复习参考题2第20题及16个变式专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一复习参考题2第20题及其16个变式 变式主题——有关圆的最短、最长弦问题 【人教A版选择性必修一复习参考题2第20题】已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. 【详解】（1）直线的方程可化为，联立，解得，故直线恒过定点. （2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长；设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，则直线的斜率为，由得直线的斜率为， 解得，此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为，∴最短弦长， 故当过圆心时弦长最长；当直线时，直线被圆截得的弦长最短，当的方程为时最短；；最短弦长为. （变式1）（改变直线方程）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长． 【分析】（1）直线若过定点，则无论取何值，直线的方程都成立，因此将方程化为，解方程组可得定点坐标； （2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长；当圆心到直线的距离最长时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解即可求得相应的的值以及最短弦长． 【详解】（1）由，知．由，得. 所以当时，无论取何值，方程都成立.所以直线恒过定点. （2） 由（1）知直线恒过定点，记.由圆的方程，得， 半径为5.如图1，当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，且等于直径. 将代入方程可得.此时直线方程为：； 如图2，当圆心到直线的距离最长，即时，直线被圆截得的弦长最短. 因为，且所以直线的斜率为-1，所以直线的方程为 即.对照方程，得，解得. 此时，，所以弦长为.故当直线过圆心，即时，直线被圆截得的弦长最长；当时，直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，此时. （变式2）(数据不变改变题型） （多选）已知圆，直线.（   ） A．直线恒过定点 B．直线是否与圆相交与的取值有关 C．当直线被圆截得的弦最长时，直线的方程是 D．直线被圆截得的最短弦长是 【答案】AC 【详解】对于A，易知，令，解之得，即该直线过定点，故A正确；对于B，将代入圆的方程，可知该定点在圆内，所以直线l必与圆C相交，故B错误；对于C，显然直线过圆心时，此时弦长最长，易知，由两点式可知，整理得，故C正确；对于D，当圆心与定点连线垂直于l时，此时弦长最短，即圆心到直线l的最大距离，所以此时弦长，故D错误.故选：AC （变式3）(数据改变题型改变） 已知圆，直线下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线被圆截得弦长存在最大值，此时直线的方程为 D．直线被圆截得弦长存在最小值，此时直线的方程为 【答案】D 【分析】对选项A，根据直线恒过点，即可判断A错误.对选项B，根据弦长公式即可判断B错误； 对选项C，根据直线与圆的位置关系即可判断C错误.对选项D，根据直线与圆的位置关系即可判断D正确. 【详解】对选项A，直线，化简得：， ，直线恒过点，故A错误.对选项B，圆心到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误.对选项C，因为在圆内部，当直线过圆心时截得弦长最大，将代入无解，故C错误.对选项D，当直线时，截得弦长最小，，，即，故D正确.故选：D （变式4）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线 C．对任意实数，直线都与圆相交 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，变形后联立方程组，求出所过定点；B选项，在A的基础上，得到直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线；C选项，由点到直线距离公式得到在圆内，从而得到直线都与圆相交；D选项，根据几何关系得到弦长最值. 【详解】对于A：直线的方程可化为，联立，解得 所以直线恒过定点，∴A正确；对于B：由A可知，直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，∴B错误；对于C，因为，故直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确；对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，因为，所以最短弦长为，∴D正确．故选：ACD． （变式5）（多选）已知直线，圆，下列命题正确的有（     ） A．直线恒过定点； B．若直线被圆截得弦长为，则或； C．若直线与圆相切，则； D．过定点的圆的最短弦所在直线方程为2. 【答案】ACD 【分析】根据直线方程，可判定A正确；根据圆的弦长公式和点到直线的距离公式，可判定B错误；利用直线与圆的位置关系，列出方程，可判定C正确；根据圆的弦的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，令，可得，所以直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 由圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得弦长为， 可得，可得，所以，整理得，解得， 所以B不正确；对于C，当直线与圆相切时，可得，即，整理得，解得，所以C正确；对于D，由点和，可得，由圆的性质知，过圆内定点的最短弦与定点和圆心的连线垂直，所以，所以直线的方程为， 即，所以D正确. （变式6）直线被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过的定点，当该定点为弦的中点时弦长最短，利用点斜式求出直线方程，整理成一般式即可. 【详解】,即，令，解得 即直线过定点,圆的圆心为，半径为，最短弦所在直线的方程为,整理得最短弦所在直线的一般方程是. （变式7）已知实数，，满足，则直线恒过定点_______，该直线被圆所截得弦长的取值范围为_______. 【答案】 【分析】根据题中等式，化简直线方程即可得出结果； 运用几何法计算圆的弦长最值即可. 【详解】，，过定点；设直线被圆所截的弦为，定点在圆内，，即. （变式8）已知直线，圆的方程为：，则直线恒过定点______________；若直线与圆相较于，两点，则弦长度的最小值______________； 【答案】 【解析】转化直线为，恒过定点，因此且联立即得定点坐标，当直线与垂直时，弦最短，利用勾股定理即得解. 【详解】，，则 所以直线恒过定点. 当直线与垂直时，弦最短，最小值 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. （变式9）已知直线恒过定点A，点B，C为圆上的两动点，满足，则弦BC长度的最大值为___________． 【答案】 【解析】由题意得，设BC的中点为，由垂径定理可得点在以为圆心，半径为的圆上，求出后即可得解. 【详解】直线恒过定点A，，圆的半径，圆心为，设BC的中点为，则弦BC的弦心距为，，由可知，，即，化简得，点在以为圆心，半径为的圆上，点O在此圆内， ，. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解和圆的性质，考查了转化化归思想，属于中档题. （变式10）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 【答案】9 【分析】确定直线过定点，进而求得弦长最大、最小值，即可求解. 【详解】直线：可化为，由可得，即直线过定点，因为，所以点在圆C内，当点为直线被圆C截得的弦的中点时，弦长最短，点到圆心的距离，所以直线被圆C截得的最短弦长为，最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是.又弦长为6，7，8，9的直线各两条，弦长为10的直线有一条，又直线被圆C截得弦长为，不是整数，所以截得的弦中长度为整数的直线共有9条. （变式11）已知圆，直线，m为任意实数. 从圆外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】连接，，利用圆的切线性质结合已知条件得，利用两点之间的距离公式可得解. 【详解】连接，，则切线，，又，利用两点之间的距离公式得， 所以点P的轨迹方程为。 （变式12）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 【答案】 【分析】求出圆的圆心、半径及直线所过定点，再利用圆的性质求解. 【详解】直线方程为，直线过定点，圆的圆心，半径，由，得点在圆内，当时，直线被圆截得的弦长最短， 则最短弦长；当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，由，得，直线的方程为，即. （变式13）已知直线l：和圆C：． (1)求证：直线l恒过一定点M； (2)试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短； (3)在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值； （3）由（2）得，直线：，画出图形，可知所求圆的圆心，联立直线方程求得圆心坐标，再求出所求圆的半径，则圆的标准方程可求． 【详解】（1）由直线l：，得， 联立解得，∴直线l恒过一定点． （2）要使直线l被圆C所截得的弦长最短，则l⊥CM，化圆C：为，可得，则，∴，解得． （3）由（2）得，直线：，即． 如图，过C与直线垂直的直线方程为，即．联立， 解得而C到直线的距离，∴所求圆的半径为． 故圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为． （变式14）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为. （1）求证：直线恒过定点； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程； （3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）直线可理解为过定点的直线系，求出直线恒过的定点； （2）说明直线被圆C截得的弦长最短时，圆心与定点连线与直线垂直，求出斜率即可得到直线的方程；． （3）问题可转化为以为圆心，为半径画圆，当圆与圆相交时满足题意. 【详解】（1），由 得 ，即直线过定点. （）方法一：由题意可知：圆心， ， 又当所截弦长最短时， ，所求的直线方程为. 方法二：∵圆心到直线的距离， ，设弦长为，则， 当所截弦长最短时， 取最大值，∴，令，． 令，当时， 取到最小值． 此时， 取最大值，弦长取最小值，直线上方程为． （）设，当以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆相交时， ，解得，∴点横坐标的取值范围为． （变式15）直线，圆. (1)证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标； (2)当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程； (3)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程. 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】（1）将直线化为，令即可求解； （2）当与垂直时，直线被圆截得的弦最短，根据即可求解； （3）方法1（几何法）：当时，有最大值，此时面积有最大值； 方法2：根据垂径定理与点到直线的距离公式将面积转化为关于点到直线的距离的方程，利用二次函数的最值问题即可求解. 【详解】（1）由题意知可化为，故解得直线恒过定点. （2）因为所以圆的圆心为，半径，如图所示：   当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直，又，， ，即. （3）方法1（几何法） ，且为钝角， 当时有最大值，即面积有最大值，此时同（2），即. 方法2 设圆心到直线的距离为，则， ， 当时有最大值，此时同（2）， 或者由，，解得， . （变式16）已知直线和以点为圆心的圆． (1)求证：直线恒过定点； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长； (3)设恒过定点，点满足，记以点、（坐标原点）、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)见解析；(2)，弦长的最小值为 (3)当点的坐标为时，四边形的面积取最大值，且最大值为. 【分析】（1）将直线的方程变形，联立方程组可求得直线所过定点的坐标； （2）分析可知，当时，圆心到直线的距离达到最大值，此时，直线截得的弦长最短，根据直线的斜率关系可求得的值，求出圆心到直线距离的最大值，再结合弦长公式可求出直线被圆截得弦长的最小值； （3）设点，利用距离公式可化简得出点的轨迹方程，数形结合可求出四边形面积的最大值及其对应的点的坐标. 【详解】（1）将直线的方程化为，由可得，故直线恒过定点. （2）当时，圆心到直线的距离达到最大值，此时，直线被圆C截得的弦长最短， 此时，，所以，直线的斜率为，解得，且， 此时，直线被圆截得的弦长最小，且其最小值为. （3）由（1）可知，点，设点，则，整理可得， 由可得，解得，又因为点，由下图可知， 当点的坐标为时，点到轴的距离最大，此时，的面积最大，此时，四边形的面积取最大值，即四边形的面积. 故当点的坐标为时，四边形的面积取最大值，且最大值为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一复习参考题2第20题及其16个变式 变式主题——有关圆的最短、最长弦问题 【人教A版选择性必修一复习参考题2第20题】已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. （变式1）（改变直线方程）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长． （变式2）(数据不变改变题型） （多选）已知圆，直线.（   ） A．直线恒过定点 B．直线是否与圆相交与的取值有关 C．当直线被圆截得的弦最长时，直线的方程是 D．直线被圆截得的最短弦长是 （变式3）(数据改变题型改变） 已知圆，直线下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线被圆截得弦长存在最大值，此时直线的方程为 D．直线被圆截得弦长存在最小值，此时直线的方程为 （变式4）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线 C．对任意实数，直线都与圆相交 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 （变式5）（多选）已知直线，圆，下列命题正确的有（     ） A．直线恒过定点； B．若直线被圆截得弦长为，则或； C．若直线与圆相切，则； D．过定点的圆的最短弦所在直线方程为2. （变式6）直线被圆所截得的弦中，最短弦所在直线的一般方程是__________． （变式7）已知实数，，满足，则直线恒过定点_______，该直线被圆所截得弦长的取值范围为_______. （变式8）已知直线，圆的方程为：，则直线恒过定点______________；若直线与圆相较于，两点，则弦长度的最小值______________； （变式9）已知直线恒过定点A，点B，C为圆上的两动点，满足，则弦BC长度的最大值为___________． （变式10）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. （变式11）已知圆，直线，m为任意实数. 从圆外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且则点P的轨迹方程为 ． （变式12）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. （变式13）已知直线l：和圆C：． (1)求证：直线l恒过一定点M； (2)试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短； (3)在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． （变式14）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为. （1）求证：直线恒过定点； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程； （3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围. （变式15）直线，圆. (1)证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标； (2)当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程； (3)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程. （变式16）已知直线和以点为圆心的圆． (1)求证：直线恒过定点； (2)当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长； (3)设恒过定点，点满足，记以点、（坐标原点）、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $