专题八 相似三角形的应用（六大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形的应用 【知识解析】 知识点01 相似三角形的应用涉及的知识 1.相似三角形的判定：包括两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的两个三角形相似。这些判定方法是应用的基础，用于判断实际问题中的三角形是否相似。 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且周长比、对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方。这些性质可用于计算长度、高度、面积等实际问题。 3.实际应用场景：在测量高度（如测量树高、建筑物高度）、计算距离（如河宽测量） 、工程设计和图形缩放等场景中，通过构建相似三角形模型，利用其性质解决实际问题。 【专题练习】 【题型1 利用三角形相似求建筑物高问题】 【例1】如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 【答案】A 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，， ， 由镜面反射，可知， ， ， ，，， ， . 故路灯的高度为. 【变式训练】 1．明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间．人物面部表情丰富，被游戏《黑神话・悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度，则腰部以下约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．根据造像的腰部以下与全身的高度比值接近，造像全身高度，即可求出腰部以下的高度． 【详解】解：根据题意，得造像的腰部以下的高度为． 故选：A． 2．某学校九年级（1）班进行课外实践活动，晓玲和张华利用所学过的知识测量楼房的高．如图，是楼房附近的一棵小树，张华测得地面上的点、小树顶端和楼顶在同一条直线上，米，米．在阳光下，某一时刻，晓玲站在点处时，恰好发现她自己的影子顶端与楼房的影子顶端重合，米，晓玲的身高米，米．已知点，，，，在同一水平直线上，，，，则楼房的高度为______米． 【答案】 【分析】分别证明，，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ，又， ， ． 米，米， ． ，， ，又， ， ． 米，米，米，米， ． 由①②解得米，米． 楼房的高度为米． 3．拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【答案】该古建筑的高度为 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为． 【题型2 利用三角形相似求影长问题】 【例2】如图，已知一棵树垂直地面，小明在测得该树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，证明，再由相似三角形的性质计算即可得出结果，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 故选：B． 【变式训练】 1．《孙子算经》是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆(如图所示)，它的影长五寸(提示：丈尺，尺寸)，则竹竿的长为(    ) A．四丈 B．五丈 C．四丈五尺 D．五丈四尺 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，标杆影长五寸尺， ∴， 解得，45尺四丈五尺．即竹竿的长为四丈五尺， 故选C． 2．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．（结果精确到0.1米，取1.73）． 【答案】3.5 【分析】根据题意， 画出示意图，易得， 进而可得， 代入数据求解即可得答案 【详解】解：根据题意作出示意图，则， ， ， ， ， ，即， ． 3．西安世博园是一个融合了古今中外园林艺术的美丽地方，让人流连忘返，它占地面积很大，拥有众多主题园区，每个园区都有独特的景观和特色．在阳光明媚的一天，小滨和小美去世园会游玩，想利用所学知识测量一棵银杏树的高度(银杏树四周被围起来了，底部不易到达)、小滨提议用平面镜和阳光下的影子来测量银杏树的高，方法如下：首先，小滨在某一时刻测得站立在E处的小美的影长，在同一时刻测量银杏树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小滨在小美和墙面之间的直线上平放一平面镜，这个平面镜在直线上的点M处，镜子不动，小滨来回走动，走到点N时，恰好在镜面中看到银杏树顶端A的像，这时测得小滨的眼睛距地面的距离 ，，，如图，已知点G、B、N均在直线上，，，，，小美的身高，其中，测量时所使用的平面镜的大小和厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出银杏树的高．    【答案】樱花树的高约为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，通过作辅助线，构造相似三角形求出与的等式关系是解题关键． 如图，过点D作于点P，先根据相似三角形的判定定理得出，从而可得，再根据相似三角形的判定定理得出，最后根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】如图，过点D作于点P    由题意可得， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴ ∴，即 ∴ ∴樱花树的高约为． 【题型3 利用三角形相似求河宽问题】 【例3】如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（     ） A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米 【答案】B 【分析】设河宽米，则点P到北岸的距离为米，证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 设河宽米，则点P到北岸的距离为米， 由题意得，米，米， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为米． 【变式训练】 1．为了估计巩义伊洛河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴两岸间的距离是， 故选：C． 2．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，P、Q、S共线且直线与河岸垂直，然后在过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．已测得，，， 则河宽 __________． 【答案】90 【详解】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可． 【解答】解：根据题意得出：， 则， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴河的宽度为90米． 故答案为：90． 3．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1) 证明： ，， ． (2)河宽为60米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用． （1）由，可得结论． （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 由题意知，，，， 即， ， 答：河宽为60米． 【题型4 利用三角形相似求树高问题】 【例4】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．，测得，，则树高（    ）． A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质列出比例式即可求解． 【详解】解：∵和均为直角， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练】 1．如图，树在路灯O的照射下形成树影． 已知灯杆高为，树影长为，树与灯杆的水平距离为， 则树的高度为(    )  m．    A．2 B．2.5 C．3 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，先证明，得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ ∴ ∵ 则 解得 故选：A 2．周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键设树所在线段为，过点作于点，根据同一时刻物高与影长成正比例可得，求出，再根据即可求解． 【详解】解：设树所在线段为，过点作于点，如图： 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】这棵树的高度为米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出 ，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，如图， ∵是水平线，都是铅垂线， 米，米，米， (米)， 又根据题意，得 ， ， ，即 ， 解得：米， (米)， 答：这棵树的高度为米． 【题型5 利用三角形相似求杠杆问题】 【例5】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．一根均匀的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O为支点，竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（    ） A．5N B．10N C．15N D．20N 【答案】A 【分析】依据BDAC，B是AO的中点，即可得到D是OC的中点，再根据杠杆平衡原理，可得G×OD=F×OC，进而得出拉力F的大小． 【详解】解：∵BD⊥OC，AC⊥OC， ∴BDAC， ∴， 又∵B是AO的中点，即OB=BA， ∴OD=DC， ∴ODOC， 根据杠杆平衡原理，可得G×OD=F×OC， ∴10OC=F×OC， 解得F=5(N)， 故选：A． 2．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 【答案】 【分析】根据两角分别相等得到，然后列出对应边成比例的关系式，再把已知线段长度代入比例式，最后求解得到的长． 【详解】解：，， ， 把，，代入： ． 3．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． (1)投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； (2)投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ 【答案】(1)4米 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理． （1）直接利用等腰三角形的“三线合一”得米，根据相似三角形的判定和性质进行求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理和相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过A点作于F， 米，米，米， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为4米； （2）解：过点G作于点F，过点A作于点H，则，如图所示： 米，， 米， （米）， （米）， ，， ， ， ， 解得（米）， ∴此时点G到水平底板的距离为米． 【题型6 利用三角形相似求古文问题】 【例6】魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出． 【详解】解：和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度． ，，， ，， ，， 即， 解得，， 故． 故选：D． 【变式训练】 1．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础． 《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？ 大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到，从处望山谷底部M处时，视线经过上的点F处，测得长为8尺5寸．求山谷深CN为几丈．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸） 【答案】山谷深CN为41.9丈． 【分析】根据题目中的条件，需要两次利用三角形相似的判定定理及性质，证明两个三角形相似，再利用对应边成比例建立等式，进行求解． 【详解】：解：由题意知：寸，寸，＝85寸，＝300寸． ， ． ． ∴． ． ， ． ． 即． ， 解得： 经检验：符合题意， 寸＝41.9丈． 答：山谷深CN为41.9丈． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似三角形的应用 【知识解析】 知识点01 相似三角形的应用涉及的知识 1.相似三角形的判定：包括两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的两个三角形相似。这些判定方法是应用的基础，用于判断实际问题中的三角形是否相似。 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且周长比、对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方。这些性质可用于计算长度、高度、面积等实际问题。 3.实际应用场景：在测量高度（如测量树高、建筑物高度）、计算距离（如河宽测量） 、工程设计和图形缩放等场景中，通过构建相似三角形模型，利用其性质解决实际问题。 【专题练习】 【题型1 利用三角形相似求建筑物高问题】 【例1】如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 【答案】A 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，， ， 由镜面反射，可知， ， ， ，，， ， . 故路灯的高度为. 【变式训练】 1．明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间．人物面部表情丰富，被游戏《黑神话・悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度，则腰部以下约为（   ） A． B． C． D． 2．某学校九年级（1）班进行课外实践活动，晓玲和张华利用所学过的知识测量楼房的高．如图，是楼房附近的一棵小树，张华测得地面上的点、小树顶端和楼顶在同一条直线上，米，米．在阳光下，某一时刻，晓玲站在点处时，恰好发现她自己的影子顶端与楼房的影子顶端重合，米，晓玲的身高米，米．已知点，，，，在同一水平直线上，，，，则楼房的高度为______米． 3．拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【题型2 利用三角形相似求影长问题】 【例2】如图，已知一棵树垂直地面，小明在测得该树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，证明，再由相似三角形的性质计算即可得出结果，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 故选：B． 【变式训练】 1．《孙子算经》是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆(如图所示)，它的影长五寸(提示：丈尺，尺寸)，则竹竿的长为(    ) A．四丈 B．五丈 C．四丈五尺 D．五丈四尺 2．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．（结果精确到0.1米，取1.73）． 3．西安世博园是一个融合了古今中外园林艺术的美丽地方，让人流连忘返，它占地面积很大，拥有众多主题园区，每个园区都有独特的景观和特色．在阳光明媚的一天，小滨和小美去世园会游玩，想利用所学知识测量一棵银杏树的高度(银杏树四周被围起来了，底部不易到达)、小滨提议用平面镜和阳光下的影子来测量银杏树的高，方法如下：首先，小滨在某一时刻测得站立在E处的小美的影长，在同一时刻测量银杏树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小滨在小美和墙面之间的直线上平放一平面镜，这个平面镜在直线上的点M处，镜子不动，小滨来回走动，走到点N时，恰好在镜面中看到银杏树顶端A的像，这时测得小滨的眼睛距地面的距离 ，，，如图，已知点G、B、N均在直线上，，，，，小美的身高，其中，测量时所使用的平面镜的大小和厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出银杏树的高．    【题型3 利用三角形相似求河宽问题】 【例3】如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（     ） A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米 【答案】B 【分析】设河宽米，则点P到北岸的距离为米，证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 设河宽米，则点P到北岸的距离为米， 由题意得，米，米， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为米． 【变式训练】 1．为了估计巩义伊洛河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，P、Q、S共线且直线与河岸垂直，然后在过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．已测得，，， 则河宽 __________． 3．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在一条直线上，量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【题型4 利用三角形相似求树高问题】 【例4】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．，测得，，则树高（    ）． A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质列出比例式即可求解． 【详解】解：∵和均为直角， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练】 1．如图，树在路灯O的照射下形成树影． 已知灯杆高为，树影长为，树与灯杆的水平距离为， 则树的高度为(    )  m．    A．2 B．2.5 C．3 D．4.5 2．周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 3．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）． 【题型5 利用三角形相似求杠杆问题】 【例5】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．一根均匀的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O为支点，竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（    ） A．5N B．10N C．15N D．20N 2．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 3．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． (1)投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； (2)投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ 【题型6 利用三角形相似求古文问题】 【例6】魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出． 【详解】解：和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度． ，，， ，， ，， 即， 解得，， 故． 故选：D． 【变式训练】 1．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 3．《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础． 《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？ 大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到，从处望山谷底部M处时，视线经过上的点F处，测得长为8尺5寸．求山谷深CN为几丈．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸） 1 学科网（北京）股份有限公司 $