31.4 位似 第1课时 课件- 2026-2027学年人教版九年级数学下册

第三十一章 相似 31.4 位似 课时1 1.通过具体实例认识特殊的相似图形，知道位似图形和位似多边形的概念及其性质，发展抽象能力； 2.知道利用位似可以将一个图形放大或缩小，会画简单的位似图形. 学习目标 2 在日常生活中，我们经常见到借助一点对图形进行放大、缩小的现象，例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上等. 这样的图形变化，是一种特殊的相似. 课堂导入 探究 如图，在△ABC与△A'B'C'中，直线AA'，BB′，CC′相交于一点O，且 = = = k，这两个三角形相似吗？如果相似，△A'B'C'与△ABC的相似比是多少? 解： ∵∠A'OB′=∠AOB， = = k， ∴△OA'B'∽△OAB. ∴ . 同理可得， ， . ∴ . ∴△A'B'C'∽△ABC，相似比为 k. = = k = = k = = k = = = k 知识点1 位似图形和位似多边形 新知讲解 一般地，如果一个图形上所有的点A，B，C，D，⋯，P，⋯与另一个图形上所有的点A'，B′，C′，D'，⋯，P'，⋯分别对应，直线AA′，BB′，CC′，DD′，⋯，PP′，⋯相交于一点O，且 = = = = ⋯ = = ⋯， 那么这两个图形叫作位似图形，点O叫作位似中心. 注意：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. 如图，△A'C'B' ∽ △ACB，但显然△A'C'B'与△ACB不是位似图形. 知识点1 位似图形和位似多边形 新知讲解 位似多边形： 对于两个多边形，如果每对对应顶点所确定的直线相交于一点，并且这点到与其不重合的对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就叫作位似多边形. 知识点1 位似图形和位似多边形 新知讲解 位似中心与位似图形之间的常见位置关系 位似中心可能位于两个图形的同侧，可能位于两个图形之间，也可能位于两个图形的内部或边上，如图所示. 知识点1 位似图形和位似多边形 新知讲解 如图，判断下列各图中的两个图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心. 例1 解：图(1)中的两个图形是位似图形，位似中心是点P. 图(2)中的两个图形是位似图形，位似中心是点O. 因为图(3)中的两个图形对应顶点的连线不相交于一点，所以它们不是位似图形. 确定位似中心的方法 至少连接位似图形上的两组对应点，这两组对应点所在直线的交点即为位似中心. 知识点1 位似图形和位似多边形 新知讲解 探究 我们已经知道位似图形是特殊的相似图形，那它除了具备相似图形的性质，还有哪些独有的特征呢？ 观察下图，从对应点的连线、对应边的位置、对应点到位似中心的距离比这三个角度进行探究，说说你的发现. (1) 直线 AD，BE，CF 相交于一点 O; (2) AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF; ​(3) ​=k. (4) △ABC∼△DEF, 相似比为 k.​ 新知讲解 知识点2 位似图形的性质 根据位似图形的概念，可得到位似图形的四个基本性质： (1) 位似图形具有相似图形的一切性质； 对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. (2) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点. (3) 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上. (4) 位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比. 即经过位似中心. 仅适用于对应点到位似中心的距离不等于0的情况. 新知讲解 知识点2 位似图形的性质 例2 如图，四边形  与四边形  位似，点  为位似中心. 若 ，则  ______. 解析：∵ 四边形  与四边形  位似， ∴ 四边形  与四边形  相似，∴ . 2 : 3 新知讲解 知识点2 位似图形的性质 思考：如何把四边形按照相似比 缩小？ 在四边形ABCD外任取一点O， 分别在线段OA，OB，OC，OD上取点A′，B′ ，C′，D′，使 = = = = ， 连接 A'B′，B′C′，C'D′，D′A′，所得四边形A'B'C′D′就是所要求的图形. A D B C A′ B′ C′ D′ 点A′，B′ ，C′，D′分别是线段OA，OB，OC，OD的中点. O 新知讲解 知识点3 画位似图形 探究 对上述四边形ABCD及点O，如果分别在OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使 = = = = ，四边形A′B'C′D′与四边形ABCD有什么关系？ A D B C A′ B′ C′ D′ O 分别在OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′， B′， C′， D′， 如图所示. 四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似. 确定位似中心、根据相似比，我们可以在位似中心同侧、异侧画出两个位似图形. 新知讲解 知识点3 画位似图形 探究 对上述四边形ABCD及点O，如果点O取在四边形ABCD内部呢？画出得到的四边形A′B'C′D'. A D B C O A′ B′ C′ D′ 点O取在四边形ABCD内部，如图所示， 四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似. 新知讲解 知识点3 画位似图形 画位似图形的一般步骤 (1)定点：确定位似中心，并找出原图形的关键点.→一般是多边形的顶点. (2)连线：经过位似中心和原图形的关键点作直线.→用虚线. (3)取点：根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置. (4)定图：顺次连接所取各点，得到放大或缩小的图形.→用实线 新知讲解 知识点3 画位似图形 如图 ，以点  为位似中心，在点  的同侧将  缩小为原来的 . 解：如图所示， (1) 连接 ; (2) 分别取  的中点 ; (3) 连接 ，则  就是符合条件的图形. 例3 A B C A′ O B′ C′ 新知讲解 知识点3 画位似图形 1.如图，△OAB与△OCD 位似，AB 与 CD 平行吗？为什么？ A C O B D 解： 和  平行. 理由如下： ∵  和  是位似图形， ∴ , ∴ , ∴ . 随堂练习 2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的三角形的边长为原来三角形边长的3倍. 你能画出几个这样放大的三角形？ A C O B 解：能画出 2 个这样放大的三角形. ① 连接  并延长至点 ，使 ，用同样的方法得到点 ，顺次连接点 ，则  就是将  放大 3 倍后的图形. ② 连接  并延长至点 ，使 ，用同样的方法得到点 ，顺次连接点 ，则  也是将  放大 3 倍后的图形. 随堂练习 3. 如图 ，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 与 △A'B'C' 是以点 O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在格点上. (1)画出位似中心 O，并求出 △ABC 与 △A'B'C' 的相似比； (2)以点 O 为位似中心，在网格中画 △A₁B₁C₁，使它与 △ABC 的相似比为 1.5. 解：(1) 位似中心  的位置如图所示. (2)  如图所示. O A₁ B₁ C₁ 随堂练习 位似图形 (1)位似图形具有相似图形的一切性质. (2)位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点. (3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上. (4)位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比. 画位似图形的一般步骤 性质 (1)定点：确定位似中心，并找出原图形的关键点. (2)连线：经过位似中心和原图形的关键点作直线. (3)取点：根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置. (4)定图：顺次连接所取各点，得到放大或缩小的图形. 课堂小结 $