4.2角分层卷 2026～2027学年北师大版数学七年级上册

4.2角分层卷 2026~2027学年北师大版七年级上册数学 第 4 章 基本平面图形　·　分层练习卷 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷围绕角的概念、角的度量与角平分线分层设题，覆盖角的表示、度分秒换算、角的和差与角平分线、钟面角与方向角，并涉及方程思想、整体思想、分类讨论，以及单角平分线、双角平分线、三等分角与 n 等分角、角的折叠等常见模型。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列关于角的说法或表示，正确的是（　） A． 与 表示同一个角 B．角的两边是两条线段 C．平角就是一条直线 D．顶点为 的角都可以记作 【答案】A A：角的两边是射线，与字母书写的先后顺序无关， 与 的顶点都是 ，两边都是 、，是同一个角，正确； B：角的两边是两条射线，不是线段，错误； C：平角的两边成一条直线，但平角是一个 180° 的角，不是直线，错误； D：当顶点 处有两个或两个以上的角时，不能用 表示，错误。故选 A。 2．下列换算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 因为 ，，所以 ，B 正确； A 中 ，不是 ，错误； C 中 ，错误； D 中 ，错误。故选 B。 3．计算 的结果是（　） A． B． C． D． 【答案】A 把 拆成 ； 按度、分、秒分别相减：秒 ，分 ，度 ； 所以结果为 。故选 A。 4．钟表上 8 时 30 分时，时针与分针所成的较小角的度数是（　） A． B． C． D． 【答案】A 钟面被分成 12 大格，每格 ；分针每分钟走 ，时针每分钟走 ； 8 时 30 分时，分针指向 6，与 12 的夹角为 ； 时针从 12 起转过的角度为 ； 两针夹角为 ，小于 ，所以较小角是 。故选 A。 5．如图，在观测点 处测得小岛 在北偏东 的方向上，小岛 在南偏东 的方向上，则 的度数是（　） A． B． C． D． 【答案】A 南北方向在同一条直线上，正北与正南的夹角是 ； 在北偏东 ，即从正北向东偏 ； 在南偏东 ，即从正南向东偏 ； 所以 。故选 A。 6．如图， 平分 ， 平分 。若 ，，则 的度数是（　） A． B． C． D． 【答案】A 因为 平分 ，所以 ； 因为 平分 ，所以 ； 所以 。故选 A。 7．已知 ，，则 的度数是（　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 题目没有说明射线 与 的位置关系，需要分类讨论； 当 在 的内部时，； 当 在 的外部时，； 所以 的度数是 或 。故选 A。 8．如图，把两把三角尺的直角顶点 重合在一起， 落在 的内部。若 ，则 的度数是（　） A． B． C． D． 【答案】A 因为 ， 在 内部，所以 ； 又 ，所以 ； 即 ，这正是"同角的余角相等"。故选 A。 9．从 0 时到 12 时（不含 12 时），钟面上时针与分针互相垂直的次数是（　） A．22 B．24 C．21 D．20 【答案】A 设从 0 时起经过 分钟，分针转过的角度为 ，时针转过的角度为 ，两针夹角为 ； 两针垂直时，夹角为 或 ，即 （ 为非负整数），解得 ； 由 得 ，即 ，所以 可取 ，共 22 个值； 即 12 小时内时针与分针互相垂直 22 次。故选 A。 10．如图，把一张长方形纸片沿 折叠，点 落在 处。若 ，则 的度数是（　） A． B． C． D． 【答案】A 折叠后 与 重合，所以 ； 点 、、 在同一条直线上，所以 ； 故选 A。 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．把 用度、分、秒表示为                 。 【答案】 整数部分 不变； 小数部分 ，取整数部分得 ； 剩下 ； 所以 。 12．已知 ，射线 在 的内部，且 ， 平分 ，则                 。 【答案】 因为 在 内部，所以 ； 因为 平分 ，所以 。 13．射线 、 依次是 的三等分线，即 ， 平分 。若 ，则                 。 【答案】 因为 、 是 的三等分线，所以 ； 因为 平分 ，所以 ； 所以 。 14． 与 的度数之比为 ，射线 在 的内部， 平分 。若 ，则                 。 【答案】 设 ，则 ，； 因为 平分 ，所以 是 的一半，即 度； 于是 （度），由 得 ； 所以 。 15．射线 在 的内部， 平分 ， 平分 。若 ，则                 。 【答案】 因为 平分 ，所以 ；因为 平分 ，所以 ； 又 在 内部，、 分别在 的两侧，所以 ； 把两式相加得 。 16．同一平面内，，，、 分别平分 、，则 的度数为                 。 【答案】 或 ，； 射线 与 的位置关系不确定，需要分类： ① 当 落在 的内部（即 在 与 之间）时，； ② 当 落在 的外部时，； 所以 的度数为 或 。 三、解答题（共 52 分） 17．计算： （1）； （2）； （3）。 【答案】（1）；（2）；（3） （1）度与度、分与分分别相加：，；因为 ，所以原式 ； （2）把 化为 ，再逐级相减：，，，所以原式 ； （3），；因为 ，所以原式 。 18．如图，点 在直线 上，， 平分 。 （1）求 的度数； （2）求 的度数； （3）求 的度数。 【答案】（1）；（2）；（3） （1）因为点 在直线 上，所以 与 互为邻补角，； （2）因为 平分 ，所以 ； （3）。（也可用 验证。） 19．如图，，射线 在 的内部， 平分 ， 平分 。 （1）若 ，求 的度数； （2）若 （），求 的度数； （3）由（1）（2）你能得到什么结论？ 【答案】（1）；（2）；（3） 恒等于 的一半，与 的位置无关 （1）；因为 平分 ，所以 ；因为 平分 ，所以 ；所以 ； （2），，；把这两个角相加时 恰好抵消，所以 ； （3）结论： 的大小与射线 的位置无关，恒等于 的一半，即 。 20．已知 ，射线 在 的内部，且 ， 平分 。 （1）求 与 的度数； （2）求 的度数； （3）若 平分 ，求 的度数。 【答案】（1），；（2）；（3） （1）设 ，，则 ，解得 ；所以 ，； （2）因为 平分 ，所以 ；所以 ； （3）因为 平分 ，所以 ；所以 。 21．如图， 为观测点，小岛 在北偏东 的方向上，小岛 在南偏东 的方向上，小岛 在正西方向上。 （1）求 的度数； （2）求 的度数； （3）若 平分 ，求 的度数。 【答案】（1）；（2）；（3） （1）正北与正南在同一条直线上，夹角为 ，所以 ； （2）正西方向与正南方向的夹角为 ，而 在正南向东偏 ，所以 ； （3）正西与正北的夹角为 ， 在正北向东偏 ，所以 ；因为 平分 ，所以 。 22．如图，把一张长方形纸片沿 折叠，点 落在 处。已知 。 （1）求 的度数，并说明理由； （2）求 的度数； （3）若 ，用含 的式子表示 ；当 时，求 的值。 【答案】（1）；（2）；（3）， （1）折叠后 与 完全重合，所以 ； （2）点 、、 在同一条直线上，所以 ； （3）同理，； 当 时，，解得 ，即 。 23．已知 ，射线 、 依次是 的三等分线，即 。 （1）求 的度数； （2）若 平分 ，判断 与 的位置关系，并说明理由； （3）拓展：若把 分成 等份（， 为整数），则相邻两条等分线所成的角是多少度？当 时，第 2 条等分线与第 5 条等分线所成的角是多少度？ 【答案】（1）；（2） 与 重合；（3）相邻两条等分线所成的角为 度， 时为 （1），所以 ； （2）因为 平分 ，所以 ；而 ，两个角都在 的同侧，所以射线 与射线 重合； （3）把 分成 等份，每一份为 度，相邻两条等分线所成的角就是 度； 当 时，每一份为 ，第 2 条与第 5 条等分线之间相隔 3 份，所以所成的角为 。 24．如图，点 在直线 上，。射线 从 出发，绕点 按逆时针方向以每秒 的速度旋转，当 与 重合时停止旋转。设旋转时间为 秒。 （1）当 为何值时， 平分 ？ （2）当 为何值时，？ （3）当 为何值时，？并比较（2）（3）中所求时刻的 的大小。 【答案】（1）；（2）；（3），（2）中 大于（3）中 旋转 秒后，，因为在 到达 之前 在 的内部，所以 ； （1） 平分 时，，即 ，解得 ； （2）由 得 ，即 ，解得 ，此时 ； （3）由 得 ，即 ，解得 ，此时 ； 比较可知，，即（2）中所求时刻的 更大。 4.2角分层卷　·　2026~2027学年北师大版七年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2角分层卷 2026~2027学年北师大版七年级上册数学 第 4 章 基本平面图形　·　分层练习卷 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷围绕角的概念、角的度量与角平分线分层设题，覆盖角的表示、度分秒换算、角的和差与角平分线、钟面角与方向角，并涉及方程思想、整体思想、分类讨论，以及单角平分线、双角平分线、三等分角与 n 等分角、角的折叠等常见模型。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列关于角的说法或表示，正确的是（　） A． 与 表示同一个角 B．角的两边是两条线段 C．平角就是一条直线 D．顶点为 的角都可以记作 2．下列换算正确的是（　） A． B． C． D． 3．计算 的结果是（　） A． B． C． D． 4．钟表上 8 时 30 分时，时针与分针所成的较小角的度数是（　） A． B． C． D． 5．如图，在观测点 处测得小岛 在北偏东 的方向上，小岛 在南偏东 的方向上，则 的度数是（　） A． B． C． D． 6．如图， 平分 ， 平分 。若 ，，则 的度数是（　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 的度数是（　） A． 或 B． C． D． 或 8．如图，把两把三角尺的直角顶点 重合在一起， 落在 的内部。若 ，则 的度数是（　） A． B． C． D． 9．从 0 时到 12 时（不含 12 时），钟面上时针与分针互相垂直的次数是（　） A．22 B．24 C．21 D．20 10．如图，把一张长方形纸片沿 折叠，点 落在 处。若 ，则 的度数是（　） A． B． C． D． 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11．把 用度、分、秒表示为                 。 12．已知 ，射线 在 的内部，且 ， 平分 ，则                 。 13．射线 、 依次是 的三等分线，即 ， 平分 。若 ，则                 。 14． 与 的度数之比为 ，射线 在 的内部， 平分 。若 ，则                 。 15．射线 在 的内部， 平分 ， 平分 。若 ，则                 。 16．同一平面内，，，、 分别平分 、，则 的度数为                 。 三、解答题（共 52 分） 17．计算： （1）； （2）； （3）。 18．如图，点 在直线 上，， 平分 。 （1）求 的度数； （2）求 的度数； （3）求 的度数。 19．如图，，射线 在 的内部， 平分 ， 平分 。 （1）若 ，求 的度数； （2）若 （），求 的度数； （3）由（1）（2）你能得到什么结论？ 20．已知 ，射线 在 的内部，且 ， 平分 。 （1）求 与 的度数； （2）求 的度数； （3）若 平分 ，求 的度数。 21．如图， 为观测点，小岛 在北偏东 的方向上，小岛 在南偏东 的方向上，小岛 在正西方向上。 （1）求 的度数； （2）求 的度数； （3）若 平分 ，求 的度数。 22．如图，把一张长方形纸片沿 折叠，点 落在 处。已知 。 （1）求 的度数，并说明理由； （2）求 的度数； （3）若 ，用含 的式子表示 ；当 时，求 的值。 23．已知 ，射线 、 依次是 的三等分线，即 。 （1）求 的度数； （2）若 平分 ，判断 与 的位置关系，并说明理由； （3）拓展：若把 分成 等份（， 为整数），则相邻两条等分线所成的角是多少度？当 时，第 2 条等分线与第 5 条等分线所成的角是多少度？ 24．如图，点 在直线 上，。射线 从 出发，绕点 按逆时针方向以每秒 的速度旋转，当 与 重合时停止旋转。设旋转时间为 秒。 （1）当 为何值时， 平分 ？ （2）当 为何值时，？ （3）当 为何值时，？并比较（2）（3）中所求时刻的 的大小。 4.2角分层卷　·　2026~2027学年北师大版七年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $