3.2.2 函数的奇偶性（8个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 函数的奇偶性 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为奇函数． 关于原点对称 偶函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且_ _____，那么称函数为偶函数． 关于轴对称 当函数是奇函数或偶函数时，称具有__ 奇偶性____．奇函数和偶函数的定义域关于__原点____对称． 2．若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上_单调递减 ________，即在对称区间上单调性__相反______．符号相同 3．若为奇函数且在区间上单调递增，则在上___单调递增_____，即在对称区间上单调性___一致（相同）_____．符号相同 4．函数的对称性 （1）已知，则的图象关于__直线___对称； （2）已知，则的图象关于_____对称； 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 函数的奇偶性的定义与判断 基础知识 核心知识 奇函数：定义域关于原点对称满足图像关于原点对称 偶函数：定义域关于原点对称满足图像关于y轴对称 定义域不关于原点对称函数为非奇非偶函数 方法技巧 1.优先求定义域验证定义域是否关于原点对称 2.写出化简对比与的关系 3.特殊情况定义域关于原点对称既是奇函数又是偶函数 4.分段函数判断奇偶性需对每一段代入分别验证 典型例题 【例题 1】（26-27高三上·天津·期中）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）判断函数的奇偶性. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【题型2】 由函数的奇偶性求参数 基础知识 核心知识 奇偶函数定义域必须关于原点对称奇函数若在有定义必有 方法技巧 1.方法一：利用或恒成立对应同类项系数相等列方程 2.方法二：奇函数含直接使用快速求参求出后必须回代检验 3.先根据定义域关于原点对称得到参数限制条件 4.求出参数后代回原式重新验证奇偶性排除增根 典型例题 【例题1】（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值为（    ） A． B．3 C．2 D．6 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）（1）函数是偶函数，且定义域是，求的值. （2）已知函数，若函数为偶函数，求 的值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数为奇函数，求的值. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数为偶函数，求实数的值. 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________ 【题型3】 由函数的奇偶性求解析式 基础知识 核心知识 已知的解析式利用奇偶性推导的解析式 方法技巧 1.设所求区间内自变量则落在已知解析式的区间内 2.将代入已知表达式求出 3.根据奇偶性或转化得到 4.单独写出处函数值最后写成分段函数形式 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【例题2】（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高三上·湖南·阶段检测）（多选）若为上的奇函数，为上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·浙江金华·期末）（多选）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【题型4】 由函数的奇偶性单调性判断函数的图像 基础知识 核心知识 偶函数图像关于y轴对称左右区间单调性相反 奇函数图像关于原点对称左右区间单调性相同 方法技巧 1.先分析一侧区间的函数图像与增减性 2.利用对称性画出另一半图像 3.奇函数图像过原点（有定义时） 4.结合特殊点函数值排除错误选项 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一下·山东·学业考试真题）已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【巩固练习2】（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·全国·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【题型5】 由函数的奇偶性单调性解抽象不等式 基础知识 核心知识 奇偶性实现自变量正负转化单调性脱去符号 方法技巧 1.先写出函数定义域 2.利用奇偶性统一不等式两边内的形式转化到同一个单调区间 3.根据单调性去掉转化自变量不等式 4.联立定义域取交集得到解集 典型例题 【例题1】（2027高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2027高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·天津河西·开学考试）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【题型6】 局部奇函数的求值 基础知识 核心知识 形如为奇函数则局部奇函数指一部分是奇函数 方法技巧 1.拆分函数表达式分离出奇函数部分与常数部分 2.奇函数部分满足即 3.代入自变量两式相加消去奇函数部分快速求值 4.遇到多个自变量求和问题优先使用该整体代换技巧 典型例题 【例题1】（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【巩固练习2】（25-26高一上·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________． 【巩固练习3】若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为_____． 【题型7】 抽象函数的奇偶性与单调性 基础知识 核心知识 抽象函数无解析式依靠函数关系式推导奇偶性再结合单调性解题 方法技巧 1.使用赋值法令等求特殊函数值推导与关系判断奇偶 2.任取构造判断符号推导单调性 3.综合奇偶+单调性用于比较大小或者解不等式 4.牢记抽象函数赋值只能代定义域内的值 典型例题 【例题1】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【例题2】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知函数的定义域为，对任意的，，都有 ，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·浙江衢州·期末）（多选）定义在上的函数，满足当时，，且，，都有，下列说法正确的是（      ） A． B．是偶函数 C． D．若，则 【巩固练习2】（2026·江西吉安·一模）（多选）已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递增 【巩固练习3】（25-26高一上·江西宜春·期末）（多选）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【题型8】 抽象函数的奇偶性对称性周期性求值 基础知识 核心知识 奇偶性+一条对称轴周期 奇偶性+一个对称中心周期 方法技巧 1.翻译题干条件将对称轴对称中心写成函数等式 2.结合奇偶性推导函数周期 3.利用周期性把大自变量化简到小范围再代入求值 4.多条件叠加时优先推导周期再循环转化自变量 典型例题 【例题1】（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·湖南·期中）已知函数是定义域为的奇函数，函数是偶函数，,则_____． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______． 【巩固练习3】（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·天津南开·期末）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知函数的定义域为，为奇函数，，则（    ） A．16 B．0 C．22 D．32 3．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（26-27高一上·全国·期中）已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 5．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为4 C． D． 三、填空题 6．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 7．（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是______． 8．（26-27高三上·山东·期中）设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 9．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 10．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 11．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 四、解答题 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 13．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 14．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 15．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 16．（25-26高一上·陕西安康·期末）已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)已知集合，，求. 17．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 18．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数． (1)若，判断的奇偶性； (2)若，． （ⅰ）用定义法证明在上单调递减； （ⅱ）设，已知存在，，使得，求实数的取值范围． $3.2.2 函数的奇偶性 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且______，那么称函数为奇函数． 关于原点对称 偶函数 一般地，设函数的定义域是，如果对任意的，有______，且_ _____，那么称函数为偶函数． 关于轴对称 当函数是奇函数或偶函数时，称具有__ 奇偶性____．奇函数和偶函数的定义域关于__原点____对称． 2．若为偶函数且在区间（）上单调递增，则在上_单调递减 ________，即在对称区间上单调性__相反______．符号相同 3．若为奇函数且在区间上单调递增，则在上___单调递增_____，即在对称区间上单调性___一致（相同）_____．符号相同 4．函数的对称性 （1）已知，则的图象关于__直线___对称； （2）已知，则的图象关于_____对称； 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 函数的奇偶性的定义与判断 基础知识 核心知识 奇函数：定义域关于原点对称满足图像关于原点对称 偶函数：定义域关于原点对称满足图像关于y轴对称 定义域不关于原点对称函数为非奇非偶函数 方法技巧 1.优先求定义域验证定义域是否关于原点对称 2.写出化简对比与的关系 3.特殊情况定义域关于原点对称既是奇函数又是偶函数 4.分段函数判断奇偶性需对每一段代入分别验证 典型例题 【例题 1】（26-27高三上·天津·期中）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一判断即可. 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，因为，故是奇函数，即A错误； 对于B，因为，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误. 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）判断函数的奇偶性. 【答案】既不是奇函数也不是偶函数 【详解】当时，； 当时，； 而当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)既是奇函数又为偶函数 【详解】（1）定义域：，因为对于任意，且，所以为奇函数. （2）定义域：，即，所以为非奇非偶函数. （3）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数. （4）定义域：，即或，所以， ，所以，所以函数为奇函数 （5）定义域：，解得，所以，因此既是奇函数又为偶函数. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)偶函数 【详解】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是偶函数. （3）的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. 【题型2】 由函数的奇偶性求参数 基础知识 核心知识 奇偶函数定义域必须关于原点对称奇函数若在有定义必有 方法技巧 1.方法一：利用或恒成立对应同类项系数相等列方程 2.方法二：奇函数含直接使用快速求参求出后必须回代检验 3.先根据定义域关于原点对称得到参数限制条件 4.求出参数后代回原式重新验证奇偶性排除增根 典型例题 【例题1】（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值为（    ） A． B．3 C．2 D．6 【答案】C 【分析】结合函数图象平移变换得的图象关于直线对称，进而得，再解方程即可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以图象关于直线对称， 因为的图象由图象向右平移1个单位得到， 所以，的图象关于直线对称， 所以，的定义域为区间中点等于对称轴横坐标,即，解得， 所以，实数的值为. 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）（1）函数是偶函数，且定义域是，求的值. （2）已知函数，若函数为偶函数，求 的值. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）根据函数是偶函数，定义域关于原点对称，建立方程组即可求解. （2）根据题意得 为奇函数，利用奇函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为偶函数的定义域是，所以，得到； 所以是偶函数，所以，所以， 所以. （2）令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数为奇函数，求的值. 【答案】 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数为偶函数，求实数的值. 【答案】 【分析】利用偶函数定义可得对于任意的，，随后利用结合验证可得答案. 【详解】因函数为偶函数，且定义域为，则对于任意的，， 取，得， 从而. 当时，满足题设，故. 【巩固练习3】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________ 【答案】 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，因此其定义域关于原点对称， 故，则. 【题型3】 由函数的奇偶性求解析式 基础知识 核心知识 已知的解析式利用奇偶性推导的解析式 方法技巧 1.设所求区间内自变量则落在已知解析式的区间内 2.将代入已知表达式求出 3.根据奇偶性或转化得到 4.单独写出处函数值最后写成分段函数形式 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以， 所以． 【例题2】（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则__________． 【答案】 【详解】设 ，. 因为 为奇函数，所以对任意 ，有 ， 即 ；① 因为 为偶函数，所以对任意 ，有 ， 即 ，整理得 .② 由①得 .③ 由②③联立，得 ， 即 ， 故 . 所以 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 【巩固练习2】（26-27高三上·湖南·阶段检测）（多选）若为上的奇函数，为上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义结合赋值法求解. 【详解】选项AB，为上的奇函数，则，，，所以，A错；B正确； 选项C，由B，得，又为上的偶函数，则，，所以，，C正确； 选项D，由为上的偶函数，得，所以，D错. 【巩固练习3】（25-26高二下·浙江金华·期末）（多选）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由为奇函数，为偶函数，整理得到的解析式；根据的函数类型，结合函数的单调性即可分析在区间的单调性；结合函数的性质，即可求得的最大值. 【详解】为奇函数，， ，即； 为偶函数，， ，即. 联立，解得. ， 故是一个二次函数，其二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减； 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由在上单调递增，且，在区间上单调递增，故C正确； 对于D，，二次项系数，得时，取得最大值，此时，故D正确. 【题型4】 由函数的奇偶性单调性判断函数的图像 基础知识 核心知识 偶函数图像关于y轴对称左右区间单调性相反 奇函数图像关于原点对称左右区间单调性相同 方法技巧 1.先分析一侧区间的函数图像与增减性 2.利用对称性画出另一半图像 3.奇函数图像过原点（有定义时） 4.结合特殊点函数值排除错误选项 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 【例题2】（24-25高一下·山东·学业考试真题）已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：函数在和上单调递减，与图象不符合，故A错误； 选项B：由对勾函数性质，时，在上递减，在上递增； 时，在上递增，在上递减，故B正确； 选项C：在上单调递增，在和上单调递增， 故在和上单调递增，故C错误； 选项D：，则不是奇函数或偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 【巩固练习2】（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 【巩固练习3】（2026·全国·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 【题型5】 由函数的奇偶性单调性解抽象不等式 基础知识 核心知识 奇偶性实现自变量正负转化单调性脱去符号 方法技巧 1.先写出函数定义域 2.利用奇偶性统一不等式两边内的形式转化到同一个单调区间 3.根据单调性去掉转化自变量不等式 4.联立定义域取交集得到解集 典型例题 【例题1】（2027高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由以及函数奇偶性判断出函数在定义域上的单调性，再将不等式转化为或，结合即可求解． 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 因为对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 又因为，所以． 而等价为或， 根据函数的单调性，可知或， 解得或，即不等式的解集为． 【例题2】（2027高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由题意知函数在上单调递增，进而得在恒成立，再求解参数范围即可. 【详解】因为时，，所以在为单调递增函数， 因为是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，即在恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·天津河西·开学考试）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用奇偶性把不等式化为，再由单调性脱去函数符号转化为二次不等式，最后与定义域限定的区间取交集. 【详解】由为奇函数且在上单调递减知在上单调递减， 则化为， 由单调性得，即，解得或； 由定义域得且， 即且，故； 两式取交集得或. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课堂例题）若，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出函数为上的偶函数，且在上为增函数，利用偶函数的性质将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 故函数为定义域上的偶函数． 由得， 又当时，在上单调递增，所以，即,即，解得. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. 【题型6】 局部奇函数的求值 基础知识 核心知识 形如为奇函数则局部奇函数指一部分是奇函数 方法技巧 1.拆分函数表达式分离出奇函数部分与常数部分 2.奇函数部分满足即 3.代入自变量两式相加消去奇函数部分快速求值 4.遇到多个自变量求和问题优先使用该整体代换技巧 典型例题 【例题1】（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 【例题2】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】解法一：根据关于对称即可求解； 解法二：特值法，令即可求解. 【详解】解法一：由于,可得关于点对称，故， 解法二：特殊值法：可令，， 当时，由基本不等式（当且仅当时取等号），可得， 同理可得当时，的最小值为。故当时，的最大值，最小值， 故 故选：B. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【分析】变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 【巩固练习2】（25-26高一上·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________． 【答案】 【分析】令，即可证函数为奇函数，进而得，即，进而求解. 【详解】因为， 令， 则，因为， 所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故． 故答案为：． 【巩固练习3】若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为_____． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 【题型7】 抽象函数的奇偶性与单调性 基础知识 核心知识 抽象函数无解析式依靠函数关系式推导奇偶性再结合单调性解题 方法技巧 1.使用赋值法令等求特殊函数值推导与关系判断奇偶 2.任取构造判断符号推导单调性 3.综合奇偶+单调性用于比较大小或者解不等式 4.牢记抽象函数赋值只能代定义域内的值 典型例题 【例题1】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 【例题2】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知函数的定义域为，对任意的，，都有 ，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】通过特殊值法，可判断AB选项，根据函数单调性定义即可判断C选项，根据函数单调性和抽象函数性质，即可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，因此，则，故A选项正确； 对于B选项，令，则，且定义域关于原点对称，故B选项正确； 对于C选项，设，则， 则，，所以， 由题意得，，即， 故函数单调递减，则C选项错误； 对于D选项，根据定义域要求，，解得， 对于原不等式， 因为函数为奇函数且单调递减，故，解得， 故D选项正确； 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·浙江衢州·期末）（多选）定义在上的函数，满足当时，，且，，都有，下列说法正确的是（      ） A． B．是偶函数 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】令可判断A；令结合函数奇偶性的定义可判断B；令，可得，然后通过换元法证明（成立），结合奇函数的性质可判断C；先利用定义法证明函数的单调性，然后把不等式变形为，最后利用函数单调性解不等式可判断D . 【详解】令，可得，故A正确； 令，可得，因为不恒等于0，结合可得： ，即，所以是奇函数，又不恒等于0， 所以不是偶函数，故B错误； 令，可得， 令，则原式变形为： ， 对任意，令，得， 替换为得，即（成立）； 当时，对等式用替换，替换可得： ，由奇函数的性质可得， 即（成立）； 当一个非负数一个负数时，不妨设，， 对等式用替换可得， 再用替换得，即（成立）； 故对所有成立，C正确； 是奇函数且满足得： 若，则，因为当时，， 所以，即，所以是上的增函数， 由得： ， 由增函数性质得，即，故D正确. 【巩固练习2】（2026·江西吉安·一模）（多选）已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用赋值，判断A，令，判断函数的奇偶性；设，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，从而判断C，根据，利用作差法，结合函数的性质，判断D. 【详解】A.令，，再令，得，得，故A正确； B.令，得，，得，所以函数是奇函数，故B错误； C.设，为偶函数，原式两边同时除以， 得，即， 当时，，则， 在中，令，，得， 其中，，则，所以当时，，即当时，， 当时，，，故C正确； D. 由得，且为奇函数，所以为偶函数， 由，可知，当时，，即， 所以在上单调递增，则在上单调递减，结合C可知此时均有, 设，， 因为，且，所以，， 所以，所以在上单调递增，故D正确. 【巩固练习3】（25-26高一上·江西宜春·期末）（多选）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【答案】AB 【分析】令可得出，再令结合函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；利用赋值法可判断C选项；由题意得出，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数满足， 令可得，解得， 令，则，即，故函数为奇函数，A对； 对于B选项，任取、且， 则， 故函数是上的增函数，B对； 对于C选项，因为，故，， 故，C错； 对于D选项，由得， 因为函数是上的增函数，则，解得， 故的解集为，D错. 故选：AB. 【题型8】 抽象函数的奇偶性对称性周期性求值 基础知识 核心知识 奇偶性+一条对称轴周期 奇偶性+一个对称中心周期 方法技巧 1.翻译题干条件将对称轴对称中心写成函数等式 2.结合奇偶性推导函数周期 3.利用周期性把大自变量化简到小范围再代入求值 4.多条件叠加时优先推导周期再循环转化自变量 典型例题 【例题1】（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 【例题2】（25-26高二上·湖南·期中）已知函数是定义域为的奇函数，函数是偶函数，,则_____． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】 为偶函数，, 又 是定义域为的奇函数， ,且 , , , , , 是一个周期为20的周期函数, , . 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解. 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 【巩固练习2】（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______． 【答案】 【分析】根据函数的对称性和奇偶性，已知函数值的方程，求得参数，写出函数解析式，再利用奇偶性转换自变量的值，解得对应函数值. 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. 【巩固练习3】（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·天津南开·期末）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究函数的周期性，再根据函数的周期性和奇偶性求的值，进而可得的值. 【详解】因为，所以， 用代替可得：， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 所以. 令，由得，； 又因为函数为偶函数，所以， 所以. 因为，所以，解得. 所以. 所以. 2．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知函数的定义域为，为奇函数，，则（    ） A．16 B．0 C．22 D．32 【答案】A 【分析】由题意分析函数的对称性及周期性可得. 【详解】因为函数的定义域为，为奇函数， 所以，且， 即，且. 又，所以， 所以，即. 所以， 所以函数是周期为的函数. 又， 所以. 3．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，可得，构造函数，由其单调性和奇偶性即可求解. 【详解】由题意，，，则， 由，得， 即， 因为，，得， 设，则函数在上单调递增， 又，则， 则不等式，即， 即则，所以， 又函数为定义在上的偶函数， 在上是奇函数， 所以在上是奇函数， 所以函数在上单调递增，且 所以当时，不等式，即， 即.则，所以， 综上不等式的解集为. 二、多选题 4．（26-27高一上·全国·期中）已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用基本初等函数的单调性可判断CD选项. 【详解】由题可知，的定义域为R，的定义域为， 对于AC选项，，函数的定义域为， 因为，函数为偶函数， 函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误，C正确； 对于BD选项，；定义域为， ， 函数为奇函数， 因为函数、在上也为增函数， 所以函数在上也为增函数，故B正确，D正确. 5．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为4 C． D． 【答案】BC 【分析】利用奇函数推中心对称、偶函数推轴对称，通过变量替换联立等式，推出函数递推关系 和周期T=4；再结合特殊点函数值、周期求和公式，逐一验证所有选项，最终确定正确答案. 【详解】 是奇函数 ，函数关于点 中心对称， 是偶函数 ，令 ，得，函数关于直线 轴对称，得， 对于A，由 ，令 ，得，所以，故A 错误； 对于B， ，把 换成 ，得，因 ， 则有，再把 换成 ，得， 两式相减，可得，即的一个周期为 4，故B正确； 对于C，由上分析已得，故 C正确； 对于D，已知 ，周期为 4，， 由，得，又因， ， 得，由 的周期为4，得， 则函数在一个周期内的和是， 因为，所以，故D 错误. 三、填空题 6．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 7．（26-27高二·山东·学业考试模拟）已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】或 【详解】由已知在上为增函数，且为上的偶函数， 所以在上为减函数， 当时，若，则， 当时，若，则， 即或． 8．（26-27高三上·山东·期中）设函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【答案】 【分析】通过奇函数、偶函数的定义建立等式，联立求解得出函数表达式. 【详解】因为为奇函数，所以， 即. 又为偶函数，所以， 即 ，得 . 将 代入， 得：， 即， 化简得. 9．（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 10．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 【答案】 【详解】奇函数是定义在上的严格减函数， ，即， ，解得． 11．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】构建函数，易得函数为奇函数，分析的单调性，由此可解不等式. 【详解】因为对，，且，都有，即， 即. 令， 所以对，，且， 所以，所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 所以对，， 且， 所以函数为定义在上的奇函数. 所以函数在上单调递增. 又，所以，所以. 所以当时，； 当时，. 因此不等式的解集为. 四、解答题 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数． 【详解】（1）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为偶函数； （2）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数． 13．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 14．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 15．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 16．（25-26高一上·陕西安康·期末）已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)已知集合，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性重新构造方程，联立解出即可； （2）先根据函数利用性质求出在的值域即可得出集合，利用基本不等式性质分析得出在的值域即可得出集合，然后利用集合基本运算即可得出. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由，① 则， 即，② ①＋②得：， 则， ①－②得： 则， 所以. （2）对于函数， 因为，所以，所以， 从而，即， 即，所以或， 对于函数， 当时，， 当时，， ，当且仅当即时等号成立， 所以当时，， 当时，因为为奇函数，图象关于原点对称， 且当时，， 因此当时，， 所以当时，， 即， 所以. 17．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 【答案】(1)1 (2) 因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数. (3) 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解. 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）略 （3）不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 18．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数． (1)若，判断的奇偶性； (2)若，． （ⅰ）用定义法证明在上单调递减； （ⅱ）设，已知存在，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，既是奇函数又是偶函数； 当时，是奇函数. (2)（ⅰ）证明：任取，且， ， 把代入得， ，，，， 要判断的正负，只需判断的正负， 令， 则， ，， ， 代入得， 化简得， ，，且，故，即， ， 即在单调递减. （ⅱ） 【分析】（1）将代入的解析式，通过奇函数和偶函数的定义即可判断； （2）（ⅰ）任取，且，证明，即可证明在单调递减； （ⅱ）存在，，使得，等价于，同理（ⅰ）可得在单调递增，求出，再通过分类讨论在对称轴的哪个位置判断，即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为，关于原点对称， ，， 当时，，此时，所以既是奇函数又是偶函数. 当时，且，所以是奇函数. （2）（ⅰ）略. （ⅱ）同理（ⅰ）得在单调递增，又在单调递减，则， 存在，，使得， 即等价于，， 即， 因为，所以在单调递减，在单调递增， 若，即， 则，，解得，则； 若，即， 则，，解得， 又，所以； 若，即， 此时，，解得， 又，则， 综上所述的取值范围为. $