32.2.2 应用举例 第2课时 课件- 2026-2027学年人教版九年级数学下册

第三十二章 锐角三角函数 32.2 解直角三角形及其应用 32.2.2 应用举例 课时2 1.能从测量高度、航海定位等实际情境中，抽象出直角三角形模型，利用仰角、俯角、方位角结合锐角三角函数求解边长，解决实际问题. 2.学会将实际问题转化为数学问题，画出平面图形并构造直角三角形，根据条件选用合适的三角函数关系解三角形，最终得到实际问题的答案. 学习目标 2 同学们，还记得本章引言中的问题吗？在生活中，有很多高大的建筑、山峰，我们没办法直接用尺子测量它们的高度，那有没有办法利用数学知识来 “隔空测高” 呢？ 比如现在很常见的无人机测绘技术，就用到了我们的数学知识. 大家看屏幕上的这张图：无人机飞到空中的 A 点，通过自带的探测器，就能知道自己看楼顶和楼底的角度，还能测出自己和楼的水平距离. 那我们能不能用这些数据，算出这栋楼的高度呢？ 课堂导入 名称 定义 图示 仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角. 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角. 知识点1 解与仰角、俯角有关的实际问题 新知讲解 例1 如图，在用无人机测量一栋楼的高度时，无人机的探测器显示，从  处看楼顶部  的仰角  为 ，看楼底部  的俯角  为 ， 处与楼的水平距离为 . 这栋楼有多高（结果取整数）？ 分析：在Rt△ABD中，α和AD已知，利用解直角三角形的知识可以求出BD. 类似地可以求出CD，进而求出BC. 解：如图，由题意知，，，. 在 Rt△ 中，∵ , ∴ . 同理，在 Rt△ACD 中， . ∴ . 因此，这栋楼高约为 . 知识点1 解与仰角、俯角有关的实际问题 新知讲解 跟踪训练 如图，是某运动员进行跳伞运动时的示意图，运动员在空中的点A处打开降落伞，此时显示离地高度AC为800m，且从点A看地面降落区中心点B的俯角为α，则此时降落伞到降落区中心的水平距离BC为（　　） A.  B.  C.  D.  解析：由图可得， ，，, ∵ , ∴ . B 知识点1 解与仰角、俯角有关的实际问题 新知讲解 名称 定义 举例 方 位 角 指北或指南的方向线与目标线所成的小于 90° 的角叫作方位角. 如右图所示，自标方向线OA，OB，OC的方位角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西45°，其中南偏东45°习惯上又叫作东南方向，北偏西45°习惯上又叫作西北方向. 新知讲解 知识点2 解与方位角有关的实际问题 如图，一艘海轮位于灯塔  的北偏东  方向、距离灯塔  的  处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔  的南偏东  方向上的  处. 这时，  处距离灯塔  有多远（结果取整数）？ 解：如图，在 Rt△ 中， . 在 Rt△ 中，, ∵ , ∴ . 因此，当海轮到达位于灯塔  的南偏东  方向时，它距离灯塔  大约 130 . 例2 新知讲解 知识点2 解与方位角有关的实际问题 跟踪训练 株洲市清水塘大桥是株洲市内第八座跨江大桥（图1），桥梁的跨度  为 410 米，也称“八桥”，某天小红和小明在“八桥”左岸边点  处游玩（图2），此时他们发现桥梁左岸支座点  在正西方向，桥梁的右岸支座点  在北偏西  方向，然后他们继续沿着河岸  方向游玩到达  ，这时他们观测到桥梁的右岸支座点  在北偏西  方向.求此过程中他们游玩路径  的长度（结果保留整数）. 解：∵ ，, ∴ △ 是等腰直角三角形,∴  . ∵ 在 Rt△ 中，,  , ∴AD== , ∴  . 答：他们游玩路径  的长度约为 300 米. 新知讲解 知识点2 解与方位角有关的实际问题 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫作坡角. 一般用字母α,β,γ表示. ①坡度等于坡角的正切值，即i=​=tanα； ②坡度越大，则坡角越大，山坡就越陡. 坡度 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡面的坡度 (或坡比). 通常用i表示，即i=h:l. 当h=1，l=​时，坡度i=1:​，坡角为30°. 新知讲解 知识点3 解与坡角、坡度有关的实际问题 解：∵在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=45°，BC=10 , ∴ AB=BC=10 . ∵ 斜坡 CD 的坡度为 ，, ∴ DB, ∴ AD=BD-AB, ∴ 点 D 到建筑物的距离为 ∵ , ∴ 距离原坡面底部（点  处）10 m 的建筑物需要拆除. 例3 如图所示为一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10 m，CB⊥AB，坡面 AC 的倾斜角为 ，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面  的坡比为 ，若新坡面的底部（点  处）前需留 3 m 宽的人行道，则距离原坡面底部（点  处）10 m 的建筑物是否需要拆除（参考数据：，）？ 新知讲解 知识点3 解与坡角、坡度有关的实际问题 如图，建筑物  上有一避雷针 ，从与  相距  的  处观测避雷针顶A的仰角为 ，观测避雷针底部  的仰角为 . 求避雷针的长度（结果保留小数点后一位）. 解：由题意知，，，，, ∵ , ∴ . ∵ , ∴ , ∴ . 答：避雷针的长度约为 . 随堂练习 如图，海中有一个小岛 ，它周围  内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点  测得小岛  在北偏东  方向上，航行  到达点 ，这时测得小岛  在北偏东  方向上. 如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解：如图所示，过点  作  于点 .设  = . 由题意知，，，. ∵ ，, ∴ ，. ∵ ，∴ , 即 ,解得 . ∵ , 答：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险. 随堂练习 3. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多. 为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图(1)所示的坡路进行改造. 如图(2)所示，改造前的斜坡  米，坡度为 ；将斜坡  的高度  降低  米后，斜坡  改造为斜坡 ，其坡度为 . 求斜坡  的长.（结果保留根号） 解：由题意，知 , ∴ . ∵ ，，∴ . ∵ ，∴ . 由题意，知 ，∴ , ∴ . 答：斜坡  的长是  米. 随堂练习 解直角三角形 的应用举例 解与仰角、俯角有关的实际问题 解与方位角有关的实际问题 解与坡角、坡度有关的实际问题 构造直角三角形 转化为解直角三角形问题 课堂小结 $