27.2.3 相似三角形应用举例-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

第二十七章 相似 27.2.3 相似三角形应用举例 【义务教育教科书人教版九年级下册】 情 境 导 入 27.2.3 相似三角形应用举例 相似三角形的性质： (1)对应边成比例，对应角相等； (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形周长的比等于相似比； (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 新 课 探 究 27.2.3 相似三角形应用举例 例4 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO. 怎样测出OA的长？ 新课探究 情境导入 课堂小结 解：∵太阳光是平行的光线 ∴∠BAO=∠EDF. 又∠AOB=∠DFE=90° ∴△ABO∽△DEF ∴ ∴ 因此金字塔的高度为134m. 新课探究 情境导入 课堂小结 归纳 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 新课探究 情境导入 课堂小结 A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 新课探究 情境导入 课堂小结 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ. P R Q S b T a 新课探究 情境导入 课堂小结 解：∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST. ∴ 即 ∴ PQ×90=(PQ+45)×60. 解得 PQ=90(m). 因此，河宽大约为90m. P R Q S b T a 新课探究 情境导入 课堂小结 变式：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米， 求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 60m 50m 120m 新课探究 情境导入 课堂小结 归纳 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 测宽方法： 新课探究 情境导入 课堂小结 例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了? 新课探究 情境导入 课堂小结 解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两树的顶端A、C恰在一条直线上. ∵AB⊥l，CD⊥l， ∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK, ∴ , 即 . 解得 EH=8(m). 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离 小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C. 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 1.小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为 （ ） A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m A A 新课探究 情境导入 课堂小结 3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m. A B E D C 20 4. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长度 . 12 cm 新课探究 情境导入 课堂小结 5. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度． A B C D 解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E， ∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED=1 : 1.2， ∴ AE = 8 m， ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， ∴ 学校旗杆的高度为 10 m. E 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 27.2.3 相似三角形应用举例 情境导入 课堂小结 新课探究 相似三角形的应用举例 利用相似三角形测宽 利用相似解决有遮挡物问题 利用相似三角形测高 THANK YOU $