4.1 线段、射线、直线 分层卷 2026～2027 学年北师大版七年级上册数学

4.1 线段、射线、直线分层卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 命题范围：北师大版七年级上册数学 第 4 章 基本平面图形 4.1 线段、射线、直线（满分 100 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（　　） A．线段 向两方无限延伸就得到射线 B．射线 与射线 是同一条射线 C．直线不能度量长度，射线和线段都可以度量长度 D．直线、射线、线段都可以用两个大写字母表示 2．已知点 在线段 上，则下列说法不正确的是（　　） A．射线 与射线 是同一条射线 B．射线 与射线 是同一条射线 C．线段 与线段 是同一条线段 D．直线 与直线 是同一条直线 3．下列生活现象中，可以用“两点确定一条直线”来解释的是（　　） A．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上 B．把弯曲的河道改直，能够缩短航程 C．测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直 D．把车轮做成圆形，车轴装在圆心的位置 4．如图，一条直线上有 、、、 四个点，以这些点为端点的线段共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 5．如图， 是线段 的中点，点 在线段 上，且 ．若 cm，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 6．如图，、 是线段 的三等分点， 是线段 的中点．若 cm，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 7．点 、 都在线段 上，且 ．若 cm， 是线段 的中点，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 8．点 在线段 的延长线上， 是线段 的中点．若 cm， cm，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 9．已知线段 cm，点 是直线 上一点，且 cm， 是线段 的中点，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm 或 cm D． cm 或 cm 10．已知点 在直线 上，有下列说法：①若 ，则 是线段 的中点；②若 是线段 的中点，则 ；③若 ，则 是线段 的中点；④若 ，则点 在线段 上．其中正确的有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．把弯曲的河道改直，可以缩短航程，其中的数学道理是______． 12．某条铁路线上共有 个车站（任意两站之间的路程都不相同），铁路部门要为这条线路准备______种不同的车票． 13．已知线段 ，点 是线段 的中点，点 在线段 上，且 ．若 cm，则 ______cm． 14．点 在线段 的延长线上， 是线段 的中点， 是线段 的中点．若 cm，则 ______cm． 15．点 在线段 上，、 分别是线段 、 的中点．若 cm， cm，则 ______cm，______cm． 16．已知线段 cm，、 是线段 的三等分点（点 靠近点 ），点 在直线 上，且 cm，则 的长为______cm． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4 分）已知线段 ，点 在线段 上， cm， 比 的 倍少 cm． (1) 求线段 的长； (2) 若 是线段 的中点，求线段 的长． 18．（6 分）已知线段 cm，点 是线段 上一点，且 ，点 是直线 上一点，且 ． (1) 求线段 、 的长； (2) 求线段 的长． 19．（6 分）已知点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，且 cm． (1) 求线段 的长； (2) 若点 在线段 上，且 cm，求线段 的长． 20．（6 分）如图，、、、 依次在同一条直线上， 是线段 的中点， 是线段 的中点， cm， cm， cm． (1) 求线段 的长； (2) 求线段 的长； (3) 若 是线段 的中点，求线段 的长． 21．（8 分）如图，点 是定长线段 上一点， cm， cm．点 、 分别从点 、点 同时出发，沿直线 向左运动，速度都是 cm/s，其中点 在线段 上运动，点 在线段 上运动．设运动时间为 s． (1) 用含 的式子表示线段 、 的长； (2) 求线段 的长，并说明它的值与 无关； (3) 当 为何值时，？ (4) 在运动过程中，点 与点 能否重合？请说明理由． 22．（8 分）已知线段 cm，点 是直线 上一点，、 分别是线段 、 的中点． (1) 当点 在线段 上，且 cm 时，求线段 的长； (2) 当点 在线段 的延长线上，且 cm 时，求线段 的长； (3) 由 (1)(2) 的结果，你能得到什么结论？请说明理由． 23．（7 分）【新知理解】点 在线段 上，若线段 、、 中有一条线段的长度是另一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“和谐点”． (1) 线段的中点______（填“是”或“不是”）这条线段的和谐点； (2) 若 cm，点 是线段 的和谐点，求线段 的长； (3) 在 (2) 的条件下，若 ，求点 到线段 中点的距离． 24．（7 分）已知线段 cm，点 是直线 上一点，点 是线段 的中点． (1) 当 cm 时，求线段 的长； (2) 当 cm（）时，用含 的式子表示线段 的长； (3) 若点 是线段 的中点，直接写出线段 与 的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 线段、射线、直线分层卷 2026~2027 学年北师大版七年级上册数学 命题范围：北师大版七年级上册数学 第 4 章 基本平面图形 4.1 线段、射线、直线（满分 100 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（　　） A．线段 向两方无限延伸就得到射线 B．射线 与射线 是同一条射线 C．直线不能度量长度，射线和线段都可以度量长度 D．直线、射线、线段都可以用两个大写字母表示 【答案】 D 【解析】 线段有两个端点，向一方无限延伸得到射线，向两方无限延伸才得到直线，所以 A 错； 射线 的端点是 ，射线 的端点是 ，端点不同，不是同一条射线，所以 B 错； 直线和射线都向一方或两方无限延伸，都不能度量长度，只有线段能度量，所以 C 错； 直线可以记作直线 ，射线可以记作射线 ，线段可以记作线段 ，所以 D 正确．选 D． 【解题提示】三者的区别抓两点：端点个数（0 个、1 个、2 个）与能否无限延伸；延伸方向不同，两条射线就不是同一条射线。 2．已知点 在线段 上，则下列说法不正确的是（　　） A．射线 与射线 是同一条射线 B．射线 与射线 是同一条射线 C．线段 与线段 是同一条线段 D．直线 与直线 是同一条直线 【答案】 B 【解析】 射线 与射线 的端点都是 ，都沿远离 的方向延伸，又因为 在线段 上，两条射线完全重合，是同一条射线，A 正确； 射线 的端点是 、方向朝 ，射线 的端点是 、方向朝 ，端点相同但方向相反，不是同一条射线，B 错误； 线段没有方向，线段 与线段 是同一条线段，C 正确； 直线 与 都过 、，由“两点确定一条直线”知是同一条直线，D 正确．选 B． 【解题提示】判断两条射线是否相同要看两件事：端点是否相同、延伸方向是否一致，缺一不可。 3．下列生活现象中，可以用“两点确定一条直线”来解释的是（　　） A．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上 B．把弯曲的河道改直，能够缩短航程 C．测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直 D．把车轮做成圆形，车轴装在圆心的位置 【答案】 A 【解析】 “两点确定一条直线”说的是：经过两点有且只有一条直线； A 中两颗钉子相当于两个点，木条被固定住，说明过这两点的直线只有一条，正是“两点确定一条直线”； B 中把弯道改直能缩短路程，依据是“两点之间线段最短”，不是这个事实； C 的依据是“垂线段最短”，D 的依据是圆上各点到圆心距离都等于半径，故只有 A 符合．选 A． 【解题提示】四个常见事实要分清：两点确定一条直线、两点之间线段最短、垂线段最短、经过一点有无数条直线。 4．如图，一条直线上有 、、、 四个点，以这些点为端点的线段共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】 C 【解析】 数线段时按“左端点”分类，从左往右依次去数，才能不重不漏； 以 为左端点的线段有 、、，共 3 条； 以 为左端点的线段有 、，共 2 条； 以 为左端点的线段只有 ，共 1 条； 所以共有 （条）．选 C． 【解题提示】直线上有 个点时，线段总数为 ，4 个点就是 6 条。 5．如图， 是线段 的中点，点 在线段 上，且 ．若 cm，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】 B 【解析】 因为 是线段 的中点，所以 （cm）； 点 在线段 上，所以 ； 把 代入，得 ，即 ； 所以 （cm）．选 B． 【解题提示】一条线段被分成两段时，先写“两段之和等于全长”，再把倍数关系代进去，就把它变成一道方程题。 6．如图，、 是线段 的三等分点， 是线段 的中点．若 cm，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】 D 【解析】 两个三等分点把 分成相等的三段：（cm）； 因为 是线段 的中点，所以 （cm）； 所以 （cm）．选 D． 【解题提示】遇到等分点，先在图上把每一小段都标成长度，再用“拼接”求线段长，比直接套公式更稳妥。 7．点 、 都在线段 上，且 ．若 cm， 是线段 的中点，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】 A 【解析】 三段的份数之和为 ，所以每一份长 （cm）； （cm），（cm），（cm）； （cm）， 是 的中点，所以 （cm）； 所以 （cm）．选 A． 【解题提示】连比问题先求“一份”的长，再逐段还原；求差之前要看清哪一点在另一点的左边，否则会把减法方向弄反。 8．点 在线段 的延长线上， 是线段 的中点．若 cm， cm，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】 C 【解析】 点 在线段 的延长线上，说明 、、 依次排列，而 在 、 之间； 所以 （cm）； 因为 是线段 的中点，所以 （cm）．选 C． 【解题提示】先画一条从左到右的草图，把已知长度都标在图上，“谁减谁”一眼就能看出来。 9．已知线段 cm，点 是直线 上一点，且 cm， 是线段 的中点，则 的长为（　　） A． cm B． cm C． cm 或 cm D． cm 或 cm 【答案】 D 【解析】 题目只说点 在“直线 上”，并没有限定在线段 上，所以要分两种情况讨论； 当点 在线段 上时，（cm），（cm），（cm）； 当点 在点 的左侧时，（cm），（cm），（cm）； 所以 的长为 cm 或 cm．选 D． 【解题提示】题干出现“直线”“射线”这类没有范围限制的说法时，先问一句“点的位置唯一吗”，漏掉一种情况就会丢分。 10．已知点 在直线 上，有下列说法：①若 ，则 是线段 的中点；②若 是线段 的中点，则 ；③若 ，则 是线段 的中点；④若 ，则点 在线段 上．其中正确的有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 B 【解析】 ① 点 在直线 上且到 、 的距离相等，这样的点只能是线段 的中点，正确； ② 中点的定义就是把线段分成相等的两条线段，正确； ③ 由 得 ，若点 在点 的左侧，同样有 ，但此时 不是 的中点，所以 ③ 不一定成立； ④ 因为 、、 在同一条直线上，且 ，说明 夹在 、 之间，即点 在线段 上，正确； 所以正确的是 ①②④，共 3 个．选 B． 【解题提示】判断“一定成立”要能举出反例，判断“一定不成立”要能说明理由；点究竟落在哪里，通常就是这类题对错的分界线。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．把弯曲的河道改直，可以缩短航程，其中的数学道理是______． 【答案】 两点之间线段最短 【解析】 河道弯曲时，两地之间的航程是一条曲线； 改直以后，航程就是连结这两地的线段； 在所有连结两点的线中，线段最短，所以改直后航程变短； 因此其中的数学道理是：两点之间线段最短。 【解题提示】要写成完整的“两点之间线段最短”；只写“线段最短”缺了前提，不算对。 12．某条铁路线上共有 个车站（任意两站之间的路程都不相同），铁路部门要为这条线路准备______种不同的车票． 【答案】 20 【解析】 车票是分方向的：从 站到 站的车票与从 站到 站的车票是两种不同的车票； 先数单程的种数： 个车站中任取两个就确定一种，共有 （种）； 每一种单程都对应一种方向相反的车票，所以还要乘 2； 所以共需 （种）车票。 【解题提示】“车票”与“票价”不一样：票价与方向无关，车票与方向有关，问车票种数时不要忘了乘 2。 13．已知线段 ，点 是线段 的中点，点 在线段 上，且 ．若 cm，则 ______cm． 【答案】 8 【解析】 由 ，可设 ，则 ，； 是 的中点，所以 ； 因为 ，所以点 在 与 之间，； 由 得 ，所以 （cm）。 【解题提示】遇到“一段是另一段的几分之几”，先设一份为 ，把每条线段都用 表示，再列方程。 14．点 在线段 的延长线上， 是线段 的中点， 是线段 的中点．若 cm，则 ______cm． 【答案】 5 【解析】 点 在 的延长线上，、、 依次排列，所以 、 都在线段 上； ，； 所以 ； 而 ，所以 （cm）。 【解题提示】双中点问题先把两条“一半”写出来，再决定相加还是相减；整体思想就是把 直接换成 ，不必求出每一段的具体长度。 15．点 在线段 上，、 分别是线段 、 的中点．若 cm， cm，则 ______cm，______cm． 【答案】 12；8 【解析】 ，，所以 ； 由 得 ，所以 （cm）； 又 ，把它与 联立成方程组； 两式相加得 ，所以 （cm），（cm）。 【解题提示】两个未知量需要两个方程：这里的“和”由双中点给出，“差”由题目给出，正好凑成方程组。 16．已知线段 cm，、 是线段 的三等分点（点 靠近点 ），点 在直线 上，且 cm，则 的长为______cm． 【答案】 2 或 6 【解析】 因为点 靠近点 ，所以 （cm）； 题目说点 在“直线 上”且 cm，这样的点有两个：一个在点 的右侧，一个在点 的左侧； 当 在 的右侧时，它落在 、 之间，（cm）； 当 在 的左侧时，（cm）； 所以 的长为 cm 或 cm。 【解题提示】凡是以某点为端点截取定长的点，在直线上都有两个；题干只写“直线 上”时，答案往往不止一个。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4 分）已知线段 ，点 在线段 上， cm， 比 的 倍少 cm． (1) 求线段 的长； (2) 若 是线段 的中点，求线段 的长． 【答案】 (1) cm；(2) cm 【解析】 (1) 由题意得 （cm）； 点 在线段 上，所以 （cm）； (2) 因为 是线段 的中点，所以 （cm）； 所以 （cm）。 【解题提示】“比某段的几倍少几”要按字面顺序写成 ，不要写成 ，括号一加意思就变了。 18．（6 分）已知线段 cm，点 是线段 上一点，且 ，点 是直线 上一点，且 ． (1) 求线段 、 的长； (2) 求线段 的长． 【答案】 (1) cm， cm；(2) cm 或 cm 【解析】 (1) （cm）； 点 在线段 上，所以 （cm）； (2) 由 cm，且点 在直线 上，以 为端点截取 5 cm 的点有两个； 当 在线段 上时，（cm）； 当 在 的延长线上时，（cm）； 所以 的长为 cm 或 cm。 【解题提示】分类之后，每一类都要写清是“哪一段减哪一段”还是“哪一段加哪一段”，只写答案不写依据容易丢过程分。 19．（6 分）已知点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，且 cm． (1) 求线段 的长； (2) 若点 在线段 上，且 cm，求线段 的长． 【答案】 (1) cm；(2) cm 或 cm 【解析】 (1) 因为 是 的中点，所以 ，设 ； 则 ；又 是 的中点，所以 ，； ，由 得 ； 所以 （cm）； (2) 由 (1) 知 cm，、 之间的距离是 12 cm； 点 在线段 上且 cm， 可以在 的左侧，也可以在 的右侧； 当 在 的左侧时，（cm）； 当 在 的右侧时，（cm）； 所以 的长为 cm 或 cm。 【解题提示】连续出现两个中点时，设“最小的一段”为 ，把 、 都用 表示，倍数关系就一目了然了。 20．（6 分）如图，、、、 依次在同一条直线上， 是线段 的中点， 是线段 的中点， cm， cm， cm． (1) 求线段 的长； (2) 求线段 的长； (3) 若 是线段 的中点，求线段 的长． 【答案】 (1) cm；(2) cm；(3) cm 【解析】 (1) 、、、 依次排列，所以 （cm）； (2) 因为 是 的中点，所以 （cm）； 因为 是 的中点，所以 （cm）； 所以 （cm）； (3) 因为 是 的中点，所以 （cm）； 所以 （cm）。 【解题提示】依次排列的多个点，先把每一小段都标上长度，再用“拼接”求总长；求 时 在 的右侧，要用减法。 21．（8 分）如图，点 是定长线段 上一点， cm， cm．点 、 分别从点 、点 同时出发，沿直线 向左运动，速度都是 cm/s，其中点 在线段 上运动，点 在线段 上运动．设运动时间为 s． (1) 用含 的式子表示线段 、 的长； (2) 求线段 的长，并说明它的值与 无关； (3) 当 为何值时，？ (4) 在运动过程中，点 与点 能否重合？请说明理由． 【答案】 (1) cm， cm；(2) cm，与 的取值无关；(3) ；(4) 不能，理由见解析 【解析】 (1) 路程等于速度乘时间，所以 （cm），（cm）； (2) 点 在 上，所以 ； 点 在 上，所以 ； （cm），化简后不含 ，所以 的长与 的取值无关，恒为 12 cm； (3) 由 得 ； 解得 ，所以 ； (4) 不能．因为由 (2) 知 始终等于 12 cm，即 、 两点之间的距离始终大于 0，所以两点不可能重合。 【解题提示】动点问题先把每个点到定点的距离用含 的式子写出来，再按题意列式；判断是不是定值，就看化简后式子里还有没有 。 22．（8 分）已知线段 cm，点 是直线 上一点，、 分别是线段 、 的中点． (1) 当点 在线段 上，且 cm 时，求线段 的长； (2) 当点 在线段 的延长线上，且 cm 时，求线段 的长； (3) 由 (1)(2) 的结果，你能得到什么结论？请说明理由． 【答案】 (1) cm；(2) cm；(3) 无论点 在线段 上还是在 的延长线上， 都等于 的一半，是定值 【解析】 (1) 点 在线段 上，（cm）； （cm），（cm），所以 （cm）； (2) 点 在 的延长线上，（cm）； （cm），（cm），所以 （cm）； (3) 结论：两种情况下 都等于 cm，是定值，与点 的具体位置无关； 理由：当 在线段 上时，； 当 在 的延长线上时，．两种情况的结果都能化成 。 【解题提示】双中点结论记两句话：点在线段上是两条“一半”相加，点在延长线上是两条“一半”相减，结果都等于 的一半。 23．（7 分）【新知理解】点 在线段 上，若线段 、、 中有一条线段的长度是另一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的“和谐点”． (1) 线段的中点______（填“是”或“不是”）这条线段的和谐点； (2) 若 cm，点 是线段 的和谐点，求线段 的长； (3) 在 (2) 的条件下，若 ，求点 到线段 中点的距离． 【答案】 (1) 是；(2) cm 或 cm 或 cm；(3) cm 【解析】 (1) 设 是 的中点，则 ，且 ，符合“有一条是另一条的 2 倍”，所以中点一定是和谐点； (2) 设 ，则 ，，按“哪一条是另一条的 2 倍”逐一分类； 若 ，则 ，得 ；若 ，则 ，得 ； 若 ，则 ，得 ；若 ，则 ，得 ； 所以 的长为 cm、 cm 或 cm； (3) 由 得 ，即 ，所以 ，此时 cm， cm； 线段 的中点到点 的距离是 6 cm，所以点 到中点的距离为 （cm）。 【解题提示】“有一条是另一条的 2 倍”一共四种搭配： 是 的 2 倍、 是 的 2 倍、 是 的 2 倍、 是 的 2 倍，要逐一列出，不能只想到中点。 24．（7 分）已知线段 cm，点 是直线 上一点，点 是线段 的中点． (1) 当 cm 时，求线段 的长； (2) 当 cm（）时，用含 的式子表示线段 的长； (3) 若点 是线段 的中点，直接写出线段 与 的数量关系． 【答案】 (1) cm 或 cm；(2) 当 在线段 上时 cm，当 在 的延长线上时 cm；(3) cm 【解析】 (1) 点 在直线 上，位置有两种； 当 在线段 上时，（cm），（cm）； 当 在线段 的延长线上时，（cm），（cm）； 所以 的长为 cm 或 cm； (2) 当 在线段 上时，，（cm）； 当 在线段 的延长线上时，，（cm）； (3) 因为 是 的中点、 是 的中点，所以 ，； 当 在线段 上时，； 当 在 的延长线上时，； 所以 （cm），与点 的位置无关。 【解题提示】含字母的分类讨论，先按位置分好类，再把每一类的结论写成式子；第 (3) 问这类“数量关系”往往是定值，要敢下结论并注明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $