32.2.1解直角三角形（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦解直角三角形（已知两边求其余元素），课堂导入通过复习直角三角形全等判定及边角关系（角角互余、边边勾股、边角三角函数），搭建从旧知（全等、三角函数）到新知（解直角三角形概念）的学习支架，帮助学生理解五个元素的联系。 其亮点是以合作探究（如已知斜边和锐角求对边）引导发现解直角三角形过程，结合典例分析（例2已知两直角边解三角形）和分层巩固练习，培养数学思维的推理能力与运算能力。感受中考环节链接真题，体现数学语言的应用意识，学生能通过实例掌握方法，教师可借助清晰结构提升教学效率。

32.2.1 解直角三角形（第1课时） 第三十二章 锐角三角函数 32.2 解直角三角形及其应用 人教版九年级下册 学习目标 理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 一 了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形（已知两边）. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 直角三角形全等的判定 问题1 结合直角三角形全等的判定方法，你能说一说如何确定一个直角三角形的形状和大小吗? 对于直角三角形，已知它的 或 ，这个三角形的形状、大小就确定了，即它的其余边、角也就确定了. 两组对应边相等的两个直角三角形全等 一组对应锐角和一组对应边相等的两个直角三角形全等 两条边 一个锐角和一条边 SAS/SSS/HL ASA/AAS 如何由已知的一些边、角求出其余边、角呢? 复习引入 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 问题2 直角三角形中角与角、边与边和边与角之间有哪些关系？ 利用这些关系可以由已知的一些边、角求出其余边、角. 合作探究 引言中的问题 已知Rt△ABC的一个锐角α的度数和斜边AB的长，求角α的对边BC的长. 解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 则sinα = ， 因此BC=ABsinα. 这样，根据测得的距离 AB 和仰角α就可以计算出BC， 进而得到高程hN=hM+h₁+ABsinα-h₂ . 合作探究 追问 在上面解决问题的过程中，我们由直角三角形的斜边和一个锐角，求出了这个锐角所对的直角边.你能求出Rt△ABC中，其余的边和角吗？ 已知：∠A =α； AB . 未知：∠B = ， BC = ， AC = . 90°-α ABsinα ABcosα 直角三角形中的五个元素. 合作探究 解 直 角 三 角 形 的概念 一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素：三条边和两个锐角.由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 如图，在Rt△ABC中 ，∠C为直角，∠A，∠B，∠ C所对的边分别为a， b，c，那么除直角∠C 外的五个元素之间有哪些关系？ 合作探究 探究 在直角三角形中，知道除直角外五个元素中的几个，就可以求其余元 素？ (1) 三边之间的关系：a² +b²= c² ( 勾股定理). (2) 两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 合作探究 (1) 三边之间的关系：a² +b²= c² ( 勾股定理). (2) 两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. (3) 边角之间的关系：sinA= = . cosA= = . tanA= = . 上述关系中的A都可以换成B，同时把a，b互换. 对于直角三角形，已知它的 或 ，这个三角形 的形状、大小就确定了，即它的其余边、角也就确定了. 两条边 一个锐角和一条边 利用这些关系，知道其中两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素. 例1 在下列Rt△ABC中，可解的直角三角形是（    ） A．已知b=3，∠C=90° B．已知∠C=90°，∠B=46° C．已知a=3，b=6，∠C=90° D．已知∠B=25°，∠A=65° C 典例分析 解：∵tanA= = = . ∴ ∠A=60°， ∠B=90°-∠A=90°-60°=30°， AB=2AC=2. 典例分析 例2 如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形. 典例分析 例3 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，cosC= ， BD=5，则BC的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 C 典例分析 例4 已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=2，AB=12， 那么sin∠BCD的值为_____． 巩固练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，AB=10，则∠A的度数为 . 45° 2.在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=6，cosB=，则AB的长为 ，AC的长为 ． 2 4 巩固练习 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=，解这个直角三角形. 解：∵tanB= = = . ∴ ∠B=60°， ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°， c=2a=2. 解：（1）∵tanA= = . ∴ ∠A≈22.6°， ∠B=90°-∠A≈90°-22.6°=67.4°， 由勾股定理得：c=13. 巩固练习 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： (1)a=5，b=12； (2)a=2，c=3； (3)b=，c=. 解：（2）∵sinA= = . ∴ ∠A≈41.8°， ∠B=90°-∠A≈90°-41.8°=48.2°， 由勾股定理得：b=. 巩固练习 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： (1)a=5，b=12； (2)a=2，c=3； (3)b=，c=. 解：（3）∵cosA= = = . ∴∠A≈35.3°， ∠B=90°-∠A≈90°-35.3°=54.7°， 由勾股定理得：a=1. 巩固练习 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： (1)a=5，b=12； (2)a=2，c=3； (3)b=，c=. 巩固练习 5.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=4，DA=6． (1)求∠B的度数； (2)求∠CAD的度数． 解：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=4， ∴tanB= = =， ∴∠B=60°. 解：（2）过点A作AE⊥BC于点E，如图所示： 则∠AEB=∠AED=90°，∴∠BAE=90°−∠B=30°， ∵AB=4， ∴AE=AB⋅sinB=4×sin60°=4×=6， ∵AD=6， ∴cos∠DAE= = = ， ∴∠DAE=45°， ∴∠CAD=90°−30°−45°=15°． 巩固练习 归纳总结 解直角三角形 定义 一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素： 和 .由 ，求出 的过程，叫作解直角三角形. 方法 利用 ，知道其中两个元素 ，就可以求出其余三个未知元素. 三条边 两个锐角 直角三角形中已知元素 其余未知元素 勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数 (至少有一个是边) 感受中考 1.（2026年云南）在Rt△ABC中，∠C=90°．若BC=，tanB=，则 AB=（      ） A． B． C． D． C 感受中考 2.（2025年山东淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD=5，AE=10，则BC的长是（    ）． A．10 B．12 C．13 D．15 B 解：∵在正方形ABCD中，AB=4， ∴AB=BC=CD=AD=4，∠C=∠D=90°， ∵tan∠DAE=，即DE:AD=1:4， ∴DE=1，∴CE=CD−DE=3， ∴Rt△CBE中，BE==5． 感受中考 3.（2026年广西）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE， BE．若AB=4，tan∠DAE=，则BE=_____． 5 感受中考 4.（2025年广东广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB， 已知cos∠CAD= ，AB=26，则点B到AD的距离为__________． 10 解：∵cos∠CAD= ，∠ACB=90°，∴AC:AD=12:13， 设AC=12x，则AD=13x，∴CD=5x， ∴sin∠CAD= = ， 过点B，作BQ⊥AD，交AD于点Q， ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD， ∴BQ:AB=sin∠BAQ=sin∠CAD=5:13， ∵AB=26，∴BQ=10，∴点B到AD的距离为10. 小结梳理 角与角的关系 一个内角等于90° 两个锐角互余 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 边与边的关系 边与角的关系 sinA= cosA= tanA= 直角三角板 特殊锐角的三角函数值 从一般到特殊 解直角三角形 布置作业 必做题：习题32.2 第1(1)(2)，6(3)题. 1 探究性作业：习题32.2 第9题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $