第一章 问题解决活动：利用三角函数测高 课件2026-2027学年北师大版数学九年级下册

问题解决活动： 利用三角函数测高 第一章 直角三角形的边角关系 北师大版九年级数学下册第一章 1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．(难点) 学习目标 如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法测出它们的高度吗？ 通过这节课的学习，相信你就行. 情境引入 3 0 30 30 60 60 90 90 P Q 度盘 铅锤 支杆 问题1：如何测量倾斜角？ 测量倾斜角可以用测倾器， ----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成 测量倾斜角 4 0 30 30 60 60 90 90 1.把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. P Q 问题2：如何使用测倾器？ 0 30 30 60 60 90 90 2.转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数. M 30° 问题1：如何测量旗杆的高度？ A C M N E 在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的α）就可以确定旗杆的高度. α 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图CE的长度. 测量底部可以到达的物体的高度 7 A C M N 1.在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； E 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； 3.量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度. MN=ME+EN=l·tanα+a α 问题2：测量旗杆的高度的步骤是怎么样的呢？ 例1 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m). 典例精析 解：如图，作EM垂直CD于M点, 根据题意，可知 ∠DEM=30°,BC=EM=30 m, CM=BE=1.4m M 在Rt△DEM中， DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)， CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m). 问题1：在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？ 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图中的AN或BN的长度. A C B D M N E α β 在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度. 测量底部不可以到达的物体的高度 11 问题2：测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ 1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α； A C B D M N E α 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β； β 3.量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度. 课题 在平面上测量地王大厦的高AB 测量示意图 测得数据 (测倾器高度为1m) 测量项目 ∠α ∠β CD的长 第一次 30° 16' 45° 35' 60.11m 第二次 29° 44' 44° 25’' 59.89m 平均值 例2 下表是小亮所填实习报告的部分内容，请根据数据求大楼的高. C E D F A G B α β 30° 45° 60m 解：由表格中数据，得α=30° ，β=45° , 答：大楼高度为 . 1.如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m.） 当堂练习 解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m， 答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m. 从而 BC=1000×tan25°≈466.3（m） 因此，上海东方明珠塔的高度 BD=466.3+1.7=468（m） 因此 2.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高为1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到1 m) D′ A B′ B D C′ C 17 解：如图，由题意可知， ∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m. ∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ， 设AB′=xm D′ A B′ B D C′ C 3.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米） 解：（1）由题意，AC＝AB＝610（米）； （2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ 故BE＝DEtan39°． 因为CD＝AE， 所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米） （参考数据： ） 4.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数） ∵AD＋BD = AB， ∴ 解：设CD =x 米．在Rt△ACD中， 在Rt△BCD，tan48°= 解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米． 则 则 利用三角函数测高 测倾器的认识及使用 课堂小结 测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角） 测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角） 利用解三角形的知识，求出物体的高度   当堂练习 2．如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度． （参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．） 当堂练习 3．一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号） 当堂练习 $