专题10 随机事件的概率（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题10 随机事件的概率 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．C 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A 7．B 8．D 考点02 概率 1．C 2．B 3．D 4．【答案】 【分析】 由等边三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：∵等边三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆， ∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：． 故答案为：． 【点睛】 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．也考查了中心对称图形的定义． 5．【答案】 【分析】 本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．飞镖游戏板由大小相等的16个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的3个小正方形格子构成，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】 解：根据概率的定义可知：击中阴影区域的概率是， 故答案为：． 6．【答案】40 【分析】 本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决． 【详解】 解：设袋中白球有x个，根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 即估计袋中大约有白球40个． 故答案为：40． 考点03 用列举法求概率 1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）． 7．【答案】（1）     （2） 这个规则对双方公平， 列表如下： 由列表可知，两位同学抽卡片，可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等，其中两次摸到的数字之和大于4（记为事件）的结果有3种，即；两次摸到的数字之和小于4（记为事件）的结果有3种，即； 小聪获胜的概率，小明获胜的概率； 两位同学获胜的概率相等， 这个规则对双方公平．      小聪小明 1 2 3 1 2 3 【分析】 本题主要考查了概率公式的应用，用列表或画树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先列出表格，然后根据概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：小聪从中随机抽出一张卡片，有3种可能结果，每种结果出现的可能性都相等，其中抽到数字“3”的结果有一种，所以他抽到数字“3”的概率为； (2) 小问详解： 略 8．【答案】 【分析】 本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】 解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先求出小红从四个实验中任意选一个实验，共有4种等可能的结果，其中，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得小红从四个实验中任意选两个实验，共有12种等可能的结果，其中，两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再利用概率公式计算即可得． (1) 小问详解： 解：∵小红从四个实验中任意选一个实验，共有4种等可能的结果，其中，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的结果有2种， 所以实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是， 答：实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是． (2) 小问详解： 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小红从四个实验中任意选两个实验，共有12种等可能的结果，其中，两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种， 则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是， 答：两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是． 10．【答案】 【分析】 本题考查了列举法求概率，根据随机闭合开关，，中的两个，有种方法，其中有两种能够让灯泡发光，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：随机闭合开关，，中的两个，可以闭合、；、；、三种情况，其中闭合、或、时，灯泡可以发光， ∴能够让灯泡发亮的概率是， 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 (1) 小问详解： 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； (2) 小问详解： 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 12．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 13．【答案】 【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】 解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示， 根据题意画图如下： 由图可知，共有 12 种等可能结果，其中恰好是“指南针”和“印刷术”的有 2 种， 则抽到的两张卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是． 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列举法求概率的方法． 【详解】 解：所有可能的抽取组合有6种：{虎,龙}、{虎,蛇}、{虎,马}、{龙,蛇}、{龙,马}、{蛇,马}，其中抽到“龙”和“马”的结果有1种，因此概率为， 故答案为：. 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：设分别用A、B、C、D表示造纸术、印刷术、指南针、火药，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能性的结果数，她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数有2种， ∴她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为， 故答案为：． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵小颖先拿了一件白色上衣，然后在三条裤子中随机拿了一条裤子穿上， ∴恰好是白色上衣和蓝色裤子的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图为： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果数有1种， ∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是． 17．【答案】． 【分析】 本题主要考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙在相邻楼层出电梯的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的结果有：，，，，，，共种， ∴甲、乙在相邻楼层出电梯的概率为． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有4门课程，每门课程被选中的可能性相等， ∴桐桐恰好选中“烹饪”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设分别用A、B、C、D表示“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”这4门课程，列表如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人都选中同一门课程的结果数有4种， ∴两人都选中同一门课程的概率为． 19．【答案】 【分析】 本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】 解：记：，：豆包，：， 列表如下： 共有种等可能结果，其中两人选择的主题相同有种， 两人选择的主题相同的概率是， 故答案为：． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查画树状图或列表法求概率，正确得出所有等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：小海一家从五个景点中，只去一个景点C的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表可知：共有20种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好选择A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园）的结果共有2种． ∴则的概率为． A B C D E A B C D E 21．【答案】（1）160人；     （2） 补全条形统计图如图1所示．      （3）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；用条形统计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得a的值． （2）求出选择B的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：此次被调查的学生总人数为（人），， ． 故答案为：160人；． (2) 小问详解： 选择B的人数为． (3) 小问详解： 列表如下： 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有4种， 两人恰好选到同一个课程的概率为． A B C D A B C D 22．【答案】（1）50，28.8；     （2） 补全图形如下：      （3）．      【分析】 本题考查直方图，扇形图，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）用C组学生人数除以所占的比例求出调查的总人数，用360度乘以F组学生所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出D组学生人数，补全直方图即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：（人）， ； 故答案为：50，28.8； (2) 小问详解： 解：（人）， 略 (3) 小问详解： 进而：画树状图如下： 共有12个等可能的结果，恰好选中一名男生和一名女生的结果有8个， ∴． 23．【答案】（1），B     （2），     （3）估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人     （4）      【分析】 本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的百分比，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． （1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可； （2）由（1）知B等级的人数；根据扇形统计图中D等级所占总人数的比例乘以，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为（人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； (2) 小问详解： 解：由（1）知B等级的人数为人； ∵D等级的人数为人, ∴， ∴扇形统计图中D等级所的百分比为； 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； (4) 小问详解： 解：由题意画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了用列表法或树状图法求概率，依据题意列表得出所有等可能的情况数是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）依据题意列表得出所有等可能的情况数，找到符合条件的情况数，然后用概率公式即可求解． (1) 小问详解： 解：他恰好抽到“剪纸（A）”项目的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同．其中，恰好抽到“糖画（B）”和“皮影（C）”这两个项目的结果有2种：，， 所以恰好抽到“糖画（B）”和“皮影（C）”这两个项目的概率．                  第二个项目第一个项目 A B C D A B C D 25．【答案】（1）不能     （2）      【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率，根据题意正确列表是解题关键． （1）由题意可知，棋子最远可到达第7个格子，而汽车在第8个格子，即可作答； （2）根据题意列表可得，共有36种等可能的结果，其中和为7（得到“汽车”）的结果有6种，再利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：棋子在标有数字“1”的那一格，正方体骰子上最大的数字为6， 棋子最远可到达第7个格子， 汽车在第8个格子， 小红掷一次骰子不能得到汽车， 故答案为：不能； (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有36种等可能的结果，其中和为7（得到“汽车”）的结果有6种， 她连续掷两次骰子能获得汽车的概率是． 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式求概率，列表或画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可． （2）列表或画树状图得到所有等可能的结果，与符合要求的结果，根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：袋子中一共有3个球，从中随机摸出1个球，共有3种等可能结果，其中摸出的球是绿球的有2种结果， 故摸出的球是绿球的概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由题意可列表如下： ∴两次摸出球总共有9种等可能结果，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的有4种情况， ∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的概率为． 红 绿1 绿2 红 红，红 绿1，红 绿2，红 绿1 红，绿1 绿1，绿1 绿2，绿1 绿2 红，绿2 绿1，绿2 绿2，绿2 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格表示出所有等可能的结果，再找出他们抽到的主题类别相同的结果，最后根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到自然景观类主题卡片的概率是； (2) 小问详解： 解：根据题意可列表格如下， 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽到的主题类别相同的结果有4种， ∴抽到的主题类别相同的概率为． A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 28．【答案】（1） 补全条形统计图如图所示：      （2）九（1）班成绩较好．     （3）      【分析】 本题考查了中位数、众数、条形统计图、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由九年级（1）班20名学生成绩统计可得90分学生有5人，95分学生有8人，即可补全条形统计图； （2）根据中位数、众数、平均数分析即可得解； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：由九年级（1）班20名学生成绩统计可得90分学生有5人，95分学生有8人； (2) 小问详解： 解：九年级（1）班成绩较好，理由： 九年级（1）班和（2）班的平均成绩相同，但九年级（1）班的中位数和众数都比（2）班高，即九年级（1）班高分段人数较多．因此九（1）班成绩较好； (3) 小问详解： 解：设九年级（1）班的两名100分的学生用、表示．九年级（2）班的两名100分的学生用、表示，则随机抽两名学生的所有情况列表如下： 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两名同学在同一个班级的共有4种， ∴（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查画树状图或列表法求概率，正确得出所有等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：小明一家从五个景点中，只去一个景点C的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 列表如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好选择A（本溪水洞景区）和D（本溪大石湖风景区）结果有共2种， ∴恰好选择A（本溪水洞景区）和D（本溪大石湖风景区）的概率为． A B C D E A B C D E 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲同学选择“B．计算机视觉”直播的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲，乙两同学都没有选择“B．计算机视觉”的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：从A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统中选择B的概率为 (2) 小问详解： 解：可画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两位同学都选择“B．计算机视觉”的只有1种， 所以． 31．【答案】（1）甲队两场比赛总积分所有可能的结果为分，分，分     （2）      【分析】 本题考查列举法，列表法求概率： （1）列举法进行求解即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：甲队第一场比赛获胜，积3分； 若第二场比赛获胜，甲队总积分为分； 若第二场比赛打平，甲队总积分为分； 若第二场比赛失利，甲队总积分为分； 综上：甲队两场比赛总积分所有可能的结果为分，分，分； (2) 小问详解： 由题意，列表如下： 共9种等可能的结果，其中结果为4分的情况有2种， ∴． 0 1 3 0 0 1 3 1 1 2 4 3 3 4 6 32．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，轴对称图形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）记科克曲线为，阿基米德螺线为，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列出表格，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种，然后由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：记科克曲线为，阿基米德螺线，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列表如下： ∴由上表可知，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种， 则这两个图案都是轴对称图形的概率. 第二次抽取第一次抽取 33．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查列表法或树状图法，列举出从1个红球和2个白球中，先从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果是正确解答的关键． （1）根据概率的定义进行解答即可； （2）用表格表示从1个红球和2个白球中，先从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行解答即可． (1) 小问详解： 解：∵袋中有1个红球和2个白球， ∴从中任意摸出1个球，一共有3种结果，摸到红球的结果有1种． ∴从1个红球和2个白球中随机摸出一球是红球的概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，每种结果出现的机会均等，其中2次都摸到白球的结果有4种， ． 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 34．【答案】 【分析】 本题主要考查的是用列举法求概率，不遗漏地列出所有可能的结果．总共有种等可能的排列顺序，其中科技宫在第二个位置的有种情况，因此概率为． 【详解】 解：三个目的地可能的排列顺序有： “故宫”、“科技宫”、“大帅府”， “故宫”、“大帅府”、“科技宫”， “科技宫”、“故宫”、“大帅府”， “科技宫”、“大帅府”、“故宫”， “大帅府”、“故宫”、“科技宫”， “大帅府”、“科技宫”、“故宫”， 三个目的地的所有可能排列顺序共有种等可能的情况，科技宫排在第二个目的地的情况有种， “科技宫”排在第二个目的地的概率为． 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查了运用树状图和列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键． 先根据题意列表，确定所有等可能结果数以及两次摸出的小球都是红球有4种结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】 解：根据题意列表如下： 由列表可知：共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果， 所以两次摸出的小球都是红球的概率为． 红 红 白 红 （红，红） （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红）  （白，白） 36．【答案】 【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率掌握知识点是解题的关键． 根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】 解：画树状图，如图 共有12种等可能性结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 37．【答案】 【分析】 本题主要考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键． 【详解】 解：列表如下： 由列表可知，共有种等可能的结果，其中从口进，从口离开的结果只有种，即， ∴他选择从口进入，从口离开的概率是， 故答案为：． B C E A D 考点04 用频率估计概率 1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．C 13．D 14．B 15．【答案】0.9 【分析】 根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率． 【详解】 解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9， ∴恰好是合格产品的概率约是0.9． 故答案为：0.9 【点睛】 本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体的思想． 16．【答案】 【分析】 大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解． 【详解】 解：观察表格发现随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在附近， 故投中的概率估计值为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 17．【答案】0.9 【分析】 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】 ∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902， ∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9， 故答案为：0.9． 【点睛】 本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 18．【答案】20 【分析】 本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．根据频率稳定在概率附近，白球的概率为，由此建立方程求解． 【详解】 解：根据题意得：． 解得 ， 经检验，是该方程的解． 故答案为：20． 19．【答案】 【分析】 本题考查了频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此即可作答． 【详解】 解：依题意，，，，，，， ∵结果保留小数点后一位 ∴这名球员投篮一次投中的概率约是 故答案为：． 20．【答案】2 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，概率公式的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 利用频率估计概率可得到摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算这个盒子中红球的数量． 【详解】 解：∵共试验1000次，其中有200次摸到红球， ∴摸到红球的概率为， 设盒子中有x个红球，则， 解得， 经检验，是该方程的解． ∴估计盒子中的红球有2个． 故答案为：2． 21．【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是根据每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】 解：由击中靶心频率都在上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）在下列事件中，必然事件的是（     ） A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 B. 从地面发射1枚导弹，未击中空中目标 C. 明天太阳从东方升起 D. 购买1张彩票，中奖 【答案】C 【分析】 本题考查了必然事件的判断，根据必然事件的定义：在一定条件下，必然发生的事件进行判断即可． 【详解】 解：A．页码可能是奇数或偶数，是随机事件； B． 导弹可能击中或未击中，是随机事件； C． 太阳从东方升起是自然规律，是必然事件； D． 购买1张彩票，中奖是随机事件； 故选C． 2．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（       ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【分析】 本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】 解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 3．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）“翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是（　　） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 确定事件 【答案】B 【分析】 本题考查的是事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】 解：“翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是随机事件， 故选：B． 4．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）气象台发布的天气预报显示，明天A地下雨的可能性是65%，则“明天A地下雨”这一事件是（     ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【分析】 本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键． 随机事件（不确定事件）：无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，称它们为不确定事件或随机事件；不可能事件：称那些在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件． 【详解】 解：“明天A地下雨”这一事件是随机事件， 故选：A． 5．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（     ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【分析】 本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，据此判断即可． 【详解】 解：∵天气情况的变化是随机的，明天可能晴也可能不晴， ∴“杭州市区明天天晴”这一事件可能发生也可能不发生， ∴它是随机事件． 故选：B． 6．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 【答案】A 【分析】 此题考查必然事件，关键是理解必然事件就是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可作出判断． 【详解】 解：A、旭日东升是必然事件，正确； B、守株待兔是随机事件，不符合题意； C、大海捞针是随机事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 7．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）在下列事件中，不可能事件是（     ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】 本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析. 【详解】 解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义， 故选：B． 8．（25-26学年九上·辽宁铁岭）有两个事件，事件A：在一个标准大气压下，水加热到时沸腾；事件B：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．下列判断正确的是（     ） A. 事件A，事件B都是必然事件 B. 事件A是不可能事件，事件B是随机事件 C. 事件A，事件B都是随机事件 D. 事件A是必然事件，事件B是随机事件 【答案】D 【分析】 本题考查了事件的分类：随机事件是可能发生的事件，必然事件是一定发生的事件，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵事件A：在一个标准大气压下，水加热到时沸腾 ∴事件A是必然事件， ∵事件B：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯， ∴事件B是随机事件， 故选：D． 考点02 概率 1．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）丹东市是中国最大的边境城市，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末去丹东游玩，他们想在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中随机选择一个游玩，则选到“虎山长城”的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查概率公式．根据概率公式可直接得出答案． 【详解】 解：∵在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中任意选择一个游玩， ∴选到“虎山长城”的概率是， 故选：C． 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率． 【详解】 解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是2÷6＝． 故选：B． 【点睛】 本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（       ） A. 21 B. 27 C. 28 D. 30 【答案】D 【分析】 本题考查由频率估计概率、简单的概率计算．直接由概率公式求解即可. 【详解】 解：根据题意得，解得：， 经检验：符合题意， 所以估计盒子中小球的个数为30． 故选：D． 4．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由等边三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：∵等边三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆， ∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：． 故答案为：． 【点睛】 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．也考查了中心对称图形的定义． 5．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影区域的概率是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．飞镖游戏板由大小相等的16个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的3个小正方形格子构成，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】 解：根据概率的定义可知：击中阴影区域的概率是， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）一个不透明的袋子里有10个红球和若干个同样大小的白球，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球100次，其中20次摸到红球，请估计袋中大约有白球　　　　　　　　个． 【答案】40 【分析】 本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决． 【详解】 解：设袋中白球有x个，根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 即估计袋中大约有白球40个． 故答案为：40． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有等可能的结果，再找出两次摸出的球都是白球的结果，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】 解：根据题意列表如下： 由表格可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有4种，所以两次摸出的球都是白球的概率为， 故选：A． 红 白1 白2 红 （红，红） （红，白1） （红，白2） 白1 （白1，红） （白1，白1） （白1，白2） 白2 （白2，红） （白2，白1） （白2，白2） 2．（25-26学年九上·辽宁铁岭）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率． 【详解】 抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元． 随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种： 1. 10元和20元，和为30元； 2. 10元和30元，和为40元； 3. 20元和30元，和为50元． 其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）． 因此，所求概率为：． 故选：C． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个．小明从中摸出一个球放回后，再摸出一个球，则两次摸到的球颜色一样的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 画树状图法计算即可． 本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】 解：依据题意画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色一样的等可能性为6， 故两次摸到的球颜色一样的概率是． 故选：B． 4．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了树状图法求概率，用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种，然后利用概率公式即可求解，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 【详解】 解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为， 共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种， ∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是， 故选：． 5．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】 解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率是． 故选A． 6．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）． 7．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）数学兴趣活动课上，小聪和小明玩抽卡片游戏，如图，他们制作了3张卡片，分别写有“1”“2”“3”三个数字，卡片除数字外都相同，将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上，小聪先从中随机抽出一张，记下数字后放回并洗匀，小明再从中随机抽出一张，若两次抽到的数字之和大于4，则小聪胜；若数字之和小于4，则小明胜；若数字之和等于4，则重复上述过程． （1）小聪从中随机抽取一张卡片，求他恰好抽到数字“3”的概率； （2）请你用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1）     （2） 这个规则对双方公平， 列表如下： 由列表可知，两位同学抽卡片，可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等，其中两次摸到的数字之和大于4（记为事件）的结果有3种，即；两次摸到的数字之和小于4（记为事件）的结果有3种，即； 小聪获胜的概率，小明获胜的概率； 两位同学获胜的概率相等， 这个规则对双方公平．      小聪小明 1 2 3 1 2 3 【分析】 本题主要考查了概率公式的应用，用列表或画树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先列出表格，然后根据概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：小聪从中随机抽出一张卡片，有3种可能结果，每种结果出现的可能性都相等，其中抽到数字“3”的结果有一种，所以他抽到数字“3”的概率为； (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】 解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜：； （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？ （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先求出小红从四个实验中任意选一个实验，共有4种等可能的结果，其中，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得小红从四个实验中任意选两个实验，共有12种等可能的结果，其中，两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再利用概率公式计算即可得． (1) 小问详解： 解：∵小红从四个实验中任意选一个实验，共有4种等可能的结果，其中，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的结果有2种， 所以实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是， 答：实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是． (2) 小问详解： 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小红从四个实验中任意选两个实验，共有12种等可能的结果，其中，两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种， 则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是， 答：两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是． 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列举法求概率，根据随机闭合开关，，中的两个，有种方法，其中有两种能够让灯泡发光，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：随机闭合开关，，中的两个，可以闭合、；、；、三种情况，其中闭合、或、时，灯泡可以发光， ∴能够让灯泡发亮的概率是， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 (1) 小问详解： 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； (2) 小问详解： 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 12．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 13．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是　　　　　　　　 【答案】 【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【详解】 解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示， 根据题意画图如下： 由图可知，共有 12 种等可能结果，其中恰好是“指南针”和“印刷术”的有 2 种， 则抽到的两张卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是． 故答案为：． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列举法求概率的方法． 【详解】 解：所有可能的抽取组合有6种：{虎,龙}、{虎,蛇}、{虎,马}、{龙,蛇}、{龙,马}、{蛇,马}，其中抽到“龙”和“马”的结果有1种，因此概率为， 故答案为：. 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）中国古代四大发明造纸术、印刷术、指南针、火药对世界文明的发展具有深远的影响．某校社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，小慧同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取两项发明开展活动，则她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：设分别用A、B、C、D表示造纸术、印刷术、指南针、火药，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能性的结果数，她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数有2种， ∴她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有三条裤子，分别为蓝色、黑色和白色． （1）小颖先拿了一件白色上衣，然后在三条裤子中随机拿了一条裤子穿上，恰好是白色上衣和蓝色裤子的概率是_______； （2）小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，请利用画树状图或列表的方法，求恰好是白色上衣和白色裤子的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵小颖先拿了一件白色上衣，然后在三条裤子中随机拿了一条裤子穿上， ∴恰好是白色上衣和蓝色裤子的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图为： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果数有1种， ∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在至层的任意一层出电梯．请用树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率． 4 3 2 1 车库 【答案】． 【分析】 本题主要考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙在相邻楼层出电梯的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的结果有：，，，，，，共种， ∴甲、乙在相邻楼层出电梯的概率为． 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）为了使学生树立正确的劳动观点和劳动态度，养成劳动习惯、掌握必要的劳动技能，常州某校开设了劳动教育课程，桐桐和明明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等． （1）桐桐恰好选中“烹饪”的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都选中同一门课程的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择同一课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一共有4门课程，每门课程被选中的可能性相等， ∴桐桐恰好选中“烹饪”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设分别用A、B、C、D表示“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”这4门课程，列表如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人都选中同一门课程的结果数有4种， ∴两人都选中同一门课程的概率为． 19．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）某校为让学生更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“豆包”、“”、“”三个主题，若小聪和小明从中任意选择一个主题，则两人选择的主题相同的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】 解：记：，：豆包，：， 列表如下： 共有种等可能结果，其中两人选择的主题相同有种， 两人选择的主题相同的概率是， 故答案为：． 20．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）抚顺旅游资源丰富，自然景观与人文景观交相辉映．以下是抚顺旅游的五大经典景点：A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园），C（红河谷漂流），D（赫图阿拉城），E（抚顺雷锋纪念馆），小海同学计划在2026年8月份与父母一起，利用暑假时间，畅游抚顺五大经典景点，假设选择每个景点的机会是相同的． （1）如果第一天小海同学一家只去一个景点游玩，选择到C（红河谷漂流）的概率是______； （2）如果第一天小海一家可以早起，时间比较充足，准备选择两个景点进行游玩，请利用树状图或者列表法求出恰好选择两个景点是A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园）的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查画树状图或列表法求概率，正确得出所有等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：小海一家从五个景点中，只去一个景点C的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 由表可知：共有20种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好选择A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园）的结果共有2种． ∴则的概率为． A B C D E A B C D E 21．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中______； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】（1）160人；     （2） 补全条形统计图如图1所示．      （3）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；用条形统计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得a的值． （2）求出选择B的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：此次被调查的学生总人数为（人），， ． 故答案为：160人；． (2) 小问详解： 选择B的人数为． (3) 小问详解： 列表如下： 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有4种， 两人恰好选到同一个课程的概率为． A B C D A B C D 22．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）某中学为了提高学生对航天的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下两幅不完整的统计图表． 请根据图表信息解答以下问题： （1）本次调查随机抽取了____名参赛学生的成绩，在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是____度； （2）补全频数分布直方图； （3）成绩前四名的学生中正好是两名男生和两名女生，若从这四名学生中任意选两人为该校的航天知识宣传员，求恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）50，28.8；     （2） 补全图形如下：      （3）．      【分析】 本题考查直方图，扇形图，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）用C组学生人数除以所占的比例求出调查的总人数，用360度乘以F组学生所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出D组学生人数，补全直方图即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：（人）， ； 故答案为：50，28.8； (2) 小问详解： 解：（人）， 略 (3) 小问详解： 进而：画树状图如下： 共有12个等可能的结果，恰好选中一名男生和一名女生的结果有8个， ∴． 23．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有______人，他们成绩的中位数落在______等级； （2）频数分布直方图中B等级有______人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为______； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约______人； （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是_____． 【答案】（1），B     （2），     （3）估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人     （4）      【分析】 本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的百分比，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． （1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可； （2）由（1）知B等级的人数；根据扇形统计图中D等级所占总人数的比例乘以，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为（人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； (2) 小问详解： 解：由（1）知B等级的人数为人； ∵D等级的人数为人, ∴， ∴扇形统计图中D等级所的百分比为； 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； (4) 小问详解： 解：由题意画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 24．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）“非遗文化体验日”活动中，主办方设置特色体验摊位，推出四种不同的非遗体验项目，它们分别是：剪纸（A）、糖画（B）、皮影（C）、刺绣（D），游客可随机抽取项目参与体验，每个项目仅限体验一次． （1）若游客随机抽取1个项目参与体验，则他恰好抽到“剪纸（A）”项目的概率是________； （2）若游客可连续抽取2个不同项目依次体验，请用画树状图或列表的方法，求他恰好抽到“糖画（B）”和“皮影（C）”这两个项目的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了用列表法或树状图法求概率，依据题意列表得出所有等可能的情况数是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）依据题意列表得出所有等可能的情况数，找到符合条件的情况数，然后用概率公式即可求解． (1) 小问详解： 解：他恰好抽到“剪纸（A）”项目的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同．其中，恰好抽到“糖画（B）”和“皮影（C）”这两个项目的结果有2种：，， 所以恰好抽到“糖画（B）”和“皮影（C）”这两个项目的概率．                  第二个项目第一个项目 A B C D A B C D 25．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：1、2、3、4、5、6的正方体骰子，小明和小红按照以下游戏规则进行游戏：每人先掷骰子（可选择掷一次或连续掷两次），骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品；现在轮到小红掷骰子，此时棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子． （1）填空：小红掷一次骰子_______得到汽车（填“能”或“不能”）； （2）小红申请连续掷两次，请用树状图或列表的方式求出她能获得汽车的概率． 【答案】（1）不能     （2）      【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率，根据题意正确列表是解题关键． （1）由题意可知，棋子最远可到达第7个格子，而汽车在第8个格子，即可作答； （2）根据题意列表可得，共有36种等可能的结果，其中和为7（得到“汽车”）的结果有6种，再利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：棋子在标有数字“1”的那一格，正方体骰子上最大的数字为6， 棋子最远可到达第7个格子， 汽车在第8个格子， 小红掷一次骰子不能得到汽车， 故答案为：不能； (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有36种等可能的结果，其中和为7（得到“汽车”）的结果有6种， 她连续掷两次骰子能获得汽车的概率是． 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）不透明袋子中装有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率为______； （2）从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率公式求概率，列表或画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可． （2）列表或画树状图得到所有等可能的结果，与符合要求的结果，根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：袋子中一共有3个球，从中随机摸出1个球，共有3种等可能结果，其中摸出的球是绿球的有2种结果， 故摸出的球是绿球的概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由题意可列表如下： ∴两次摸出球总共有9种等可能结果，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的有4种情况， ∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的概率为． 红 绿1 绿2 红 红，红 绿1，红 绿2，红 绿1 红，绿1 绿1，绿1 绿2，绿1 绿2 红，绿2 绿1，绿2 绿2，绿2 27．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）“锦绣之州”是辽宁锦州的美誉，这座城市历史悠久、物产丰饶、风光秀丽，既有自然山水的灵秀，又有人文烟火的温情．某校开展“我爱锦州”主题演讲活动，提供四张主题卡片（每张卡片除字母和类别外完全相同）供学生选择，分别是A：北镇医巫闾山（自然景观类）、B：笔架山“天桥”（自然景观类）、C：锦州烧烤（特色美食类）、D：沟帮子熏鸡（特色美食类）． （1）从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到自然景观类主题卡片的概率是________； （2）小颖先从四张卡片中随机抽取一张，记下类别后不放回，小亮再从中抽取一张，求他们抽到的主题类别相同的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格表示出所有等可能的结果，再找出他们抽到的主题类别相同的结果，最后根据概率公式计算即可． (1) 小问详解： 解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到自然景观类主题卡片的概率是； (2) 小问详解： 解：根据题意可列表格如下， 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽到的主题类别相同的结果有4种， ∴抽到的主题类别相同的概率为． A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 28．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）某校为了解九年级学生英语人机对话的学习情况，学校从学生成绩都不低于80分的九（1）班和九（2）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、分析表及条形统计图． 【收集数据】 九（1）班20名学生成绩：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95． 九（2）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 九年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 2 2 【分析数据】 九（1）班和九（2）班20名学生成绩分析表 平均数 中位数 众数 九（1）班 91 92.5 95 九（2）班 91 90 90 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． （1）直接补全条形统计图； （2）请结合数据分析，哪个班级的成绩更好一些？ （3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加学校组织的英语人机对话的学习经验介绍．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示：      （2）九（1）班成绩较好．     （3）      【分析】 本题考查了中位数、众数、条形统计图、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由九年级（1）班20名学生成绩统计可得90分学生有5人，95分学生有8人，即可补全条形统计图； （2）根据中位数、众数、平均数分析即可得解； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：由九年级（1）班20名学生成绩统计可得90分学生有5人，95分学生有8人； (2) 小问详解： 解：九年级（1）班成绩较好，理由： 九年级（1）班和（2）班的平均成绩相同，但九年级（1）班的中位数和众数都比（2）班高，即九年级（1）班高分段人数较多．因此九（1）班成绩较好； (3) 小问详解： 解：设九年级（1）班的两名100分的学生用、表示．九年级（2）班的两名100分的学生用、表示，则随机抽两名学生的所有情况列表如下： 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两名同学在同一个班级的共有4种， ∴（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）． 29．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）辽宁旅游资源丰富，自然景观与人文景观交相辉映．以下是辽宁旅游的五大经典景点，涵盖自然奇观、历史文化与海滨风光：A（本溪水洞景区），B（鞍山千山景区），C（红海滩国家风景廊道），D（本溪大石湖风景区），E（大连老虎滩海洋公园·老虎滩极地馆），小明同学计划在11月份与父母一起，利用周末时间，畅游五大经典景点，选择每个景点的机会是相同的． （1）如果第一周小明同学一家如果只去一个景点游玩选择到C（红海滩国家风景廊道）的概率是               ； （2）由于第一周周末时间较为充裕，小明一家可以选择两个景点进行游玩，请利用树状图或者表格求出恰好选择两个景点都在本溪的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查画树状图或列表法求概率，正确得出所有等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：小明一家从五个景点中，只去一个景点C的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 列表如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好选择A（本溪水洞景区）和D（本溪大石湖风景区）结果有共2种， ∴恰好选择A（本溪水洞景区）和D（本溪大石湖风景区）的概率为． A B C D E A B C D E 30．（25-26学年九上·辽宁铁岭）随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位学生准备各自挑选一场直播深入学习，随后分享收获． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求甲、乙两同学都选择“B．计算机视觉”的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲同学选择“B．计算机视觉”直播的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲，乙两同学都没有选择“B．计算机视觉”的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：从A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统中选择B的概率为 (2) 小问详解： 解：可画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两位同学都选择“B．计算机视觉”的只有1种， 所以． 31．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）甲队参加某次足球邀请赛，积分计算规则如下：每场比赛获胜的球队积3分，失利的球队积0分，平局则两队各积1分． （1）若甲队第一场比赛获胜，请写出第二场比赛后，甲队两场比赛总积分所有可能的结果； （2）请列表或用树状图分析，甲队两场比赛后总积分为4分的概率． 【答案】（1）甲队两场比赛总积分所有可能的结果为分，分，分     （2）      【分析】 本题考查列举法，列表法求概率： （1）列举法进行求解即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：甲队第一场比赛获胜，积3分； 若第二场比赛获胜，甲队总积分为分； 若第二场比赛打平，甲队总积分为分； 若第二场比赛失利，甲队总积分为分； 综上：甲队两场比赛总积分所有可能的结果为分，分，分； (2) 小问详解： 由题意，列表如下： 共9种等可能的结果，其中结果为4分的情况有2种， ∴． 0 1 3 0 0 1 3 1 1 2 4 3 3 4 6 32．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）在国际数学日的“画数学”感受数学之美的环节，小亮提出了用科克曲线，阿基米德螺线，三叶玫瑰线，笛卡尔心形线（如图所示）这四种曲线，并在四张完全相同的卡片上分别画上这四种曲线，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． （1）从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是               ； （2）从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，用列表法或者画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，轴对称图形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）记科克曲线为，阿基米德螺线为，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列出表格，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种，然后由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：记科克曲线为，阿基米德螺线，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列表如下： ∴由上表可知，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种， 则这两个图案都是轴对称图形的概率. 第二次抽取第一次抽取 33．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同. （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是________； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法，求两次都摸到白球的概率. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查列表法或树状图法，列举出从1个红球和2个白球中，先从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果是正确解答的关键． （1）根据概率的定义进行解答即可； （2）用表格表示从1个红球和2个白球中，先从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行解答即可． (1) 小问详解： 解：∵袋中有1个红球和2个白球， ∴从中任意摸出1个球，一共有3种结果，摸到红球的结果有1种． ∴从1个红球和2个白球中随机摸出一球是红球的概率为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，每种结果出现的机会均等，其中2次都摸到白球的结果有4种， ． 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 34．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）小明同学计划利用暑假时间去我市的“故宫”、“科技宫”、“大帅府”参观，先后顺序由抽签决定．他先将三个目的地分别写在三张卡片的正面，这三张卡片除正面文字不同外，其他完全相同，然后将卡片背面朝上洗牌，抽取的第一张作为第一个目的地，接着从剩下的卡片里抽取第二张作为第二个目的地，最后剩下的一张作为第三个目的地．最终“科技宫”排在第二个目的地的概率是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查的是用列举法求概率，不遗漏地列出所有可能的结果．总共有种等可能的排列顺序，其中科技宫在第二个位置的有种情况，因此概率为． 【详解】 解：三个目的地可能的排列顺序有： “故宫”、“科技宫”、“大帅府”， “故宫”、“大帅府”、“科技宫”， “科技宫”、“故宫”、“大帅府”， “科技宫”、“大帅府”、“故宫”， “大帅府”、“故宫”、“科技宫”， “大帅府”、“科技宫”、“故宫”， 三个目的地的所有可能排列顺序共有种等可能的情况，科技宫排在第二个目的地的情况有种， “科技宫”排在第二个目的地的概率为． 故答案为：． 35．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）一个不透明的袋子中共装有3个小球，其中2个红球，1个白球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记为随机摸球1次．若随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】 【分析】 本题主要考查了运用树状图和列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键． 先根据题意列表，确定所有等可能结果数以及两次摸出的小球都是红球有4种结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】 解：根据题意列表如下： 由列表可知：共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果， 所以两次摸出的小球都是红球的概率为． 红 红 白 红 （红，红） （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红）  （白，白） 36．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸A．氯化钠B．稀盐酸C．碳酸钠D．四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液A、稀盐酸溶液C可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，请利用列表或画树状图的方法求出这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率． 【答案】 【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率掌握知识点是解题的关键． 根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】 解：画树状图，如图 共有12种等可能性结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从口进入且从口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并结合概率公式计算是解题的关键． 【详解】 解：列表如下： 由列表可知，共有种等可能的结果，其中从口进，从口离开的结果只有种，即， ∴他选择从口进入，从口离开的概率是， 故答案为：． B C E A D 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】 解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是． 故选：B． 2．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（     ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【分析】 本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】 解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 3．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）林业局将某种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，若移植棵该种树苗，则成活的数量约是（       ） A. 棵 B. 棵 C. 棵 D. 棵 【答案】D 【分析】 本题考查了折线统计图，样本频率估计总体概率，观察题图可知，随着移植数量增加，树苗成活的频率逐渐趋于稳定，并在附近上下波动，因此，可估计该种树苗的成活概率约为，进而即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：由题图可知，移植树苗成活的频率为， ∴这种树苗移植成活的概率为， ∴成活的数量约是（棵）， 故选：． 4．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，设总颗数为，根据题意得，解方程即可求解，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【详解】 解：设总颗数为， ∵摸到红色玻璃珠的频率稳定在， ∴ ， 解得， ∴估计布袋里玻璃珠的总颗数为， 故选：． 5．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如表是某一项实验中结果A出现的频率统计表（表中频率精确到0.01）， 试验次数 40 100 200 400 1000 频数 26 78 158 323 801 频率 0.65 0.78 0.79 0.81 0.80 请估计在一次实验中结果A出现的概率为（     ）（结果保留小数点后一位） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】C 【分析】 此题考查利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数充分大时，频率稳定在概率附近，观察表中频率值，随着试验次数增加，频率在0.8附近摆动，因此估计概率为0.8． 【详解】 ∵ 试验次数较大时，频率稳定于概率，且由表可知，试验次数为1000时频率为0.80，其他次数下频率（0.65、0.78、0.79、0.81）也接近0.8， ∴ 估计结果A出现的概率为0.8， 故选C． 6．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】 解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 7．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）一只不透明的袋子中装有3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，则的值最可能是（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【分析】 本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据题意可得蓝球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】 解：∵大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在， ， 解得：，经检验是方程的解， 即n的值最可能是． 故选：D． 8．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A. 160 B. 240 C. 120 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】 解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（       ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 【答案】B 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】 解：观察统计图可知，该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20， ∵抽到白球的概率为：， 抽到黑球的概率为：， 抽到红球的概率为：， 抽到黄球的概率为：， ∴该球的颜色最有可能是红色． 故选：B． 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（     ） A. 15个 B. 14个 C. 13个 D. 12个 【答案】D 【分析】 本题考查了由频率估计概率，根据概率公式计算概率，设口袋中红球可能有个，根据题意列出方程，解方程即可得解． 【详解】 解：设口袋中红球可能有个， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意； 故口袋中红球可能有12个， 故选：D． 11．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了几何概率以及用频率估计概率．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】 解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35， 点落在不规则图案上的概率为0.35， 正方形边长为， 估计阴影部分面积约为， 故选：C． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（     ）（精确到0.01） A. 0.50 B. 0.59 C. 0.62 D. 0.63 【答案】C 【详解】 解：∵随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率在附近波动（精确到）， ∴估计“针尖朝上”的概率接近于，故C选项符合． 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 【答案】D 【分析】 此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．根据统计图可知，试验结果在 0.17 附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为 0.17 者即为正确答案． 【详解】 解：A、在＂石头、剪刀、布＂的游戏中，小明随机出的是＂剪刀＂的概率为，故A选项不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意； C、暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 的概率为，故D选项符合题意． 故选：． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（       ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 10个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 根据表格中信息可得到红球的概率，再根据概率公式解答即可． 【详解】 解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个， 由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：， 所以口袋中红球的个数最可能是个， 故选：B． 15．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000 合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904 合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）　　　　　　　　　　　　　． 【答案】0.9 【分析】 根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率． 【详解】 解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9， ∴恰好是合格产品的概率约是0.9． 故答案为：0.9 【点睛】 本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体的思想． 16．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表： 投篮次数 投中次数 频率 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是　　　　　　（精确到）． 【答案】 【分析】 大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解． 【详解】 解：观察表格发现随着投篮次数的增多投中的频率逐渐稳定在附近， 故投中的概率估计值为； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 17．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是　　　　　　．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【分析】 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】 ∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902， ∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9， 故答案为：0.9． 【点睛】 本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 18．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．根据频率稳定在概率附近，白球的概率为，由此建立方程求解． 【详解】 解：根据题意得：． 解得 ， 经检验，是该方程的解． 故答案为：20． 19．（25-26学年九上·辽宁铁岭）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 则这名球员投篮一次投中的概率约是　　　　　　（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】 本题考查了频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此即可作答． 【详解】 解：依题意，，，，，，， ∵结果保留小数点后一位 ∴这名球员投篮一次投中的概率约是 故答案为：． 20．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有　　　　　　个． 【答案】2 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，概率公式的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 利用频率估计概率可得到摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算这个盒子中红球的数量． 【详解】 解：∵共试验1000次，其中有200次摸到红球， ∴摸到红球的概率为， 设盒子中有x个红球，则， 解得， 经检验，是该方程的解． ∴估计盒子中的红球有2个． 故答案为：2． 21．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是　　　　　．（精确到） 【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是根据每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】 解：由击中靶心频率都在上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）在下列事件中，必然事件的是（     ） A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 B. 从地面发射1枚导弹，未击中空中目标 C. 明天太阳从东方升起 D. 购买1张彩票，中奖 2．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（       ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 3．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）“翻开九年级上册数学课本，恰好翻到第10页”，这个事件是（　　） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 确定事件 4．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）气象台发布的天气预报显示，明天A地下雨的可能性是65%，则“明天A地下雨”这一事件是（     ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 5．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（     ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 6．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 7．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）在下列事件中，不可能事件是（     ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 8．（25-26学年九上·辽宁铁岭）有两个事件，事件A：在一个标准大气压下，水加热到时沸腾；事件B：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．下列判断正确的是（     ） A. 事件A，事件B都是必然事件 B. 事件A是不可能事件，事件B是随机事件 C. 事件A，事件B都是随机事件 D. 事件A是必然事件，事件B是随机事件 考点02 概率 1．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）丹东市是中国最大的边境城市，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末去丹东游玩，他们想在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中随机选择一个游玩，则选到“虎山长城”的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（       ） A. 21 B. 27 C. 28 D. 30 4．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是　　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影区域的概率是　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）一个不透明的袋子里有10个红球和若干个同样大小的白球，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球100次，其中20次摸到红球，请估计袋中大约有白球　　　　　　　　个． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  红 白1 白2 红 （红，红） （红，白1） （红，白2） 白1 （白1，红） （白1，白1） （白1，白2） 白2 （白2，红） （白2，白1） （白2，白2） 2．（25-26学年九上·辽宁铁岭）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）一个盒子内装有大小、形状均相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个．小明从中摸出一个球放回后，再摸出一个球，则两次摸到的球颜色一样的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 7．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）数学兴趣活动课上，小聪和小明玩抽卡片游戏，如图，他们制作了3张卡片，分别写有“1”“2”“3”三个数字，卡片除数字外都相同，将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上，小聪先从中随机抽出一张，记下数字后放回并洗匀，小明再从中随机抽出一张，若两次抽到的数字之和大于4，则小聪胜；若数字之和小于4，则小明胜；若数字之和等于4，则重复上述过程． （1）小聪从中随机抽取一张卡片，求他恰好抽到数字“3”的概率； （2）请你用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 小聪小明 1 2 3 1 2 3 8．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜：； （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？ （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是　　　　　　． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 12．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 13．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是　　　　　　　　 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）中国古代四大发明造纸术、印刷术、指南针、火药对世界文明的发展具有深远的影响．某校社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，小慧同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取两项发明开展活动，则她抽取的两项发明恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有三条裤子，分别为蓝色、黑色和白色． （1）小颖先拿了一件白色上衣，然后在三条裤子中随机拿了一条裤子穿上，恰好是白色上衣和蓝色裤子的概率是_______； （2）小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，请利用画树状图或列表的方法，求恰好是白色上衣和白色裤子的概率． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在至层的任意一层出电梯．请用树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率． 4 3 2 1 车库 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）为了使学生树立正确的劳动观点和劳动态度，养成劳动习惯、掌握必要的劳动技能，常州某校开设了劳动教育课程，桐桐和明明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等． （1）桐桐恰好选中“烹饪”的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都选中同一门课程的概率． 19．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）某校为让学生更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“豆包”、“”、“”三个主题，若小聪和小明从中任意选择一个主题，则两人选择的主题相同的概率是　　　　　　． 20．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）抚顺旅游资源丰富，自然景观与人文景观交相辉映．以下是抚顺旅游的五大经典景点：A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园），C（红河谷漂流），D（赫图阿拉城），E（抚顺雷锋纪念馆），小海同学计划在2026年8月份与父母一起，利用暑假时间，畅游抚顺五大经典景点，假设选择每个景点的机会是相同的． （1）如果第一天小海同学一家只去一个景点游玩，选择到C（红河谷漂流）的概率是______； （2）如果第一天小海一家可以早起，时间比较充足，准备选择两个景点进行游玩，请利用树状图或者列表法求出恰好选择两个景点是A（热高巴厘岛水世界），B（皇家海洋乐园）的概率． A B C D E A B C D E 21．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中______； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． A B C D A B C D 22．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）某中学为了提高学生对航天的认识，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下两幅不完整的统计图表． 请根据图表信息解答以下问题： （1）本次调查随机抽取了____名参赛学生的成绩，在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是____度； （2）补全频数分布直方图； （3）成绩前四名的学生中正好是两名男生和两名女生，若从这四名学生中任意选两人为该校的航天知识宣传员，求恰好选中一名男生和一名女生的概率． 23．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有______人，他们成绩的中位数落在______等级； （2）频数分布直方图中B等级有______人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为______； （3）若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约______人； （4）九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是_____． 24．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）“非遗文化体验日”活动中，主办方设置特色体验摊位，推出四种不同的非遗体验项目，它们分别是：剪纸（A）、糖画（B）、皮影（C）、刺绣（D），游客可随机抽取项目参与体验，每个项目仅限体验一次． （1）若游客随机抽取1个项目参与体验，则他恰好抽到“剪纸（A）”项目的概率是________； （2）若游客可连续抽取2个不同项目依次体验，请用画树状图或列表的方法，求他恰好抽到“糖画（B）”和“皮影（C）”这两个项目的概率．                  第二个项目第一个项目 A B C D A B C D 25．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：1、2、3、4、5、6的正方体骰子，小明和小红按照以下游戏规则进行游戏：每人先掷骰子（可选择掷一次或连续掷两次），骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品；现在轮到小红掷骰子，此时棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子． （1）填空：小红掷一次骰子_______得到汽车（填“能”或“不能”）； （2）小红申请连续掷两次，请用树状图或列表的方式求出她能获得汽车的概率． 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）不透明袋子中装有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率为______； （2）从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个绿球的概率． 红 绿1 绿2 红 红，红 绿1，红 绿2，红 绿1 红，绿1 绿1，绿1 绿2，绿1 绿2 红，绿2 绿1，绿2 绿2，绿2 27．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）“锦绣之州”是辽宁锦州的美誉，这座城市历史悠久、物产丰饶、风光秀丽，既有自然山水的灵秀，又有人文烟火的温情．某校开展“我爱锦州”主题演讲活动，提供四张主题卡片（每张卡片除字母和类别外完全相同）供学生选择，分别是A：北镇医巫闾山（自然景观类）、B：笔架山“天桥”（自然景观类）、C：锦州烧烤（特色美食类）、D：沟帮子熏鸡（特色美食类）． （1）从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到自然景观类主题卡片的概率是________； （2）小颖先从四张卡片中随机抽取一张，记下类别后不放回，小亮再从中抽取一张，求他们抽到的主题类别相同的概率． A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 28．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）某校为了解九年级学生英语人机对话的学习情况，学校从学生成绩都不低于80分的九（1）班和九（2）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、分析表及条形统计图． 【收集数据】 九（1）班20名学生成绩：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95． 九（2）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 九年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 2 2 【分析数据】 九（1）班和九（2）班20名学生成绩分析表 平均数 中位数 众数 九（1）班 91 92.5 95 九（2）班 91 90 90 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． （1）直接补全条形统计图； （2）请结合数据分析，哪个班级的成绩更好一些？ （3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加学校组织的英语人机对话的学习经验介绍．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 29．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）辽宁旅游资源丰富，自然景观与人文景观交相辉映．以下是辽宁旅游的五大经典景点，涵盖自然奇观、历史文化与海滨风光：A（本溪水洞景区），B（鞍山千山景区），C（红海滩国家风景廊道），D（本溪大石湖风景区），E（大连老虎滩海洋公园·老虎滩极地馆），小明同学计划在11月份与父母一起，利用周末时间，畅游五大经典景点，选择每个景点的机会是相同的． （1）如果第一周小明同学一家如果只去一个景点游玩选择到C（红海滩国家风景廊道）的概率是               ； （2）由于第一周周末时间较为充裕，小明一家可以选择两个景点进行游玩，请利用树状图或者表格求出恰好选择两个景点都在本溪的概率． A B C D E A B C D E 30．（25-26学年九上·辽宁铁岭）随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位学生准备各自挑选一场直播深入学习，随后分享收获． （1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求甲、乙两同学都选择“B．计算机视觉”的概率． 31．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）甲队参加某次足球邀请赛，积分计算规则如下：每场比赛获胜的球队积3分，失利的球队积0分，平局则两队各积1分． （1）若甲队第一场比赛获胜，请写出第二场比赛后，甲队两场比赛总积分所有可能的结果； （2）请列表或用树状图分析，甲队两场比赛后总积分为4分的概率． 0 1 3 0 0 1 3 1 1 2 4 3 3 4 6 32．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）在国际数学日的“画数学”感受数学之美的环节，小亮提出了用科克曲线，阿基米德螺线，三叶玫瑰线，笛卡尔心形线（如图所示）这四种曲线，并在四张完全相同的卡片上分别画上这四种曲线，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． （1）从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是               ； （2）从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，用列表法或者画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 第二次抽取第一次抽取 33．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同. （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是________； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法，求两次都摸到白球的概率. 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 34．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）小明同学计划利用暑假时间去我市的“故宫”、“科技宫”、“大帅府”参观，先后顺序由抽签决定．他先将三个目的地分别写在三张卡片的正面，这三张卡片除正面文字不同外，其他完全相同，然后将卡片背面朝上洗牌，抽取的第一张作为第一个目的地，接着从剩下的卡片里抽取第二张作为第二个目的地，最后剩下的一张作为第三个目的地．最终“科技宫”排在第二个目的地的概率是　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）一个不透明的袋子中共装有3个小球，其中2个红球，1个白球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记为随机摸球1次．若随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 红 红 白 红 （红，红） （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红）  （白，白） 36．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸A．氯化钠B．稀盐酸C．碳酸钠D．四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液A、稀盐酸溶液C可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，请利用列表或画树状图的方法求出这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率． 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是　　　　　　　　　　　． B C E A D 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（     ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 3．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）林业局将某种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，若移植棵该种树苗，则成活的数量约是（       ） A. 棵 B. 棵 C. 棵 D. 棵 4．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有颗．现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如表是某一项实验中结果A出现的频率统计表（表中频率精确到0.01）， 试验次数 40 100 200 400 1000 频数 26 78 158 323 801 频率 0.65 0.78 0.79 0.81 0.80 请估计在一次实验中结果A出现的概率为（     ）（结果保留小数点后一位） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 6．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）一只不透明的袋子中装有3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，则的值最可能是（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A. 160 B. 240 C. 120 D.  9．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（       ） A. 白色 B. 红色 C. 黑色 D. 黄色 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（     ） A. 15个 B. 14个 C. 13个 D. 12个 11．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（     ）（精确到0.01） A. 0.50 B. 0.59 C. 0.62 D. 0.63 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（       ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 10个 15．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000 合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904 合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）　　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表： 投篮次数 投中次数 频率 则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是　　　　　　（精确到）． 17．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是　　　　　　．（结果精确到0.1） 18．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为　　　　　　． 19．（25-26学年九上·辽宁铁岭）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 123 152 251 则这名球员投篮一次投中的概率约是　　　　　　（结果保留小数点后一位）． 20．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有　　　　　　个． 21．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是　　　　　．（精确到） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $