销售量，对经销商采取销售奖励活动，2022年10月后以新奖励办法执行．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出某品牌汽车的A型和B型共500台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共625台，其中A型和B型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的A型和B型汽车分别为多少台？ (2)若A型汽车每台售价为12万元，B型汽车每台售价为13万元．新奖励办法是：每销售一台A型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台B型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而B型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月该经销商共获得的奖励金额156万元，求a的值． 【答案】(1)在新办法出台后，该经销商销售的A型和B型汽车分别为325台，300台； (2)a的值为2． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设办法出台前该经销商销售的A型汽车为x台，则该经销商销售的B型汽车为台，列出方程求解即可； （2）根据题意列出关于a的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设办法出台前该经销商销售的A型汽车为x台，则该经销商销售的B型汽车为台． 由题意得：， 解得： 新办法后A型汽车台数：（台） 新办法后B型汽车台数：（台） 答：在新办法出台后，该经销商销售的A型和B型汽车分别为325台，300台． （2）解：由题意可得： 解得：， 答：a的值为2． “盈不足”问题题型03 1．我国唐代有一位尚书杨损任人唯贤，出题选拔官吏．他说：“有人于黄昏时分在林中散步，无意中听到几个盗贼在分赃，偷的大概是布匹，只听得盗贼说，如果每人分6匹，就余5匹；如果每人分7匹，就差8匹，试问有几个盗贼在分多少匹布？”设有x个盗贼，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不管怎样分，布匹的总数不变，依此建立等量关系即可． 【详解】解：设共有x个盗贼 则由“如果每人分6匹，就余5匹”得 由“如果每人分7匹，就差8匹”得 故得： 故选：B 【点睛】本题考查一元一次方程的列方程，找到等量关系是本题解题关键． 2．（25-26七年级·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，设有x辆车，通过两种乘车方式表示总人数并相等，列出方程． 【详解】解：若设有辆车， 由题意可建立方程：． 故选：B． 3．（2026·吉林长春·一模）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量． 【答案】该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵 【分析】先设该班的学生人数为x人，根据题意可知两种种植方式下，树苗的总数量是不变的，从而列出一元一次方程求得学生人数，再将学生人数代入“每人种3棵，则剩余20棵”的表达式中，即可求得这批树苗的数量． 【详解】解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴这批树苗的数量是（棵）， 即该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵． 4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）2026年的元旦期间，某班以小组为单位，开展了“我手中的新年”手工作品展示活动，小欣和小乐所在小组打算制作灯笼．如果每人做10个，那么比计划多了12个；如果每人做8个，那么比计划少4个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个灯笼？ 她俩经过独立思考后，分别列出如下方程． 小欣的方法：． 小乐的方法：． (1)在小欣所列的方程中，未知数x表示的意义是 ，在小乐所列的方程中，未知数y表示的意义是 ． (2)请选择一种方法，将原题中的问题解答完整． 【答案】(1)该小组的人数；计划做的灯笼数量 (2)该小组共有8人，计划做68个灯笼 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据所列方程，找出未知数，的意义是解题的关键． （1）根据题意，结合小欣及小乐所列方程，即可找出，的意义； （2）选择小欣（小乐）的方程，解方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：如果每人做10个，那么比计划多了12个；如果每人做8个，那么比计划少4个， 小欣所列方程为， 未知数表示的意义是：该小组的人数； ∵小乐所列方程为： 未知数表示的意义是：计划做的灯笼数量； （2）解：小欣的方法：， 解得：， ∴（个）． 答：该小组共有8人，计划做68个灯笼； 小乐的方法：， 解得：， （人）． 答：该小组共有8人，计划做68个灯笼． 5．我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 【详解】①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②解：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 动点问题题型01 1．点A表示数轴上的一个点，以每秒2个单位长度的速度向右移动5秒，再以相同速度向左移动4秒，终点恰好是原点，则点A到原点的距离为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程——动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意列出方程是解题的关键． 设点A表示的数为x，根据移动速度和方向，计算向右和向左的移动距离，结合最终位置为原点，列方程求解x，再求距离即可解答． 【详解】解：设点A起始位置为x， 由题意可得，， 解得， ∴点A到原点的距离为． 故答案为：2． 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)4； (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的应用，距离问题注意分类讨论． （1）利用两蚂蚁的速度表示出行驶的路程，进而得出等式求出即可； （2）分别利用在相遇之前距离为8和在相遇之后距离为8，求出即可． 【详解】（1）解：设运动x秒时，两只蚂蚁相遇，根据题意可得： ， 解得：， ． 即运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数为， 故答案为：4；． （2）解：运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了，蚂蚁N向左移动了， ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和6， ∴A、B的距离为， 若在相遇之前距离为8，则 ， 解得：． 若在相遇之后距离为8，则 ， 解得：． 综上所述：t的值为或． 3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点（B在A点左边），且，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． (1)写出数轴上点B所表示的数______； (2)点P所表示的数______（用含t的代数式表示）； (3)C是的中点，D是的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由，若不变，请你求出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)线段的长度不发生变化，为5 【分析】（1）根据题意及数轴可得B点在原点的左侧，故可直接求解； （2）根据题意可得P所表示的数为：； （3）根据题意得到点P可能在线段上，也有可能在线段外，故分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为8， ∴， ∵， ∴， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， ∵A点表示的数是8，P在A的左边， ∴点P表示的数为， 故答案为：； （3）解：线段的长度不发生变化， ∵C是的中点，D是的中点， ∴， 如图，当P点在线段上运动时， ； 如图，当P点运动到点B左侧时， ， 综上所述，线段的长度不会发生变化，始终是5． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离及线段的和差关系，关键是根据动点的运动得到线段的长，然后根据数轴上的两点距离列式求解即可． 4．如图，A点、B点是数轴上的两个点，其中点A表示的数是，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即）则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P表示的数为0，有，则称点P为点A、B的“6级幸运点”．   (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点P在数轴上表示的数为，则_____________； (2)若点P是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点P在点B的右侧，则点P表示的数为_____________； (3)若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，则_____________； (4)若点A在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒3个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，某一时刻数轴上恰有一点F为点A、B的“10级幸运点”，则点F表示的数为_____________（请用含t的代数式表示）． 【答案】(1)6 (2)3 (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，解题的关键是掌握“m级幸运点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）依据题意，根据“m级幸运点”的概念解答； （2）依据题意，设点P表示的数为，从而结合题意，列出关于x的方程计算进而可以得解； （3）设点E表示的数为，分当点E在点A、B之间和点E在点B右侧两种情况讨论，根据题意列方程计算进而可以得解； （4）t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，设点F表示的数为，分情况讨论，再列方程计算即可得解． 【详解】（1）解：∵点P在数轴上表示的数为，且在和1之间，即点P在点A、B之间， ∴，故答案为：6； （2）解：设点P表示的数为， ∵点P是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点P在点B的右侧， ∴，，， ∴， 解得，即点P表示的数为3， 故答案为：3； （3）解：设点E表示的数为， 当点E在点A、B之间， ∴，， ∵， ∴， 解得， 此时； 当点E在点B右侧时， ∴，， ∵， ∴， 解得， 此时； 综上，或； 故答案为：或； （4）解：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵， ∴， ∴点B在点A的右边， 又∵， ∴， ∴点A、B的“10级幸运点”也不在点A、B之间， 设点F表示的数为， 当点F在点A左侧时，， 解得； 当点F在点B右侧时，， 解得； 综上，点F表示的数为或． 故答案为：或． 5．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒．    (1)当时，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值． (3)若“折线数轴”上定点与两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于6？ 【答案】(1)当时，，两点在数轴上相距16个单位长度； (2)当，两点相遇时，运动时间的值为秒； (3)当秒或秒或秒时，、与点相距的长度之和等于6． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找到相等关系是解题的关键． （1）由点，，，表示的数，可求出，及的值，利用时间路程速度，可求出点到达点及点到达点所需时间，结合，的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，可找出当时，点，表示的数，进而可求出的长； （2）当时，点表示，点表示，由点，相遇时两点表示的数相同，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论； （3）由定点与，两点相距的长度相等，可得出点表示6，利用时间路程速度，结合（1）可求出点到达点及点到达点所需时间，分情况讨论，可得出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点表示，点表示0，点表示12，点表示20， ，，． （秒，（秒， 当时，点表示，点表示， ． 答：当时，，两点在数轴上相距16个单位长度； （2）解：由题可知，M从至的时间为秒，从到为秒， ∴M、N两点相遇在线段上于P处， 当时，点表示，点表示， 根据题意得：， 解得：． 答：当，两点相遇时，运动时间的值为秒； （3）解：“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等， 点表示． （秒），（秒），（秒），（秒）， 当时，即点在上，点表示，点表示， ，． 根据题意得：， 解得：； 当时，即相遇前，点表示，点表示， ，． 根据题意得：， 解得：； 当时，即相遇后且点在上，点表示，点表示， ，． 根据题意得：， 解得：； 当时，即点在上，点在上，点表示，点表示， ，． 根据题意得：， 解得：(舍去)； 答：当秒或秒或秒时，、与点相距的长度之和等于6． 图表信息问题题型02 1．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价/（元/个） 60 70 问：该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ 【答案】该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个，利用总价单价数量，结合玩具店花费6600元购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，可列出一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个， 由题意，得，解得． 所以该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个． 2．甲、乙两家水果店某一周的销售金额以每天1000元为准，超过的金额记作正数，不足的金额记作负数，记录情况如下表所示．其中乙水果店周三的销售金额被墨水涂污． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 甲 0 乙 (1)求甲水果店该周的销售总金额； (2)若甲、乙两家水果店该周的销售总金额相等，求乙水果店周三的销售金额． 【答案】(1)甲水果店该周的销售总金额为8050元 (2)乙水果店周三的销售金额为940元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据题意列出一元一次方程，计算即可． 【详解】（1）甲水果店的销售总额为：（元）， 所以甲水果店的销售总额为8050元； （2）设乙水果店周三的销售金额为x元， ， ， ∴乙水果店周三的销售金额（元）． 3．小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 【答案】平时段的电费单价为元，谷时段的电费单价为元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出平时段和谷时段的用电量，再设平时段的电费单价为元，则谷时段的电费单价为元，根据本月电费金额和“谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元”列出方程求解即可．读懂题意，理解电费总金额的计算方式是解题的关键． 【详解】解：依题意得：小明家平时段用电量为：(千瓦时)， 谷时段用电量为：(千瓦时)， 设平时段的电费单价为元，则谷时段的电费单价为元， 则有， 解得：， ∴， 答：平时段的电费单价为元，谷时段的电费单价为元． 4．甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别是140元/吨和150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨和80元/吨，本次运水泥总运费需要25900元. (1)设甲仓库运到A工地的水泥为x吨，请在下面表格中用x表示出其它未知量： 甲仓库 乙仓库 A工地 x B工地 (2)用含x的式子表示运送甲仓库100吨水泥的运费为__________元（写出化简后的结果）； (3)求甲仓库运到A工地的水泥的吨数. 【答案】(1)； (2) (3)30吨 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式加减运算，弄清题意找到相等关系是解本题的关键． （1）根据题意填写表格即可； （2）根据表格中的数据，以及已知的运费表示出总运费即可； （3）根据本次运送水泥总运费需要25900元列方程化简即可． 【详解】（1）解：（1）设甲仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 乙仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 补全表格如下： 甲仓库 乙仓库 工地 工地 故答案为：；； （2）解：运送甲仓库100吨水泥的运费为； 故答案为：； （3）解：， 整理得：． 解得 答：甲仓库运到工地水泥的吨数是30吨． 5．（24-25七年级上·福建宁德·期末）材料一：（1）营养素参考值（）是该营养素每日需要量，是食品营养标签上用于比较食品营养成分含量的参考值．下表是我国国家标准中，能量和主要营养素的． 营养素参考值 营养成分 营养成分 能量 碳水化合物 蛋白质 钠 脂肪 钙 （2）食品的营养标签上营养成分表中营养素参考值（）的百分比计算公式：．其中：X表示该食品中营养素的含量．通常的标示近似到1%． 材料二：某超市货架上有两种不同品牌的牛奶，每瓶都是．如图所示是这两款牛奶的营养成分表（部分数据未标示）． 问题一： （1）请结合以上材料，求出a的值； 问题二： （2）营养师建议早餐的脂肪摄入量不超过每日推荐摄入量的．小明的早餐是一瓶B品牌牛奶和一个的三明治面包．若该三明治面包每中含有脂肪，则小明早餐的脂肪摄入量是否符合营养师的建议？ 问题三： （3）若品牌牛奶与品牌牛奶的蛋白质的和为，且3瓶A品牌牛奶的蛋白质含量与2瓶B品牌牛奶的蛋白质含量相同，则每瓶A、B品牌牛奶各含有蛋白质多少克？ 【答案】（1）；（2）超过营养师的建议；（3） 【分析】本题考查了有理数的四则运算及一元一次方程的应用，找到等量关系是解决本题的关键． （1）根据题意得出，可求出的值即可； （2）先计算出各自所占的百分比，再进行比较即可； （3）设每品牌牛奶含有蛋白质，则每品牌牛奶含有蛋白质，根据题意列出方程，列求解即可． 【详解】解：（1）因为， 所以； （2）． 因为， 所以小明早餐脂肪摄入量超过营养师的建议； （3）品牌牛奶与品牌牛奶的蛋白质含量∶， 设每品牌牛奶含有蛋白质，则每品牌牛奶含有蛋白质， 根据题意，得， 解得， ， 所以， 答：每瓶A品牌牛奶各含有蛋白质，B品牌牛奶含有蛋白质． 幻方问题题型03 1．（25-26七年级上·河北唐山·月考）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了三阶幻方. 根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程求解即可. 【详解】解：如图： ∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 解得：. 故选：A. 2．如图是三阶幻方的一部分,其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等,则对于这个幻方,下列说法错误的是(    )    A．每条对角线上三个数字之和等于 B．三个空白方格中的数字之和等于 C．是这九个数字中最大的数 D．这九个数字之和等于 【答案】B 【分析】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则由第1列三个已知数5+4+9＝18可知每行、每列、每条对角线上三个数字之和为18，于是可分别求出未知的各数，从而对四个选项进行判断． 【详解】∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， 而第1列：5+4+9＝18，于是有 5+b+3＝18， 9+a+3＝18， 得出a＝6，b＝10， 从而可求出三个空格处的数为2、7、8， 所以答案A、C、D正确， 而2+7+8＝17≠18，∴答案B错误， 故选B． 【点睛】本题考查的是数字推理问题，抓住条件利用一元一次方程进行逐一求解是本题的突破口． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一、“三阶积幻方”是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其中每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的幻方。图为“三阶积幻方”，m，n为有理数，则的值为（　　） 98 7 m n A．2304 B．0 C．2500 D．49 【答案】A 【分析】本题通过幻方性质建立方程，巧妙利用已知量求解未知数，注意合理假设非零条件． 根据三阶积幻方的性质，每一行、每一列和每条对角线上的三个数字之积相等。利用已知数字建立方程，求解出m和n的值，然后计算． 【详解】解：设公共积为P， 由第二列：， 由第一行：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由副对角线：， 由第一列：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级上·广东惠州·期末）【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或纵横图，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： (1)图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； (2)在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； (3)图3是一个未完成的幻方，求的值． 【答案】(1)60，20 (2)19，24 (3) 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由“幻和”的定义可得，幻和为，由图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数，继而； （2）根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等即可求解． （3）设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的个数之和相等，可列出关于，，（可以消掉）的三元一次方程组，解出可用含的代数式表示出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：由“幻和”的定义可得，幻和为， 图1 可得为9个连续的自然数的最中间的数， ∴， 故答案为：60，20； （2）解：由（1）可得，，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：19，24； （3）解：设左下角的空格中的数字为， 根据题意得：， 化简得：， ∴． 5．（24-25七年级上·四川巴中·期末）桌子上有9张卡片，分别标有1到9的整数数字，甲和乙两位同学轮流取卡片，每次取一张，如果手中的卡片有三张数字之和为15，并先于对手，则获胜．他们反复玩了几次，发现这个游戏可以用“九宫格”来模拟，即九宫格每行、每列以及对角线上的三数和都为15． (1)如果甲取得卡片数字分别为6，5，4；乙取得卡片分别为7，1，这时甲获胜，把这些数字填在九宫格里，如图1所示，请你把其它数字填在九宫格的空格里． (2)甲、乙两位同学进一步研究发现：每行、每列以及对角线上的三数和都为15时，虽然数字有多种填法，但九宫格中间的数字一定是5，请你根据图2运用方程解释这个道理． (3)如果甲先取卡片5，乙不能让甲获胜，乙必须先取哪些数字卡片？ 【答案】(1) 填写九宫格如下： (2) 设九宫格中间数字为， 根据题意可列出方程组： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥， ⑦， ⑧， ，得⑨， ，得⑩， ，得， ∴，即九宫格中间数字一定是； (3) 【分析】本题考查了九宫格的理解和应用，列方程组，熟记九宫格中每行、每列以及对角线上三数和都是是解题关键． （1）根据九宫格中每行、每列以及对角线上三数和都是，即可得到答案； （2）根据九宫格中每行、每列以及对角线上三数和都是，列方程组即可； （3）根据九宫格中每行、每列以及对角线上三数和都是，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：甲先取卡片，乙不能让甲获胜，乙必须先取数字卡片． 探究图形排列规律题型04 1．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定的规律摆成下列图案．其中第①个图案用了6个“•”，第②个图案用了11个“•”，第③个图案用了16个“•”，第④个图案用了21个“•”，……，按此规律排列下去，若第n个图案用的“•”的个数是51个，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类规律探索题，根据图形得出规律，即可求解，根据图形，准确找出其规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图案用了（个）， 第②个图案用了（个）， 第③个图案用了（个）， 第④个图案用了（个）， 则第n个图案用了个， ∴， 解得：， 即第10个图案用的“•”的个数是51个， 故选：C． 2．（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 【答案】（1）； （2）； （3）需要方砖423块． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放块方砖； （2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； （3）根据（2）所求得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为：． （3）当时， 解得， ∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为（块）， ∴方砖的总数为（块）， 答：需要方砖423块． 3．【观察思考】如图，春节期间，广场上用盆景（☆）和花卉（□）组成菱形图案． 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中盆景的盆数为_________； （2）第1个图案中花卉的盆数可表示为，第2个图案中花卉的盆数可表示为，第3个图案中花卉的盆数可表示为，第4个图案中花卉的盆数可表示为，…，第n个图案中花卉的盆数可表示为__________； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉的盆数． 【答案】（1）（2）（3）该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆 【分析】本题考查了用代数式表示图形变化的规律和一元一次方程的应用（其它问题），能根据所给图形发现盆景和花卉盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图案，发现盆景数量的变化规律即可解决问题． （2）根据所给给花卉盆数的表示方法，用n表示出第n个图案中花卉的盆数即可． （3）根据（1）（2）发现的规律即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给图案可知， 第1个图案中盆景的盆数为：； 第2个图案中盆景的盆数为：； 第3个图案中盆景的盆数为：4=3+1； …， 所以第n个图案中盆景的盆数为盆． 故答案为：； （2）因为第1个图案中花卉的盆数可表示为， 第2个图案中花卉的盆数可表示为， 第3个图案中花卉的盆数可表示为， 第4个图案中花卉的盆数可表示为， …， 所以第n个图案中花卉的盆数可表示为盆． 故答案为：； （3）由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆. 4．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)第n个图形灰色方块共有__________个，白色方块共有__________个； (2)第100个图形白色方块共有__________个； (3)第个图形白色方块的总数与第个图形灰色方块总数相比，哪种颜色的总数多，多多少个？（用含n的式子表示） (4)是否存在某个图形，灰色和白色方块的总和为2025个？如果存在，求出是第几个图形，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)301 (3)第个图形中的灰色方块多，多个 (4)存在，是第253个图形 【分析】本题考查图形变化的规律，代数式求值，一元一次方程的应用，能根据所给图形发现灰色和白色方块个数变化的规律是解题的关键． （1）依次求出每个图形中灰色方块和白色方块的个数，发现规律即可解决问题； （2）由（1）的发现，即可解决问题； （3）由（1）的发现，即可解决问题； （4）根据题意，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图形中，灰色方块的个数为：，白色方块的个数为：， 第2个图形中，灰色方块的个数为：，白色方块的个数为：， 第3个图形中，灰色方块的个数为：，白色方块的个数为：， 所以第n个图形中，灰色方块的个数为个，白色方块的个数为个， 故答案为： ，； （2）又（1）可知， 当时， ， 故答案为：； （3）由（1）可知， 第个图形中的灰色方块有个， 第个图形中的白色方块有 个，． （4）存在某个图形，灰色和白色方块的总和为2025个， 假设第n个图形中，灰色和白色方块的总和为2025个， 则，即， 解得：， 所以第253个图形中，灰色和白色方块的总和为2025个． 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）为了美化校园环境，方便师生前往学校图书馆，学校规划用边长均为米的黑色、白色两种正方形瓷砖，按如图所示的方式铺设一条宽为米的通道，连接学校教学楼与图书馆． (1)请直接写出第5个图形中，白色正方形瓷砖的块数； (2)小明说：“按这种铺路的方式铺设道路与道路，当道路与道路的长度不相同时，存在铺设道路所用的黑色正方形瓷砖与铺设道路所用白色的正方形瓷砖的块数相同的情况．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由； (3)若该通道的长为米，黑色正方形瓷砖每块价格是10元，白色正方形瓷砖每块价格是13元．试求出学校购买瓷砖所需的总费用． 【答案】(1)12 (2)不正确， 第1个图形用黑色正方形瓷砖的块数为， 第2个图形用黑色正方形瓷砖的块数为， 第3个图形用黑色正方形瓷砖的块数为， 归纳类推得：第n个图形用黑色正方形瓷砖的块数为，其中n为正整数； ∴第n个图形用黑色正方形瓷砖的块数为奇数， 由（1）得：第n个图形用白色正方形瓷砖的块数为，为偶数． ∴小明的说法不正确； (3)13962元 【分析】本题考查了列代数式表示图形的规律型问题、整式的化简求值、一元一次方程的应用等知识点，观察图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据第1、2、3个图形归纳类推出一般规律，由此即可得第5个图形中，白色正方形瓷砖的块数； （2）根据第1、2、3个图形归纳类推出一般规律，由此即可得第n个图形用黑色正方形瓷砖的块数，再结合（1）进行分析即可； （3）先根据铺满米长的小路所用的黑、白两种颜色的正方形瓷砖的面积之和等于长方形小路的面积求出n的值，再根据价格列出总费用的代数式，然后将n的值代入即可得． 【详解】（1）解：第1个图形用白色正方形瓷砖的块数为， 第2个图形用白色正方形瓷砖的块数为， 第3个图形用白色正方形瓷砖的块数为， 归纳类推得：第n个图形用白色正方形瓷砖的块数为，其中n为正整数； ∴第5个图形中，白色正方形瓷砖的块数为； （2）略 （3）解：由题意得：， 解得， 铺满该段小路所需瓷砖的总费用为， 则当时，（元）， 答：铺满该段小路所需瓷砖的总费用为13962元． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 一元一次方程的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 工程问题 题型02 商品销售问题 题型03 比赛积分问题 题型04 方案决策问题 题型05 数字问题 题型06 几何图形问题 题型07 等积变形问题 题型08 分段计费问题 题型09 行程问题 题型10 比例问题 题型11 古代问题 题型12 配套问题 题型13 和、差、倍、分问题 B组 能力进阶 题型01 银行储蓄 题型02 增长（下降）率问题 题型03 “盈不足”问题 C组 思维拔高 题型01 动点问题 题型02 图表信息问题 题型03 幻方问题 题型04 探究图形排列规律 工程问题题型01 1．一条长的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖，乙队每天挖，挖好水渠需要多少天？设挖好水渠需要天，根据题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．整理一批图书，由一个人完成需要h．现计划由一部分人先整理4h，然后增加4人与他们一起整理2h，完成这项工作．若工作效率相同的前提下，则先安排了______人． 3．某文件需要打印，小李独立做需要完成，小王独立做需要完成．如果他们俩共同做，需要多长时间完成？ 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天．已知乙单独做这项工程需20天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）2023年2月7日，武汉新城规划发布，为了加快推进武汉新城的建设，一项工程，若甲工程队独做，需20天完成，共需费用32000元；若乙工程队独做，需30天完成，共需费用30000元； (1)若由甲、乙两个工程队合做6天后，剩余工程由乙工程队单独完成， ①求乙工程队单独完成剩余工程还要多少天？ ②求完成工程所需的总费用是多少元？ (2)若工期要求不超过24天，如何安排施工，可使工程所需的总费用最少？最少是多少？ 商品销售问题题型02 1．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（　　） A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）某商品按定价的八折出售，售价为56元，则原定价为_____元． 3．滕州购物中心将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是．已知这种商品的进价为元，那么这种商品的原价是______元． 4．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）列方程解应用题 商场准备将某商品打折出售，如果按原价的折出售，每件将亏损元；如果按原价的折出售，每件将盈利元，求该商品每件的原价是多少． 5．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 比赛积分问题题型03 1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在8场比赛中得到12分，那么这个队胜的场数是（    ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 2．（25-26七年级上·宁夏·期末）为提高青少年体质，某地组织当地各校篮球队进行了联赛，比赛的部分积分情况如表： 球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分 10 6 4 16 10 3 7 13 10 0 10 10 … … … … … 某球队参加了10场比赛，积分为15分，则该球队的胜场数为________． 3．（25-26七年级上·云南昭通·月考）某校七年级学生进行数学知识竞赛，共有20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．小明最终得分是72分，问他答对了几道题？ 4．某次篮球联赛中，每队都要进行14场比赛，部分代表队积分如下表： 比赛场数 胜场数 负场数 积分／分 队 14 10 4 24 队 14 7 7 21 根据表格提供的信息解答下列问题． (1)列方程求出胜一场、负一场分别积多少分． (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 5．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 A 18 14 4 32 B 18 11 7 29 C 18 9 9 27 （1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ （2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由． （3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？ 方案决策问题题型04 1．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 2．某家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 某校计划添置100张课桌和x把椅子（x＞100）． （1）用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ （2）当x＝300时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ （3）当x为何值时，按两种优惠方案购买付款金额相同？ 3．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）某市招标建设一段无桥梁的高速公路路基，现有A，B两家公司竞标这项工程．若A公司每天能修建路基，B公司每天能修建路基，若单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，在修建路基过程中，该市要付A 公司每天费用2万元，付B 公司每天费用6万元． (1)求这段高速公路路基一共有多少千米？ (2)若先由A，B 两家公司合作一段时间后，A 公司停工了，B 公司单独完成剩余部分．且 B公司的全部工作时间是A公司的工作时间的3倍少4天，求B 公司共修建多少天？ (3)现设置三个方案：方案一：由A 公司单独完成；方案二：由B 公司单独完成；方案三： 按（2）的方式完成；你认为该市选择哪一种方案最省钱，并说明理由． 4．某校七年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员打8折；方案二：打9折，有5人可以免票． (1)若一班有人，则方案一需付______元钱，方案二需付______元钱；（用含a的代数式表示） (2)若二班有41名学生，则他选择哪个方案更优惠？ (3)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？（用一元一次方程作答） 5．（25-26上·上海·期末）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 数字问题题型05 1．（25-26七年级·期末）如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字形中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字形后所得五个数之和为115，那么该“十”字形中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 2．已知四个连续偶数的和为220，则这四个偶数中最小的数是________． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数是_______． 4．阅读材料：设...，则，由得．即，所以．根据上述方法化成分数，则________． 5．定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）． 若，为整数，我们称为“倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；，则称1940为“倍数”；，因为不是整数，所以2548不是“倍数”． (1)直接判断3274和2961是否为“倍数”，若是，直接写出的值； (2)若一个三位数为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； (3)若一个四位数为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为（即），十位数字和个位数字组成的两位数记为（即）．若为整数，求这个四位数． (4)若一个四位数为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，为“倍数”，直接写出满足条件的的最大值． 几何图形问题题型06 1．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽各是多少？设这枚纪念币的长宽分别为，，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．若一个角的补角比这个角大，则这个角是______． 3．如图，是线段上的两点，已知分别为的中点，，且，求线段的长． 4．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为多少？ 5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 等积变形问题题型07 1．有一块棱长为4cm的正方体铜块，要将它熔化后铸成一块长4cm、宽2cm的长方体铜块．铸成后的长方体铜块的高为（   ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 2．一个底面直径为40cm、高为的圆柱形水缸装满了水，把水倒入底面直径为20cm、高为30cm的圆柱形水桶中，刚好倒满10桶，则水缸的高为_________cm． 3．（25-26七年级上·广东阳江·月考）有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是30立方分米，现在它里面装有一些饮料，正立时饮料高度为20厘米，倒立时空余部分高度为5厘米，则瓶内现有饮料______立方分米． 4．（24-25·上海·期末）一个圆柱形容器的底面半径为，高，其中盛有一定量的水，液面高度为．现有一个圆柱形铁块，其底面半径为，高为．如图（1），将其水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没；如图（2）将其竖直放置于容器底部，发现铁块没有被完全淹没．则上述两种放置方法的液面高度差为___________． 5．课外活动时，小兵用超轻黏土切割刀竖直切割一块用超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图所示．若这两个长方体的体积之比是，试求被切割的棱的两部分的长度． 分段计费问题题型08 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 3．根据最新版苏州市市民价格手册，苏州市对居民生活用电实行阶梯电价，居民阶梯电价按“年”为周期执行，即每年1月1日至12月31日为一周期，视为一年，执行标准如下： 档次 阶梯分档电量 电价（元/千瓦时） 第1档 不超过2760千瓦时的部分 a 第2档 超过2760千瓦时但不超过4800千瓦时的部分 0.6 第3档 超过4800千瓦时的部分 已知2023年老李家用电2400千瓦时，交电费1200元；老王家交电费1524元． (1)表中a的值为______； (2)求老王家2023年用电量； (3)若2023年老张家用电的平均电价为0.6元/千瓦时，求老张家2023年的用电量． 4．某市电力部门对居民用电按月收费，标准如下：①用电不超过100度的，每度收费0.5元；②用电超过100度的，超过部分每度收费0.8元． (1)小明家2月份用电86度，应缴费________元；3月份用电140度，应缴费________元； (2)小明家4月份电费为90元，则他家4月份用了多少度电？ (3)小明家5月份和6月份共用电260度，共缴费154元，并且6月份的用电量超过5月份的用电量，那么，他家5、6月份各用了多少度电？ 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限将分别增加，，同时，第二、三阶梯年用气量的下限随着调整，每一阶梯的价格保持不变 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为 ．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用_______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用_______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人，某年甲、乙两户年用气量之和为 ，甲户年用气量大于乙户年用气量．设甲用户年用气量为 ，请用 x 分别表示甲、乙两户需缴纳的燃气费． (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，按上表的收费标准进行收费．假定每名员工的年用气量为 ，要使该公司员工宿舍当年缴纳总天然气费用最低，则3人间的房间数为多少？ 行程问题题型09 1．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用小时，已知轮船在静水中的速度为千米时，求水流的速度，若设水流的速度为千米时，则列方程正确的是（       ） A． B． C． D． 2．奇思家到妙想家的距离是960米，两人同时从家出发相向而行，奇思每分走70米，妙想每分走50米，几分钟后两人相遇？（用方程解决） 3．（24-25七年级·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 4．已知某铁路桥桥长1800米．现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒． (1)这列火车的长度是多少？ (2)求这列火车通过铁路桥的速度． 5．甲、乙两车从A地驶往C地，途经B地．已知A地到B地的路程比B地到C地的路程多，两车在行驶过程中均保持各自的行驶速度不变，两车运行时间如表所示． A地 B地 C地 车辆 发车时刻 到达时刻 发车时刻 到达时刻 甲车 乙车 途经B地，不停车 (1)求出A、B两地之间的路程； (2)设甲车的行驶速度为，离A地的路程为；乙车的行驶速度为，离A地的路程为． ①求的值； ②从上午开始计时，时长记为t分钟（如：上午，则），在乙车的行驶过程中（），若，直接写出t的值． 比例问题题型10 1．已知三个数的比是2：3：7，这三个数的和是144，则这三个数最大数为_____． 2．某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 3．A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 4．某学校六年级学生分成甲、乙两组参加航模比赛，甲、乙两组的人数比是8：7．如果从乙组调8人到甲组，则乙组人数是甲组人数的80%．六年级参加航模比赛的一共有多少人？ 5．（24-25上·黑龙江哈尔滨·期中）风华中学六年（1）班为准备《一二·九红色歌曲展演》将全班同学分成合唱组和表演组，表演组中女生人数人，是全班女生的人数的；表演组中男生占小组人数的，表演组人数和全班人数的比是． (1)目前表演组有多少学生？ (2)六年（1）班有多少名男生？ (3)出于对活动时间、场地等角度考虑，学校调整活动方案，每两个班为一个组合，六年（2）班同学分别加入表演组和合唱组．六年（2）一共有22名男生，分别加入表演组和合唱组，名女生加入表演组，其余女生加入合唱组，调整后表演组男生与合唱组女生之比是：，合唱组男生与合唱组女生之比是，求六年（2）班人数是多少？ 古代问题题型11 1．我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（24-25上·上海·期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿________斗． 3．（25-26上·上海·质检）《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，这样一共走了六天才到达目的地，请问此人第三天走了多少里？    5．阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——丢番图．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但他的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公墓，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 配套问题题型12 1．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，设分配名工人生产螺母，由题意可知下面所列的方程正确的是（      ） A． B． C． D． 2．有一个加工茶杯的车间，一名工人每小时平均可以加工杯身12个或者加工杯盖15个，车间共有90人．安排加工杯身的人数为多少时，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？设安排加工杯身的人数为，则可列方程为___________________，解得_______． 3．某家具厂现有10立方米木材，准备用来制作方桌，其中用部分木材制作桌面，其余木材制作桌腿．已知制作一张方桌需要1张桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作50张桌面或300条桌腿，要使制作出的桌面、桌腿恰好配套． (1)求制作桌面的木材和制作桌腿的木材分别为多少立方米？ (2)若该家具厂的木材进货价为每立方米1500元，制成方桌后（边角废料忽略不计），每张方桌的售价为150元，则该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利多少元？ 4．某工厂加工齿轮，已知每1块金属原料可以加工成3个A齿轮或4个B齿轮（说明：每块金属原料无法同时既加工A齿轮又加B齿轮），已知1个A齿轮和2个B齿轮组成一个零件，为了加工更多的零件，要求A、B齿轮恰好配套．请列方程解决下列问题： （1）现有25块相同的金属原料，问最多能加工多少个这样的零件？ （2）若把36块相同的金属原料全部加工完，问加工的A、B齿轮恰好配套吗？说明理由 （3）若把n块相同的金属原料全部加工完，为了使这样加工出来的A、B齿轮恰好配套，请求出n所满足的条件． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）综合与实践主题：如何设计纸盒的制作方案？ 【活动素材】某种规格的大长方形纸板按照如图①、图②、图③所示的三种方式裁剪，分别可裁得3块完全相同的小长方形纸板、2块完全相同的小长方形纸板和2块正方形纸板、6块正方形纸板，4块相同的小长方形纸板和1块正方形纸板可做成图④所示的无盖长方体纸盒． 【问题解决】 (1)现有张大长方形纸板，若按图①和图②方式裁剪的小长方形和正方形材料无剩余，则一共做了多少个无盖长方体纸盒？ (2)如果需要制作个无盖纸盒，裁剪方式只能从上述方式中任选两种．请你设计一种大长方形纸板使用数量最少的方案(允许有余料)； (3)有人说“在制作无盖纸盒时，若按图②方式裁剪的大长方形纸板有偶数张，则按图③方式裁剪的大长方形纸板无论有几张，一定可以推断按图①方式裁剪的大长方形纸板张数一定是4的倍数才能恰好用完所有材料．”这种说法正确吗？请作出判断并说明理由． 和、差、倍、分问题题型13 1．（2026·河南项城·模拟）河南多地推行城市口袋公园建设，某公园计划种植月季和蔷薇两种花木，已知种植月季的数量比蔷薇的2倍少15株，设蔷薇种植x株，一共种植花木285株，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．我校开设了4间大教室和5间小教室同时进行公开课活动，其中一间大教室和2间小教室可容纳168人；2间大教室和一间小教室可容纳228人，设一间小教室可容纳x人，则下列方程正确的为（　　） A． B． C． D． 3．过完清明小长假后即将迎来“五一”劳动节，劳动使人快乐，艾霸舒同学决定让自己劳动起来，思来想去发现刷数学题是一种劳逸结合的劳动方式，于是针对自己的短板决定五一节前刷满足够的题．艾霸舒同学准备刷几何证明、二次函数、阅读理解三种题型：第一次刷题时几何题和二次函数平均每道题得分分别为3分和5分，且几何题和二次函数题得分占总得分的，几何证明题和阅读理解题得分占总得分的；第二次刷题，艾霸舒发现自己每道题得分情况都增长了，其中几何题和阅读理解每道题平均得分提高了x%，二次函数题每道题平均得分提高50%，第二次刷题时几何证明、二次函数、阅读理解的数量分别是第一次的2倍、1.2倍、1倍，且刷题总分比第一次刷题时提升了40%，则x＝_____． 4．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 5．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人，现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？ 银行储蓄题型01 1．银行三年定期储蓄的年利率是，小明的父亲取出三年到期的本利和共22550元，设小明父亲存入本金x元，则可列出方程为_____________________________． 2．某人在银行存有一笔钱，已知年利率为，一年到期后所得利息为元，则一年前他在银行存了________元． 3．（25-26七年级上·山东潍坊·月考）冯老师利用手机银行将储蓄卡中的16000元转存为三年定期存款，预计到期收益为1320元，则此时三年定期存款的年利率是_______． 增长（下降）率问题题型02 1．某企业今年1月份产值为万元，2月份的产值比1月份减少了15%，则2月份的产值是(　　) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 2．某公司三月份的产值为万元，比二月份减少了，那么二月份的产值（单位：万元）为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东深圳·期末）有一批商品，售价不变，如果成本上涨，那么利润率将降低；如果成本上涨，那么利润率变为（    ） A． B． C． D． 4．某家电商场销售A，B两种品牌的冰箱，5月份A品牌冰箱的销售量为80台，B品牌的销售量为120台，6月份A品牌冰箱的销售量减少了，但总销售量增长了，问：B品牌冰箱6月份的销售量比5月份增长了百分之几？ 5．某品牌汽车生产厂为了占领市场提高销售量，对经销商采取销售奖励活动，2022年10月后以新奖励办法执行．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出某品牌汽车的A型和B型共500台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共625台，其中A型和B型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和． (1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的A型和B型汽车分别为多少台？ (2)若A型汽车每台售价为12万元，B型汽车每台售价为13万元．新奖励办法是：每销售一台A型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台B型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而B型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月该经销商共获得的奖励金额156万元，求a的值． “盈不足”问题题型03 1．我国唐代有一位尚书杨损任人唯贤，出题选拔官吏．他说：“有人于黄昏时分在林中散步，无意中听到几个盗贼在分赃，偷的大概是布匹，只听得盗贼说，如果每人分6匹，就余5匹；如果每人分7匹，就差8匹，试问有几个盗贼在分多少匹布？”设有x个盗贼，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林长春·一模）今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量． 4．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）2026年的元旦期间，某班以小组为单位，开展了“我手中的新年”手工作品展示活动，小欣和小乐所在小组打算制作灯笼．如果每人做10个，那么比计划多了12个；如果每人做8个，那么比计划少4个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个灯笼？ 她俩经过独立思考后，分别列出如下方程． 小欣的方法：． 小乐的方法：． (1)在小欣所列的方程中，未知数x表示的意义是 ，在小乐所列的方程中，未知数y表示的意义是 ． (2)请选择一种方法，将原题中的问题解答完整． 5．我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 动点问题题型01 1．点A表示数轴上的一个点，以每秒2个单位长度的速度向右移动5秒，再以相同速度向左移动4秒，终点恰好是原点，则点A到原点的距离为__________． 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和6，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动________秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为8，求出t的值（写出解题过程）． 3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点（B在A点左边），且，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． (1)写出数轴上点B所表示的数______； (2)点P所表示的数______（用含t的代数式表示）； (3)C是的中点，D是的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由，若不变，请你求出线段的长． 4．如图，A点、B点是数轴上的两个点，其中点A表示的数是，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即）则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P表示的数为0，有，则称点P为点A、B的“6级幸运点”．   (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点P在数轴上表示的数为，则_____________； (2)若点P是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点P在点B的右侧，则点P表示的数为_____________； (3)若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，则_____________； (4)若点A在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒3个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，某一时刻数轴上恰有一点F为点A、B的“10级幸运点”，则点F表示的数为_____________（请用含t的代数式表示）． 5．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒．    (1)当时，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值． (3)若“折线数轴”上定点与两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于6？ 图表信息问题题型02 1．某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价/（元/个） 60 70 问：该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ 2．甲、乙两家水果店某一周的销售金额以每天1000元为准，超过的金额记作正数，不足的金额记作负数，记录情况如下表所示．其中乙水果店周三的销售金额被墨水涂污． 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 甲 0 乙 (1)求甲水果店该周的销售总金额； (2)若甲、乙两家水果店该周的销售总金额相等，求乙水果店周三的销售金额． 3．小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 4．甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别是140元/吨和150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨和80元/吨，本次运水泥总运费需要25900元. (1)设甲仓库运到A工地的水泥为x吨，请在下面表格中用x表示出其它未知量： 甲仓库 乙仓库 A工地 x B工地 (2)用含x的式子表示运送甲仓库100吨水泥的运费为__________元（写出化简后的结果）； (3)求甲仓库运到A工地的水泥的吨数. 5．（24-25七年级上·福建宁德·期末）材料一：（1）营养素参考值（）是该营养素每日需要量，是食品营养标签上用于比较食品营养成分含量的参考值．下表是我国国家标准中，能量和主要营养素的． 营养素参考值 营养成分 营养成分 能量 碳水化合物 蛋白质 钠 脂肪 钙 （2）食品的营养标签上营养成分表中营养素参考值（）的百分比计算公式：．其中：X表示该食品中营养素的含量．通常的标示近似到1%． 材料二：某超市货架上有两种不同品牌的牛奶，每瓶都是．如图所示是这两款牛奶的营养成分表（部分数据未标示）． 问题一： （1）请结合以上材料，求出a的值； 问题二： （2）营养师建议早餐的脂肪摄入量不超过每日推荐摄入量的．小明的早餐是一瓶B品牌牛奶和一个的三明治面包．若该三明治面包每中含有脂肪，则小明早餐的脂肪摄入量是否符合营养师的建议？ 问题三： （3）若品牌牛奶与品牌牛奶的蛋白质的和为，且3瓶A品牌牛奶的蛋白质含量与2瓶B品牌牛奶的蛋白质含量相同，则每瓶A、B品牌牛奶各含有蛋白质多少克？ 幻方问题题型03 1．（25-26七年级上·河北唐山·月考）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．如图是三阶幻方的一部分,其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等,则对于这个幻方,下列说法错误的是(    )    A．每条对角线上三个数字之和等于 B．三个空白方格中的数字之和等于 C．是这九个数字中最大的数 D．这九个数字之和等于 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一、“三阶积幻方”是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其中每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的幻方。图为“三阶积幻方”，m，n为有理数，则的值为（　　） 98 7 m n A．2304 B．0 C．2500 D．49 4．（24-25七年级上·广东惠州·期末）【实践与探索】幻方 【背景】幻方又称魔方、方阵或纵横图，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．宋代数学家杨辉称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”， 【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方．将1－9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等． 【探究】图1中，我们可以先计算出这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15． 【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题： (1)图2中幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为__________，__________； (2)在（1）的基础上，若，则__________，e=__________； (3)图3是一个未完成的幻方，求的值． 5．（24-25七年级上·四川巴中·期末）桌子上有9张卡片，分别标有1到9的整数数字，甲和乙两位同学轮流取卡片，每次取一张，如果手中的卡片有三张数字之和为15，并先于对手，则获胜．他们反复玩了几次，发现这个游戏可以用“九宫格”来模拟，即九宫格每行、每列以及对角线上的三数和都为15． (1)如果甲取得卡片数字分别为6，5，4；乙取得卡片分别为7，1，这时甲获胜，把这些数字填在九宫格里，如图1所示，请你把其它数字填在九宫格的空格里． (2)甲、乙两位同学进一步研究发现：每行、每列以及对角线上的三数和都为15时，虽然数字有多种填法，但九宫格中间的数字一定是5，请你根据图2运用方程解释这个道理． (3)如果甲先取卡片5，乙不能让甲获胜，乙必须先取哪些数字卡片？ 探究图形排列规律题型04 1．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定的规律摆成下列图案．其中第①个图案用了6个“•”，第②个图案用了11个“•”，第③个图案用了16个“•”，第④个图案用了21个“•”，……，按此规律排列下去，若第n个图案用的“•”的个数是51个，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 3．【观察思考】如图，春节期间，广场上用盆景（☆）和花卉（□）组成菱形图案． 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中盆景的盆数为_________； （2）第1个图案中花卉的盆数可表示为，第2个图案中花卉的盆数可表示为，第3个图案中花卉的盆数可表示为，第4个图案中花卉的盆数可表示为，…，第n个图案中花卉的盆数可表示为__________； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉的盆数． 4．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)第n个图形灰色方块共有__________个，白色方块共有__________个； (2)第100个图形白色方块共有__________个； (3)第个图形白色方块的总数与第个图形灰色方块总数相比，哪种颜色的总数多，多多少个？（用含n的式子表示） (4)是否存在某个图形，灰色和白色方块的总和为2025个？如果存在，求出是第几个图形，如果不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）为了美化校园环境，方便师生前往学校图书馆，学校规划用边长均为米的黑色、白色两种正方形瓷砖，按如图所示的方式铺设一条宽为米的通道，连接学校教学楼与图书馆． (1)请直接写出第5个图形中，白色正方形瓷砖的块数； (2)小明说：“按这种铺路的方式铺设道路与道路，当道路与道路的长度不相同时，存在铺设道路所用的黑色正方形瓷砖与铺设道路所用白色的正方形瓷砖的块数相同的情况．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由； (3)若该通道的长为米，黑色正方形瓷砖每块价格是10元，白色正方形瓷砖每块价格是13元．试求出学校购买瓷砖所需的总费用． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $