2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年沪教版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第19章实数一元二次方程 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列说法正确的是（     ） A．9的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 2．若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（        ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 4．定义新运算：，则的结果为（     ） A． B． C． D． 5．关于的方程，下列解法完全正确的是（     ） A．两边同时除以得 B．整理得，∵，，，，∴ C．整理得，配方得，∴，∴该方程无解 D．移项并分解因式得，∴或，∴， 6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 7．对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（ ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有7组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．已知实数满足，则________． 12．某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有________个班． 13．已知的立方根是，是的平方根，是的整数部分，则的算术平方根为________． 14．已知实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简______． 15．已知，，且，则________． 16．已知，则___________． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（8分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 20．（8分）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值． (1)的整数部分为_________，小数部分为__________________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 21．（9分）现有两张面积分别为和的正方形纸片 (1)如图①，若将这两张纸片无重叠的放入长方形中，则图中空白部分的面积为多少？ (2)如图②，从五边形中再裁出两张面积分别为和的正方形纸片，则裁剪过后五边形余下的面积为多少？ (3)在长方形中，将两个面积分别为和的正方形纸片（如图③）按图④的方式放置，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若，求图中空白部分的面积为多少？ 22．（9分）阅读下列材料，然后解答下列问题． 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简__________；__________． (2)方法迁移，解决变式问题：化简__________． (3)化简：． 23．（10分）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化，一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ (3)有员工提出目标，希望月销售利润能达到15000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 24．（12分）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年沪教版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第19章实数一元二次方程 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列说法正确的是（     ） A．9的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 【答案】C 【分析】根据求平方根、算术平方根、立方根的方法，分别求出9的平方根、、4的算术平方根、9的立方根即可得答案． 【详解】解：A. 9的平方根是，故A错误． B. ，故B错误． C. 4的算术平方根是2，故C正确． D. 9的立方根是，故D错误． 2．若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义． ∴． ∴． ∵，只有选项D的满足． 3．如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用算术平方根的定义求出正方形的边长，进而根据数轴上两点间距离公式即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴， ∵顶点在数轴上表示的数为， ∴点所表示的数为． 4．定义新运算：，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题中的新定义运算以及整式的四则混合运算法则化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．关于的方程，下列解法完全正确的是（     ） A．两边同时除以得 B．整理得，∵，，，，∴ C．整理得，配方得，∴，∴该方程无解 D．移项并分解因式得，∴或，∴， 【答案】D 【分析】移项提取公因式求解，避免直接除以含未知数的式子丢根． 【详解】解：A、未考虑的情况，故计算错误； B、不是，故计算错误； C、配方时，等式两边应该加，故计算错误； D、移项得， 分解因式得， ∴或， ∴，，该解法与选项D完全一致，故计算正确． 6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】当时，原方程为一元一次方程不满足条件，当时，原方程为一元二次方程，结合根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：当时，原方程为一元一次方程，只有一个实数根，不满足条件， 当时，原方程为一元二次方程，则，即， 解得， ∴的取值范围是且． 7．对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般式即可判断①；将代入即可判断②；将代入化简即可判断③；把代入，然后化简等式的左边与右边，即可判断④． 【详解】解：①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是，故①错误； ②把代入方程的左边，则， ∵， ∴方程左边等于0，即方程成立， ∴是方程的根，故②正确； ③将代入，则，则，由于，故，故③正确； ④若是一元二次方程的根，则，则 ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有3个． 8．设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，算式平方根的估算，根据二次根式的运算法则，先求出，进而求出a的值，再把a的值代入所求代数式，根据算式平方根的估算求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 的整数部分为2， 故选：． 9．对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（ ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有7组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】先根据已知条件解出和的值，再依次验证每个结论的正确性，结合非负数的性质，二元一次方程组的解法，正整数的概念判断即可． 【详解】解：∵，， 解 ，得， ∴结论①正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 解，得， ∴结论②正确； ∵，， ∴， ∴， 若，均为正整数，则，， 解，得， ∵为正整数， ∴可取1，2，3，4，5，6，7， ∴，有且仅有7组正整数解， ∴结论③正确； 综上所述，正确结论有3个． 10．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．已知实数满足，则________． 【答案】 【分析】算术平方根和绝对值都是非负数，两个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴． 12．某年级进行篮球循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有________个班． 【答案】 【分析】设这个年级共有个班，根据循环赛规则，每两个班之间仅比赛一场，总场次可表示为，据此列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设这个年级共有个班， 根据题意列方程，得 整理，得 解得，（舍去） 即这个年级共有个班． 13．已知的立方根是，是的平方根，是的整数部分，则的算术平方根为________． 【答案】 【分析】根据立方根、平方根的定义分别求出和的值，估算的大小得到整数的值，代入计算后求其算术平方根即可． 【详解】解：的立方根是， ， 解得， 是的平方根， ， 即， 解得， ， ， 的整数部分， 计算得， 的算术平方根是． 14．已知实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简______． 【答案】 【分析】根据数轴确定 的正负及大小关系，判断绝对值和二次根式内式子的符号，利用 和绝对值的性质化简. 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴原式. 15．已知，，且，则________． 【答案】 【分析】先对，分母有理化，求出和的表达式，再将给定等式变形后代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 对分母有理化，得 对分母有理化，得 ， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴ ， 代入，得 解得． 16．已知，则___________． 【答案】 【分析】将原等式展开移项后进行分组，凑出几个完全平方式，然后整体换元，化繁为简后再配方，利用平方的非负性求解． 【详解】解：将原等式右边展开为：， 移项整理得：． 将拆分为，把式子分为三组分别配方： 设，，原式化为， 配方： 代回原式得： ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0， ∴ 移项得． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（8分）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用分配律，二次根式的乘法，减法计算即可； （2）利用平方差公式，解答即可； （3）根据二次根式的性质，先化简，再去括号，计算即可； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则解答即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 19．（8分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：移项，得 ， ， 即 ，． （2）解：， 配方，得 ，即 ， ， ∴． （3）解：移项，得 ， 提取公因式，得 ， 或 ， ，． （4）解：整理，得 ， 因式分解，得 ， 或 ， ，． 20．（8分）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值． (1)的整数部分为_________，小数部分为__________________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为，最后用表示小数部分． （2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间估计法得出的值，最后代入式子求其平方根． 【详解】（1）解：∵， 即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，． ∵， 即， ∴的整数部分为， ∴， ∴， ∴的平方根是． 21．（9分）现有两张面积分别为和的正方形纸片 (1)如图①，若将这两张纸片无重叠的放入长方形中，则图中空白部分的面积为多少？ (2)如图②，从五边形中再裁出两张面积分别为和的正方形纸片，则裁剪过后五边形余下的面积为多少？ (3)在长方形中，将两个面积分别为和的正方形纸片（如图③）按图④的方式放置，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若，求图中空白部分的面积为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到和的长，再计算面积即可； （2）根据两正方形的边长与三角形边长和长方形边长的关系，计算出三角形边长和长方形边长；由余下面积即可求解； （3）根据面积算出两正方形边长,结合已知线段长，计算出构造出的长方形的长和宽；由空白部分面积即可求解． 【详解】（1）解：如图， 两张正方形纸片的面积分别为和， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，两正方形纸片的边长分别为，， 余下面积 ， 裁剪过后五边形余下的面积为； （3）解：如图， 正方形的面积为，正方形的面积为， ，， ， ， ， 图中空白部分的面积为． 22．（9分）阅读下列材料，然后解答下列问题． 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简__________；__________． (2)方法迁移，解决变式问题：化简__________． (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法进行分母有理化并化简即可； （2）把分母有理化即可； （3）根据题中给出的例子计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 23．（10分）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化，一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ (3)有员工提出目标，希望月销售利润能达到15000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) 该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 (2) 该零件的实际售价应定为元/个 (3) 这个目标不能实现，理由如下： 设售价上涨元，则 ， ， 方程无实数根， 月销售利润无法达到元，该目标不能实现． 【分析】（1）根据增长率问题的等量关系列一元二次方程，结合实际意义取舍解； （2）根据总利润公式列一元二次方程，选取符合“消费者得实惠”的解； （3）先根据总利润公式列一元二次方程，再根据根的判别式判断方程无解，即可得答案． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x，根据题意，得 整理得 解得，（不符合题意，舍去）， 该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； （2）设该零件的售价上涨x元，单个利润为元，月销售量为个，根据题意，得 ， 整理，得 解得，， 要尽可能让消费者得到实惠，即售价尽可能低， 取较小值10，此时售价为（元/个）， 该零件的实际售价应定为50元/个； （3）略 24．（12分）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $