精品解析：江苏无锡市二泉中学2026-2027学年度第一学期10月阶段性学情评估 九年级 数学学科

2026-2027学年度第一学期10月阶段性学情评估 初三年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共30分，每小题3分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A. B. C. D. 3. 如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（ ）． A. B. C. D. 4. 一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为（　　） A. 32 B. 34 C. 36 D. 37 5. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列语句中不正确的有（ ） ①长度相等的弧是等弧 ②垂直于弦的直径平分弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ⑤半圆是圆中最长的弧 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 7. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 8. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，第四个顶点D在反比例函数的图像上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 12. 2026年4月，湖南省首届版画展中，某参展的作品在“视觉吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视觉吸引 启发思考 社会责任 90 80 70 如果按照“视觉吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该作品得分是______分． 13. 已知m是方程的一个实数根，则的值是_________． 14. 已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则______（填“＞”“＜”或“=”） 15. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm． 16. 如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 17. 如图，中，，点D从点B开始以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，同时点E从点C开始以每秒2个单位的速度沿向点B运动，过点E作直线交于点F，当运动___秒时，直线与以点D为圆心，为半径的圆相切. 18. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 _____，点C'的坐标为 _____． 三、解答题（本题共96分） 19. 解下列方程． （1） （2） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 21. 为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为“奋进队”（A队）和“超越队”（B队），每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下． A队 14 14 17 16 18 17 17 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数得______秒，秒，可以看出______队的平均成绩更好；通过计算方差______，，可以看出______队队员之间的水平更加均衡； （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析：绘制A队成绩的箱线图． （3）请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 22. 如图，为⊙的直径，为⊙上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接． （1）求证：； （2）与⊙有怎样的位置关系？请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点、、， （1）经过A，B，Ｃ三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为___________ （2）的半径为___________（结果保留根号），的度数为___________ （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径___________（结果保留根号） （4）点M是第一象限网格中的一个格点，直线与相切，写出满足条件的点M的坐标___________ 24. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． （1）当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； （2）当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 25. 综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． （1）数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． （2）问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． （3）安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． （4）工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 26. 如图，点A、B、C在⊙O上， AB＝CB＝9， AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2． （1）求线段CD、AC的长； （2）求⊙O的半径． 27. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．、、分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 解决下列问题： （1）方程_______（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，⊙的半径为8，、是位于圆心异侧的两条平行弦，，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 28. 如图，已知P为锐角内部一点，过点P作于点B，于点C，以为直径作，交直线于点D，连接，，交于点． （1）求证：； （2）连接，，当，时，在点P的整个运动过程中， ①若，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形时，求所有满足条件的的长； （3）当点P与点C重合，如图设连接与的另一交点为F，若点F是线段的中点，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期10月阶段性学情评估 初三年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共30分，每小题3分） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：是分式方程，所以A不符合题意； 是一元一次方程，所以B不符合题意； 符合一元二次方程的定义，所以C符合题意； 是三次方程，所以D不符合题意． 2. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设（为常数，）， 将，代入， 得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 故答案是： 3. 如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 4. 一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为（　　） A. 32 B. 34 C. 36 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：28，32，36，37，38， 位于最中间的数是36， ∴这组数的中位数是36． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，熟知中位数的定义是解题的关键：一组数据中，处在最中间的数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数． 5. 如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 6. 下列语句中不正确的有（ ） ①长度相等的弧是等弧 ②垂直于弦的直径平分弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ⑤半圆是圆中最长的弧 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关概念辨析，根据等弧的定义可判断①；根据垂径定理可判断②；根据对称轴的定义可判断③；根据确定圆的条件可判断④；根据优弧比半圆长可判断⑤． 【详解】解：①同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误； ②垂直于弦的直径平分弦，原说法正确； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，原说法正确； ⑤半圆不是圆中最长的弧，原说法错误； ∴说法不正确的有3个， 故选：C． 7. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 8. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何解法，将方程变形为两数乘积等于常数的形式，构造大正方形，使其面积等于四个矩形面积与中间小正方形的面积之和，据此分析各选项即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，第四个顶点D在反比例函数的图像上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于F，作BH∥x轴，交CF于H，利用AAS得到三角形ADE与三角形BCH全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=BH=2，DE=CH=1，求出OE的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值即可． 【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于F，作BH∥x轴，交CF于H， ∵A（1，0），B（4，2），C（2，3）， ∴BH=4-2=2，CH=3-2=1， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC=AD，BC∥AD， ∴∠DAB+∠ABC=180°， ∵BH∥x轴， ∴∠ABH=∠BAF， ∵∠DAE+∠BAF+∠DAB=180°=∠CBH+∠ABH+∠DAB， ∴∠DAE=∠CBH， 在△ADE和△BCH中， ， ∴△ADE≌△BCH（AAS）， ∴AE=BH=2，DE=CH=1， ∴OE=1， ∴点D坐标为（-1，1）， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴k=-1×1=-1， 故选：A． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键． 10. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 12. 2026年4月，湖南省首届版画展中，某参展的作品在“视觉吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视觉吸引 启发思考 社会责任 90 80 70 如果按照“视觉吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该作品得分是______分． 【答案】81 【解析】 【详解】解：由题意，该作品得分是（分）． 13. 已知m是方程的一个实数根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入方程得：，整理得：， 将代入得 ． 14. 已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则______（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质．先判断反比例函数比例系数的符号，再结合反比例函数的增减性比较和的大小． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点和的横坐标都为正，两点都在第一象限，且， ∴． 15. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm． 【答案】 【解析】 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 16. 如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接,则为直角，可以求出的值，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的值． 【详解】解：连接,如图所示． ∵是圆直径， ∴为直角， ∴， ∴, ∵圆周角与圆周角所对同一段弧， ∴, ∴． 17. 如图，中，，点D从点B开始以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，同时点E从点C开始以每秒2个单位的速度沿向点B运动，过点E作直线交于点F，当运动___秒时，直线与以点D为圆心，为半径的圆相切. 【答案】 【解析】 【分析】首先做出图形, 设运动时间为t，证明△DME∽△AHC,代入即可求出. 【详解】解：如图， 设运动时间为t，则BD=t，CE=2t， ∴DE=5-t-2t=5-3t， 过点A作AH⊥BC, ∵， ∴5×AH×=,解得AH=3， ∵， ∴∠MED=∠C, ∵直线与以点D为圆心，为半径的圆相切, ∴∠DME=∠AHC=90°,DM=BD=t， ∴△DME∽△AHC, ∴, 即， 解得t=. 故答案为:. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键. 18. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 _____，点C'的坐标为 _____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】连接OB交MN于Q，由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，先证明△BMQ≌△ONQ得到QM=QN，即点Q为OB的中点，过点Q作QH⊥x轴于H，证明△OHQ∽△OCB，求出，则；过点作轴于G，可以推出，设AM=a，则BM=OM=3a，则，解得，得到AB=OC=2，，从而求出，，利用三角形面积法求出，则，即点C的坐标为． 【详解】解：如图所示，连接OB交MN于Q， 由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB， ∵四边形OABC是矩形， ∴， ∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ， 又∵BQ=OQ， ∴△BMQ≌△ONQ（AAS）， ∴QM=QN，即点Q为OB的中点， 过点Q作QH⊥x轴于H， ∴， ∴△OHQ∽△OCB， ∴， ∵四边形OABC是矩形， ∴， ∵Q在反比例函数图象上， ∴； 过点作轴于G， ∵点M在反比例函数图象上， ∴， 又∵， ∴， 设AM=a，则BM=OM=3a， ∴， ∴， 解得（负值已经舍去）， ∴AB=OC=2，， ∵QM=QG，OQ=BQ， ∴四边形OMBN是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共96分） 19. 解下列方程． （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，. 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵一元二次方程为，其中，，， ∴ ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，配方后证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示出两根和与两根积，代入已知等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵ 无论取何值方程均有两个实数根， ∴的值为或. 21. 为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为“奋进队”（A队）和“超越队”（B队），每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩（单位：秒）如下． A队 14 14 17 16 18 17 17 15 B队 14 15 16 14 16 14 17 16 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数得______秒，秒，可以看出______队的平均成绩更好；通过计算方差______，，可以看出______队队员之间的水平更加均衡； （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析：绘制A队成绩的箱线图． （3）请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由． 【答案】（1）16，B，2，B （2）如图， （3）选B队， 理由：从平均成绩看，可以看出B队的平均成绩更好； 从方差看可以看出B队队员之间的水平更加均衡； 从成绩的四分位数和箱线图看，可以看出B队选手间成绩差异没有A队的大， ∴总体情况B队更好， ∴选B队． 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的定义分别求出，，并分别与，比较大小，即可得出结论； （2）根据四分位数的概念求解，然后画出箱线图即可； （3）根据（1）（2）中的计算结果和结论即可得出结论． 【小问1详解】 解：（秒）， ∵秒，， ∴可以看出B队的平均成绩更好； ， ∵，， 可以看出B队队员之间的水平更加均衡； 【小问2详解】 解：A队队员成绩排序为14，14，15，16，17，17，17，18， ∴中位数为， 解法一：下四分位数为前半部分的中位数：， 上四分位数为后半部分的中位数：； 解法二：由，可知下四分位数为第2个数据和第3个数据的平均数， ∴下四分位数为， 由，可知上四分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴上四分位数为． 绘制A队成绩的箱线图略； 【小问3详解】 略 22. 如图，为⊙的直径，为⊙上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接． （1）求证：； （2）与⊙有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】 （1）证明：连接， 为的中点， ∴， ， ， ； (2)与⊙相切，理由如下： ， ， ∴∠ODE+∠E=180°， ， ∴∠E=90°， ∴∠ODE=90°， ， 又∵OD是半径， 与⊙相切． 【解析】 【分析】(1)连接，由为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论； (2)根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点、、， （1）经过A，B，Ｃ三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为___________ （2）的半径为___________（结果保留根号），的度数为___________ （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径___________（结果保留根号） （4）点M是第一象限网格中的一个格点，直线与相切，写出满足条件的点M的坐标___________ 【答案】（1）； （2）：，； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，它们的交点即为D点； （2）利用勾股定理可求得半径的长，根据勾股定理的逆定理可求得； （3）先根据弧长公式求出的长，再根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式求出底面半径即可； （4）根据和切线的性质可得，作出图形即可得到点M的坐标． 【小问1详解】 解∶如图，分别作，的垂直平分线交于点D，则点D为所求圆心， 由图得，点D的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ， ∴的半径为：， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵， ∴的长为：， 设该圆锥底面半径为r， 则， 解得：， 即该圆锥底面半径为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∵直线与相切， ∴， ∴， 如图，当，点M是第一象限网格中的一个格点时，M的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理及其逆定理，弧长公式，圆锥的有关计算，切线的性质等知识，掌握确定圆心的方法是解题的关键． 24. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． （1）当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； （2）当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 【答案】（1） （2）该矩形停车区的占地面积不能达到  【解析】 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）令矩形面积等于，再判断一元二次方程是否有解，从而判断能否达到该面积． 【小问1详解】 解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个  宽的门． 所以平行于墙的边长为 当  时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得 解得 因为  必须满足 ，所以  不符合题意，舍去． 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为， 的值为 ． 【小问2详解】 解：当外墙长度  足够大时，平行于墙的边长 为 ， 可得，解得， 又因为边长必须为正数， 所以 当矩形停放区的占地面积为时， 可得，整理得， 因为， 所以方程无实数解， 即该矩形停车区的占地面积不能达到 ． 25. 综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． （1）数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． （2）问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． （3）安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． （4）工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 【答案】（1）； （2）米； （3） 该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． （4）米 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）根据点纵坐标代入解析式求横坐标，计算横坐标差得到水平距离； （3）求出点横坐标，代入得纵坐标，和安全要求比较验证； （4）将点横坐标代入解析式，求出纵坐标即为竖直高度． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． 【小问3详解】 解：略； 【小问4详解】 解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 26. 如图，点A、B、C在⊙O上， AB＝CB＝9， AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2． （1）求线段CD、AC的长； （2）求⊙O的半径． 【答案】（1）CD＝；AC＝6 （2） 【解析】 【分析】（1）作AE⊥BC于E，易证四边形AECD为矩形，可得EC＝AD＝2，BE＝BC−EC＝7，再利用勾股定理求解即可； （2）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，证明△ABF∽△CDA，利用相似三角形的性质求出AF即可． 【小问1详解】 解：作AE⊥BC，垂足为E， ∵AD∥BC， ∴AE⊥AD， ∵CD⊥AD， ∴四边形AECD为矩形， ∴EC＝AD＝2， ∴BE＝9－2＝7， ∴在Rt△AEB中，AE2＝AB2－BE2＝32， 在Rt△AEC中，AC2＝AE2＋CE2＝36， ∴AC＝6， 在Rt△ACD中，CD＝； 【小问2详解】 连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF， ∴∠F＝∠ACB， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠F＝∠DAC， ∵AF为⊙O的直径， ∴∠ABF＝90°， ∴∠ADC＝∠ABF＝90°， ∴△ABF∽△CDA， ∴， ∵四边形AECD为矩形， ∴CD＝AE＝， ∴， ∴AF＝， ∴⊙O的半径r＝． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线构造出直角三角形和相似三角形是解题的关键． 27. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．、、分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 解决下列问题： （1）方程_______（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，⊙的半径为8，、是位于圆心异侧的两条平行弦，，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 【答案】（1）是 （2） 解：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，在利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题． 【小问1详解】 解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，作于E，作的延长线交于F，如下图：     ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，8构成直角三角形，8是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理，垂径定理的应用等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 28. 如图，已知P为锐角内部一点，过点P作于点B，于点C，以为直径作，交直线于点D，连接，，交于点． （1）求证：； （2）连接，，当，时，在点P的整个运动过程中， ①若，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形时，求所有满足条件的的长； （3）当点P与点C重合，如图设连接与的另一交点为F，若点F是线段的中点，则______． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 又， ； （2）①；②当或6时，为等腰三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）由、知，据此得，根据即可得证； （2）①由题易得，先求，再求即可；②分两种情形：，，分别求解即可． （3）证明，则可得，设，则，，连接、，易得四边形是矩形，，连接，易证垂直平分，则，分别用k表示出、，建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图， ， ， 在中， ， ∴， 在中，, ∵， ∴ 解得（负值舍去）； ②当时， 则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ； 当时， 过B作于点H， ，， ， ， ∴， 则， ， 解得（负值舍去），， 设，则， ∵， ∴四边形是矩形， ，， ，且， ， ， ， ， ， 解得， ， 综上所述，当或6时，为等腰三角形； 【小问3详解】 解：，， ， ， 设，则， ， 连接、， 则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 连接， ， ， 是中点， 垂直平分， ，即， 解得负值舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质，三角函数，矩形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $