拓展专题05 圆锥曲线的焦点三角形问题（期中复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题05 圆锥曲线的焦点三角形问题 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 椭圆的焦点三角形 考点二 双曲线的焦点三角形 04 重难题型突破 题型一 焦点三角形的周长 题型二 焦点三角形的面积 题型三 焦点三角形的内角 题型四 焦点三角形的内切圆 题型五 焦点三角形关系求离心率 题型六 焦点三角形中的存在性问题 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题是圆锥曲线章节期中高频热点，以小题为主，多选、单选、填空都常出现，偶尔作为解答题第一小问嵌入考查，核心依托椭圆、双曲线定义展开，抛物线一般不考查焦点三角形。核心考法：利用定义求焦点三角形周长、边长；结合余弦定理求解顶角、面积；求解离心率范围或离心率的值；焦点三角形形状等。命题侧重定义的灵活转化，常将|PF₁|、|PF₂|、2a、2c、顶角θ组合条件命题，多选题喜欢结合焦点三角形面积、角度范围设置辨析选项，重点考查定义+余弦定理的综合运用，极少出现复杂联立运算。 二、试题难易度分布 整体属于中档题型，基础变式容易拿分，综合变式具备区分度。 基础：直接套用定义求周长、边长，简单面积计算； 中档：结合余弦定理求角度、参数，求离心率； 难题：求离心率取值范围、焦点三角形角的范围，是期中小题的拉分点。 三、整体命题核心规律 解题核心思路：牢牢抓住圆锥曲线第一定义，建立两条焦半径的和（椭圆）、差（双曲线）关系，搭配余弦定理构建方程求解。备考要注意双曲线焦点三角形双焦半径是差值，容易符号出错；使用焦点三角形面积二级结论时，优先掌握推导过程，不直接死记结论；注意隐含条件：三角形三边关系，用来求解离心率范围；警惕三点共线时不能构成焦点三角形的陷阱。 考点一 椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，， 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 2、常用性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 性质3：当为短轴的端点时，最大 推导：由性质2得， . ∵，当且仅当时，即点是短轴端点时取等号， ∴. 又∵在上单调递减，∴当为短轴的端点时，最大。 性质4： 当，即为短轴的端点时，的面积最大，最大值为 推导：由性质3的推导过程得,∴， ∴ 考点二 双曲线的焦点三角形 1、面积公式：如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积. 2、焦半径公式：如图，对于双曲线，，对双曲线，其焦半径的范围为. 3、内心轨迹：双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 4、周长：如图，过焦点的弦的长为，则的周长为. 题型一 焦点三角形的周长 【典例1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【解析】由椭圆方程知，，，所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为.故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（    ） A． B． C．9 D．12 【答案】D 【解析】由题意可知， 如图： ， 即的周长为12，故选：D 【变式1-2】（25-26高二上·福建三明·期中）双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的周长为______． 【答案】22 【解析】 因为焦距为8，所以，则，， 因为，所以点在双曲线的左支上，则， 所以的周长为. 故答案为：22. 【变式1-3】（25-26高二上·宁夏银川·期中）双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为_____. 【答案】 【解析】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 如图： 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 题型二 焦点三角形的面积 【典例2】（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为.故选：C 【变式2-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或， 即或， .故选：C 【变式2-2】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 【答案】C 【解析】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得，得.故选：C 【变式2-3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，，则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即．故选：A. 题型三 焦点三角形的内角 【典例3】（25-26高二上·浙江·期中）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则______． 【答案】 【解析】因为椭圆，所以，点在椭圆上，所以， 又，所以， 在中，，， 故答案为： 【变式3-1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则， 所以，由椭圆定义可得， 由余弦定理可得.故选：A. 【变式3-2】（25-26高三上·云南曲靖·期中）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：，故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为，在中，， 所以.故选：B． 题型四 焦点三角形的内切圆 【典例4】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得.故选：B 【变式4-1】（2025高三上·广东中山·专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为_______. 【答案】 【解析】 因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即，所以， 故的面积， 设的内切圆半径为， 则，解得,. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二上·云南丽江·阶段检测）已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的内切圆半径为，因为， 所以，可得， 因为点为双曲线右支上一点， 所以，可得，解得， 又因为，可得，整理得， 即，解得或（舍去）.故选：C. 【变式4-3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点， 则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为.故选：C 题型五 焦点三角形关系求离心率 【典例5】（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为. 【变式5-2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为________. 【答案】 【解析】由，可得在双曲线的右支上，因为，， 所以，所以， 所以. 故双曲线的离心率为. 【变式5-3】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故点位于线段的中点， 设，则， ， 又，，化简得， 又M为椭圆上一点，， 联立得，即， 此方程有解，则， 化简得，即恒成立， 方程的两个根为和， 又，，，解得. 则C的离心率的取值范围是. 题型六 焦点三角形中的存在性问题 【典例6】（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为正实数，则若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点满足，则此时，则， 则，解得； 若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点M满足，则此时，则， 则，解得， 综上，m的取值范围是故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设焦点在轴上，设椭圆C的方程为， 如图，设，则①， 在中，由余弦定理得，， 又，所以，整理得到， 又，，当且仅当时取等号， 所以当时，取到最小值，此时最大，为椭圆的上顶点或下顶点， 不妨设为椭圆C的上顶点，因为椭圆C上存在点P，使得， 则，所以， 所以，即， 得到，则， 选项A中：，选项B中：，选项C中：， 选项D中：，故B正确，其它错误，故选：B． 【变式6-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是__． 【答案】 【解析】若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 又椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则椭圆上不存在点，使， 则以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点， 所以，解得， 又，所以. 【变式6-3】设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则__________． 【答案】或或 【解析】设双曲线方程为，焦点为、， ，，且因为P在右支上，所以，设点（）， 因为为等腰三角形，即或， 因为为等腰三角形，即或或， 如图所示， 先对如下情况一一讨论， 若，，，解得； 若，，所以， 所以，即，解得， 所以，解得； 若，，根据可得， 又因为，所以，也即，矛盾，故该情况舍去； 若，，可得，矛盾，该情况舍去； 若，，则在中，，， 故可得，代入双曲线方程可得，解得或， 由于，所以； 若，， 则在中，，矛盾，故该情况舍去； 综上所述，或或． 故答案为：或或． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】如图，连接， 由题意可知， 因为为坐标原点，为的中点， 所以，， 则.故选：C 2．（25-26高二上·四川成都·期中）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由， 设，因为的面积为， 所以有， 点在椭圆上， 所以，故选：C 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆，设上顶点为， 若存在一点使得，则， 可得，其中点为坐标原点， 所以，可得，所以.故选：B.    4．（25-26高二下·黑龙江鸡西·开学考试）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为.故选：D. 5．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 【答案】 【解析】由题意得，则椭圆的焦点在轴上， 过的直线交于、两点， 可得的周长为，则， 故. 6．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为__________. 【答案】4 【解析】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 7．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 【答案】36 【解析】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 8．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则______． 【答案】2 【解析】由题意，延长交于，连接，如下图： 因为为的角平分线且，所以， 则，即， 在中，易知分别为的中点，即为中位线， 所以. 故答案为：. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为.故选：C. 2．（25-26高二上·山东枣庄·期中）（多选）已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确.故选：ABD. 3．（25-26高二上·重庆大足·期中）（多选）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【解析】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确.故选：BD. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 如上图所示，设，，，， 则，. 因为， 所以. 因为、在双曲线上，则. 又因为过原点以为直径的圆过点，所以. 根据双曲线的性质有，联立得 所以， 设离心率，则，解得，（，舍去）. 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线的焦点三角形问题 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 椭圆的焦点三角形 考点二 双曲线的焦点三角形 04 重难题型突破 题型一 焦点三角形的周长 题型二 焦点三角形的面积 题型三 焦点三角形的内角 题型四 焦点三角形的内切圆 题型五 焦点三角形关系求离心率 题型六 焦点三角形中的存在性问题 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题是圆锥曲线章节期中高频热点，以小题为主，多选、单选、填空都常出现，偶尔作为解答题第一小问嵌入考查，核心依托椭圆、双曲线定义展开，抛物线一般不考查焦点三角形。核心考法：利用定义求焦点三角形周长、边长；结合余弦定理求解顶角、面积；求解离心率范围或离心率的值；焦点三角形形状等。命题侧重定义的灵活转化，常将|PF₁|、|PF₂|、2a、2c、顶角θ组合条件命题，多选题喜欢结合焦点三角形面积、角度范围设置辨析选项，重点考查定义+余弦定理的综合运用，极少出现复杂联立运算。 二、试题难易度分布 整体属于中档题型，基础变式容易拿分，综合变式具备区分度。 基础：直接套用定义求周长、边长，简单面积计算； 中档：结合余弦定理求角度、参数，求离心率； 难题：求离心率取值范围、焦点三角形角的范围，是期中小题的拉分点。 三、整体命题核心规律 解题核心思路：牢牢抓住圆锥曲线第一定义，建立两条焦半径的和（椭圆）、差（双曲线）关系，搭配余弦定理构建方程求解。备考要注意双曲线焦点三角形双焦半径是差值，容易符号出错；使用焦点三角形面积二级结论时，优先掌握推导过程，不直接死记结论；注意隐含条件：三角形三边关系，用来求解离心率范围；警惕三点共线时不能构成焦点三角形的陷阱。 考点一 椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，， 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 2、常用性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 性质3：当为短轴的端点时，最大 推导：由性质2得， . ∵，当且仅当时，即点是短轴端点时取等号， ∴. 又∵在上单调递减，∴当为短轴的端点时，最大。 性质4： 当，即为短轴的端点时，的面积最大，最大值为 推导：由性质3的推导过程得,∴， ∴ 考点二 双曲线的焦点三角形 1、面积公式：如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积. 2、焦半径公式：如图，对于双曲线，，对双曲线，其焦半径的范围为. 3、内心轨迹：双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 4、周长：如图，过焦点的弦的长为，则的周长为. 题型一 焦点三角形的周长 【典例1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【变式1-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（    ） A． B． C．9 D．12 【变式1-2】（25-26高二上·福建三明·期中）双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的周长为______． 【变式1-3】（25-26高二上·宁夏银川·期中）双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为_____. 题型二 焦点三角形的面积 【典例2】（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式2-2】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（    ） A． B． C． D． 题型三 焦点三角形的内角 【典例3】（25-26高二上·浙江·期中）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则______． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·云南曲靖·期中）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（    ） A． B． C． D． 题型四 焦点三角形的内切圆 【典例4】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】（2025高三上·广东中山·专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为_______. 【变式4-2】（24-25高二上·云南丽江·阶段检测）已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（    ） A． B． C． D． 题型五 焦点三角形关系求离心率 【典例5】（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为________. 【变式5-3】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 焦点三角形中的存在性问题 【典例6】（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是__． 【变式6-3】设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则__________． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 2．（25-26高二上·四川成都·期中）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江鸡西·开学考试）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 6．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为__________. 7．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 8．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则______． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东枣庄·期中）（多选）已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 3．（25-26高二上·重庆大足·期中）（多选）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $