专题02 等式和方程章末易错压轴题型（专项训练）数学北京版2024七年级上册

专题02 等式和方程章末易错压轴题型（15易错+4压轴） 目录 易错题型一、用字母表示数 易错题型二、代数式的相关概念 易错题型三、用代数式表示数、图形的规律 易错题型四、列代数式 易错题型五、已知字母或式子的值，求代数式的值 易错题型六、单项式相关概念 易错题型七、单项式规律题 易错题型八、多项式相关概念 易错题型九、多项式系数、指数中字母求值 易错题型十、合并同类项 易错题型十一、整式的相关概念 易错题型十二、方程的概念 易错题型十三、方程的解 易错题型十四、已知方程的解求参数 易错题型十五、等式基本性质 压轴题型一、数字列规律探究 压轴题型二、图形类规律探究 压轴题型三、多项式中求参数问题 压轴题型四、等式和方程新定义问题 易错题型一、用字母表示数 1．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 2．如果，，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查基本数量关系的应用．用表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：16． 3．用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 【答案】(1)cm (2)元 (3)人 (4)千米 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键． （）根据长方形周长公式 “周长(长宽)”，直接代入长和宽，得到代数式； （）根据小强剩下的钱数开学爸爸给小强钱数小强买文具用的钱数，列出式子即可； （）先算出抽调的人数 (原有人的，即)，再用“原有人数抽调人数”，得到； （）根据“路程速度时间”，分别算出甲、乙小时走的路程，反向行走时总距离为两人路程之和是千米； 【详解】（1）解：∵长方形长为、宽为， ∴长方形的周长是； （2）∵剩余钱数总钱数花费钱数， ∴由题意得：小强还剩元； （3）∵原有工作人员人，被抽调下基层工作， ∴留在该机关工作的还有人； （4）∵甲每小时走千米，乙每小时走千米， ∴小时后，甲走的路程千米，乙走的路程千米， ∵两人同时同地出发反向行走， ∴甲、乙之间的距离是千米， 即千米. 易错题型二、代数式的相关概念 4．在下列各式中：①；②；③；④；⑤．其中代数式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查代数式的定义，代数式是由数或字母通过运算符号连接而成的式子，单独的数或字母也是代数式，但等式和不等式不是代数式，据此判断即可． 【详解】解：①是字母，属于代数式； ②是等式，不属于代数式； ③ 5是数，属于代数式； ④是不等式，不属于代数式； ⑤ 是数，属于代数式． 因此其中的代数式有①、③、⑤，共3个， 故选：C． 5．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有 个 【答案】5 【分析】本题考查代数式，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可． 【详解】解：①是代数式； ②是代数式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤不是代数式； ⑥不是代数式； ⑦是代数式． 综上，代数式有①②③④⑦，共5个； 故答案为5． 6．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 【答案】①②③ 【分析】对所给的代数式，任意交换两个字母，然后进行分析判断即可得到答案． 【详解】解：①代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ②代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ③中，任意交换，得到的代数式都是，故是完全对称式； ④，交换得到，与原代数式不一样，所以不是完全对称式． 所以是完全对称式的是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查代数式的基本概念，根据所给的完全对称式的定义进行判断分析是解题的关键． 易错题型三、用代数式表示数、图形的规律 7．用一样长的火柴棒按如图所示的方式搭建图形．已知第1个图形需要6根火柴棒；第2个图形需要根火柴棒；第3个图形需要根火柴棒；……按照这个规律，第n个图形需要火柴棒的根数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根据图形的排列规律列代数式，解题的关键是找到“后一个图形的火柴棒比前一个图形的火柴棒多5根”．根据后一个图形的火柴棒比前一个图形的火柴棒多5根，即可得到答案． 【详解】解：搭第1个图形需要6根火柴棒，， 搭第2个图形需要根火柴棒，， 搭第3个图形需要根火柴棒，， …… ∴搭第个图形需要的火柴棒的根数是：． 故选∶D． 8．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律n的值为 ． 【答案】234 【分析】本题主要考查了数字变化规律， 根据前三个正方形中数字的特点可知左上，左下，右上三个数都是相邻的奇数，且右下的数等于右上和左下两个数的乘积，加上左上的数与2的和的3倍，根据此变化特点得出三个数，再计算解答即可. 【详解】解：根据题意，得 第一个正方形中：； 第二个正方形中：； 第三个正方形中：； 所以，右上的数是13，左下的数是15，则. 故答案为：234 9．如图，搭一个正方形需要4根火柴棒． (1)按图的方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要______根火柴棒． (2)若搭个这样的正方形需要______根这样的火柴棒． (3)搭110个这样的正方形需要多少根这样的火柴棒？ 【答案】(1)7  10 (2) (3)（根） 【分析】本题主要考查了代数式求值，用代数式表示，图形的规律问题， 对于（1），根据图形中火柴棒的数字特点解答； 对于（2），根据（1）中的规律得出代数式； 对于（3），将数值代入计算即可. 【详解】（1）解：第1个正方形需要根火柴棒； 第2个正方形需要根火柴棒； 第3个正方形需要根火柴棒； 故答案为：7,10； （2）解：由（1）得第x个正方形需要根火柴棒； 故答案为：； （3）解：， 所以搭110个这样的正方形需要331根火柴棒. 易错题型四、列代数式 10．某玩具工厂出售一种玩具，其成本价每件28元，如果直接由厂家市场部销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为32元． (1)分别写出两种销售方式下，每个月销售a件时所得利润； (2)若每个月销售量达到1000件时，采用哪种销售方式获得的利润较多？ 【答案】(1)直接销售利润为 元，委托销售利润为 元 (2)采用直接由厂家市场部销售获得的利润较多 【分析】（1）根据题意，用a表示出两种销售方式分别得出获利情况； （2）分别将销售量代入表达式计算并比较利润，即可求解． 【详解】（1）解：直接销售每件利润为 元，每月支出其他费用元，销售件时利润为 元． 委托销售每件利润为 元，无其他费用，销售件时利润为 元． （2）解：当销售量件时， 直接销售利润为 元， 委托销售利润为 元． ∵ ， ∴ 采用直接由厂家市场部销售获得的利润较多． 答：采用直接由厂家市场部销售获得的利润较多． 11．某校组织七年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．每张门票原价是30元，暑假期间有优惠促销，预计有n人报名． 方案一：30人以上（含30人）可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买9张送1张，不满9张不赠送． 方案三：每满500元返还50元． (1)请你用含n的代数式表示方案一的费用． (2)最后一共有61名学生报名参加．请你算一算，哪种购票方案最划算？ 【答案】(1)当时，费用为元，当时，费用为元， (2)方案一购票方案最划算． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，列代数式，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）分两种情况列代数式即可； （2）根据题意，运用有理数的混合运算法则计算每种方案的钱数，比较即可． 【详解】（1）解：当时，费用为元， 当时，费用为元， （2）方案一：人以上可购团体票，每张按九折出售， （元）； 方案二每买9张送1张，即花9张票的钱可得10张票， 61人需61张票，可认为需要6组10张票和1张单票， 因此需买6组“9送1”的票并单买1张， 共需付费的票数为 （张），费用为 （元）； 方案三：每满元返还元， （元），， ∴（元）； ∵， ∴第一种购票方案最划算． 12．如图，某地对长方形广场进行扩充改造，扩充后广场仍是长方形．（单位：m） (1)求扩充区域的面积（用含x的代数式表示）； (2)若，则扩充区域的面积是多少？ 【答案】(1) (2)扩充区域的面积是 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）将扩充后的长方形广场的面积减去原长方形广场的面积即可； （2）代入到（1）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，扩充区域的面积为， 答：扩充区域的面积为； （2）解：当时，， 答：扩充区域的面积是． 易错题型五、已知字母或式子的值，求代数式的值 13．已知，则的值是（ ） A．8 B．4 C．16 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，利用非负数的性质，求出和的值，然后计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且， ∴ 且 ， ∴，， ∴ ， 故选：C 14．若互为相反数，互为倒数，的平方为4，求的值．（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数，相反数和平方的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据相反数、倒数和平方的定义，得到，，，然后计算即可． 【详解】∵ a，b互为相反数， ∴， ∵ c，d互为倒数， ∴， ∵的平方为4， ∴或， 当时，； 当时，． 故选：C． 15．如果我们把关于的多项式用来表示，即．则当等于某数时，多项式的值用来表示．例如：时，多项式的值记为．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由列出的代数式可知，即，然后列出的代数式，将整体代入计算即可． 本题考查了代数式的求值，利用整体法代入求值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 易错题型六、单项式相关概念 16．下列代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧x，其中是单项式的是 ．(填序号) 【答案】①②③⑦⑧ 【分析】本题考查单项式的定义，即单项式是由数或字母的积组成的代数式或单独的一个数或字母，熟练掌握其定义是解题的关键．根据单项式的定义，逐一判断各代数式是否符合． 【详解】①是常数，属于单项式；②是数与字母的积，属于单项式；③是数与字母的积，属于单项式；④含有加法运算，不是单项式；⑤分母中含有字母，不是单项式；⑥是多项式，不是单项式；⑦分母π是常数，属于单项式；⑧是单独字母，属于单项式； 故答案为：①②③⑦⑧． 17．已知单项式与单项式的和仍然是单项式，那么 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查单项式及同类项，熟练掌握单项式及同类项是解题的关键；因此此题可根据同类项及单项式可进行求解． 【详解】解：由单项式与单项式的和仍然是单项式，可知：， ∴； 故答案为5． 18．判断下列各代数式是不是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数与次数： (1)； (2)． 【答案】(1)不是单项式，理由见解析 (2)是单项式，它的系数是，次数是3 【分析】本题考查的是单项式，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． （1）根据单项式的定义进行解答即可； （2）根据单项式的定义，单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：不是单项式，因为代数式中出现了加法运算． （2）解：是单项式，它的系数是，次数是3． 易错题型七、单项式规律题 19．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，．按照上述规律，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了探索数字的变化规律，根据单项式的系数与字母的指数的变化规律写出第个单项式即可． 【详解】解：第个单项式：的系数为，字母的指数为， 第个单项式：的系数为，字母的指数为， 第个单项式：的系数为，字母的指数为， 第个单项式：的系数为，字母的指数为， 第个单项式：的系数为，字母的指数为， 第个单项式：的系数为，字母的指数为， ， 第个单项式的系数为，字母的指数为， 第个单项式的系数为，字母的指数为， 第个单项式为． 故选：C． 20．观察下列关于的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第100个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，找到正确的规律是解决本题的关键． 根据关于x的单项式发现规律即可求解． 【详解】解：∵第一个单项式是：， 第二个单项式是：， 第三个单项式是：， 第四个单项式是：， ∴第n个单项式是：， ∴第100个单项式是． 故答案为：． 21．下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，分别找出单项式的系数和次数的变化规律是解决此题的关键． 观察单项式的正负规律、分子与分母的变化规律以及x的指数变化规律，写出代数式即可． 【详解】解：第1个单项式为：， 第二个单项式为：， 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， … 第n个单项式为：． 故答案为：． 易错题型八、多项式相关概念 22．在下列各式： ， 中，是单项式的有 ，是多项式的有 【答案】 ， 【分析】本题考查多项式和单项式的定义，解题的关键是熟悉多项式和单项式的定义．单项式的定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式．多项式的定义：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，再结合题目即可得出答案． 【详解】解：根据单项式与多项式的定义可知： 单项式有： ，， 多项式有：， 的分母含字母，既不是单项式也不是多项式， 故答案为：，；． 23．下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是3 B．不是单项式 C．的常数项是2 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式和多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据单项式和多项式的定义逐项判断即可． 【详解】A、的系数是，故本选项不符合题意； B、是单项式，故本选项不符合题意； C、的常数项是，故本选项不符合题意； D、是二次三项式，故本选项符合题意． 故选：D． 24．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①是多项式；②0是单项式；③是单项式；④是分式；⑤是多项式；⑥是分式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 易错题型九、多项式系数、指数中字母求值 25．已知多项式是关于的二次三项式，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数为2可得，根据多项式的项数为3可得，据此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴， ∴， 故选：C． 26．已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，代数式求值． 根据多项式的概念求出，进而代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x、y的四次四项式， ∴， ∴． 故答案为：． 27．已知关于的整式为． (1)若此整式是二次多项式，求的值． (2)若此整式是二项式，求的值． 【答案】(1)； (2)的值是0或-3． 【分析】本题考查了多项式的项数和次数，掌握多项式的项数和次数是解题的关键． （1）由整式为二次多项式，可得到，求出的值并验证答案即可； （2）由整式为二项式，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是二次多项式， ∴。 解得：， 若，则原式为：，不是二次多项式，不合题意，舍去； 若，则原式为：，是二次多项式，符合题意； ∴． （2）解：整式的三项分别为：、、， 若此整式是二项式，那么这三项中有一项的系数等于， 分以下三种情况讨论： ①当时，解得：， 若，则原式为：，是单项式，不合题意，舍去； 若，则原式为：，是二项式，符合题意； ②当时，解得：， 则原式为：，是单项式，不合题意，舍去； ③当，解得：， 则原式为：，是二项式，符合题意； 综上所述：的值是． 易错题型十、合并同类项 28．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）去括号，再合并同类项即可； （2）去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用合并同类项的法则进行运算即可； （2）利用合并同类项的法则进行运算即可． 【详解】（1）原式， ． （2）原式， ， ． 30．合并同类项 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则，是解题的关键： （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）直接合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 易错题型十一、整式的相关概念 31．下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的识别，熟练掌握整式的定义是解题的关键．根据整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：为整式，故A不符合题意； B：为整式，故B不符合题意； C：为分式，故C符合题意； D：为整式，故D不符合题意； 故选：C． 32．下列各式：，，，，，，，其中整式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了整式，根据单项式和多项式统称为整式，由此判断即可，熟知整式包括单项式和多项式是解题的关键． 【详解】解：整式有，，，，，，共个， 故答案为：． 33．下列说法中，正确的是（   ） A．0不是整式 B．与不是同类项 C．单项式的系数是-1，次数是4 D．是三次三项式 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式、多项式、整式、同类项的定义，熟练掌握以上相关概念是关键． 分别根据单项式、多项式、整式及同类项的定义逐项判定即可． 【详解】解：A．是整式，故说法错误，不符合题意； B．与是同类项，故说法错误，不符合题意； C．单项式的系数是，次数是，故说法错误，不符合题意； D．是三次三项式，故说法正确，符合题意． 故选：D． 易错题型十二、方程的概念 34．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 35．下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 36．已知下列各式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 其中方程有 ，一元一次方程有 【答案】 ①②③⑤⑦ ②⑦ 【分析】此题主要考查了方程的定义，一元一次方程的定义，正确理解方程的定义和一元一次方程的定义是解决问题的关键； 根据方程的定义对题目中给出的式子逐一进行判断可得出答案；根据一元一次方程的定义对题目中给出的式子逐一进行判断可得出答案． 【详解】解：根据方程的定义得：①②③⑤⑦是方程， 根据一元一次方程的定义得：②⑦是一元一次方程， 故答案为：①②③⑤⑦；②⑦． 易错题型十三、方程的解 37．代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值及方程的解，先整理得，根据表格数据，得出当时，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 观察表格数据，得出当时，则； 即关于的方程的解是 故选：D． 38．下列方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，将代入各选项方程，计算左右两侧是否相等，相等的方程即为所求方程. 【详解】解：选项A：当时， 方程左侧 方程右侧 不是该方程的解，不符合题意； 选项B：当时， 方程左侧 方程右侧 是该方程的解，符合题意； 选项C：当时， 方程左侧 方程右侧 不是该方程的解，不符合题意； 选项D：当时， 方程左侧 方程右侧 不是该方程的解，不符合题意； 故选：B ． 39．如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程无解问题，掌握方程无解的条件是解题的关键． 根据方程无解，可得系数为零，常数不为零，据此求解即可． 【详解】解：当时，方程的左边，方程的右边， ∴关于x的方程无解． 故答案为：． 易错题型十四、已知方程的解求参数 40．若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得 故选：A 41．若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，将代入一元一次方程，再求出代数式的值即可． 【详解】解：因为一元一次方程的解是， 所以， 整理，得， 所以． 故选：A． 42．若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查一元一次方程的解，求代数式的值，将代入，得出，再将变形为，即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 即， ， 故答案为：18． 易错题型十五、等式基本性质 43．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加减同一数或乘除同一非零数，等式仍成立．需注意乘除时数不能为零． 【详解】解：选项A：若， 两边加6得， 符合等式性质，正确． 选项B：若， 当时， 无论a、b为何值等式均成立， 此时无法推出． 因未限定，变形错误． 选项C：若， 隐含，两边乘c， 得，正确． 选项D：若， 两边除以（非零数），得，正确． 综上，B选项的变形未排除的情况，故错误． 故选：B． 44．根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如，那么； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么； （4）如果，那么． 【答案】（1），根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 ； （2）5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3），根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等； 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】解：（1）如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 45．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）等式两边同减去5即可； （2）等式两边同除以3即可； （3）等式两边同乘以即可； （4）等式两边同加上即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 压轴题型一、数字列规律探究 46．观察下列等式：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字规律．根据题意n个奇数相加，结果就等于，据此即可解答． 【详解】解：由题可知，n个奇数相加，结果就等于， 1到19，共10个奇数，故， 故选：B． 47．我们知道，，，，，……那么： ．利用上面规律解答下面问题：算一算： ． 【答案】 【分析】此题考查规律探究、有理数的混合运算，解题关键在于利用拆分法得出的规律变形，再计算即可．根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，，，…， ∴， ∴ ， 故答案为：，． 48．定义：a是不为1的有理数，把叫做a的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数是，设，是的差倒数，是的差倒数，……那么 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了新定义以及数字变化规律，根据已知得出数据之间的变化规律是解题关键．理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可． 【详解】解：根据差倒数定义可得：，． ∴每三个循环一次，又余 1 ， 故和的值相等． 故答案为：3． 压轴题型二、图形类规律探究 49．如图，小华用一样长的小棒摆出了三幅图．如果按这样的规律继续摆下去，第幅图需要 根小棒．第幅图需要 根小棒． 【答案】 / 【分析】本题考查了代数式中的规律探索，解题的关键是数形结合，找出图形的变化规律．由题意及图形可推出第幅图是根，即可求解． 【详解】解：第幅图是根， 第幅图是根， 第幅图是根， 第幅图是根， 第幅图是根， 故答案为：，． 50．如图，用大小相同的小正方形拼图，第个图是一个小正方形，第个图由个小正方形拼成；第个图由个小正方形拼成，依此规律，则第个图由 个小正方形拼成． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，观察图形变化，发现小正方形的个数为连续奇数的平方，列出代数式即可，分析图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵第1个图形中小正方形的个数为：， 第2个图形中小正方形的个数为：， 第3个图形中小正方形的个数为：， ， ∴第个图形中小正方形的个数为：， 故答案为：． 51．用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 6 11 16 按上述信息填空： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）； (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)21，26 (2) (3)10121 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加5是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）结合（2）中发现的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 搭第1个图形，需要的火柴棒的根数为：； 搭第2个图形，需要的火柴棒的根数为：； 搭第3个图形，需要的火柴棒的根数为：； …， 搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根． 当时，； 当时，； 故答案为：21，26； （2）解：由（1）知， 搭第个图形，需要的火柴棒的根数为（）根， 故答案为：； （3）解：当时，（根）， 第2024个图形需要的火柴棒根数为10121根． 压轴题型三、多项式中求参数问题 52．若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查多项式次数及系数，已知字母的值求代数式的值等．由题意得分两种情况讨论，当时和时，使得多项式是三次多项式求出的值，代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵多项式 是关于x的三次多项式， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 故答案为：3或5． 53．若多项式是一个关于的五次三项式，则的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查多项式的次数与项数，掌握多项式的次数与项数的定义是解题的关键． 根据五次三项式的定义，分别分析多项式各项的次数，确定关于的方程和不等式，进而求解的值． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①，解得，当时，，不符合题意， 将代入多项式中： 第一项：，次数为5； 第二项：，次数为2； 第三项：，次数为3． 故符合题意； ②，解得． 此时，符合题意． 综上所述，的值为2或3． 故答案为：2或3 54．一个关于x的单项式，系数为正整数．甲将x换成2x后计算了所得单项式系数与次数之差（系数减次数）；乙将x换成x2后也计算了所得单项式系数与次数之差．现知甲得到的结果是2013，乙得到的结果是偶数，则乙得到的结果是 ． 【答案】246 【分析】本题考查了单项式的有关计算． 设原来的单项式为（a为正整数），则甲：，则①，乙：，则偶数②，结合a、n的奇偶性分类讨论即可． 【详解】解：设原来的单项式为（a为正整数）， 甲：，则 ①， 乙：，则偶数 ②， 由②知，a是正偶数，又由①知，n是奇数， 当时，，则，，不合题意； 当时，，则，； 当时，，则，不合题意； 当时，，则，不合题意； 当时，，则，不合题意； 当时，，则，不合题意； 综上所述，． 故答案为：246． 压轴题型四、等式和方程新定义问题 55．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2) (3)4，6，18 【分析】（1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）由得，，利用整体思想，将代入，求出的值即可； （3）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∵的解也是关于的方程的解， ∴，解得：； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∵关于的方程的解也是“立信方程”的解， ∴， ∴，解得：； （3），解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， ∴符合要求的正整数的值为． 【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． 56．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由题意，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：，． ．． 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ； （2）解：“美好方程”的两个解的和为1， 另一个方程的解为：． 两个解的差为8， 或． 或； （3）解：．． 关于的一元一次方程和是“美好方程”， 关于的一元一次方程的解为． 关于的一元一次方程可化为：． ． ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 57．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值； （1）先分别求出各组数据中的和的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可； （2）先根据新定义，列出关于的等式，求出的值，再利用整体代入求出答案即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于，的等式，然后再求出当，时，和，进行判断即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ， 是“和谐有理数对”； 当，时， ， 不是“和谐有理数对”； 当，时， ， 是“和谐有理数对”； 故答案为：． （2）是“和谐有理数对”， ， ， ， ， ； （3）是“和谐有理数对”，理由如下： ，是和谐有理数对， ， 当，时， ，， 是“和谐有理数对”， 故答案为：是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式和方程章末易错压轴题型（15易错+4压轴） 目录 易错题型一、用字母表示数 易错题型二、代数式的相关概念 易错题型三、用代数式表示数、图形的规律 易错题型四、列代数式 易错题型五、已知字母或式子的值，求代数式的值 易错题型六、单项式相关概念 易错题型七、单项式规律题 易错题型八、多项式相关概念 易错题型九、多项式系数、指数中字母求值 易错题型十、合并同类项 易错题型十一、整式的相关概念 易错题型十二、方程的概念 易错题型十三、方程的解 易错题型十四、已知方程的解求参数 易错题型十五、等式基本性质 压轴题型一、数字列规律探究 压轴题型二、图形类规律探究 压轴题型三、多项式中求参数问题 压轴题型四、等式和方程新定义问题 易错题型一、用字母表示数 1．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 2．如果，，，则 ． 3．用代数式表示： (1)长为cm、宽为cm的长方形的周长是多少？ (2)开学时爸爸给小强元，小强买文具用去了元，还剩多少元？ (3)某机关原有工作人员人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有多少人？ (4)甲每小时走千米，乙每小时走千米，两人同时同地出发反向行走，小时后，他们之间的距离是多少？ 易错题型二、代数式的相关概念 4．在下列各式中：①；②；③；④；⑤．其中代数式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有 个 6．若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 易错题型三、用代数式表示数、图形的规律 7．用一样长的火柴棒按如图所示的方式搭建图形．已知第1个图形需要6根火柴棒；第2个图形需要根火柴棒；第3个图形需要根火柴棒；……按照这个规律，第n个图形需要火柴棒的根数是（ ） A． B． C． D． 8．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律n的值为 ． 9．如图，搭一个正方形需要4根火柴棒． (1)按图的方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要______根火柴棒． (2)若搭个这样的正方形需要______根这样的火柴棒． (3)搭110个这样的正方形需要多少根这样的火柴棒？ 易错题型四、列代数式 10．某玩具工厂出售一种玩具，其成本价每件28元，如果直接由厂家市场部销售，每件产品售价为35元，同时每月还要支出其他费用2100元；如果委托商场销售，那么出厂价为32元． (1)分别写出两种销售方式下，每个月销售a件时所得利润； (2)若每个月销售量达到1000件时，采用哪种销售方式获得的利润较多？ 11．某校组织七年级学生在暑假去游乐场游玩，采取线上问卷的方式征求家长和学生的意见自愿报名．每张门票原价是30元，暑假期间有优惠促销，预计有n人报名． 方案一：30人以上（含30人）可购团体票，每张按九折出售． 方案二：每买9张送1张，不满9张不赠送． 方案三：每满500元返还50元． (1)请你用含n的代数式表示方案一的费用． (2)最后一共有61名学生报名参加．请你算一算，哪种购票方案最划算？ 12．如图，某地对长方形广场进行扩充改造，扩充后广场仍是长方形．（单位：m） (1)求扩充区域的面积（用含x的代数式表示）； (2)若，则扩充区域的面积是多少？ 易错题型五、已知字母或式子的值，求代数式的值 13．已知，则的值是（ ） A．8 B．4 C．16 D． 14．若互为相反数，互为倒数，的平方为4，求的值．（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 15．如果我们把关于的多项式用来表示，即．则当等于某数时，多项式的值用来表示．例如：时，多项式的值记为．若，则的值为 ． 易错题型六、单项式相关概念 16．下列代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧x，其中是单项式的是 ．(填序号) 17．已知单项式与单项式的和仍然是单项式，那么 ． 18．判断下列各代数式是不是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数与次数： (1)； (2)． 易错题型七、单项式规律题 19．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，．按照上述规律，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 20．观察下列关于的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第100个单项式是 ． 21．下面是小丽按一定规律写出的一列单项式中的前四个单项式：，，，，按此规律写下去，第 个单项式是 ． 易错题型八、多项式相关概念 22．在下列各式： ， 中，是单项式的有 ，是多项式的有 23．下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是3 B．不是单项式 C．的常数项是2 D．是二次三项式 24．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错题型九、多项式系数、指数中字母求值 25．已知多项式是关于的二次三项式，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 26．已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ． 27．已知关于的整式为． (1)若此整式是二次多项式，求的值． (2)若此整式是二项式，求的值． 易错题型十、合并同类项 28．化简： (1) (2) 29．计算： (1)． (2)． 30．合并同类项 (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型十一、整式的相关概念 31．下列各式中，不属于整式的是（    ） A． B． C． D． 32．下列各式：，，，，，，，其中整式有 个． 33．下列说法中，正确的是（   ） A．0不是整式 B．与不是同类项 C．单项式的系数是-1，次数是4 D．是三次三项式 易错题型十二、方程的概念 34．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 35．下列各式中，是等式的有 ，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 36．已知下列各式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 其中方程有 ，一元一次方程有 易错题型十三、方程的解 37．代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 38．下列方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 39．如果关于的方程无解，那么实数、满足的条件是 ． 易错题型十四、已知方程的解求参数 40．若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 41．若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．2 42．若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 易错题型十五、等式基本性质 43．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 44．根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如，那么； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么； （4）如果，那么． 45．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c是常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 压轴题型一、数字列规律探究 46．观察下列等式：，则（    ） A． B． C． D． 47．我们知道，，，，，……那么： ．利用上面规律解答下面问题：算一算： ． 48．定义：a是不为1的有理数，把叫做a的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数是，设，是的差倒数，是的差倒数，……那么 ． 压轴题型二、图形类规律探究 49．如图，小华用一样长的小棒摆出了三幅图．如果按这样的规律继续摆下去，第幅图需要 根小棒．第幅图需要 根小棒． 50．如图，用大小相同的小正方形拼图，第个图是一个小正方形，第个图由个小正方形拼成；第个图由个小正方形拼成，依此规律，则第个图由 个小正方形拼成． 51．用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 6 11 16 按上述信息填空： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）； (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 压轴题型三、多项式中求参数问题 52．若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为 ． 53．若多项式是一个关于的五次三项式，则的值为 ． 54．一个关于x的单项式，系数为正整数．甲将x换成2x后计算了所得单项式系数与次数之差（系数减次数）；乙将x换成x2后也计算了所得单项式系数与次数之差．现知甲得到的结果是2013，乙得到的结果是偶数，则乙得到的结果是 ． 压轴题型四、等式和方程新定义问题 55．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值． (3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值． 56．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 57．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $