32.1.2 余弦与正切 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 人教版数学九年级 32.1.2 余弦与正切 专项练习（约1500字） ## 知识要点速记 在$\boldsymbol{Rt\triangle ABC}$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A$为锐角。 1. **余弦定义**：锐角$A$的**邻边**与斜边的比，叫做$\angle A$的余弦，记作$\boldsymbol{\\(\cos\) A}$。 $$\\(\cos\) A=\frac{\angle A的邻边}{斜边}$$ 2. **正切定义**：锐角$A$的**对边**与邻边的比，叫做$\angle A$的正切，记作$\boldsymbol{\\(\tan\) A}$。 $$\\(\tan\) A=\frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}$$ ### 重要性质 1.$\\(\cos\) A$、$\\(\tan\) A$都是**比值，无单位**，大小只由锐角$\angle A$的大小决定，与直角三角形边长无关。 2. 取值范围：锐角$A$，$0<\\(\cos\) A<1$；$\\(\tan\) A>0$。 3. 增减性：锐角越大，余弦值越小，正切值越大。 4. 特殊角三角函数值 $\\(\cos\)30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2},\\(\cos\)45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\\(\cos\)60^\circ=\dfrac12$ $\\(\tan\)30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\\(\tan\)45^\circ=1,\\(\tan\)60^\circ=\sqrt3$ 5. 同一个直角三角形中，$\angle A+\angle B=90^\circ$，则$\\(\cos\) A=\sin B,\sin A=\\(\cos\) B$。 ### 解题思路 ① 确认直角三角形，找准直角； ② 分清目标锐角的**对边、邻边、斜边**； ③ 余弦：邻边÷斜边；正切：对边÷邻边； ④ 已知三角函数值，常设参数$k$表示边长，结合勾股定理计算。 ## 一、选择题 1. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A$对边$a$，邻边$b$，斜边$c$，则$\\(\cos\) A=$（） A.$\dfrac{a}{c}$　B.$\dfrac{b}{c}$　C.$\dfrac{a}{b}$　D.$\dfrac{b}{a}$ >答案：B >解析：$\\(\cos\) A=\dfrac{\angle A的邻边}{斜边}=\dfrac{b}{c}$。 2. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(AC=4\)$，$\(BC=3\)$，则$\\(\tan\) A$的值为（） A.$\dfrac34$　B.$\dfrac43$　C.$\dfrac35$　D.$\dfrac45$ >答案：A >解析：$\angle A$对边$\(BC=3\)$，邻边$\(AC=4\)$，$\\(\tan\) A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac34$。 3. 下列计算正确的是（） A.$\\(\cos\)60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ B.$\\(\tan\)45^\circ=1$ C.$\\(\tan\)30^\circ=\sqrt3$ D.$\\(\cos\)45^\circ=\dfrac12$ >答案：B >解析：$\\(\cos\)60^\circ=\dfrac12,\\(\tan\)30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\\(\cos\)45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$。 ## 二、填空题 4. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(AB=10\)$，$\(BC=6\)$，则$\\(\cos\) B=$______。 >答案：$\dfrac35$ >解析：$AC=\sqrt{10^2-6^2}=8$；$\angle B$邻边$\(BC=6\)$，斜边$\(AB=10\)$，$\\(\cos\) B=\dfrac{6}{10}=\dfrac35$。 5.$\\(\cos\)30^\circ-\\(\tan\)45^\circ=$________。 >答案：$\dfrac{\sqrt3}{2}-1$ >解析：原式$=\dfrac{\sqrt3}{2}-1$。 6. 锐角$\alpha$增大时，$\\(\cos\)\alpha$______，$\\(\tan\)\alpha$______（填增大、减小）。 >答案：减小；增大 ## 三、解答题 7. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(AC=12\)$，$\(BC=5\)$，求$\\(\cos\) A$，$\\(\tan\) A$。 >解： 斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$。 $\angle A$邻边$\(AC=12\)$，对边$\(BC=5\)$。 $\\(\cos\) A=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\dfrac{AC}{AB}=\boldsymbol{\dfrac{12}{13}}$ $\\(\tan\) A=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}=\dfrac{BC}{AC}=\boldsymbol{\dfrac{5}{12}}$ 答：$\\(\cos\) A=\dfrac{12}{13}$，$\\(\tan\) A=\dfrac{5}{12}$。 8. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，已知$\\(\tan\) A=\dfrac{3}{4}$，$\(BC=6\)$，求$AC$与$AB$的长。 >解： $\\(\tan\) A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac34$，代入$\(BC=6\)$，$\dfrac{6}{AC}=\dfrac34$，解得$\(AC=8\)$。 由勾股定理：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。 答：$\(AC=8\)$，$\(AB=10\)$。 9. 如图，△ABC中，$CD\perp AB$于D，$\(BD=2\)$，$\(CD=4\)$，$\(AD=3\)$，求$\\(\cos\) A$与$\\(\tan\) B$。 >解： ∵$CD\perp AB$，∴$\triangle ACD$、$\triangle BCD$为直角三角形。 $Rt\triangle ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ $\\(\cos\) A=\dfrac{AD}{AC}=\boldsymbol{\dfrac{3}{5}}$ $Rt\triangle BCD$中，$\\(\tan\) B=\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{4}{2}=\boldsymbol{2}$ 答：$\\(\cos\) A=\dfrac35$，$\\(\tan\) B=2$。 10. 综合题：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\\(\cos\) A=\dfrac{3}{5}$。 （1）求$\\(\tan\) A$； （2）若$\(AC=6\)$，求△ABC的面积。 >解： （1）$\\(\cos\) A=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac35$。 设$\(AC=3k\)$，$\(AB=5k\)$，由勾股定理$BC=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$。 $\\(\tan\) A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4k}{3k}=\boldsymbol{\dfrac43}$。 （2）$\(AC=3k\)=6$，得$\(k=2\)$。 $\(BC=4k=8\)$。 $S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot BC=\dfrac12\times6\times8=24$。 答：$\\(\tan\) A=\dfrac43$，三角形面积为24。 ## 易错点总结 1. **对边邻边混淆**：余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边。做题时先标记目标角，紧贴角的直角边是邻边，对面的直角边是对边。 2. **公式记混**：正弦：对/斜；余弦：邻/斜；正切：对/邻。不要把正切写成对/斜。 3. **非直角三角形不能直接用**，需要作垂线构造直角三角形再计算。 4. **特殊角三角函数极易记混**：区分$\\(\cos\)$随角度变大而减小，$\\(\tan\)$随角度变大而增大。 5. 参数$k$法是万能方法：已知三角函数比值，设边长为$k$的倍数，方便勾股定理运算，比值最后会约掉$k$。 全文约1490字，格式和前面章节保持统一。下一节是32.1.3 一般锐角的三角函数值，需要继续写同类型专项练习吗？ 人教版（新教材）数学九年级下册 32.1.2 余弦与正切 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/12 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十二章 锐角三角函数 通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念 . 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. 通过锐角三角函数的学习，培养学生类比学习的能力. 学习目标 我们是如何得到锐角正弦的概念的？ sin A= 　　　　　 = ． ∠A 的对边 斜边 温故知新 复习导入 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与斜边比随之确定．那∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？ 余弦、正切的定义 知识点1 探究 在Rt△ABC中，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定.那∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？ 猜想 ∠A邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是定值. 推进新课 探究 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C =∠C'=90°．∠A=∠A'，那么 与 相等吗？ 与 呢？ A' B' C' ∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A ′ ＝α， A B C ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'， 在 Rt△ABC 中，当∠A 确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是确定的． ∠A的对边与邻边的比，记作tanA. ∠A的邻边与斜边的比，记作cosA. 余弦 正切 ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数． a C A c B b cos A= ∠A 的邻边 斜边 tan A= ∠A 的对边 ∠A 的邻边 返回 D 举一反三 10 返回 2．△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是(　　) A．sin α＝cos α B．tan C＝2 C．sin β＝cos β D．tan α＝1 C 举一反三 11 返回 A 举一反三 12 返回 4．如图，这是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱OA垂直于BC，垂足为D，OB＝1．6 m．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，∠OBD＝20°，则此时伞内半径BD的长度为________________． 1.6cos 20° m 举一反三 13 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6， sinA＝ ，求cosA、tanB的值． A B C 6 解：∵ ∴ 练 习 又 A B C 6 运用正弦、余弦定义求值 知识点2 　　tanA=　　=　． 　　cosA=　　=　， 解：由勾股定理得 AC= 　　　　 =8． 因此 sinA= 　= ， 6 C A 10 B 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 sinA，cosA，tanA 的值. 思考 　　 若条件不变，你能求出sinB，cosB，tanB的值吗？ 6 C A 10 B 8 　　tanB=　　=　． 　　cosB=　　= 　， 　　sinB= 　= ， 观察前面的结果，你有什么发现？ 小结 若∠A +∠ B = 90°， 则sinA = cosB，tanA·tanB=1. 　　sinA= 　=　， 　　cosB=　　=　， 　　tanA=　　=　． 　　tanB=　　=　． 返回 5．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则tan C 等于________． 举一反三 19 6．如图，CD是平面镜，光线从点A出发经过CD上的点E反射后照射到点B，若入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tan α＝________． 举一反三 20 返回 举一反三 举一反三 22 举一反三 返回 举一反三 8．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，则tan∠BOD的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B 举一反三 25 C 举一反三 26 a C A c B b 余弦 正切 cos A= ∠A 的邻边 斜边 tan A= ∠A 的对边 ∠A 的邻边 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，那么∠A的正切值(　　) A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 3．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tan D等于(　　) A．2 B． C． D． 【点拨】 由题易得△ACE∽△BDE，∴＝，即＝＝．∴CE＝CD＝×11＝．∴易得tan α＝tan∠EAC＝＝． 7．如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若sin α＝，求cos α和tan α的值． 【解】如图，过P作PM⊥x轴于点M，则∠PMO＝90°， ∵点P的横坐标为6，sin α＝， ∴＝，OM＝6． 设PM＝4x，则OP＝5x，由勾股定理得62＋(4x) 2＝(5x) 2，解得x＝2(负值已舍去) ． ∴PM＝8，OP＝10． ∴cos α＝＝＝，tan α＝＝＝． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为(　　) A． B． C． D． $