31.2.1平行线分线段成比例 第2课时 课件- 2026-2027学年人教版九年级数学下册

第三十一章 相似 31.2 相似三角形 31.2.1 平行线分线段成比例 课时2 能利用平行线判定两个三角形相似，并进行相关的证明与计算. 学习目标 2 问题1：上节课我们学习了平行线分线段成比例的基本事实及其推论，还记得它的内容吗？ 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 课堂导入 问题2：如果这条直线不仅截出了成比例的线段，还和三角形的一边平行，那截出来的小三角形和原来的大三角形，会不会有更特殊的关系？比如，它们是否相似？ B C D E A 课堂导入 分析： 在△ABC中，由 ， 可知△ADE 与△ABC的角分别相等. 由前面基本事实的推论，可知 ，若能再证明 ，就能证明这两个三角形的边成比例，从而证明△ADE∽△ABC. 思考：由前面所学的结论，在一个三角形中，你能作出一个与这个三角形相似的三角形吗？ 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 如何完成证明呢？ B C D E A DE//BC = = 知识点 利用平行线判定两个三角形相似的定理 新知讲解 B C D E A 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 分析：从要证的 = 可以看出， 除DE外 ，AE，AC，BC 都在△ABC 的边上， 因此只需先将DE平移到BC边上， 如图，使BF=DE，再证明就可以了. F 知识点 利用平行线判定两个三角形相似的定理 新知讲解 B C D E A 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. F 证明： 过点E作EF//AB，交 BC 于点F. ∵DE//BC，EF//AB， ∴四边形BFED是平行四边形， ∠ADE=∠B，∠AED=∠C， = = ， ∴ BF=DE，∴ = ， ∴ = ， 又∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC. 知识点 利用平行线判定两个三角形相似的定理 新知讲解 思考：结合下图，证明当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形也与原三角形相似. E D B C A 已知：如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与BA，CA的延长线分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 知识点 利用平行线判定两个三角形相似的定理 新知讲解 思考：结合下图，证明当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形也与原三角形相似. E D B C A 证明：如图，过点 D 作 DF∥EC，交BC的延长线于点F， 则四边形  是平行四边形， ∴ ， ∵ ， 又 ， ∽ F 知识点 利用平行线判定两个三角形相似的定理 新知讲解 由此可以得到如下定理： 平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似. 符号语言： 如右图所示，∵DE∥ BC， ∴△ADE∽△ABC. 简记：平行出相似. 知识点 利用平行线判定两个三角形相似的定理 新知讲解 如图，在▱ABCD中 ，E是CD的中点，AC，BE相交于点F. 求 的值. 例 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AB CD. ∴△ABF∽△CEF. ∴ = ， 又E是CD的中点， ∴ AB=CD=2CE. ∴ =2. 知识点 利用平行线判定两个三角形相似的定理 新知讲解 如图，AC 是 ▱ABCD 的对角线，点 E 在 CD 的延长线上，连接 BE 分别交  于点 ，由下面提示的条件找出相似的三角形. (1) ∵ ，∴  ______； (2) ∵ ，∴  ______； (3) ∵ ，∴  ______； (4) ∵ ，∴  ______； (5) 由 (1) 和 (4) 中的相似还可以得到   ______ ______. 跟踪训练 EBC CBF CEF BGA EBC BGA 知识点 利用平行线判定两个三角形相似的定理 新知讲解 1.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AD=3， BD=2. 写出图中的相似三角形，并指出其相似比. 解：△ADE∽△ABC， △ADE 与 △ABC 的相似比为 随堂练习 2.如图，D，E分别是△ABC 的边 AC，BC 上的点，DE//AB. 延长DE到点F，使 DF=AB，连接BF. 求证：△BFE∽△CDE. 证明：∵ ，， ∴ 四边形  是平行四边形， ∴ ， ∴ △BFE∽△CDE. 随堂练习 3. 如图，点  分别在  的边  的延长线上，DE∥BC，AD=3，AB=5，DE=5，求 BC 的长. 解：∵ ， ∴ ， ∴ ∴ 解得BC 随堂练习 4. 如图，在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，矩形直尺的一边与BC重合，另一边与AB，AC 分别交于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为8 cm，14 cm，11 cm，14 cm．若矩形直尺的宽为2 cm，则边AC的长为______cm． 4 3 cm 6 cm 2 cm 解：∵ 点 B,C,D,E 处的读数分别为 8 cm,14 cm,11 cm,14 cm, ∴ BC=6，DE=3. ∵ DE∥ BC, ∴ ∽, ∴ ∵ 矩形直尺的宽为 2 cm，∴ CE=2 cm， ∴ 解得AE=2, ∴ AC=2+2=4 (cm). 随堂练习 利用平行线判定两个三角形相似 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 课堂小结 $