期中（第1章-4章）阶段复习卷（考前押题卷一）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章-4章）阶段复习卷（考前押题卷一） 一、选择题（共20分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．5，4， B．5，，1 C．，，1 D．，， 2．方程的根是    （   ） A． B． C． D． 3．某共享单车公司2024年3月投放共享单车8万辆，5月投放量达到12.5万辆．设4、5两个月投放量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 5．在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为．若的面积是，则的面积是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是（     ） A．与相似 B．平分 C． D． 9．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点的对应点为，与交于点，若为中点，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 10．如图，正方形中，对角线与相交于点O，E为边上一点，，F为的中点，若线段的长为，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．15 D．21 二、填空题（共16分） 11．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为________． 12．用因式分解法解一元二次方程，下列是排乱的解题步骤： ①或；    ②；    ③；    ④． 其中正确的解题步骤顺序是_______． 13．如图，，如果，那么_____． 14．如图，在正方形中，点是边上一点，连接交于点，若，则的度数为_________． 15．如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 16．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于 ______ ． 17．如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，，则的坐标为________． 18．如图，在中，，，．在矩形中，，，在矩形的左侧，与在一条直线上，且点与点重合：以的速度沿直线从左向右运动矩形保持不动，直到点运动到与点重合时运动停止，设运动时间为秒，当与矩形重叠部分的面积为时，的值为______． 三、解答题（共64分） 19．解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） 20．如图，五边形五边形，求的长和的度数． 21．如图，在矩形中，，，在边上，关于直线的对称点为点，当点在边上时，连接，求的面积． 22．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当时，设方程的两个根为、，求的值． 23．如图是2026年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为240，求最小数； （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 24．已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点． （1）若直线经过点求直线的解析式和直接写出点的坐标； （2）求面积的最小值； （3）若，点在内部且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图1，已知矩形中，点是边上一动点，在右侧作，使得．已知，． （1）当点与点重合时，求四边形的面积； （2）点由点向点移动的过程中（点不与点重合），的长度______，的长度______（填“增大”、“减小”或“不变”），并说明长度变化的理由． （3）当四边形的对角线和互相垂直时，求的长． 26．综合与探究 【问题情境】 如图1，在矩形中，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到． （1）过点作于点，交于点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）已知，． ①如图2，当点为中点时，延长交于点，求的长． ②如图3，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章-4章）阶段复习卷（考前押题卷一） 一、选择题（共20分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．5，4， B．5，，1 C．，，1 D．，， 【答案】B 【分析】对照一元二次方程的一般形式，提取各项系数时需包含对应项的符号． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．方程的根是    （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 移项得， 开平方得，即，. 3．某共享单车公司2024年3月投放共享单车8万辆，5月投放量达到12.5万辆．设4、5两个月投放量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确3月到5月共经历2次月增长，结合初始投放量与5月投放量列方程. 【详解】解：∵3月投放量为8万辆，4、5月投放量的月平均增长率为x， ∴4月投放量为万辆， ∴5月投放量为万辆， ∵5月投放量达到12.5万辆， ∴可列方程为． 4．已知四条线段和d是成比例线段，则线段d的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵四条线段，，和是成比例线段， ∴， ∴， ∴． 5．在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形对角线性质得，结合已知角度求出的度数，利用直角三角形性质与勾股定理求解的长． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为．若的面积是，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴， 故选C． 7．如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 8．如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是（     ） A．与相似 B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】先由三角形相似的判定定理证得，在此基础上再证，进而由相似性质得出及即可判断所给结论的正误． 【详解】解：是的一个外角， ， ，， ， ， ， ， 点是线段的中点， ，则， ， ，故A选项正确； ，故C选项正确；，即平分，故B选项正确； 综上所述，四个选项的结论中，说法错误的是D选项． 9．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点的对应点为，与交于点，若为中点，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得度数． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，即， ∴， 又由折叠的性质得：， ∴， 在中，由三角形的内角和定理得：． 10．如图，正方形中，对角线与相交于点O，E为边上一点，，F为的中点，若线段的长为，则的周长为（　　） A．18 B．20 C．15 D．21 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理求出的长，进而求出正方形边长和，利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线性质得出，最后计算周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形中，对角线与相交于点O， ∴为的中点， ∵F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∴的周长． 二、填空题（共16分） 11．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】2 【分析】将方程的根代入原方程，整理即可得到的值． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入方程得， 化简得 ， ∴ ． 12．用因式分解法解一元二次方程，下列是排乱的解题步骤： ①或；    ②；    ③；    ④． 其中正确的解题步骤顺序是_______． 【答案】②④①③ 【分析】按照因式分解法解一元二次方程的标准流程排序，先移项化为一般式，再因式分解，再得到两个一元一次方程，最后求解得根． 【详解】解：∵ 原方程为， 第一步移项将常数项移到等号左侧，得到，对应步骤②； 第二步对等号左侧的二次三项式因式分解，得到，对应步骤④； 第三步“根据两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，得到或，对应步骤①； 第四步解两个一元一次方程，得到方程的根，，对应步骤③； 因此正确的解题步骤顺序是②④①③． 13．如图，，如果，那么_____． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，先求出的长，再代入数据计算即可． 【详解】解： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 14．如图，在正方形中，点是边上一点，连接交于点，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由正方形的性质得到，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 16．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于 ______ ． 【答案】 【详解】解：∵菱形的周长为，面积为， ，， ∵分别作点到直线的垂线段， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4.8． 17．如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，，则的坐标为________． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，结合勾股定理计算得出，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的坐标为． 18．如图，在中，，，．在矩形中，，，在矩形的左侧，与在一条直线上，且点与点重合：以的速度沿直线从左向右运动矩形保持不动，直到点运动到与点重合时运动停止，设运动时间为秒，当与矩形重叠部分的面积为时，的值为______． 【答案】或 【分析】过点作于点，求出的高，面积；分两种情况讨论：未完全进入矩形时，重叠面积为总面积减去左侧未进入的小三角形面积；穿出矩形时，重叠面积为总面积减去右侧穿出的小三角形面积；分别列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∴， ∵ ∴，即点在矩形的上边所在直线上，当与矩形重叠部分的面积为时，分两种情况讨论： ①当未完全进入矩形时， 即此时点在点的左侧，重叠部分面积， ∵ ∴左侧未进入部分为等腰直角三角形， 依题意， ∴ 解得， ∵ ∴ ②当穿出矩形时，即此时点在点的右侧，超出部分长度为重叠部分面积 ∵ ∴右侧穿出部分为等腰直角三角形 ∴ 解得， ∵ ∴ 综上所述，的值为或． 三、解答题（共64分） 19．解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） 【答案】（1） ， （2） ， 【分析】（1）直接对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解； （2）先移项，对左边二次式配方后开平方，转化为一元一次方程求解； 【详解】（1）解：对于方程， 直接开平方得， 解得，； （2）解：对于方程， 移项得， 等式两边同时加配方得， 整理得， 开平方得， 解得，． 20．如图，五边形五边形，求的长和的度数． 【答案】， 【分析】根据相似多边形的性质，以及多边形的内角和公式进行求解即可. 【详解】解：∵五边形五边形， ∴，， ∴， ∴， 由图可知，，， ∴. 21．如图，在矩形中，，，在边上，关于直线的对称点为点，当点在边上时，连接，求的面积． 【答案】 【分析】总结性分析：本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理及三角形面积的计算，解题的关键是利用轴对称的性质得到相等线段并结合勾股定理求出相关线段的长度。 依据矩形性质确定各边长度和直角；利用轴对称性质得出、在中用勾股定理求进而得在中通过勾股定理列方程求出计算的面积。 【详解】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，， ，，. 关于直线的对称点为点，且点在边上， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， . 22．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当时，设方程的两个根为、，求的值． 【答案】（1）的取值范围是． （2）的值为． 【分析】（1）根据题意得出，求解即可； （2）当时，一元二次方程为，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：当时，一元二次方程为， ∵方程的两个实根是和， ∴，， ∴． 23．如图是2026年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为240，求最小数； （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）12 （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为61； 理由如下：设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， 在最后一列， ∴虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为61． 【分析】（1）设最小数为，则最大数为，根据“最大数与最小数的乘积为240”，列出一元二次方程，求解取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为61，列出一元二次方程，求解得出的值，即可解决． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴最小数为12． （2）略． 24．已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点． （1）若直线经过点求直线的解析式和直接写出点的坐标； （2）求面积的最小值； （3）若，点在内部且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）24 （3）存在， 【分析】（1）将代入即可求出的值；将解析式整理得出，得出直线过定点，与取值无关，令，求出的值，即可求出定点； （2）分别用含的代数式表示出点和点的坐标，根据三角形的面积公式求出，即可求解； （3）先求出解析式为，求出点和点的坐标，根据勾股定理求出的长，连接，，，设点的坐标为，根据得出，即可得出，分情况讨论，根据菱形的性质，列出方程求出的值，即可求出点的坐标，根据菱形的对角线互相平分，结合中点坐标即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：过点， ， ． ∴直线的解析式为：， 直线过定点，与取值无关， ， ， ． ∴直线过定点，即点的坐标为； （2）解：当定点为中点时，面积最小， 理由：对于，，如图： 令得， 令得， 即点的坐标为， 点的坐标为， ， 即面积的最小值为． （3）解：，直线解析式为， 令得，令得， 即点的坐标为，点的坐标为， 故，， 在中，； 连接，，，设点的坐标为， 则， 即， 整理得， 即， 故； ∵以、、、四点为顶点的四边形是菱形， 情况一：若为边，点在内部，这样的菱形不存在； 情况二：若为对角线，取中点， 则， 如图，四边形是菱形， 则，点是的中点， ，，， ， 解得， ． ∵点是的中点，， ． 25．如图1，已知矩形中，点是边上一动点，在右侧作，使得．已知，． （1）当点与点重合时，求四边形的面积； （2）点由点向点移动的过程中（点不与点重合），的长度______，的长度______（填“增大”、“减小”或“不变”），并说明长度变化的理由． （3）当四边形的对角线和互相垂直时，求的长． 【答案】（1） （2）增大；减小 理由：在中，，， ． 当点由点向点移动时，逐渐增大， 逐渐增大． 由得，即， 随着的增大，逐渐减小． （3） 【分析】（1）当点与点重合时，，由勾股定理求出，再由求出相似比，从而求出的面积，四边形的面积等于与的面积之和； （2）在中，，随的增大而增大；再由相似得，据此判断的变化； （3）由得，即平分；当时，可证，代入求出，最后在中用勾股定理求． 【详解】（1）解：当点与点重合时，． 四边形是矩形，，， ，，， ， ． ， ， ，且相似比为． 此时，， ， ． 点、分别在直线的两侧， ． （2）略 （3）解：， ，即平分． 当时，设与交于点，则， 在和中， ，，， ， ． 又由得，即， ， ． 在中，，， ， ． 26．综合与探究 【问题情境】 如图1，在矩形中，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到． （1）过点作于点，交于点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）已知，． ①如图2，当点为中点时，延长交于点，求的长． ②如图3，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）四边形是菱形．理由如下： 由折叠可得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． （2）①；②或 【分析】（1）由折叠可得：，，，进而可证明，由此证明四边形是平行四边形，根据，证明平行四边形是菱形． （2）①由折叠性质得：，，，连接，证明，可得，设，那么，由勾股定理得，，解方程可得的长；②分两种情况讨论：当时，当时，根据矩形、折叠的性质，结合勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，，，得，， ①点是中点， ， 由折叠性质得：，，， ，即， 如图，连接， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得， 的长为； ②过点作于，反向延长线交于， 当时， 矩形中，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠性质得：， ， ， ， 中，， ， ，， ， ； 当时，过点作于， 同理可得，， ， ， ，， ， ． 综上所述，线段的长度为或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $