专题三 相似三角形的性质（六大题型） 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形的性质 【知识解析】 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【题型练习】 【题型1 利用相似三角形对应角相等求角】 【例1】如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【对应练习】 1．已知，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则________． 3．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【题型2 利用相似三角形对应边成比例求边】 【例2】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【对应练习】 1．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 3．如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【题型3 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例】 【例3】若，，则对应边上的高之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质，解答即可. 【详解】解：∵，， ∴对应边上的高之比为. 【对应练习】 1．如图，已知和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 2．如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 3．如图，在中，，点在上，连接，点在上，连接，，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，求证：． 【题型4 利用相似三角形对应周长的比成比例】 【例4】如图，在中，分别是上的点，且．若的周长为，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合夹角相等，两边成比例，得证，再根据的周长为，的周长为，相似三角形的周长比等于相似比，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 【对应练习】 1．已知，，且的周长为6，则的周长为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 2．与是位似图形，且与的相似比是，若的周长是2，则的周长是_____． 3．如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，的周长等于8，求的周长． 【题型5 利用相似三角形对应面积的比成比例】 【例5】．如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积之比为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，先根据题意得到，再由平行四边形的性质得到，则可证明，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【对应练习】 1．如图，点是的边延长线上一点，．连接，交于点．设，的面积分别为，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 3．如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的面积为20，求的面积． 【题型6 相似三角形的性质与判定综合问题】 【例6】如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可． 【详解】解：依题意补全图形，如图： 由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC， ∴GF∥BC， ∴∠GFP=∠FPC=45°， ∵∠C=90°， ∴∠PFC=∠FPC=45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， 设CP=CF=x，则， ∵AC=3， ∴AF=3-x， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABC， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【对应练习】 1．如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，那么等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为________． 3．如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似三角形的性质 【知识解析】 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【题型练习】 【题型1 利用相似三角形对应角相等求角】 【例1】如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【对应练习】 1．已知，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 2．如图，，若，，则________． 【答案】/64度 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，，根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ． 3．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，即可证得结论； （2）由，可得，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【题型2 利用相似三角形对应边成比例求边】 【例2】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【对应练习】 1．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 2．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 3．如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角的性质和已知条件证明，由此即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到 ，据此代值计算即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ， ∵, , , ， ∴． 【题型3 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例】 【例3】若，，则对应边上的高之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质，解答即可. 【详解】解：∵，， ∴对应边上的高之比为. 【对应练习】 1．如图，已知和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，解答即可； 【详解】解：∵，对应边和的比值， ∴两个三角形的相似比为， ∵、是这对相似三角形的对应高， ∴． 2．如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边上的高将原三角形分为两个相似三角形，通过对应边成比例建立等式求解． 【详解】解： ∵是边上的高 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵， ∴ ∴． 3．如图，在中，，点在上，连接，点在上，连接，，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵点是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【分析】（1）证明，得到，即； （2）根据线段中点的定义和（1）的结论可证明，则，据此证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）略 【题型4 利用相似三角形对应周长的比成比例】 【例4】如图，在中，分别是上的点，且．若的周长为，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合夹角相等，两边成比例，得证，再根据的周长为，的周长为，相似三角形的周长比等于相似比，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 【对应练习】 1．已知，，且的周长为6，则的周长为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，注意掌握两个相似三角形的对应角相等，周长的比等于相似比． 由题意直接根据相似三角形的周长比等于相似比进行分析计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的周长：的周长， ∵的周长为6， ∴的周长为12， 故选：C． 2．与是位似图形，且与的相似比是，若的周长是2，则的周长是_____． 【答案】1 【分析】此题考查了相似图形的性质，根据相似图形的性质，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵与的相似比是， ∴与的周长比是， ∵的周长是2， ∴的周长为． 故答案为：1． 3．如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，的周长等于8，求的周长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由相似三角形的性质得到，则可证明，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长与的周长的比， ∵， ∴的周长与的周长的比， ∵的周长等于8， ∴的周长为． 【题型5 利用相似三角形对应面积的比成比例】 【例5】．如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积之比为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，先根据题意得到，再由平行四边形的性质得到，则可证明，再由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【对应练习】 1．如图，点是的边延长线上一点，．连接，交于点．设，的面积分别为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，从而可得，推出，再证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由四边形是平行四边形，可得， ． ， ， ． ， ，， ， ， ． 故选：C． 2．如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 【答案】70 【分析】由平行四边形的性质得，，从而可得，再结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴，， ∴． 3．如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的面积为20，求的面积． 【答案】(1)证明：， ， 即， ， ． (2)125 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ，，， ， ． 【题型6 相似三角形的性质与判定综合问题】 【例6】如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可． 【详解】解：依题意补全图形，如图： 由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC， ∴GF∥BC， ∴∠GFP=∠FPC=45°， ∵∠C=90°， ∴∠PFC=∠FPC=45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， 设CP=CF=x，则， ∵AC=3， ∴AF=3-x， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABC， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【对应练习】 1．如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若的最小值为，那么等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点D在B点时，连接BE，延长AC至，使得；当D运动到C点时，延长BE至，使得，连接，则直线为点F的运动轨迹；作，则AF为最小值，设的边长为a，则，，计算即可； 【详解】当点D在B点时，连接BE，延长AC至，使得；当D运动到C点时，延长BE至，使得，连接，则直线为点F的运动轨迹；作，则AF为最小值， 设的边长为a，则，， ∴，， ∵，，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】过E点作BD的垂线，根据菱形的性质可知，，根据勾股定理可以得出，所以，OH=1，HF=3，因为E、F是BC和BO的中点，由中位线定理可以得出EF，OF的长，再根据相似三角形，列出比例：，从而求出OP的长度，最后由求得结果． 【详解】解：过E点作BD的垂线，与BD交于F点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∴ ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴， ∵E是BC的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，在Rt 中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在Rt中，勾股定理求得，进而根据，即可求出答案． 【详解】（1）在中，，， 在中，，， ，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，，，， ，． 延长交于点，如图所示． ， ， ， ， ，． 由（1）可得， ， ． 在中，． ，， ，， ，即， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $