沪教版（五四制）九年级数学上册2026-2027学年期中复习卷（一）

沪教版九年级数学2026-2027学年第一学期期中复习卷（一） （考查范围：第27章二次函数～第28章相似三角形） 一．选择题 1.已知函数是二次函数，则等于　　 A． B．2 C． D．6 2．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（    ） A．B．C．D． 3．如图，矩形矩形，且，则的值是（    ） （第3题） A． B． C． D． 4.已知二次函数，若，，，那么它的图像大致是（ ） A． B． C． D． x y x y x y x y 5．如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） （第5题） A． B． C．或 D．或 6．如图，四边形的对角线与相交于点，，，，，那么下列结论中，错误的是（     ） （第6题） A． B． C． D． 二．填空题 7．抛物线的顶点坐标是 8．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 9.如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）． 10.如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 11．已知线段MN的长是20cm，点P、Q都是线段MN的黄金分割点，则点P、Q之间的距离是 cm． 12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是 ． （第12题） （第13题） （第15题） 13．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 14.若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 　　． 15.如图，△ABC中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为 ． 16．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 （第16题） 17．如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 三．简答题 18.二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 19．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． (1)以点为位似中心，在网格纸中画出△ABC的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与△ABC的相似比为，且位于点的右侧； (2)在（1）的情况下，直接写出△ABC和的周长比． 21．综合实践操作：已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． (1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； (2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出△ABC的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 22．已知：如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．对角线分别交、于点M、N，联结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作交的延长线于点P，如果，求证：． 23．已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 24．综合题 【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．求的长． 沪教版九年级数学2026-2027学年第一学期期中复习卷（一）参考答案与解析 （考查范围：第27章二次函数～第28章相似三角形） 一．选择题 1.已知函数是二次函数，则等于　　 A． B．2 C． D．6 答案：B 解题思路：根据二次函数的定义，令且，即可求出的取值范围． 详细解析过程：是二次函数， 且， ． 故选：． 2．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C．D． 答案：B 解题思路：本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 详细解析过过程： 解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 3．如图，矩形矩形，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 答案：D 解题思路：本题考查的是相似多边形的性质．根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案． 详细解析过程： 解：∵矩形矩形， ∴，即， 整理得，， ， ∵， ∴， 故选：D． 4.已知二次函数，若，，，那么它的图像大致是 （ ） A． B． C． D． x y x y x y x y 答案：A． 解题思路：本题考查了二次函数的图像与性质，当、同号时，对称轴在轴左侧，当、异号时，对称轴在轴右侧，即“左同右异”，熟记系数与图像之间 的关系 是做题的关键． 详细解析过程∵，∴图像开口向下，又∵，∴对称轴为直线，在轴左侧，∵，∴抛物线与轴交于正半轴． 5．如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 答案：D 解题思路：本题主要考查位似图形的性质，掌握位似的性质内容是解题的关键． 根据位似图形的性质“关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或”，即可求得点的对应点的坐标． 详细解析过程： 解：∵点，以点为位似中心，按的比例把缩小， ∴点的对应点的坐标为或， 故选：D． 6．如图，四边形的对角线与相交于点，，，，，那么下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 答案：C 解题思路：本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．先证出和，再根据相似三角形的性质，对选项逐个分析判断即可得出结论． 详细解析过程： 解：，，，， ，， 又，， ，， ，故A选项结论正确，不符合题意；，故B选项结论正确，不符合题意； ，， ，， ，故C选项结论错误，符合题意； ，， ，， ，故D选项结论正确，不符题意 二．填空题 7．抛物线的顶点坐标是 答案： 分析：本题考查二次函数顶点式等知识，二次函数的顶点坐标为，据此即可求解﹒ 解：抛物线的顶点坐标是﹒ 故选：B﹒ 8．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 答案： 分析：本题主要考查了二次函数的图象和性质，一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质得出，求一元一次不等式的解集即可． 解：∵抛物线的开口向上， ∴， 解得， 故答案为：． 9.如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最 点（填“高”或“低”）． 答案：高 分析：本题考查了抛物线的性质，根据抛物线的性质即可求解，掌握抛物线的性质是解题的关键． 解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，在抛物线中，， ∴抛物线的开口向下， ∴该抛物线有最高点， 故答案为：高． 10.如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 答案： 分析：本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 解：由题意，相似三角形的相似比为：， ∴它们周长的比为； 故答案为：． 11．已知线段MN的长是20cm，点P、Q都是线段MN的黄金分割点，则点P、Q之间的距离是 cm． 答案：/ 分析：设 ，则 ，根据题意得： ，可求出 ，从而得到，同理可得，即可求解． 解：如图，设 ，则 ， 根据题意得： ，解得： ， 即 ， 则 ， 同理 ， 所以点P、Q之间的距离是 ． 故答案为： ． 12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是 ． 答案： 分析：根据得到，根据比例的性质可得，再根据，即可得到答案； 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 答案：10 分析：本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 解：令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面． 故答案为：10． 14.若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 　　． 答案：4 分析：本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式，正确得出一元二次方程只有一个实数解是解题关键．直接根据题意得到求解即可． 解：抛物线与轴只有一个交点， ， 解得， 故答案为：4． 15.如图，中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为 ． 答案：9 分析：本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质是解题的关键． 过点作于，根据面积求得，由和分别求出，即可求求解周长． 解：过点作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：9． 16．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 答案： 分析：本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意得抛物线过点，设抛物线解析式为，代入得，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出的值，即可得到答案． 解：根据题意得抛物线过点， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线的解析式为， ， 令， 解得， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为： ． 17．如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 答案： 分析：根据抛物线的顶点坐标公式，将抛物线的顶点的横坐标和纵坐标分别用含有a的代数式表示出来，进而可得与之间的关系式． 本题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，熟记公式是解题的关键． 解：根据抛物线的顶点坐标公式可得抛物线的顶点的 横坐标为， 纵坐标为， ∴， ∴抛物线的“顶线”是． 故答案为：． 三．简答题 18.二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 答案：(1)(2)顶点坐标为，对称轴为直线． 分析：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 解题过程：（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 19．如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 答案：(1)(2) 分析：本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． (1)以点为位似中心，在网格纸中画出△ABC的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与△ABC的相似比为，且位于点的右侧； (2)在（1）的情况下，直接写出△ABC和的周长比． 答案：(1)见具体解答过程(2) 分析：本题考查了位似变换，相似三角形的性质．熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）． （1）延长到使，延长到使，延长到使，则满足条件； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 解题过程：（1）解：如图，为所作； （2）解：由题意得，， ∴． 21．综合实践操作：已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． (1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； (2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出△ABC的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 答案：(1)(2)①请看具体作图过程；②请看具体作图过程 分析：本题考查相似三角形的判定与性质，重心的概念与性质； （1）由图形可得，则，代入求值即可； （2）①找到和的中点，再作三角形的中线，交点即为重心G； ②作点与关于对称，连接与的交点即为点M，，，则． 详细解题过程：（1）解：由图形可得，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图2，的重心G即为所求： ②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M， 此时，， ∴． 22．已知：如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．对角线分别交、于点M、N，联结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点C作交的延长线于点P，如果，求证：． 分析：（1）联结，根据正方形的性质先证，再证四边形是平行四边形，进而可证明，得，四边形是平行四边形，结合可证得结论； （2）根据正方形及菱形的性质先证，得，由，可证得，得，再证，得，，再证，得，即可证得结论． 详细解题过程：（1）证明：联结， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵，即， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是正方形，是对角线 ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 答案：(1)，；(2)；(3)． 分析：本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 详细解题过程： （1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 24．综合题 【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．求的长． 答案(1)1(2)(3) 分析：（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 详细解题过程： （1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $