第三章 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 相似三角形的判定与性质综合 相似三角形的实际应用问题 考点一 相似三角形的判定与性质综合 例1．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，D为上一点，E为上一点，已知，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又，， ∴， 又， ∴； (2) 【分析】（1）先证明，再结合即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 例2．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知四边形是平行四边形，E是延长线上一点， 分别交对角线于点 G，交边于点 F． (1)求证： ； (2)求证： ． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，，得到，据此可证明； （2）证明，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； (1)求证：． (2)若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)12 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则可得到，再由相似三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 变式1．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形中，E是线段上的点，连接交对角线于点F，且． (1)如果，求证：E是线段中点； (2)如果的角平分线交、于点G、H，求证． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即， 故E是线段中点； (2)证明：∵根据（1）可知， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【分析】（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得，由得到，再由证，推出，结合菱形边长相等证出E是线段中点； （2）先通过与推导，结合角平分线得，证得，写出相似比例式即可． 【详解】（1）略 （2）略 变式2．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵， ， ∴， ∵， ∴； (2)9 【分析】（1）根据等边对等角可知，进而即可证明 （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴, ∴． 变式3．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 【答案】(1)证明：如图，四边形是矩形， ∴， ， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴， ∴， ， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形与折叠的性质，确定两组角相等，进而证明相似； （2）设，利用勾股定理列方程，求出，则，再利用相似三角形对应边成比例，求出，即可得解； （3）延长、交于M点，连接，设，证明，推出，再利用勾股定理求出，，再证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图，延长、交于M点，连接， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵P为中点， ∴设， ∴， ∵H为中点 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ，即， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 考点二 相似三角形的实际应用问题 例1．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米． （2）利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米． 【详解】（1）解：已知，， 因此， ∵为公共角，且 ∴． ∴ ∵ 代入已知数值，，： 则， ， ， ． （2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又∵， ∴． 设米，则米， ∴ 代入已知数值，： 解方程： 即米． 例2．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 【答案】锦江亭的高度为 【分析】由可得，从而证得，，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，得到，即可用含的式子表示的长，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，即， 解得， 锦江亭的高度为． 例3．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ，即； (2) (3)镜长至少为 【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （3）延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，且，，， ， ， ②号“E”的测量距离为； （3）解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 变式1．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【答案】该古建筑的高度为 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为． 变式2．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】(1)③ (2)解：选择甲同学的方案： 过点E作于点H，交于点G， 根据题意，得， 四边形是矩形，四边形是矩形 ，米，， 四边形是矩形， 米，米， 米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）， ∴（米）． 选择乙同学的方案： 过点E作于点M，交于点N， 根据题意，得， 四边形是矩形 米，米，， ， 根据题意，得米，米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【分析】（1）根据相似三角形的知识，发现两种方案都是可以的： （2）选择一种方案，利用相似三角形的知识给出解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 变式3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）学习了相似三角形知识后，小明同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的较短的直角边长为米，斜边长为米，活动全程小明始终竖直站立． (1)小明先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为米，小明与古树的距离为米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小明又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是米，那么小明向前移动了多少米？ 【答案】(1)16.6米 (2)8.75米 【分析】（1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小明向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度为16.6米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小明向前移动了8.75米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的实际应用问题专项训练 考点目录 相似三角形的判定与性质综合 相似三角形的实际应用问题 考点一 相似三角形的判定与性质综合 例1．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，D为上一点，E为上一点，已知，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 例2．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知四边形是平行四边形，E是延长线上一点， 分别交对角线于点 G，交边于点 F． (1)求证： ； (2)求证： ． 例3．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； (1)求证：． (2)若，正方形的边长为6，求线段的长． 变式1．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形中，E是线段上的点，连接交对角线于点F，且． (1)如果，求证：E是线段中点； (2)如果的角平分线交、于点G、H，求证． 变式2．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 变式3．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 考点二 相似三角形的实际应用问题 例1．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 例2．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 例3．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 变式1．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 变式2．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 变式3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）学习了相似三角形知识后，小明同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的较短的直角边长为米，斜边长为米，活动全程小明始终竖直站立． (1)小明先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为米，小明与古树的距离为米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小明又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是米，那么小明向前移动了多少米？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $