九年级数学上学期期中模拟·能力进阶卷（新教材沪教版五四制九上27～28章：二次函数+相似三角形）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版五四制九年级上册第27~28章二次函数+相似三角形。 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组长度的线段，成比例线段的是（     ） A．2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B．2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D．2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 3．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．以下命题，错误的是（     ） A．底角相等的两个等腰三角形一定相似 B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C．两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D．两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 5．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 6．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： （1）当时，函数图像的顶点坐标是； （2）当时，且时，y随x的增大而减小； （3）无论取何值（），函数图像都经过定点．其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题:(本大题共11题，每题4分，共44分) 【请将结果直接填入答题纸的相应空格内】 7．二次函数的图像与轴的交点坐标为______． 8．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式是______． 9．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 10．已知四条线段、、、成比例，则的值为______． 11．已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长是______． 12．若，且，那么______． 13．若点、、是二次函数图像上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）． 14．在梯形中，，对角线相交于点，如果，则______． 15．如图，已知，若，，，则的长为_________． 16．新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 17．如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出以下五个结论：①；②；③； ④若，，，为函数图像上的两点，则． ⑤当，；其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______． 三、解答题:(本大题共7题，共82分)【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18．（10分）如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知，高，矩形的长和宽，试求矩形的面积． 19．（10分）在和中，，，，，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)如图，如果在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为，并求出的顶点坐标． 20．（10分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 21．（12分）已知等边三角形的边长为4，点A的坐标为，点B在x轴负半轴上，点C在第三象限，边与y轴交于点D． (1)求B、C、D三点的坐标． (2)求图像经过B、C、D三点的二次函数的解析式． 22．（12分）已知：如图，在中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 23．（13分）如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 24．（15分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版五四制九年级上册第27~28章二次函数+相似三角形。 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、最高次数为1，不符合题意； B、含分式，不符合题意； C、，最高次数为1，不符合题意； D、，符合题意. 2．下列各组长度的线段，成比例线段的是（     ） A．2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B．2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D．2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 【答案】A 【详解】解：A选项，，，乘积相等，是成比例线段． B选项，，不是成比例线段． C选项，，不是成比例线段． D选项，，不是成比例线段． 故选：A． 3．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线有最低点，则二次函数图象开口向上， ∴， 解得：． 4．以下命题，错误的是（     ） A．底角相等的两个等腰三角形一定相似 B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C．两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D．两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 【答案】D 【详解】解：A、等腰三角形两底角相等，若底角对应相等，则三个内角对应相等，两三角形相似，故A正确； B、直角三角形有一个直角，若再有一个锐角对应相等，则两角对应相等，两三角形相似，故B正确； C、设等腰三角形两边长分别为和，若腰长为，底边长为，则，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；故只能是底边长为，腰长为，此时三边比为，化简得，所有满足条件的三角形三边对应成比例，一定相似，故C正确； D、举反例：第一个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在三角形内部，由直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得高为，高与腰的比为； 第二个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在腰的延长线上，顶角的外角为，同理得高为，高与腰的比为， 两三角形腰上的高与腰的比相等，但顶角分别为和，内角不对应相等，故不相似，故D错误． 5．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： （1）当时，函数图像的顶点坐标是； （2）当时，且时，y随x的增大而减小； （3）无论取何值（），函数图像都经过定点．其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由题意得函数解析式为， （1）当时，，，， ∴对称轴为， 顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为，故（1）正确； （2）当时，，抛物线开口向下， 对称轴为， ∵， ∴， ∴，即对称轴在直线右侧， ∴当时，先随的增大而增大，再减小，故（2）错误； （3）将解析式整理为， 令，解得或， 将代入得，将代入得， ∴无论取何值（），函数图像恒过定点，故（3）正确， 综上，正确的结论有2个． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题:(本大题共11题，每题4分，共44分) 【请将结果直接填入答题纸的相应空格内】 7．二次函数的图像与轴的交点坐标为______． 【答案】 【详解】解：轴上所有点的横坐标为， 把代入， 可得：， 二次函数的图像与轴的交点坐标为． 8．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式是______． 【答案】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线的表达式是． 9．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 【答案】 【详解】解：以原点为位似中心，将放大后得到，且点，， ，即将放大倍后得到， 与的位似比为， 则由位似图形的性质可知，与的周长比是． 10．已知四条线段、、、成比例，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵四条线段，，，成比例，顺序与给出顺序一致， ∴， 根据比例的基本性质得 ， 解得 11．已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长是______． 【答案】 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴ 12．若，且，那么______． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 将其代入所求分式得： ， ， ． 13．若点、、是二次函数图像上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）． 【答案】 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上， 由对称轴公式可得对称轴为直线， 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 14．在梯形中，，对角线相交于点，如果，则______． 【答案】 【详解】解：如图， ∵和共顶点，底边、在同一直线上，高相同， ∴， ∴，可得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，和的高等于梯形两平行线间的距离，高相等， ∴． 15．如图，已知，若，，，则的长为_________． 【答案】4 【详解】解：过点作交于点，交于点， ，， 四边形和四边形均为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 【答案】 【详解】解：， 与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是。 化为一般式得． 17．如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出以下五个结论：①；②；③； ④若，，，为函数图像上的两点，则． ⑤当，；其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______． 【答案】②③⑤ 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， ． 对称轴为直线， ，即． ， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ， 结论①不一定成立，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为. 当时，． ， ， ，即， ． ， ，即，故③正确； 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ，且抛物线开口向下， ，故④错误； 抛物线与轴交点为和，且开口向下， 当时，，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是②③⑤． 三、解答题:(本大题共7题，共82分)【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18．（10分）如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知，高，矩形的长和宽，试求矩形的面积． 【详解】解：， 设， 四边形是矩形， ，， ∵是的高， ， ． ，， ∴， ． ，，， 四边形是矩形． ． ． ∵， ． ． ， ，……（5分） ， ， ， ． ， ．……（10分） 19．（10分）在和中，，，，，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)如图，如果在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为，并求出的顶点坐标． 【详解】(1)相似，理由如下： ∵， ∴ 又∵ ∴；……（4分） (2)画图， 解：∵关于原点位似的三角形，使它与的位似比为 ∴，， ∴，，……（10分） 20．（10分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴．……（5分） （2）隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．……（10分） 21．（12分）已知等边三角形的边长为4，点A的坐标为，点B在x轴负半轴上，点C在第三象限，边与y轴交于点D． (1)求B、C、D三点的坐标． (2)求图像经过B、C、D三点的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵等边的边长为 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 设直线，则代入点可得， 解得 ∴直线 当时， ∴；……（5分） （2）解：设经过B、C、D三点的二次函数的解析式为 代入点，，， 则 解得 ∴解析式为．……（10分） 22．（12分）已知：如图，在中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【详解】(1)证明：，， ． ∴， ．……（5分） (2)证明：由（1）得， ∴， ∴， 又， ． ． 过点作于，于， ． 平分，，， ． 在和中， ， ． ．……（12分） 23．（13分）如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式．……（2分） （2）联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点D在第二象限，点E在第四象限）， ∴，．……（4分） （3）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（2）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为．……（9分） ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值．……（13分） 24．（15分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 【详解】（1）解：∵， 根据勾股定理得， ∴． 由旋转得， ∴， ∴；……（4分） （2）解：如图所示，延长交于点H，连接交于点M， 由（1）得， ∴． ∵是的中线，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴；……（9分） （3）解：如图，当时，过点B作于点Q，过点D作于点P，则， ∴四边形是矩形， ∴． 设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， 所以； ②如图所示，，过点B作于点Q，则， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或．……（15分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1 2 3 5 D A C 0 D 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分) 9 7.(0,1) 8.y=-(x+2)}2-5 9.1:2 10.2 11.9-35 12.7 13.为>为>y 14. 2:1 15.4 16. y=x2+2x-3 17.②③⑤ 三、解答题：（本大题共7题，共82分）【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18.(10分) 【详解】解：EF:DE=2:L, ∴设DE=xcm,EF=2xcm. :四边形DEFG是矩形， .DG=EF=2 xcm DGI‖BC∠DEH=90°. ,AH是△ABC的高， .AH⊥BC, ∴.∠AHC=90° :DGIBC AH⊥BC ∴.∠APG=∠AHC=90°， .AP⊥DG .AP⊥DGAH⊥BC∠DEH=90 ∴.四边形DEHP是矩形 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.PH=DE=xcm .AP=AH-PH=(20-x)cm DGI BC, ∴AADG∽AABC AP DG AHBC· .BC=40cm,AH=20cm, 20-x_2x 2040,…(5分) ∴.40(20-x)=40x .800-40x=40x, .80x=800」 x=10 .DE=10cm.EF=20cm ∴S矩形rG=DE.EF=10×20=200(cm2） ..(10分) 19.(10分) 【详解】(1)相似，理由如下： AC√5_0AB√10 .DF√2 2,DE 2 AC AB ·DFDE 又.∠C=∠F=90° .Rt△ABC∽Rt△DEF;…(4分) 2/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 5 (2)画图，8-765-4-3-2-1©2.345678 解，：△MBC关于原点位似的二角形4BG,使它与△BC的位认比为2 4[-4×(-2,4x-2.B[-3x(-2)1x(-2】.G[-2x(-2),3×(-2 :48-8).B(6,-2）,G4-6…(10分 20.(10分) 5,6.25) 【详解】(1)解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为 且图象过 设抛物线的解析式为：y=a(x-5}+6.25 :.0=a10-5}+6.25 解得：a=025 :y=-0.25(x-5}+6.25 …(5分) (2)隧道能让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶.理由如下： 当最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时， .10-3×2=4,4÷2=2, ∴将x=2代入解析式得：y=-0.25×(2-5+6,25=4 4-3.5=0.5 ∴隧道能让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶.…(10分) 21.(12分) 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：过点C作CT⊥x轴于点T, B T GO ,等边△ABC的边长为4 CA=4,AT=BT=2 CT=VCA-AT=23 ·40,0) :=12=-1x=1-4=-3 :C1,-25).B(-3,0) p+q=0 设直线AC:y=px+g,则代入点A,C可得，-p+g=-2V5 ∫g=-5 解得p=V5 直线4C:y=V3x-V5 当x=0时，y=5 :D0,-5) …(5分) y=ax2+bx+c (2)解：设经过B、C、D三点的二次函数的解析式为 代入点C1-25),B(-3,0).D0-) 4/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b+c=-2W5 9a-3b+c=0 则 c=-V3 [2V3 a= 3 b=53 解得 3 c=-V5 y= 25+55x-5 解析式为 3 .(10分) 22.(12分) 【详解】(1)证明：'∠ABE=∠ACD,∠A=∠A, ∴.△ABESAACD AB AE ·ACAD’ AB·AD=AE·AC.…(5分) (2)证明：由(1)得△ABE∽△ACD, AE AB :AD AC' AD AE :.AC AB' 又：∠A=∠A, ∴.△ADEP△ACB .∠ADE=∠ACB 过点E作EM⊥AB于M,EN⊥BC于N, 5/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E D G B W C.:∠EMD=∠ENC=90° :BE平分∠ABC,EM⊥AB,EN⊥BC, ∴.EM=EW 在△EMD和△ENC中， ∠EMD=∠ENC ∠EDM=∠ECN EM=EN· ∴.AEMD≌△ENC(AAS) ∴.DE=CE.…(12分) 23.(13分) 【详解】(1)解：：抛物线'=+2x+ 的对称轴为直线x=1」 .x=-2a =1 解得a=-1, C(0,5) 将点 代入抛物线)=+2r+C得：c=5, 六该抛物线的解析式'=-r+2x+5 …(2分) y=-x2+2x+5 x=-1x=4 (2)联立y=-x+1，解得y=2或y=-3, :抛物线)=+2x+c与直线=-+交于D,E两点《点D在第二象限，点：在第四象限)， :D-l2)E4-3) …(4分) 6/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：①如图，设直线DE分别交x轴，y轴于点L,F,P№交y轴于点H,过点G作GKLy轴于点 K, l:y=-x+1 XG 对于直线y=-x+1， 当x=0时，y=,即F(0,), 0时，-x+1=0,解得x=,即，0)」 当= ∴.0F=OL=1, .∠FOL=90°， ∴.RtAFOL是等腰直角三角形，且∠GFH=45°， ,四边形DPEO是菱形， ∴.DG=EG,PQ⊥DE D(-1,2)E(4,-3) 由(2)己得： q4.层 GK1y轴， GK=3 又P2⊥DE,∠GFH=45°， .RtAFGH是等腰直角三角形， 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FH=2GK=3. H0,1-3）,即H0,-2) 设直线GH的解析式为'=ox+6,(伍≠0)， 3k。+=2 1 - 代入得： H(0,-2) b。=-2 ∫k=1 解得b=-2, ∴.直线GH的解析式为y=x-2, y=-x2+2x+5 联立y=x-2 1+√29 1-29 x=- x= 2 解得 -3+√29或 3-√29， y= y=- 2 :点P是DE上方的抛物线上的一动点，且D(-1,2),B(4,-3), 点P的横坐标大于-1，且小于4， 1+√29-3+V29 ·点p的坐标为2,2 …(9分) ②如图，设直线DE交y轴于点F,过点P作PJ∥y轴，交DE于点J, 8/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1:y=-x+1 F 设点P的坐标为P收.-+21+5-1<1<4)，则点J的坐标为.1+)， PJ=-2+2t+5-（-t+1)=-2+3+4 由(1)可知，∠F0=45°， :P∥y轴， .PJG=∠JF0=45°， :P,关于直线DE对称， .PO⊥DE,PQ=2PG. ∴Rt△PJG是等腰直角三角形，且PG=JG, .PG2+GP=PP 2 阳=2=2W-r4-25 3 由二次函数的性质可知，在-1<1<4内，当2时，P0取得最大值4.…(13分) 24.(15分) 【详解】(1)解：：∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6,AC=DE=8 9/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据勾股定理得4B=√AC2+BC2=10,BE=VBD2+DE=10 AB BE ·BCBD· 由旋转得∠ABE=∠CBD」 ∴.△BAEABCD, AE BE 10 5 CDBD63:…(4分) (2)解：如图所示，延长CD交AE于点H,连接BH交DE于点M, H D M 由(1)得△BAEABCD .∠BAE=∠BCD :CF是△ABC的中线，∠ACB=90°， :.CF-BF-1AB-5 2 ∴.LBCF=∠FBC, ·∠FBC=∠BAE .∠BFC=∠AFH,AF=BF, .△BFC≌aAFH(ASA) .CF=HF, ∴.四边形ACBH是平行四边形. .∠ACB=90° ∴.四边形ACBH是矩形， .∠AHB=90°，AH=BC=6. AB=BE, .'EH AH=6,AE=2EH. :AG∥HM, 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AEG∽AHEM, AG-AE=2」 ·HMHE ∴AG=2HM .EH=BD=6,∠EMH=∠BMD,∠EHM=∠BDM=90°， .△EHM≌aBDM(AAS) ∴.EM=BM=BH-HM=8-HM, 在Rt△EHM中，根据勾股定理，得EH+HM2=EM2, 2+HM2=(8-HM)2 即 解得M Γ4 ·aG=2M=2x77 42:…(9分) (3)解：如图，当∠EAD=90°时，过点B作B0⊥AE于点Q,过点D作DP⊥B于点P,则 ∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90° P B 四边形ADP吧是矩形， .∠ADP=90°AQ=PD 设AQ=PD=b AB=BE,BQ⊥AE 11/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AO=EO=b .'.AE=26 ,∠ADP=∠BDE=90°」 .∠ADE=∠PDB .∠EAD=∠BPD=90°， .△DAEADPB, AD AE DE ·PD PB DB' AD 2b 8 即bPB6 解得B-00- 3 在Rt△BPD中，根据勾股定理，得BP2+PD2=BD2, 即+B2=6】 1213 b= 解得13（负值舍去）， D=163 所以 13: ②如图所示，∠AED=90°，过点B作B0⊥AE于点O,则∠BOE=∠AED=∠BDE=90° 四边形BDEO是矩形， .EO=BD=6 12/13 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=BE,BQ⊥AE AE=2EQ=12, :4D=VAE2+DE2=Vi22+8=43 16V13 综上所述，线段AD的长为13或4V13.…(15分) 13/13