31.2.2(第3课时)三边成比例的两个三角形相似（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级下册

sin2θ+cos2θ=1 人教版(新教材) 九年级下册 第三十一章 相似 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个 三角形相似 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？ 类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？ 思考 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的2倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论. C′ B′ A′ 2 3 4 A B C 4 6 8 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学的定理证明此结论. 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 已知：如图 △ABC 和△A'B'C' 中， . 求证：△ABC∽△A'B'C'. A B C C' B' A' D E ∴ 证明：过点 D 作 DE∥B′C′ 交A′C′于点 E. ∵ DE∥BC ，∴ △A′DE ∽ △A′B′C′. ∴ DE=BC，A′E=AC. 又 ， ∴ ， . ∴△A′DE≌△ABC ∴△ABC∽△A′B′C′ . 且A′D=AB， 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 三角形相似的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似． 符号语言： B A C B' A' C' ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定定理 根据三角形相似的判定定理可知：如果一个三角形的两角、或两边的比及其夹角、或三边的比确定了，那么这个三角形的形状也就确定了. 判定1 平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 判定2 两角分别相等的两个三角形相似. 判定3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定4 三边成比例的两个三角形相似． 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 思考 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm． A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝21cm ∴△ABC与△A'B'C'的三组对应边的比不等， 它们不相似 证明： ∴ 计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵ ， ， ， ∴ . ∴ △ABC ∽ △DEF. 解： 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 如图， ． 判断 与 是否相似，并说明理由． 解： 与 相似．理由如下： ∵在 中， ， 在 中， ， ， ． 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D,E都在格点上. 求证：△ABC ∽ △CED . A B C D E 根据勾股定理可以求出这两个三角形的各边长，进而可以利用三边成比例证明这两个三角形相似. 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 证明：设小正方形的边长为a，根据勾股定理： ； . ∴. ∴△ABC ∽ △CED . 如图，在由相同的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D,E都在格点上. 求证：△ABC ∽ △CED . A B C D E 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 思考 两个直角三角形全等可以用“斜边、直角边”来判定，类似地，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 由三角形相似的判定定理可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似. 事实上，这样的两个直角三角形相似.下面我们进行证明. C A A' B B' C' 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°， 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，已经有两边成比例，若能证明第三边的比也等于已知的两边比，则这两个三角形相似.而根据勾股定理，已知两边可以求出第三边. 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 证明：设 ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′. 由勾股定理，得 ∴ ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. ∴ C A A' B B' C' 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 直角三角形相似的判定定理 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. C A A' B B' C' 符号语言： ∵ ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°， 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 直角相似三角形的判定定理 你能回顾直角三角形相似的判定方法有哪些吗？ 判定1 一组锐角相等的两个直角三角形相似． 判定2 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 判定3 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似． C A A' B B' C' 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴ ， ， 又 E是BC的中点，∴ ， ∴ ， 又 如图，在正方形 中，E是BC的中点，F是CD上一点，且 ． 求证： . 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 如图，在正方形 中，E是BC的中点，F是CD上一点，且 ． 求证： . ∴ ∴ ∴ ∴ △ABE 与 △CEF相似吗？与 △ADF相似吗？ 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 证明：由题意可知， 由勾股定理，得: 如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形AEFD． 求证： ． 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 本课总结 运用 三边成比例的 两个三角形相似 利用三边判定三角形相似 内容 模型 相似三角形的判定定理的运用 B A C B' A' C' 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 解：A、 ，三边成比例，能判定两三角形相似，不符合题意； B、 ,且夹角均为58°,两边对应成比例且夹角相等，能判定两三角形相似； C、仅有一组角为35°相等，缺少其他条件，不能判定两三角形相似，符合题意； D、有一组相等的角为40°，还有一组对顶角相等，两角分别相等，能判定相似，不符合题意． 观察下列每组三角形，不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 解：由图可得， ， ， ， A、图中的三角形的三边长分别为：1， ， ， ∴ ， ∴两个三角形相似，符合题意； 而B、C、D、图中的三角形与△ABC不相似；∴选A． 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（     ） A． B． C． D． 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 若的三边长分别为1， ， ，的三边长分别为 ，2， ，则△ABC与△DEF（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 解：将两三角形的边长按从小到大排序． △ABC的三边长为1， ， ． △DEF的三边长为 ，2， ． ∵ ， ∴两三角形三边对应成比例，一定相似． 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 解：A．∵ ， ， ，∴两三角形相似； B． ∵ ， ， ，∴两三角形不相似； C．∵ ， ， ，∴两三角形不相似； D．∵ ， ， ，∴两三角形不相似；故选：A． 图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 如图，在四边形 中， ． 若 ，则 的度数是_________． 解：∵ ， 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 如图所示，在四边形 中， ， ． 求证：AC平分 ． 证明： ， ∴AC平分 ． 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点， 求证：△ABC∽△EFD． ∴△ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴ ∴ A B C E F D 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 规范解答 解：相似，相似比为2：1，理由如下： 图①中的三角形三边分别为 ，2 ， ； 图②中的三角形三边分别为 2，2 ，2 . 则 ， 所以这两个三角形相似. 如图，在正方形网格中，有△A1B1C1 与 △A2B2C2 ，它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，说明理由. 31.2.2(第3课时) 三边成比例的两个三角形相似 $