学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（辽宁专用，范围：新教材人教版第25-29.1章）

学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C A A C D B D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12．8 13． 14．4 15． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ，………………………………2分 或， 解得；………………………………5分 （2）解： ………………………………7分 或 解得．……………………………………10分 17．(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出反比例函数关系式，再将点代入关系式求出该点，然后将两个点的坐标代入一次函数关系式，求出解即可； （2）先确定一次函数和反比例函数的交点坐标，再根据双曲线在直线上方时自变量的取值范围即为不等式的解集． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为．………………………………2分 ∵反比例函数经过点， ∴，则该点坐标为． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为；………………………4分 （2）解：不等式， ∴． 观察图象，可知当时或时，，…………………………6分 当或时，， 所以不等式的解集是或．…………………………8分 18．(1)；直线 (2)图象如图： (3)或 【分析】（1）根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据待定系数法即可求得m、n的值； （2）列表画图即可； （3）观察图象可直接得出时，x的取值范围； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴对称轴为直线，…………………………2分 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为；…………………………3分 （2）解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … ………………5分 （3）解：由图象可知：当时，x的取值范围为或．……………………8分 19．(1)，； (2)小正方形边长为，包装盒的体积为． 【分析】（1）结合矩形与长方体的关系求解即可； （2）设长方体的高为，表示出长方体的长与宽，再根据包装盒底面积为，求解x的值，再由体积公式求解即可． 【详解】（1）解：依题意得 折叠成的包装盒的底面长为：；………………2分 折叠成的包装盒的底面宽为：．…………………………4分 （2）解：由题意可知： 整理得 解得：（大于的长度，不合题意，舍去）， ……………………6分 包装盒的体积： 答：小正方形边长为，包装盒的体积为．……………………8分 20．(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米，……………………2分 在中，有，解得米；……………………4分 （2）解：连接． 米， ∴在中，（米），……………………6分 米． ， ∴不需要采取紧急措施．…………………………8分 21．(1)；；； (2)30天 (3)，存放90天，最大利润9900元； (4) 【分析】（1）根据题干信息可得大蒜销售单价与可出售大蒜质量，结合销售额等于数量乘以单价可得函数解析式； （2）根据利润为元，可得，再进一步求解即可； （3）根据利润，再利用二次函数的性质求解即可； （4）建立关系式，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ∴销售单价为元， ∵大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖， ∴可出售大蒜质量为千克， ∴．……………………2分 （2）解：收购总成本元，储存总费用元， 利润． 令， 即， 解得或． 因，舍去， 故存放30天出售可获得5100元利润．…………………………4分 （3）解：． 因为抛物线开口向下，对称轴为直线， 而位于对称轴左侧，W随x的增大而增大， 所以当时W最大，最大值为（元）． 即存放90天出售，可获得最大利润9900元．…………………………6分 （4）解：∵ ∴． 因为，顶点横坐标， 最大值仍在处取得： 最大利润为：． ∴， 解得．……………………………………8分 22．(1)证明：交于点， ， ， ，， ，…………………………2分 绕点 B 逆时针方向旋转得到线段 ， ， 在和中． ， ；…………………………4分 (2)证明：由（1）可得， ∴， 是的中点，且， ， ， ， ， ， ， ，………………………………6分 ， ；…………………………8分 (3)的值为 解：如下图，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ， ∵将线段绕点逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∵， ， 在和中， ， ，………………………………10分 ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ．………………………………………………12分 23．(1)①；② (2) (3)①在最大值为6，最小值为；②存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点；的取值范围是 【分析】（1）①根据点向右平移 1 个单位、向下平移 2 个单位的平移规则，由已知点纵坐标减去 2，计算得到平移后点的纵坐标为．②根据步移关联函数定义，设原函数上任意一点，利用向右平移 1、向下平移 2 得到对应点，进行变量替换代入原式，求出步移关联函数的表达式． （2）过对应点分别作坐标轴垂线，把四边形分割成两部分，代入已知线段数值列出面积相加的方程，解方程求出参数的值． （3）①按照自变量的不同范围分别写出平移后新函数解析式，分别在两段区间代入端点与顶点横坐标计算函数值，对比得到此区间最大值为 6，得到对应最小值． ②结合分段函数图象特征，要使直线与图象恰好有 3 个交点，需要直线与其中一段有 2 个交点、另一段有 1 个交点，结合函数最值与列不等式，求解得到实数的取值范围． 【详解】（1）解：①已知点在， ． 根据定义，点向右平移1个单位、竖直平移（向下平移2个单位）得到， 的纵坐标为 ；……………………2分 ②对于函数上任意一点， 点向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点． 令，则， 代入点B的纵坐标，得， 的“步移关联函数”的函数表达式为．…………………………4分 （2）解：轴于点，轴于点，，，， ，，，，且． 将四边形面积分为两部分， ，即， 解得．………………………………7分 （3）解：①当时，对于上任意一点， 平移后得到点． 令，则， ． 综上所述，新函数的表达式为…………………………9分 当时，，时，取得最小值． 时，得， 时，得， ∴此范围内的最大值为6，最小值为； 当时，， 时，取得最小值， 时，取得最大值， ∴此范围内的最大值为2，最小值为． 综上所述，在最大值为6，最小值为．…………………………10分 ②由步移关联函数的定义，得， 综上所述， 在上， 时，取得最小值， 时，取得最大值， 时，， 即，且函数图象随的增大先减小再增大，如图①； ………………………………11分 在上，，直线与的图象最多有1个交点，如图②． 要使直线与的图象有且只有3个不同交点，需满足：直线与有2个交点，且与有1个交点，……………………………………12分 即与有公共部分，如图③， 解得． 综上所述，存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点；的取值范围是． ………………………………13分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25-29.1章. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1（热点）．观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2（改编题）把方程写成一元二次方程的一般形式，则它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3（改编题）下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 4（热点）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5（改编题）．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 6（新情境）某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生传授学习之后，一共有64名学生学会了这支手势舞．若每轮中，平均每个学会的学生教会x个不会的学生，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 8．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（   ） A．12 B．13 C． D． 9．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点，有下列结论：①；②；③（m为常数）；④；⑤若（n为正数）在该函数图象上，则；其中正确的结论有几个（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有(        )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为________． 12．已知一辆小汽车刹车后滑行的距离 （米）与滑行时间 （秒）满足的关系式为：，则这辆小汽车刹车后滑行________米才能停下来． 13．如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，分别与，交于点、，若，，则点的坐标为_______． 14．如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为_______． 15．若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”．若对于任意的实数，抛物线上总有两个不同的倍值点，则的取值范围是________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．用适当的方法解方程： (1) (2) 17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； 18．抛物线与x轴的交点为， (1)抛物线解析式为___________，对称轴为___________； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为___________． 19．运城老字号“福同惠”糕点厂为迎接中秋佳节，准备设计一款新型桂花糕包装盒．如图1，现有一张矩形纸板，其中，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的上下两个阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)设剪去的小正方形边长为，折叠成的包装盒的底面长为______，底面宽为______（请用含x的代数式表示） (2)若折叠成的包装盒底面积为，求剪去的小正方形边长及包装盒的体积． 20．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 21．大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： (1)探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） (2)探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． (3)探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ (4)拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 22．在中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，过点作交于点，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作的垂线交于点，若点是的中点，求证：． (3)当点在的延长线上时，连接，与的延长线交于点，求的值． 23．已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移1个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度（为常数，向上平移时，向下平移时）得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数． 例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点；令，则，代入纵坐标，得，即是当步移系数时的“步移关联函数”． (1)对于函数图象上任意一点，若步移系数； ①写出点的纵坐标___（用含的代数式表示）； ②求的“步移关联函数”的函数表达式； (2)在（1）的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成的两部分时，求的值； (3)已知函数，步移系数（t为常数），是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，． ①当时，求函数当时的最大值和最小值； ②当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点，若存在，直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11 12 14, 15. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 18.(8分) 54321 19.(8分) 底面 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) D B' D 图1 图2 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（12分) M 图1 (图2) (图3) 23.(13分) y y 备用图① 备用图② 备用图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25-29.1章. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1（热点）．观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2（改编题）把方程写成一元二次方程的一般形式，则它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3（改编题）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 4（热点）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5（改编题）．解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 6（新情境）某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生传授学习之后，一共有64名学生学会了这支手势舞．若每轮中，平均每个学会的学生教会x个不会的学生，则下面所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 8．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（  ） A．12 B．13 C． D． （第8题） （第9题） 9．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点，有下列结论：①；②；③（m为常数）；④；⑤若（n为正数）在该函数图象上，则；其中正确的结论有几个（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有(   )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为________． 12．已知一辆小汽车刹车后滑行的距离 （米）与滑行时间 （秒）满足的关系式为：，则这辆小汽车刹车后滑行________米才能停下来． 13．如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，分别与，交于点、，若，，则点的坐标为_______． （第13题） （第14题） 14．如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为________． 15．若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”．若对于任意的实数，抛物线上总有两个不同的倍值点，则的取值范围是________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．用适当的方法解方程： (1) (2) 17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； 18．抛物线与x轴的交点为， (1)抛物线解析式为___________，对称轴为___________； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为___________． 19．运城老字号“福同惠”糕点厂为迎接中秋佳节，准备设计一款新型桂花糕包装盒．如图1，现有一张矩形纸板，其中，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的上下两个阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)设剪去的小正方形边长为，折叠成的包装盒的底面长为______，底面宽为______（请用含x的代数式表示） (2)若折叠成的包装盒底面积为，求剪去的小正方形边长及包装盒的体积． 20．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 21．大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： (1)探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） (2)探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． (3)探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ (4)拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 22．在中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，过点作交于点，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作的垂线交于点，若点是的中点，求证：． (3)当点在的延长线上时，连接，与的延长线交于点，求的值． 23．已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移1个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度（为常数，向上平移时，向下平移时）得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数． 例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点；令，则，代入纵坐标，得，即是当步移系数时的“步移关联函数”． (1)对于函数图象上任意一点，若步移系数； ①写出点的纵坐标___（用含的代数式表示）； ②求的“步移关联函数”的函数表达式； (2)在（1）的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成的两部分时，求的值； (3)已知函数，步移系数（t为常数），是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，． ①当时，求函数当时的最大值和最小值； ②当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点，若存在，直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25-29.1章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1（热点）．观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，据此判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，而不是轴对称图形，该选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； D．既是轴对称图形也是中心对称图形，该选项符合题意； 2（改编题）．把方程写成一元二次方程的一般形式，则它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】将原方程移项化为一元二次方程的一般形式，再对应确定各项系数． 【详解】解：将方程移项，得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3（改编题）．下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 【答案】B 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，C正确； 选项D、经过圆内一定点可以作无数条弦，D正确． 4（热点）．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与二次函数的图象结合选项的图象依次判断即可． 【详解】解：A、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，错误； B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，而抛物线开口向下，与二次函数矛盾，错误； C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，由直线可知，正确； D、由图可知直线与y轴交于负半轴，这与一次函数矛盾，错误． 5（改编题）．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 6（新情境）．某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生传授学习之后，一共有64名学生学会了这支手势舞．若每轮中，平均每个学会的学生教会x个不会的学生，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以两轮后总人数为64为等量关系，分别表示每轮新增会的人数后列方程． 【详解】解：初始有1人会手势舞，第一轮结束后，会的总人数为； 第二轮新增会的人数为； ∵两轮后总人数为64， ∴列方程为． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为、判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， 即， ， ， ， ∴的取值范围是且． 8．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 9．如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点，有下列结论：①；②；③（m为常数）；④；⑤若（n为正数）在该函数图象上，则；其中正确的结论有几个（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号，即可得到的符号；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断即可；③求出二次函数的最值，进行判断即可；④把代入抛物线表达式进行变形处理；⑤根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：①抛物线的开口向下，，对称轴为直线：， 则，图象过，， 所以，故①错误； ②抛物线与轴有两个交点，，故②正确； ③由图象可知，当时，函数取得最大值为， ∴， ∴（m为常数），故③正确； ④由图可知：当时， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得，故④正确． ⑤∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，而，故， ∴，故⑤错误． ∴正确的有个． 10．如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有(        )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，结合正方形性质和勾股定理逐一判断四个结论，将绕点逆时针旋转得到，证明，进而判断①②，对于③，由得，将绕点逆时针旋转得到，连接，证明得到，进而根据勾股定理，即可判断④． 【详解】解：对于①，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，，，， ， ,即三点共线， 在和中， ，故①正确 对于②，，故②正确 对于③，由得，即平分同理可证平分，故③正确 对于④，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 在和中， 在中， ，故④正确 综上所述，正确的结论有4个． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．如果，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，对所求代数式降次化简，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵是方程的根，满足方程， ∴， 整理得， ∴ ． 12．已知一辆小汽车刹车后滑行的距离 （米）与滑行时间 （秒）满足的关系式为：，则这辆小汽车刹车后滑行________米才能停下来． 【答案】8 【详解】解：， 即当时， 取最大值 8， ∴这辆小汽车刹车后滑行8米才能停下来． 13．如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，分别与，交于点、，若，，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】设，利用矩形性质写出坐标，根据、在反比例函数上列方程求出与；再由点纵坐标等于长，代入反比例解析式求横坐标，得到坐标． 【详解】解：四边形是矩形，，设， ，，， ， ，， 是中点， ， 两点都在上， ， ， ， ， 点在上，的纵坐标为， ， ， ∴点的坐标为 14．如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为 __ ． 【答案】4 【分析】过点G作，利用一线三等角模型，证明，推出，可得点G在与平行且与的距离为3的直线上，进而可得当点G在边上时，最小． 【详解】解：过点G作，垂足为H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在与平行且与的距离为3的直线上， ∴当点G在边上时，最小且， ∴的最小值为4． 15．若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”．若对于任意的实数，抛物线上总有两个不同的倍值点，则的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】根据新定义得倍值点在直线上，抛物线总有两个不同的倍值点说明联立后的方程对任意总有两个不相等的实根，转化为关于的二次不等式恒成立问题求解． 【详解】解：∵倍值点满足纵坐标是横坐标的倍， ∴所有倍值点都在直线上． ∵对任意，抛物线总有两个不同的倍值点， ∴联立有两个不同的解， 消去整理得： 该方程有两个不相等的实数根对任意恒成立，因此判别式恒成立， 对任意实数恒成立， ∵该式是关于的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向上，要使函数值恒大于0，需要与横轴没有交点，即， ∴令该二次函数的判别式， ，即， 对应方程的两个根是，，因为二次项系数为正，抛物线开口向上，要使函数值小于0，解集在两个根之间，即． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得； （2）解： 或 解得． 17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出反比例函数关系式，再将点代入关系式求出该点，然后将两个点的坐标代入一次函数关系式，求出解即可； （2）先确定一次函数和反比例函数的交点坐标，再根据双曲线在直线上方时自变量的取值范围即为不等式的解集． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． ∵反比例函数经过点， ∴，则该点坐标为． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：不等式， ∴． 观察图象，可知当时或时，， 当或时，， 所以不等式的解集是或． 18．抛物线与x轴的交点为， (1)抛物线解析式为___________，对称轴为___________； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为___________． 【答案】(1)；直线 (2)图象如图： (3)或 【分析】（1）根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据待定系数法即可求得m、n的值； （2）列表画图即可； （3）观察图象可直接得出时，x的取值范围； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴对称轴为直线， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （3）解：由图象可知：当时，x的取值范围为或． 19．运城老字号“福同惠”糕点厂为迎接中秋佳节，准备设计一款新型桂花糕包装盒．如图1，现有一张矩形纸板，其中，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的上下两个阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)设剪去的小正方形边长为，折叠成的包装盒的底面长为______，底面宽为______（请用含x的代数式表示） (2)若折叠成的包装盒底面积为，求剪去的小正方形边长及包装盒的体积． 【答案】(1)，； (2)小正方形边长为，包装盒的体积为． 【分析】（1）结合矩形与长方体的关系求解即可； （2）设长方体的高为，表示出长方体的长与宽，再根据包装盒底面积为，求解x的值，再由体积公式求解即可． 【详解】（1）解：依题意得 折叠成的包装盒的底面长为：； 折叠成的包装盒的底面宽为：． （2）解：由题意可知： 整理得 解得：（大于的长度，不合题意，舍去）， 包装盒的体积： 答：小正方形边长为，包装盒的体积为． 20．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 21．大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： (1)探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） (2)探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． (3)探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ (4)拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 【答案】(1)；；； (2)30天 (3)，存放90天，最大利润9900元； (4) 【分析】（1）根据题干信息可得大蒜销售单价与可出售大蒜质量，结合销售额等于数量乘以单价可得函数解析式； （2）根据利润为元，可得，再进一步求解即可； （3）根据利润，再利用二次函数的性质求解即可； （4）建立关系式，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ∴销售单价为元， ∵大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖， ∴可出售大蒜质量为千克， ∴． （2）解：收购总成本元，储存总费用元， 利润． 令， 即， 解得或． 因，舍去， 故存放30天出售可获得5100元利润． （3）解：． 因为抛物线开口向下，对称轴为直线， 而位于对称轴左侧，W随x的增大而增大， 所以当时W最大，最大值为（元）． 即存放90天出售，可获得最大利润9900元． （4）解：∵ ∴． 因为，顶点横坐标， 最大值仍在处取得： 最大利润为：． ∴， 解得． 22．在中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，过点作交于点，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作的垂线交于点，若点是的中点，求证：． (3)当点在的延长线上时，连接，与的延长线交于点，求的值． 【答案】(1)证明：交于点， ， ， ，， ， 绕点 B 逆时针方向旋转得到线段 ， ， 在和中． ， ； (2)证明：由（1）可得， ∴， 是的中点，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)的值为 【分析】（1）由旋转的性质得，先证，结合已知，可得答案； （2）先证，再证，再证，即可得答案； （3）先证，再证，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）解：如下图，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ， ∵将线段绕点逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 23．已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移1个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度（为常数，向上平移时，向下平移时）得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数． 例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点；令，则，代入纵坐标，得，即是当步移系数时的“步移关联函数”． (1)对于函数图象上任意一点，若步移系数； ①写出点的纵坐标___（用含的代数式表示）； ②求的“步移关联函数”的函数表达式； (2)在（1）的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成的两部分时，求的值； (3)已知函数，步移系数（t为常数），是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，． ①当时，求函数当时的最大值和最小值； ②当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点，若存在，直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)①在最大值为6，最小值为；②存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点；的取值范围是 【分析】（1）①根据点向右平移 1 个单位、向下平移 2 个单位的平移规则，由已知点纵坐标减去 2，计算得到平移后点的纵坐标为．②根据步移关联函数定义，设原函数上任意一点，利用向右平移 1、向下平移 2 得到对应点，进行变量替换代入原式，求出步移关联函数的表达式． （2）过对应点分别作坐标轴垂线，把四边形分割成两部分，代入已知线段数值列出面积相加的方程，解方程求出参数的值． （3）①按照自变量的不同范围分别写出平移后新函数解析式，分别在两段区间代入端点与顶点横坐标计算函数值，对比得到此区间最大值为 6，得到对应最小值． ②结合分段函数图象特征，要使直线与图象恰好有 3 个交点，需要直线与其中一段有 2 个交点、另一段有 1 个交点，结合函数最值与列不等式，求解得到实数的取值范围． 【详解】（1）解：①已知点在， ． 根据定义，点向右平移1个单位、竖直平移（向下平移2个单位）得到， 的纵坐标为 ； ②对于函数上任意一点， 点向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点． 令，则， 代入点B的纵坐标，得， 的“步移关联函数”的函数表达式为． （2）解：轴于点，轴于点，，，， ，，，，且． 将四边形面积分为两部分， ，即， 解得． （3）解：①当时，对于上任意一点， 平移后得到点． 令，则， ． 综上所述，新函数的表达式为 当时，，时，取得最小值． 时，得， 时，得， ∴此范围内的最大值为6，最小值为； 当时，， 时，取得最小值， 时，取得最大值， ∴此范围内的最大值为2，最小值为． 综上所述，在最大值为6，最小值为． ②由步移关联函数的定义，得， 综上所述， 在上， 时，取得最小值， 时，取得最大值， 时，， 即，且函数图象随的增大先减小再增大，如图①； 在上，，直线与的图象最多有1个交点，如图②． 要使直线与的图象有且只有3个不同交点，需满足：直线与有2个交点，且与有1个交点， 即与有公共部分，如图③， 解得． 综上所述，存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点；的取值范围是． / 学科网（北京）股份有限公司 $