1.3《三角函数的应用》 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 第3课 三角函数的应用 新版北师大数学九年级下册 学习目标 1.通过对海岛触礁、古塔测高、楼梯改造等生活情境的分析,经历将实际问题抽象为直角三角形数学模型的完整过程,学会从复杂场景中提取几何要素、绘制示意图. 2.通过对双直角共边、梯形分割、斜三角形作高三类图形的拆解计算，运用解直角三角形的边角关系解决测高、测距、安全判定类实际问题，形成规范的解题流程. 3.通过对比不同场景的建模路径,归纳三角函数应用的通用解题步骤,体会数形结合、转化与化归的数学思想. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 模糊的感知 情境启航 海事部门对近海货运航线开展安全隐患排查。海域中有一座无人岛A,岛屿四周10nmile范围内分布着暗礁群,属于船舶禁入的危险区域.一艘巡逻船沿正东方向巡航,在B点观测到岛屿A位于船的南偏西55°方向；船向东行驶20nmile到达C点后,再次观测,岛屿 A 位于船的南偏西25°方向. 作为本次巡航的安全员，你需要判定：巡逻船保持正东方向继续航行,会不会误入暗礁危险区？ 问题构建 问题1:要做出这个判定,我们本质上是要比较哪两个量的大小？请说出你的判断逻辑. 需要比较:岛屿A到正东航线的垂直距离与10nmile的大小. 判断逻辑:如果岛屿到航线的垂直距离大于10nmile,说明航线全程都在暗礁警戒范围之外,没有触礁风险；如果垂直距离小于等于 10nmile,说明航线会进入暗礁覆盖范围,存在航行危险. 追问1:请你把这个航海场景里的关键信息剥离出来，转化为几何图形.想一想:船的航行路线、岛屿到航线的最短距离、两次观测的方向角,分别对应几何图形中的什么元素？ 问题构建 ①船的正东航线对应水平直线BD； ②岛屿到航线的最短距离对应线段AD,AD⊥BD,垂足为D,AD就是我们要求的垂线段； ③两次观测的方向角对应∠BAD=55°,∠CAD=25°； ④船行驶的路程对应线段BC=20nmile 最终抽象出的图形是:由Rt△ABD和Rt△ACD拼接而成、共享直角边AD的双直角三角形组合图形. 追问2:观察抽象后的几何图形,已知的20nmile是BC的长度,它不属于任何一个直角三角形的完整边.只靠单个直角三角形能直接算出AD的长度吗？面对这种“一条已知边分散在两个三角形中”的问题,我们可以用什么思路破解？ 问题构建 追问3:上节课我们学习了解直角三角形,需要几个条件可以解一个直角三角形？本题的两个直角三角形属于哪种条件？ 两个条件.Rt△ACD知道一个角25°； Rt△ABD知道一个角55°和边BD的一部分即BC=20 追问4:根据学习经验把要求的线段AD设为你能用表示出哪些边的长度？借助三角函数动手试一试. 在Rt△ACD中， 在Rt△ABD中， 问题构建 追问5:依据BD、CD、BC的关系可以列出怎样的方程？并计算结果. BD-CD=BC =20 借助计算器：tan55°≈1.4281，tan25°≈0.4663 10，航线安全 这个航海问题里藏着的共直角边双直角三角形模型,是三角函数应用里最经典的模型之一.它不只出现在辽阔的海面上,也藏在我们身边的城市建筑、日常测量里.接下来我们就带着这个模型，去解决古塔测高、楼梯改造等更多生活中的真实问题. 问题构建 如图1-16,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得塔顶的仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得塔顶的仰角为60° （1）根据这些数据,小明能求得塔的高度吗？ （2）如果小明的身高忽略不计,请你帮他计算一下塔的高度（结果精确到1m）. 问题2:对比刚才的触礁问题,这两个题的图形结构有什么联系？ 两个题的图形结构完全一致,都是共一条直角边的双直角三角形模型,属于同一种数学模型.触礁问题与测塔高问题本质都是同一个图形. 问题构建 追问1:请把题目中的文字信息转化为图形中符号,你得出哪些数据结论？ ∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m 追问2:设塔高CD为对应的方程并完成解答,请独立完成. 设塔高CD=x 在Rt△BCD中,∠CBD=60°,tan60°=因此BD; 在Rt△ACD中,∠A=30°,tan30°= 因此AD ； 由AD−BD=AB=50,得： =50 化简:x=25≈43m 答：塔的高度约为43m. 协作破冰 追问3:除了方程法,你还能从角度关系入手找到更简便的解法吗？请写出思路和计算过程 用三角形外角的性质.∠CBD是△ABC的外角，因此∠ACB=∠CBD−∠A=60°−30°=30° 由此可得∠A=∠ACB,△ABC为等腰三角形，因此BC=AB=50m 在Rt△BCD中,CD=BC・sin60°=50×()= 25≈43m 这种方法通过角度分析转化出等腰三角形,计算更简洁. 方程法具有普适性,对任意角度的双直角共边模型均成立,无角度特殊性要求;几何法依赖角度的特殊数量关系,仅适用于角度存在特殊关联的题型. 协作破冰 如图1-17,某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯应加长多少？楼梯多占多长一段地面（结果精确到0.01m）？与同伴交流你的思考过程. 问题3:在这个改造过程中,哪个量始终保持不变？ 楼梯的竖直总高度保持不变,也就是台阶的垂直高度不变,这个不变的竖直高度是两个直角三角形的公共直角边. 追问:你打算怎样解决这个问题？ 先求出楼梯的竖直高度,再分别计算调整后的楼梯长度和水平占地长度,最终算出楼梯应加长多少、多占多长地面. 教师示范 设楼梯竖直高度为hm 原楼梯:倾斜角40°,BD=4m h=4・sin40°≈4×0.6428≈2.571m 原水平长度:4・cos40°≈4×0.7660≈3.064m 调整后:倾斜角35°,设AB=L,水平长度为x L=≈4.482m 加长长度:4.482−4≈0.48m x=≈3.672m 多占地面长度:3.672−3.064≈0.61m 答：调整后楼梯应加长约0.48m,多占约0.61m的地面. 教师示范 如图,水库大坝的横截面是梯形ABCD,其中AD∥BC,坝顶AD=6m,坡长CD=8m,坡底BC=30m,∠ADC=135° 问题4:梯形不是直角三角形,我们通常用什么方法把它转化为解直角三角形的问题？ 过上底的两个端点向下底作垂线,将梯形分割成两个直角三角形和中间一个矩形,从而把梯形问题转化为两个解直角三角形的问题. 巩固拓展 追问1:你能计算出∠ABC的度数吗？ 过D作DE⊥BC于E,过A作AF⊥BC于F 因为AD//BC,∠ADC=135°,所以∠C=180°−135°=45° 在Rt△DEC 中： DE=CD・sin45°=8×=4≈5.656m EC=CD・cos45°= 4≈5.656m 四边形ADEF是矩形,因此EF=AD=6m,AF=DE≈5.656m BF=BC−EF−EC=30−6−5.656≈18.344m 在Rt△ABF中： tanB=≈0.3083 因此∠B≈17° 巩固拓展 追问2:如果坝长100m,建筑这个大坝一共需要多少立方米的土石料（结果精确到0.01m³） 先计算梯形横截面的面积： S=(上底+下底)×高÷2=(AD+BC)×DE÷2 代入数值:S=(6+30)×4÷2=36×2= 72≈101.82m² 大坝总体积=横截面面积×坝长=101.82×100=10182.00m³ 答：建筑这个大坝共需约10182.00m³的土石料. 当堂检测 1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC=_________米. 2.如图2,两建筑物AB和CD的水平距离为30米,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为_____米. 100 当堂检测 3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）为 km. 当堂检测 解析：如图，过点A作AD⊥OB于D． 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km， ∴AD= OA=2km． 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°， ∴BD=AD=2km， ∴AB= AD= km． 即该船航行的距离为 km． 反思总结 1.本节课我们解决了航海、测高、建筑、工程等多个不同场景的问题，它们最终都回归到解直角三角形的方法上.请你总结一下，用三角函数解决实际问题的一般步骤是什么？其中最关键的一步是什么？ 2.双直角三角形是本节课最核心的几何模型，它主要有哪两种常见类型？分别对应什么样的实际场景？解题时可以采用哪些策略？ 3.从古代的土地测量到现代的航海、工程设计，三角函数始终是解决现实测量问题的重要工具.结合本节课的学习，请你谈一谈数学知识和现实生活之间的关系，以及学习这类应用知识的意义. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第18页 第1,2题 二、素养类作业 拓展阅读：课本第18页 《三角学的发展》 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $