第三十一章 相似 章末小结 课件- 2026-2027学年人教版九年级数学下册

章末小结 第三十一章 相似 相似图形 位似图形 平行线分线段成比例 相似多边形 相似三角形 三角形相似的判定 相似三角形的性质 应用 单元知识梳理 2 知识点1 相似图形及其性质 1. 相似图形： 我们把形状相同的图形叫作相似图形. 2. 相似多边形： 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么 这两个多边形叫作相似多边形. 相似用符号“ ∽ ”表示，读作“相似于”. 3. 相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ 五边形ABCDE∽五边形A'B′C'D'E′ 单元知识梳理 知识点1 相似图形及其性质 4. 线段的比： 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫作这两条线段的比. 5. 四条线段成比例： 对于四条线段 a，b，c，d，如果其长度的比满足 (即 ad=bc)， 我们就说线段 a，b，c，d 成比例. 单元知识梳理 例1 如图所示的网格中各个小正方形的边长均为 1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为( ) A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 D 解析：由题图可知甲和丁的角分别相等，边对应成比例，故甲和丁是相似图形. 解决此类问题的关键是熟悉网格的性质，把握相似多边形的判定方法 知识点1 相似图形及其性质 单元知识梳理 例2 在 ， 的矩形花坛  的四周修筑小路. (1) 如果小路的宽均相等，如图 (1)，那么小路外边缘所围成的矩形  和矩形  相似吗？请说明理由. 审题技巧：小路的宽是未知数，不能直接计算出两个矩形的对应边是否成比例，所以可以先假设两个矩形相似，得出对应边成比例，通过计算判断与已知条件或实际是否相符，从而得出两个矩形是否相似. 解：(1) 矩形  和矩形  不相似. 理由如下： 设小路的宽为 ，若两个矩形相似，则 解得 . ∵ 小路的宽不为 ， ∴ 小路外边缘所围成的矩形  和矩形  不相似. 知识点1 相似图形及其性质 图（1） 单元知识梳理 例2 在 ， 的矩形花坛  的四周修筑小路. (2) 如果相对的两条小路的宽均相等，如图 (2)，当小路的宽  与 ()的比值是多少时，小路外边缘所围成的矩形  和矩形  相似？ (2) 当矩形  和矩形  相似时， 整理得 ∴ 当小路的宽  与  的比值为  时，小路外边缘所围成的矩形  和矩形  相似. 知识点1 相似图形及其性质 图（2） 单元知识梳理 矩形周围加宽问题 两邻边长分别为  的矩形，在其外围加宽分别为  的小路(如图)， (1) 若 ，则两个矩形一定不相似； (2) 若 ，则当  时，两个矩形相似. (推导：若这两个矩形相似，则 所以 ，整理得 在选择题或填空题中，可直接使用此结论.) 知识点1 相似图形及其性质 单元知识梳理 知识点2 平行线分线段成比例 1. 平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 如图，∵ ， ∴ . 简记为: . 单元知识梳理 知识点2 平行线分线段成比例 2. 平行线分线段成比例的推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 符号语言： 如图，∵ DE∥ BC， ∴ 单元知识梳理 10 例3 如图，，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求 BC，BF 的长. 审题技巧：抽象出“A”型或“X”型图形，列出含有一条待求线段和三条已知线段的比例式. 解：∵ ，∴ ， ∵ AB=3，AD=2，DE=4， ∴ ，∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ，解得 BF=2.5. 知识点2 平行线分线段成比例 单元知识梳理 例4 如图，在 ▱ABCD 中过点  的直线交  的延长线于点 ，分别交 ， 于点 ，，求证：. 证明：∵ 四边形  是平行四边形， ∴ ，∴ . 同理可知 AF∥ BC，∴ ， ∴ ， ∴ . 利用平行线分线段成比例证明等积式的方法 将待证的等积式转化为比例式. 若四条线段刚好是平行线分成的成比例线段，则直接证明，否则，可借助中间比(如本题中 )将两个比例式联系起来，再进行证明. 知识点2 平行线分线段成比例 单元知识梳理 知识点3 三角形相似的判定 相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 单元知识梳理 例5 如图，已知在四边形  中，，延长  相交于点 . 求证：(1) ; (2) . 证明：(1) ∵ ， ∴ . 又  ， ∴ . 知识点3 三角形相似的判定 单元知识梳理 例5 如图，已知在四边形  中，，延长  相交于点 . 求证：(1) ; (2) . (2) ∵ ， ∴ ，即 . 又  ， ∴ ， ∴ ， ∴ . “三点定形法”找相似三角形 先将等积式转化成比例式，如将 ，转化为 横看：分子  是  的两边，分母  为  的两边，所以若 ，就能得到所证等积式. 竖看：等号左边的  在同一个三角形中，等号右边的  不在同一个三角形中，所以这样找不到相似三角形. 因此，本题需证明出 . 这种寻找相似三角形的方法，叫作三点定形法. 若横看、竖看均找不到相似三角形，可借助等线段或中间比转化. 知识点3 三角形相似的判定 单元知识梳理 例6 如图，点  是 Rt  的斜边  上的一个动点，连接 ，作  于点 ，连接 ，，且 . (1)求证：. 解：(1) 证明：∵ ，， ∴ ， ∴ ，即 . ∵ ， ， ∴ ， ∴ . 知识点3 三角形相似的判定 单元知识梳理 例6 如图，点  是 Rt  的斜边  上的一个动点，连接 ，作  于点 ，连接 ，，且 . (2)求  的值. 解：(2) 由 (1) 知 ， ∴ . ∵ ，， ∴ ， 由勾股定理可知， ∴ ， ∴ . 知识点3 三角形相似的判定 单元知识梳理 例6 如图，点  是 Rt  的斜边  上的一个动点，连接 ，作  于点 ，连接 ，，且 . (3)若 ，求  的最小值. 解：(3) ∵ ，，， ∴ ， ∴ 由 (1) 得 ∴ 当  的值最小时， 有最小值. 如图，当  时， 有最小值. 此时， ∴ ∴ ∴  的最小值为 9. 知识点3 三角形相似的判定 单元知识梳理 例7 如图，在  中，，，点  从点  出发沿边  向点  以  的速度移动，同时点  从点  出发沿边  向点  以  的速度移动.经过几秒， 与  相似？ 解：设经过 ， 与  相似， 那么 ，，. ∵ ， ∴ 有两种情况： (1) 当  时， 此时 解得 . ∴ 经过 ， 与  相似. 知识点3 三角形相似的判定 单元知识梳理 例7 如图，在  中，，，点  从点  出发沿边  向点  以  的速度移动，同时点  从点  出发沿边  向点  以  的速度移动.经过几秒， 与  相似？ (2) 当  时， 此时 解得 t=1. ∴ 经过 ，PBQ 与ABC 相似. 综上所述，经过  或 ，PBQ与ABC相似. 知识点3 三角形相似的判定 单元知识梳理 知识点4 相似三角形的性质 相似三角形的性质 对应角相等，对应边成比例. 对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比. 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 单元知识梳理 例8 如图，在▱ABCD 中，，， 的平分线交  于点 ，交  的延长线于点 ， 于点 ，若 ，则  的周长为( ) A. 16 B. 17 C. 24 D. 25 解析：∵ 四边形  为平行四边形， 的平分线交  于点 , ∴ ，, ∴ ，, ∴ , ∴ , ∴ . 同理 . 在 Rt  中， ∴ , ∴  的周长 . ∴  ∴  的周长为 16. A 知识点4 相似三角形的性质 单元知识梳理 22 例9 如图，在平行四边形  中， 是边  的中点，连接  交对角线  于点 ，若 ，则  ______. 解析：∵ 四边形  是平行四边形，∴ ，, ∴ ，∴ . ∵  是边  的中点， ∴ , ∴  ∴  ∵ ，∴ . ∵ , ∴ . 4  知识点4 相似三角形的性质 单元知识梳理 相似三角形的应用 1.线段和角的相关证明与计算. 2.测量物体的高度：利用影子、标杆、平面镜. 3. 与物理学科结合. 知识点5 相似三角形的应用 单元知识梳理 例10 李明与张华讨论测量树高的方法. 张华说：“如图，只要测量树在阳光下的影子长 ，再测量出此时垂直于地面、长为  的小木棒  的影子长 ，就可以算出树高 .” 你能用含 ，， 的代数式表示出树高  吗？ 解：能. ∵ ,∴ . ∵ ，, ∴ , ∴ . ∴ ，即， ∴ . 知识点5 相似三角形的应用 单元知识梳理 例11 如图，已知零件的外径为 ，现用一个交叉卡钳（ 和  相等）测量零件的内孔直径 . 如果 ，且量得 ，求  及零件厚度 . 解：∵ ，, ∴ , ∴  ∴ . ∵ , ∴ ， ∴ . 知识点5 相似三角形的应用 单元知识梳理 1. 位似图形： 一般地，如果一个图形上所有的点A，B，C，D，⋯，P，⋯与另一个图形上所有的点A'，B′，C′，D'，⋯，P'，⋯分别对应，直线AA′，BB′，CC′，DD′，⋯，PP′，⋯相交于一点O，且 = = = = ⋯ = = ⋯， 那么这两个图形叫作位似图形，点O叫作位似中心. 知识点6 位似 单元知识梳理 知识点6 位似 2. 位似图形的基本性质： (1) 位似图形具有相似图形的一切性质； (2) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点. (3) 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上. (4) 位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比. 单元知识梳理 知识点6 位似 3. 画位似图形的一般步骤： (1)定点：确定位似中心，并找出原图形的关键点. (2)连线：经过位似中心和原图形的关键点作直线. (3)取点：根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置. (4)定图：顺次连接所取各点，得到放大或缩小的图形. 单元知识梳理 知识点6 位似 4. 平面直角坐标系中位似变换坐标的变化规律： 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比为 ，那么与原图形上的点  对应的位似图形上的点的坐标为 (kx，ky) 或 (－kx，－ky). 单元知识梳理 例12 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A,B的坐标分别为(−2, −3)，(2, −1). (1)以原点O为位似中心，在x轴下方画出△OA₁B₁，使它与△OAB的相似比为2:1； (2)在(1)的条件下， ①点A的对应点A₁的坐标为_________，点B的对应点B₁的坐标为_________； ②△OAB边上任意一点D(a, b)的对应点D₁的坐标为____________. A₁ B₁ 解：(1)根据位似图形的性质画图即可，如图所示，△OA1B1即为所求. (-4，-6) (4，-2) (2a,2b) 知识点6 位似 单元知识梳理 例13 如图，四边形  与四边形  是以原点  为位似中心的位似图形. 若 ，，则  ______. A. 3 B.  C. 4 D.  解析：∵ 四边形  与四边形  是以原点 O 为位似中心的位似图形，，∴  ∵ , ∴ , ∴  ∴ . 知识点6 位似 单元知识梳理 $