微专题01 直线及其方程（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，系统整合直线方程五大核心题型，通过方法提炼与梯度训练培养抽象能力和推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倾斜角与斜率|例题+变式+巩固|定义式与两点斜率公式应用|从几何直观到代数表达，建立角与斜率的对应关系| |直线的方程|例题+变式+巩固|四类方程形式的选择策略|依据已知条件选择最优方程形式，体现数学表达的简洁性| |平行与垂直|例题+变式+巩固|斜率关系判定法则|通过代数关系刻画几何位置，培养逻辑推理能力| |距离问题|例题+变式+巩固|点线距与线线距公式|转化思想的应用，构建度量关系的代数模型| |对称问题|例题+变式+巩固|“垂直+平分”方程组法|利用坐标变换解决几何对称，发展空间观念|

专题01直线及其方程 题型一 直线的倾斜角与斜率 1 题型二 直线的方程 8 题型三 直线的平行与垂直 15 题型四 距离问题 21 题型五 对称问题 27 题型一 直线的倾斜角与斜率 1.求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； 2.解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 【例题精讲】 1．（多选）下列说法正确的是（　　） A．任何一条直线都有唯一的倾斜角 B．任何一条直线都有斜率 C．倾斜角越大，直线的斜率越大 D．若直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的斜率为 【答案】AD 【详解】对于 A：直线的倾斜角 ，且由直线的方向唯一确定，A 正确。 对于 B：倾斜角为 的直线斜率不存在，B 错误。 对于 C： 在 与 上分别递增，但在整个范围内不单调。例如倾斜角 ，而 ，C 错误。 对于 D：这是斜率的定义，D 正确。故选 AD． 2．已知直线 经过 、 两点，且 的倾斜角为 ，则 （　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由倾斜角为 得 。 又由斜率公式 ，故 ，解得 。故选 B． 3．已知 、、 三点共线，则 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】先求 。 若 ，则 、 的横坐标相同，直线 的斜率不存在，而 ，三点不可能共线，故 。 于是 ，由三点共线得 ，解得 。故选 C． 4．若直线 的倾斜角 满足 ，则 的斜率 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 两边平方得 ，故 。又 ，所以 ，从而 ，即 为钝角。由 与 知，、 是方程 的两根，即 ，解得 或 。因为 ，所以 ，，故 。故选 A． 5．若直线 的斜率 满足 ，则 的倾斜角 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ，分三种情形讨论： ① 当 时，，由 即 得 ，故 ； ② 当 时斜率不存在，与题设 存在矛盾； ③ 当 时，，由 即 得 ，故 。 综上，。故选 B． 6．已知直线 的倾斜角 ，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】区间 跨过 ，必须分段： ① 当 时，； ② 当 时斜率不存在； ③ 当 时，。 故 。故选 A． 7．若过 、 两点的直线的倾斜角为锐角，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】这里 ，斜率必定存在，。 倾斜角为锐角 ，即 ，解得 。故选 A． 8．已知点 、，直线 过点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求两个端点的斜率：，。 关键看线段是否跨过竖直线 ：、 的横坐标分别为 与 ，中间经过了 ，即线段与竖直线 有公共点，该交点坐标为 ，在点 的下方。于是直线 绕 旋转扫过线段时，必然先转向竖直向下的方向（斜率不存在），再继续转，斜率范围是两支： 或 ，即 。故选 C． 【变式训练】 1．已知直线 经过 、 两点，且 的倾斜角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由倾斜角为 得 。 若 ，即 ，则 、 横坐标相同、斜率不存在，不合题意，故 。 于是 ，解得 ，即 。故选 A． 2．已知直线 的倾斜角是直线 ： 的倾斜角的 倍，则 的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，故 ，直线 的倾斜角为 。 所以直线 的倾斜角为 ，其斜率 。故选 B． 3．已知 、、 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 、 得 。 由三点共线得 ，即 ，故 ，解得 （此时 ，斜率存在）。故选 A． 提醒：用斜率相等判定共线，先确认两点的横坐标不相等。 4．（多选）已知 、、，则（　　） A．直线 的倾斜角是锐角 B．直线 的斜率为 C．直线 与直线 垂直 D． 是直角三角形 【答案】AB 【详解】对于 A：，倾斜角为锐角，A 正确。对于 B：，B 正确。对于 C：，两直线不垂直，C 错误。对于 D：，，。因为 ，，，三边不满足勾股定理，故 不是直角三角形，D 错误。故选 AB． 5．若过点 、 的直线的倾斜角为钝角，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】倾斜角为钝角 斜率存在且为负数。 当 时，，即 ，解得 或 ； 当 时，、 横坐标相同，斜率不存在，倾斜角为 （直角），不合题意。 故 。故选 D． 6．若直线 的倾斜角 ，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】区间跨过 ，分段讨论（注意 是开、 是闭）： ① 时，； ② 时斜率不存在； ③ 时，。 故 。故选 A． 注意 处是开的：因为 取不到。 7．已知点 、、，若直线 过点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先求端点斜率：，。因为 、 分别位于过 的竖直直线 的两侧，所以直线 绕 旋转扫过线段 时要分成两支： ① 与线段位于 左侧的部分相交，此时 ； ② 与线段位于 右侧的部分相交，此时 。 故 。故选 B． 8．已知点 ，、，直线 过点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。 、 的横坐标 与 都大于 ，线段整体在竖直线 的右侧，与该竖直线无公共点，故斜率连续变化，范围为 。故选 A． 【巩固练习】 1．若过 、 两点的直线的倾斜角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由倾斜角为 得 。 又 ，所以 ，解得 。故选 A． 2．已知 、、 三点共线，则 ______． 【答案】 【详解】由 、 得 。 由三点共线得 ，即 ，故 ，解得 。 3．直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。 因为 且倾斜角在 内，所以倾斜角为 。故选 A． 4．（多选）已知直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，则（　　） A． 的斜率为 B． 的斜率为 C． 与 的倾斜角互补 D． 【答案】ABC 【详解】对于 A：，A 正确。 对于 B：，B 正确。 对于 C：，两倾斜角互补，C 正确。 对于 D：，两直线不平行，D 错误。故选 ABC． 提醒：倾斜角互补（两角之和为 ）的两条直线，斜率互为相反数；这与“两直线关于 轴对称”是同一件事。 5．（多选）下列命题正确的是（　　） A．直线的倾斜角 的取值范围是 B．若直线的斜率为 ，则它的倾斜角一定为 C．斜率不存在的直线垂直于 轴 D．若两条不重合的直线斜率相等，则它们的倾斜角相等 【答案】ACD 【详解】对于 A：这是倾斜角的规定，A 正确。 对于 B： 的周期为 ，例如 时 ，但该直线的倾斜角是 ，B 错误。 对于 C：斜率不存在时倾斜角为 ，直线垂直于 轴，C 正确。 对于 D：设倾斜角分别为 、，则 ，又 ，故 ，D 正确。故选 ACD． 6．若直线 的斜率 满足 ，则 的倾斜角 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 。 ① 当 时，，得 ； ② 当 时，，得 ； ③ 当 时斜率不存在，舍去。 故 。故选 C． 7．过 、 两点的直线的倾斜角为钝角，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】倾斜角为钝角 斜率存在且为负。 若 ，则 、 横坐标相同，斜率不存在，倾斜角为直角，不合题意。 故 ，此时 ，解得 。故选 A． 8．已知点 ，、，直线 过点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。、 的横坐标 与 之间含有 ，即线段与竖直线 相交，交点为 ，它在点 的下方。所以斜率范围是两支： 或 ，即 。故选 A． 9．已知点 ，、，直线 过原点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。 、 的横坐标 与 都为正，线段与竖直线 没有公共点（整体在 轴右侧），所以直线 绕 旋转扫过线段时不经过竖直方向，斜率连续变化，范围为 。故选 A． 题型二 直线的方程 1. 已知点和斜率，选择点斜式方程； 2. 已知两点坐标，选择两点式方程； 3. 已知斜率和轴截距，选择斜截式方程； 4. 已知两轴截距，选择截距式方程. 【例题精讲】 1．过点 且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与直线 平行的直线可设为 。 代入 得 ，即 ，解得 。 故所求直线为 。故选 A． 2．过点 且在 轴、 轴上的截距相等的直线方程为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【详解】分两种情形： ① 截距不为 ：设直线为 ，代入 得 ，解得 ，直线为 ； ② 截距为 ：直线过原点，设 ，代入 得 ，直线为 。 故所求直线为 或 。故选 C． 3．已知直线 ：（），则 恒过的定点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把方程按 整理得 。 令 且 ，两式相减得 ，代入得 。 所以无论 取何值，直线 都经过定点 。故选 A． 4．点 关于直线 ： 的对称点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 。 ① 线段 的中点在 上：，化简得 ； ② ：直线 的斜率为 ，故 ，化简得 。 联立解得 ，，即 。故选 A． 5．过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】必须讨论截距是否为 ： ① 两截距都为 （互为相反数且相等，只能为 ）：直线过原点， 设 ，代入 得 ，直线为 ； ② 截距不为 ：设直线为 ，即 ，代入 得 ， 直线为 。 故所求为 或 。故选 A． 6．已知直线 ：（）不经过第二象限，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把 化为斜截式：。直线不经过第二象限，等价于斜率不大于 且纵截距不大于 （水平或从左下到右上的情形都不会进入第二象限）： 得 ； 得 。故 。检验端点： 时 ：，是过第三、四象限的水平线，不过第二象限； 时 ：，过原点，不过第二象限。故选 A． 7．过点 的直线 与 轴正半轴、 轴正半轴围成的三角形面积最小，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ：（，）。由 过 得 。 由基本不等式 ，得 ，当且仅当 时取等号。 故面积 ，在 、 时最小。 此时 ：，即 。故选 A． 通法：截距式 + 基本不等式，是“过定点、与两正半轴围成图形”的统一解法。 8．过点 且与点 、 距离相等的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】分两种情形（只有一种最容易漏）： ① 直线与 平行：，故 ，即 ； ② 直线经过 的中点：中点 ，斜率 ，故 ，即 。 故所求为 或 。故选 A． 提醒：“到两定点距离相等”包含“平行”与“过中点”两种情况。 【变式训练】 1．过点 且与直线 垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 ，与其垂直的直线斜率为 。 由点斜式得 ，整理得 。故选 A． 2．与直线 平行，且在两坐标轴上的截距之和为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所求直线为 。 令 得横截距 ；令 得纵截距 。 由 得 ，解得 。 故所求直线为 。故选 A． 3．直线 （）恒过定点______． 【答案】 【详解】把方程按 整理得 。 令 且 ，由 得 ，解得 ，。 故直线恒过定点 。 4．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所求直线上任意一点为 ，它关于 的对称点为 ，该点在直线 上。 所以 ，整理得 。故选 A． 5．过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 截距都为 ：直线过原点，设 ，代入 得 ，直线为 ； ② 截距不为 ：设直线为 ，即 ，代入 得 ，直线为 。 故所求为 或 。故选 A． 6．过点 的直线 不经过第四象限，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过 的直线：斜率不存在时 ： 过第四象限，舍去；故设 ，与 轴交于 ，与 轴交于 。 ① 时 ：，不过第四象限 ✓； ② 时，直线自左下向右上，要不过第四象限只须纵截距非负：，即 ； ③ 时，横坐标足够大时 会变成负值，必过第四象限，舍去。 综上 。故选 A． 7．过点 的直线 与 轴正半轴、 轴正半轴围成的三角形面积最小，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ：（，），由过 得 。 由 得 ，当且仅当 ，即 、 时取等。 故 ，此时 ：，即 。故选 A． 8．点 关于直线 的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设对称点为 。 ① 中点 在直线上：，化简得 ； ② 连线与直线垂直：直线斜率为 ，故 ，化简得 。 联立解得 ，，即对称点为 。故选 A． 9．已知 、，则线段 的垂直平分线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的中点为 ，。 垂直平分线与 垂直，故其斜率为 。 由点斜式得 ，即 。故选 A． 10．与直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于竖直线 对称，只须把原方程中的 换成 ： ，整理得 。故选 A． 对照：关于 轴对称换 ；关于 轴对称换 ；关于点 对称则换 、。 【巩固练习】 1．过点 且倾斜角为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由倾斜角为 得 。 由点斜式得 ，整理得 。故选 A． 2．过点 、 的直线的一般式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由斜率公式得 。由点斜式得 ，两边乘 得 ，即 。故选 A． 3．直线 关于 轴对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 轴对称只改变点的横坐标的符号，把原方程中的 换成 得 ，即 。故选 A． 4．过点 且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线为 （，）。 由直线过点 得 ；由三角形面积得 ，即 。 把 两边同乘 得 。 与 联立，解得 ，，故直线为 ，即 。故选 A． 5．点 关于直线 的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设对称点为 。 ① 中点在直线上：，化简得 ； ② 连线与直线垂直：直线的斜率为 ，故 ，化简得 。 联立解得 ，，即对称点为 。故选 A． 6．过点 且与原点距离为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 当斜率不存在时，直线为 ，原点到它的距离为 ，不合题意； ② 当斜率存在时，设直线为 ，即 。 由点到直线的距离公式得 ，两边平方得 ，即 ，解得 或 。当 时直线为 ；当 时直线为 。故选 A． 7．过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 截距相等且为 ：直线过原点，设 ，代入 得 ，直线为 ； ② 截距相等且不为 ：设直线为 ，即 ，代入 得 ，直线为 。 故所求为 或 。故选 A． 8．过点 的直线 与 轴正半轴、 轴正半轴围成的三角形面积最小，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ：（，），由过 得 。 由 得 ，，当且仅当 时取等号。 此时 ：，即 。故选 A． 9．点 关于直线 的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 即 ，关于它对称就是把横、纵坐标互换。故对称点为 。故选 A． 10．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所求直线上任意一点为 ，它关于 的对称点为 ，该点在已知直线上。 所以 ，整理得 ，即 。故选 A． 题型三 直线的平行与垂直 1. 已知直线与直线,则 ①,且； ②. 2. 已知直线,直线,则 ①且(或)； ②. 【例题精讲】 1．已知直线 ： 与 ：。若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【详解】由 得 ，即 ，解得 或 。 检验：当 时，： 即 ，：，两直线重合，不合题意； 当 时，：，：，两直线平行且不重合，符合题意。 综上 。故选 B． 2．已知直线 ： 与 ：。若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，即 ，解得 。故选 B． 3．过点 且与原点距离最大的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点 的直线到原点的距离最大时，该直线垂直于 ，此时最大距离为 。因为 ，所以所求直线的斜率为 。由点斜式得 ，即 。故选 A． 4．过直线 与 的交点，且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立 与 。由 代入得 ，解得 ，，交点为 。 设所求直线为 ，代入 得 ，解得 。 故所求直线为 。故选 A． 5．若两条平行直线 ： 与 ：（）之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先把两条直线的 、 系数化成相同：把 乘 得 。 由两平行线间的距离公式得 ，即 ，故 ，解得 或 。 因为 ，所以 。故选 A． 易错点：不化系数就套公式，会把分母算错。 6．过直线 与 的交点，且到原点距离最大的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先求交点：联立 与 ，两式相加得 ，故 ，，交点为 。 过定点 的直线中，到原点距离最大的那条垂直于 ，最大距离为 。 因为 是 轴，所以所求直线是过 的水平线 （此时距离恰为 ，取到最大值）。故选 A． 7．已知 、，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作 关于 轴的对称点 ，则 ，问题化为求 的最小值。 由三角形不等式 ，而 。 故最小值为 ，此时 为直线 与 轴的交点 。故选 A． 模型：“定点 + 定直线上的动点 + 两段距离之和”用对称转化。 8．已知直线 ： 与 ：。若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】两直线化为一般式：：，：。 由平行条件 ，即 ，整理得 ，解得 或 。 逐个检验是否重合： 当 时，：，： 即 ，两直线平行且不重合 ✓； 当 时，：，： 即 ，两直线重合 ✗。 综上 。故选 A． 铁律：解出参数后必须代回检验是否重合。 【变式训练】 1．已知直线 ： 与 ： 互相垂直，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 。 展开：，即 ，解得 或 。 检验：当 时，：，：，一条竖直一条水平，显然垂直； 当 时，：，：，两斜率之积为 ，也垂直。 综上 。故选 C． 2．与直线 平行，且与它的距离为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】设所求直线为 。 由两平行线间的距离公式得 ，即 ，故 ，解得 或 。 故所求直线为 或 。故选 A． 3．点 到直线 ： 的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点到直线的距离公式得 ，即 。两边平方得 ，整理得 ，即 ，解得 。故选 A． 4．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】① 求交点：联立 与 ，解得 ，，交点 必在所求直线上。 ② 在直线 上取点 ，设它关于 的对称点为 。 由中点在对称轴上得 ，即 ； 由连线与对称轴垂直得 ，即 。 联立解得 ，，即对称点为 。 ③ 过 、 的直线斜率为 ，方程为 ，即 。故选 A． 5．若直线 ： 与 ： 平行，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】由平行条件 ，即 ，解得 或 。 检验：当 时，：，：，平行且不重合；当 时，： 即 ，： 即 ，平行且不重合。 故 或 。故选 A． 6．若点 到直线 的距离等于 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】由点到直线的距离公式得 ，即 。 故 ，即 或 ，解得 或 。故选 A． 注意：去掉绝对值必须分两种情况，含参时尤其容易漏解。 7．已知 、，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作 关于 轴的对称点 ，则 。 于是 。 故最小值为 ，此时 为直线 与 轴的交点 。故选 A． 8．过直线 与 的交点，且与直线 垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立 与 ，两式相加得 ，故 ，，交点为 。 直线 的斜率为 ，与它垂直的直线斜率为 。 由点斜式得 ，整理得 。故选 A． 9．两平行直线 与 之间的距离为______． 【答案】 【详解】两条直线的 、 系数已完全相同，由距离公式得 。 10．已知直线 ：（），则坐标原点到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把方程按 整理得 ，令 且 ，解得 ，，故 恒过定点 。原点到 的距离不超过 ，当 时取到最大值 。故选 A． 【巩固练习】 1．若直线 ： 与 ： 平行，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，解得 。检验：：，： 即 ，两直线平行且不重合，符合题意。故选 A． 2．若直线 ： 与 ： 垂直，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，解得 。故选 A． 3．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点到直线的距离公式得 。故选 A． 4．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两条直线的 、 系数已完全相同，由两平行线间的距离公式得 。故选 A． 5．过直线 与 的交点，且垂直于直线 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立 与 。由 代入得 ，解得 ，，交点为 。直线 的斜率为 ，与它垂直的直线斜率为 。由点斜式得 ，即 。故选 A． 6．已知 、，若点 在 轴上，且 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，由 得 ，即 。 展开得 ，整理得 ，解得 。故点 的坐标为 。故选 A． 7．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点到直线的距离公式得 。故选 A． 8．若直线 ： 与 ： 平行，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【详解】由平行条件 ，即 ，解得 或 。 检验：当 时，：，：，两直线重合； 当 时，：，： 即 ，平行且不重合。 故 。故选 A． 9．过点 且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所求直线为 （与已知直线平行，、 系数成比例即取相同）。代入 得 ，即 ，解得 。故所求直线为 。故选 A． 10．两平行直线 与 之间的距离为______． 【答案】 【详解】先把系数化成相同：把第二条直线乘 得 。由距离公式得 。 题型四 距离问题 （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 【例题精讲】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直接代入点到直线的距离公式：。故选 A． 2．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两直线的 、 系数已相同，直接套用平行线距离公式：。故选 C． 3．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由距离公式得 ，即 ，所以 ，解得 。故选 C． 4．已知 、、，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先求底边 。 直线 的斜率 ，方程为 ，化为一般式 。 点 到直线 的距离（即高）。 故 。故选 A． 5．已知点 在直线 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 就是点 到原点 的距离的平方，即 。 在直线上运动时， 的最小值就是原点 到直线 的距离： 。 故 的最小值为 。故选 A． 转化思想： 型的最值一律看成“点到原点的距离”。 6．过点 且与点 的距离为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 先检验斜率不存在的情形：直线 ，点 到它的距离为 ，舍去； ② 设直线为 ，即 。 由距离公式得 。 两边平方得 ，整理得 ，即 ，解得 （唯一解）。 故直线为 ，即 。故选 A． 注意：这里只有一条，别惯性思维地硬凑两条。 7．若两条平行直线 与 之间的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】先把系数统一：把第一条直线乘 得 。 由距离公式得 。 故 ，解得 或 。故选 A． 通法：两平行线距离公式中，分子带绝对值，凡“已知距离求参数”必得两解。 8．已知 、、，若 的面积为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】底边 。 直线 的斜率 ，方程 ，化为一般式 。 点 到直线 的距离 。 由 ，得 ，解得 或 。故选 A． 易错点：面积公式里的绝对值不能丢，否则丢掉一半答案。 【变式训练】 1．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【详解】由距离公式得 ，即 ，。 所以 或 ，解得 或 。故选 C． 2．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先把系数统一：把 两边同乘 得 。 于是 。故选 A． 3．过点 作直线 ，使点 到 的距离最大，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点 到过 的直线的距离不超过 ，当且仅当 时取到最大值 。 因为 ，所以 。 故 ：，即 。故选 B． 4．已知点 在直线 上，且 到直线 的距离为 ，则点 的坐标为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】设 （因为 在 上）。由距离公式得 ，即 。 所以 或 ，解得 或 。对应 或 。故选 A． 5．已知点 在直线 上， 为坐标原点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，而 的最小值是原点 到直线 的距离： 。故 的最小值为 。故选 A． 6．若两条平行直线 与 之间的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】把第一条直线乘 得 。由距离公式得 ，故 ，解得 或 。故选 A． 7．过点 且与点 的距离为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 斜率不存在时，直线为 ，点 到它的距离为 ，舍去； ② 设直线为 ，即 。 由 得 ，整理得 ，解得 或 。 故所求直线为 或 。故选 A． 8．已知点 在直线 上，则点 到原点距离的最小值为______． 【答案】 【详解】最小值就是原点到直线的距离：。 9．过点 且与点 、 距离相等的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】① 直线与 平行：，故 ，即 ；② 直线经过 的中点：中点为 ，它与 的纵坐标相同，故直线为 （此时 、 到它的距离都是 ✓）。故所求为 或 。故选 A． 10．已知 ，点 在直线 ： 上，则 的最小值为______． 【答案】 【详解】 的最小值就是点 到直线 的距离（垂线段最短）。代入距离公式得 。此时点 是 在 上的投影，即过 垂直于 的直线 与 的交点 。 【巩固练习】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】代入公式得 。故选 C． 2．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把 两边同乘 得 。 。故选 A． 3．已知点 ，则点 到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以 。 又 ，且恒小于 ，故 。 当 时， 取最大值 。故选 A． 4．过点 且与点 、 距离相等的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】① 若直线斜率不存在，则为 ，点 到它距离为 ，点 到它距离为 ，不合题意。 ② 设直线为 ，即 。 由两点到直线距离相等得 ，即 。 所以 或 ，解得 或 。 对应直线为 与 ，即 或 。故选 A． 5．已知 、、，则 的面积为______． 【答案】 【详解】；直线 的方程为 ，即 。 点 到直线 的距离 。故 。 6．已知点 在直线 上， 为坐标原点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的最小值就是原点 到直线 的距离。。故选 A． 7．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入公式得 。故选 A． 8．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两条直线的 、 系数已相同，。故选 A． 9．已知 、、，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 、 的纵坐标相同，取 为底：。点 到直线 （即 ）的距离为高：。故 。故选 A． 10．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】由距离公式得 ，即 ，故 ，解得 或 。故选 A． 题型五 对称问题 1.常规方法： （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 2.常用技巧： （1）点关于点对称： 设点对称中心为, 则关于的对称点为 （2）点关于线对称的一般性结论： 点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为 （3）线关于点对称的一般性结论： 设原直线, 对称中心则对称直线方程为： 或 推导：由轨迹法，将代入整理即得。 公式2：斜截式速算 若, 对称中心则方程为： 结论：斜率不变（因平行），仅截距变化。 （4）线关于线对称的一般性结论： 对于任意直线和对称轴, 对称直线的方程可由对称点性质推导，公式： 【例题精讲】 1．点 关于点 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设对称点为 ，则 是 的中点，故 ，，解得 ，。故选 A． 2．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 即 。关于 对称的变换为 。所以 的对称点为 。检验：中点为 ，满足 ；连线斜率 ，与对称轴斜率 垂直。故选 A． 3．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设对称点为 。① 中点在对称轴上：，化简得 ；② 连线与对称轴垂直：对称轴斜率为 ，故 ，化简得 。联立解得 ，，即 。故选 B． 4．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对称后的直线与原直线平行，设为 。在原直线上取点 ，它关于 的对称点为 。代入得 ，即 。另取点 ，其对称点为 ，代入 得 ，验证无误。故选 C． 5．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对称轴 即 ，其反射变换为 。把 中的 换成 ，得，即 ，整理得 。检验交点不动：联立 与 ，两式相减得 ，故 ，，交点 。把 代入 得 ✓，交点确在所求直线上。故选 A． 6．一束光线从点 射到 轴上的点 ，反射后经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作 关于 轴的对称点 ，则反射点 就是直线 与 轴的交点。直线 的斜率 ，方程为 。令 得 ，故 ，，即 。故选 A． 反射模型：入射点 = 对称点与出射点连线和镜面的交点。 7．已知点 、，点 在直线 ： 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先判断 、 与直线 的关系：，，两点在 的同侧。 作 关于 的对称点 ： ① 中点 在 上：，即 ； ② 连线与 垂直（ 的斜率为 ）：，即 。 联立解得 ，即 。 于是 。故选 A． 8．一束光线沿直线 射到 轴上，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】反射光线所在的直线就是入射光线关于 轴的对称图形。 关于 轴对称只须把 换成 ：，即 。故选 A． 检验：入射光线与 轴交于 ，它也在 上 ✓（反射点在镜面上不动）。 【变式训练】 1．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设对称点为 。 ① 中点在直线上：，即 ； ② 连线垂直于对称轴：对称轴斜率为 ，故 ，即 。 联立得 ，，，故对称点为 。故选 A． 2．直线 关于 轴对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于 轴对称时，把 换成 即可：，即 。故选 B． 3．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对称轴 即 ，其反射变换为 。 把 中的 替换为 ，得 ，化简得 。 检验：解方程组 与 得交点 ，它满足 ，确为对称轴上的不动点。故选 A． 4．已知 、，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作 关于 轴的对称点 ，则 。于是 ，当 、、 三点共线时取等号。。故选 C． 5．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设对称点为 。 ① 中点 在对称轴上：，化简得 ； ② 连线与对称轴垂直（对称轴斜率为 ）：，即 。 联立解得 ，，即对称点为 。故选 A． 6．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对称后的直线与原直线平行，设为 。 在原直线上取点 ，它关于 的对称点为 。 代入得 ，即 ，解得 。 故所求直线为 。故选 A． 7．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 对称的变换为 。 把 中的 换成 ，得 ，整理得 。故选 A． 对照：关于 对称换 ；关于 对称换 ，别记混。 8．一束光线从点 射到 轴上的点 ，反射后经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作 关于 轴的对称点 ，则反射点 是直线 与 轴的交点。 直线 的斜率 ，方程为 ，即 。 令 得 ，即 。故选 A． 9．已知点 、，点 在直线 ： 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、 到 的符号分别为 、，两点在 同侧。 作 关于 的对称点 ： ① 中点在 上：，即 ； ② 连线与 垂直（ 斜率为 ）：，即 。 联立解得 ，，即 。 于是 。故选 A． 10．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 对称的变换为 。 所以 的对称点为 。故选 A． 验证：中点 满足 ✓；连线斜率 ，与对称轴垂直 ✓。 【巩固练习】 1．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设对称点为 。 ① 中点在直线上：，化简得 ； ② 连线垂直于对称轴：对称轴斜率为 ，故 ，化简得 。 由 代入得 ，，。故选 A． 2．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设所求直线为 （与原直线平行）。 取原直线上一点 ，它关于 的对称点为 。 代入得 ，，故所求直线为 。故选 B． 3．一束光线从点 射到 轴上的点 ，反射后经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作 关于 轴的对称点 ，则反射点 就是直线 与 轴的交点。 直线 的斜率 ，方程为 。 令 得 ，，。故 。故选 A． 4．已知 、，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作 关于 轴的对称点 ，则 。 。故选 C． 5．点 关于直线 的对称点的坐标为______． 【答案】 【详解】直线 即 ，关于 对称的变换为 。 故 的对称点为 。 6．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于 对称时，把 与 互换即可：，即 。故选 D． 7．点 关于 轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称的变换为 ，故 的对称点为 。故选 A． 8．直线 关于 轴对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称时，把 换成 ：，整理得 。故选 A． 9．点 关于直线 的对称点坐标为______． 【答案】 【详解】关于 对称的变换为 。 故 的对称点为 。 验证：中点 满足 ✓；连线斜率 ，与 垂直 ✓。 10．一束光线从点 射到 轴上的点 ，反射后经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作 关于 轴的对称点 ，则 是直线 与 轴的交点。 直线 的斜率 ，方程为 ，即 。 令 得 ，即 。故选 A． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01直线及其方程 题型一 直线的倾斜角与斜率 1 题型二 直线的方程 4 题型三 直线的平行与垂直 6 题型四 距离问题 8 题型五 对称问题 11 题型一 直线的倾斜角与斜率 1.求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； 2.解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 【例题精讲】 1．（多选）下列说法正确的是（　　） A．任何一条直线都有唯一的倾斜角 B．任何一条直线都有斜率 C．倾斜角越大，直线的斜率越大 D．若直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的斜率为 2．已知直线 经过 、 两点，且 的倾斜角为 ，则 （　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知 、、 三点共线，则 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若直线 的倾斜角 满足 ，则 的斜率 （　　） A． B． C． D． 5．若直线 的斜率 满足 ，则 的倾斜角 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知直线 的倾斜角 ，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若过 、 两点的直线的倾斜角为锐角，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知点 、，直线 过点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知直线 经过 、 两点，且 的倾斜角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知直线 的倾斜角是直线 ： 的倾斜角的 倍，则 的斜率为（　　） A． B． C． D． 3．已知 、、 三点共线，则 （　　） A． B． C． D． 4．（多选）已知 、、，则（　　） A．直线 的倾斜角是锐角 B．直线 的斜率为 C．直线 与直线 垂直 D． 是直角三角形 5．若过点 、 的直线的倾斜角为钝角，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若直线 的倾斜角 ，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知点 、、，若直线 过点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知点 ，、，直线 过点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若过 、 两点的直线的倾斜角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 、、 三点共线，则 ______． 3．直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）已知直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，则（　　） A． 的斜率为 B． 的斜率为 C． 与 的倾斜角互补 D． 5．（多选）下列命题正确的是（　　） A．直线的倾斜角 的取值范围是 B．若直线的斜率为 ，则它的倾斜角一定为 C．斜率不存在的直线垂直于 轴 D．若两条不重合的直线斜率相等，则它们的倾斜角相等 6．若直线 的斜率 满足 ，则 的倾斜角 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．过 、 两点的直线的倾斜角为钝角，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知点 ，、，直线 过点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．已知点 ，、，直线 过原点 且与线段 有公共点，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型二 直线的方程 1. 已知点和斜率，选择点斜式方程； 2. 已知两点坐标，选择两点式方程； 3. 已知斜率和轴截距，选择斜截式方程； 4. 已知两轴截距，选择截距式方程. 【例题精讲】 1．过点 且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 2．过点 且在 轴、 轴上的截距相等的直线方程为（　　） A． B． C． 或 D． 或 3．已知直线 ：（），则 恒过的定点为（　　） A． B． C． D． 4．点 关于直线 ： 的对称点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 6．已知直线 ：（）不经过第二象限，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．过点 的直线 与 轴正半轴、 轴正半轴围成的三角形面积最小，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 8．过点 且与点 、 距离相等的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 【变式训练】 1．过点 且与直线 垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 2．与直线 平行，且在两坐标轴上的截距之和为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 3．直线 （）恒过定点______． 4．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 5．过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 6．过点 的直线 不经过第四象限，则 的斜率 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．过点 的直线 与 轴正半轴、 轴正半轴围成的三角形面积最小，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 8．点 关于直线 的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．已知 、，则线段 的垂直平分线的方程为（　　） A． B． C． D． 10．与直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．过点 且倾斜角为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 2．过点 、 的直线的一般式方程为（　　） A． B． C． D． 3．直线 关于 轴对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 4．过点 且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 5．点 关于直线 的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．过点 且与原点距离为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 7．过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 8．过点 的直线 与 轴正半轴、 轴正半轴围成的三角形面积最小，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 9．点 关于直线 的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 题型三 直线的平行与垂直 1. 已知直线与直线,则 ①,且； ②. 2. 已知直线,直线,则 ①且(或)； ②. 【例题精讲】 1．已知直线 ： 与 ：。若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 2．已知直线 ： 与 ：。若 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．过点 且与原点距离最大的直线方程为（　　） A． B． C． D． 4．过直线 与 的交点，且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 5．若两条平行直线 ： 与 ：（）之间的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．过直线 与 的交点，且到原点距离最大的直线方程为（　　） A． B． C． D． 7．已知 、，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知直线 ： 与 ：。若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【变式训练】 1．已知直线 ： 与 ： 互相垂直，则 （　　） A． B． C． D． 2．与直线 平行，且与它的距离为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 3．点 到直线 ： 的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 5．若直线 ： 与 ： 平行，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 6．若点 到直线 的距离等于 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 7．已知 、，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．过直线 与 的交点，且与直线 垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 9．两平行直线 与 之间的距离为______． 10．已知直线 ：（），则坐标原点到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若直线 ： 与 ： 平行，则 （　　） A． B． C． D． 2．若直线 ： 与 ： 垂直，则 （　　） A． B． C． D． 3．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 4．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 5．过直线 与 的交点，且垂直于直线 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 6．已知 、，若点 在 轴上，且 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 8．若直线 ： 与 ： 平行，则 （　　） A． B． C． 或 D． 9．过点 且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 10．两平行直线 与 之间的距离为______． 题型四 距离问题 （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 【例题精讲】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 3．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 、、，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 5．已知点 在直线 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．过点 且与点 的距离为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 或 7．若两条平行直线 与 之间的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 8．已知 、、，若 的面积为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【变式训练】 1．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 或 2．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 3．过点 作直线 ，使点 到 的距离最大，则 的方程为（　　） A． B． C． D． 4．已知点 在直线 上，且 到直线 的距离为 ，则点 的坐标为（　　） A． 或 B． C． D． 或 5．已知点 在直线 上， 为坐标原点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．若两条平行直线 与 之间的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 7．过点 且与点 的距离为 的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 8．已知点 在直线 上，则点 到原点距离的最小值为______． 9．过点 且与点 、 距离相等的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 或 10．已知 ，点 在直线 ： 上，则 的最小值为______． 【巩固练习】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 3．已知点 ，则点 到直线 的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．过点 且与点 、 距离相等的直线方程为（　　） A． 或 B． C． D． 5．已知 、、，则 的面积为______． 6．已知点 在直线 上， 为坐标原点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 8．两平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 9．已知 、、，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 10．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 题型五 对称问题 1.常规方法： （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 2.常用技巧： （1）点关于点对称： 设点对称中心为, 则关于的对称点为 （2）点关于线对称的一般性结论： 点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为 （3）线关于点对称的一般性结论： 设原直线, 对称中心则对称直线方程为： 或 推导：由轨迹法，将代入整理即得。 公式2：斜截式速算 若, 对称中心则方程为： 结论：斜率不变（因平行），仅截距变化。 （4）线关于线对称的一般性结论： 对于任意直线和对称轴, 对称直线的方程可由对称点性质推导，公式： 【例题精讲】 1．点 关于点 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 4．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 5．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 6．一束光线从点 射到 轴上的点 ，反射后经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．已知点 、，点 在直线 ： 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．一束光线沿直线 射到 轴上，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．直线 关于 轴对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 3．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 4．已知 、，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 6．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 7．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 8．一束光线从点 射到 轴上的点 ，反射后经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．已知点 、，点 在直线 ： 上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．直线 关于点 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 3．一束光线从点 射到 轴上的点 ，反射后经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．已知 、，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．点 关于直线 的对称点的坐标为______． 6．直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 7．点 关于 轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．直线 关于 轴对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 9．点 关于直线 的对称点坐标为______． 10．一束光线从点 射到 轴上的点 ，反射后经过点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $