第11章·平面直角坐标系·期中复习·培优讲义 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

第11章·平面直角坐标系·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解有序数对与平面直角坐标系的概念，能正确画出坐标系，并由点的位置写出它的坐标 · 掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征，能根据坐标特征判断点所在位置或求字母参数的取值 · 会求点到坐标轴的距离，掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 · 掌握点在坐标系中平移的坐标变化规律，能由平移方式求对应点坐标并进行平移作图 · 能探索点坐标的变化规律，会用割补法求格点图形面积，解决坐标与几何综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有序数对与平面直角坐标系 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作(a,b)，顺序不同表示的位置一般不同 平面直角坐标系由在同一平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴组成，水平的为x轴（横轴），竖直的为y轴（纵轴），两轴交点为原点O 坐标平面被两条坐标轴分成四个象限：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)；坐标轴上的点不属于任何象限 建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应 概念辨析例题：若电影票上「5排2号」简记为(5,2)，那么「2排5号」可简记为什么？ 答案：(2,5) 解析：有序数对中前一个数表示排、后一个数表示号，把排与号的位置对应交换，即得(2,5)。 ☆ 2.点的坐标与象限 坐标平面内任意一点P，过P向x轴作垂线，垂足对应的数a叫横坐标；向y轴作垂线，垂足对应的数b叫纵坐标，记作P(a,b) 点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值|b|，到y轴的距离等于横坐标的绝对值|a| x轴上的点纵坐标为0，即(a,0)；y轴上的点横坐标为0，即(0,b)；原点为(0,0) 平行于x轴的直线上的点纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点横坐标相同 概念辨析例题：已知点P(a,b)到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在x轴的上方，求点P的坐标 答案：(3,2)或(-3,2) 解析：到x轴距离为2即|b|=2，P在x轴上方故b=2；到y轴距离为3即|a|=3，故a=±3，分类讨论得P(3,2)或(-3,2)。 ☆ 3.坐标系中点的平移 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（左）平移a个单位长度，对应点横坐标加（减）a，纵坐标不变 将点(x,y)向上（下）平移b个单位长度，对应点纵坐标加（减）b，横坐标不变 图形的平移就是图形上所有点的平移，平移不改变图形的形状和大小 关于x轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，将点A(3,-2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，求点B的坐标 答案：B(1,2) 解析：向左平移2个单位，横坐标3-2=1；向上平移4个单位，纵坐标-2+4=2，故B(1,2)。 ☆ 4.坐标方法的简单应用 利用坐标表示地理位置：先选原点、确定x轴y轴正方向和单位长度，再描点写坐标 点坐标规律探索题：按规则写出前若干个点的坐标，观察下标与坐标的循环规律，再求目标点 格点三角形面积常用割补法：外接矩形面积减去周围直角三角形面积 平行于坐标轴的线段上两点距离等于相应坐标差的绝对值 概念辨析例题：已知A1(1,0)，A2(1,1)，A3(-1,1)，A4(-1,-1)，A5(1,-1)，A6(1,0)，…按此规律循环，求A8的坐标 答案：A8(-1,1) 解析：观察发现每4个点一循环，8÷4=2余0，对应循环中第4个点的位置，按规律递推得A8(-1,1)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有序数对 记作(a,b)，顺序固定 (a,b)与(b,a)一般表示不同位置 平面直角坐标系 互相垂直、有公共原点的两条数轴 坐标轴上的点不属于任何象限 点的坐标 P(a,b)，a为横坐标、b为纵坐标 先横后纵，括号内用逗号分隔 点到坐标轴的距离 到x轴距离=|b|，到y轴距离=|a| 距离非负，与坐标符号无关 点的平移 右加左减横坐标，上加下减纵坐标 平移不改变图形的形状和大小 象限符号 一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-) 坐标轴上的点不属于任何象限 ⚠️ 核心考点 【考点1】有序数对与位置的确定（第1-9题） · 有序数对中两个数的顺序不能随意交换，先读「排/列」后读「座/号」 · 实际问题中先根据已知点坐标确定原点位置和坐标轴方向，再写出其他点坐标 · 建立坐标系时通常以正东为x轴正方向、正北为y轴正方向 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点B的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．根据题意首先确定原点的位置，进而得出“宝藏”的位置． 【详解】解：根据两个标志点，可建立如下所示的坐标系： 由平面直角坐标系知，“宝藏”点B的位置是， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）从学校向东走，再向南走到达小伟家；从学校向南走，再向西走到小亮家，则小亮家在小伟家的________. 【答案】正西 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查位置的确定，确定原点建立平面直角坐标系是关键．以学校为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系，然后确定出乙地的位置，再确定出丙地的位置，然后解答即可． 【详解】解：以学校为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，将整个行进过程置于平面直角坐标系中， 小伟家的坐标为，小亮家的坐标为， 小伟家和小亮家在同一条平行于x轴的直线上， 小亮家在小伟家的正西． 故答案为：正西． 3．（24-25八年级上·福建三明·期中）在某表格里，如果用表示第3行第10列，那么第7行第5列用坐标表示为________． 【答案】 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据题意即可确定． 【详解】解：第7行第5列用坐标表示为， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）电影票上写着“9排12座”，如果把“9排12座”记作，那么电影票“8排7座”记作________． 【答案】 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了有序数对确定位置，根据题意即可求解． 【详解】解：依题意电影票“8排7座”记作， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如果将电影票上“5排2号”简记为，那么“2排5号”可简记为__________． 【答案】 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对左边的数表示排，右边的数表示号，据此求解即可． 【详解】解：如果将电影票上“5排2号”简记为，那么“2排5号”可简记为， 故答案为：． 6．（25-26七年级下·内蒙古·阶段检测）山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的三个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为，则壶口瀑布的坐标为_________． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为，来建立如图所示的平面直角坐标系，再找出壶口瀑布的坐标，即可作答． 【详解】解：∵云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为， ∴建立如图所示的平面直角坐标系： 则壶口瀑布的坐标为 7．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为( )． 【答案】 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】根据已知点甲、乙的坐标确定有序数对中三个数分别代表的几何意义，即列数、行数和层数，进而确定丙的坐标． 【详解】解：由正方体甲的位置可知，有序数对的第一个数表示列数，第二个数表示行数，第三个数表示层数， 由正方体乙的位置可知，乙位于第列，第行，第层，符合图形特征， 观察图形可知，正方体丙位于第列，第行，第层， 所以正方体丙的位置可以表示为． 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图所示的是天安门周围的景点分布示意图，若以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立坐标系，表示人民大会堂的坐标为，表示美术馆的坐标为，“天安门—故宫—景山”所在的直线称为北京城的中轴线，在王府井的小雅同学如果要在最短的时间内（速度相同）赶到中轴线上，则小雅应该直接到达中轴线上的点的坐标为________． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得对应的点的坐标，即可求解． 【详解】解：以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立坐标系，表示人民大会堂的坐标为，表示美术馆的坐标为， 如图所示，则原点为故宫，“天安门—故宫—景山”所在的直线称为北京城的中轴线，即轴为中轴线， 表示王府井的坐标为, 依题意，小雅应该直接到达中轴线上的点的坐标为． 9．（23-24七年级下·青海果洛·期中）如图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示． (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列这个游乐设施的位置：跷跷板______； (2)秋千的位置是，请在图中标出来； (3)旋转木马在大门以东，再往北处，请在图中标出来． 【答案】(1) (2)如图所示，秋千的位置是 (3)如图所示，旋转木马的位置是 【知识点】用有序数对表示位置、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了用有序数对表示位置； （1）根据题意找到跷跷板的位置； （2）根据位置标出坐标即可； （3）根据位置标出坐标即可求解． 【详解】（1）解：跷跷板 （2）略 （3）略 【考点2】点的坐标与象限（第10-27题） · 记牢象限符号：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-) · 点到x轴距离=|纵坐标|，到y轴距离=|横坐标|，注意分类讨论 · x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；平行于x轴的直线上点纵坐标相同 · 已知点所在象限求参数时，把坐标符号转化为不等式（组）求解 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征． 根据第三象限点的坐标特征是横纵坐标都是负数，判断点P的位置即可． 【详解】解：第三象限点的坐标特征是横纵坐标都是负数， 点在第三象限， 故选：C 11．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知点在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第三象限的点的坐标特征为，并结合点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，即可得解． 【详解】解：∵点在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3， ∴点P的坐标为， 故选：A． 12．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若点在x轴上，则点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限 【分析】根据点P在x轴上，可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：点在x轴上， ∴， ∴， ∴点所在象限是第二象限， 故选：B． 13．（24-25七年级下·重庆·期中）点的横坐标是，且到轴的距离为1，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，解题的关键是熟练掌握坐标的意义． 假设，利用点的坐标的几何意义列出进行求解即可． 【详解】解：∵点的横坐标是，且到轴的距离为1， ∴可假设， 则，解得或， ∴或， 故选：D． 14．（23-24七年级下·山东滨州·阶段检测）下列说法中，正确的结论的个数是(　　) ①点到x轴距离是3；②若，则点在y轴上；③如果，2.872，那么约等于；④点的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在第二象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】相反数的定义、求点到坐标轴的距离、求一个数的立方根、判断点所在的象限 【分析】本题主要考查了点坐标的特点，求一个数的立方根，以及相反数的意义，根据点的坐标特征判断①②，根据立方根的定义可判断③，根据相反数的定义以及点坐标特点可判断④． 【详解】解：点到x轴距离是2，故①错误， 若，则点在x轴上， 故②错误， 如果，2.872， 那么 故③正确 点的横坐标与纵坐标互为相反数，则，则， 则，则点P一定在第二象限，故④正确， 正确的有③④，共2个． 故选：B． 15．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，两个顶点的坐标为，，平行于轴，则顶点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【详解】解：∵平行于y轴，， ∴点C的横坐标为3． ∵正方形边长为4， ∴． 当点C在点B上方时，点C的纵坐标为，即； 当点C在点B下方时，点C的纵坐标为，即． 16．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．4或 【答案】D 【知识点】绝对值方程、求点到坐标轴的距离、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】根据平面直角坐标系中，点到x轴的距离为，到y轴的距离为，根据距离相等列出绝对值方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 点到两坐标轴的距离相等 ∴ 分两种情况讨论： 情况1： 移项得 解得 情况2： 去括号得 移项并合并同类项得 解得 ∴ 的值为或． 17．（2025·吉林长春·模拟预测）若点在轴上，则点的坐标是_______． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算得出的值，再代入点P的横坐标，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， 把代入，得 ∴ 故答案为：． 18．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若点在x轴上，则a的平方根为___________． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一个数的平方根、已知点所在的象限求参数 【分析】根据在x轴上的点的纵坐标都为0，得到，则可求得a的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴a的平方根为． 19．（24-25七年级下·江西上饶·阶段检测）若点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查轴上点的坐标特征，由点在轴上，可知点的横坐标为，列方程求出，代入即可得到答案．熟记轴上点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：若点在轴上，则， 解得， 点的坐标为， 故答案为：． 20．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移 【分析】解决本题的关键是进行分类讨论，在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点的纵坐标相同，可求点B的纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可得点B的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴点B纵坐标与点A纵坐标相同， 又∵，可能右移，横坐标为； 可能左移横坐标为， ∴点B的坐标为或． 21．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，若点到x轴的距离为3，则a的值是______． 【答案】0或6/6或0 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值即可求出a的值． 【详解】解：∵点到x轴的距离为3， ∴， 解得或6． 故答案为：0或6． 22．（20-21七年级下·贵州黔西南·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为______． 【答案】3 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标的性质．点A的坐标是，其到x轴距离为，到y轴的距离为，则 ；又由点A在y轴的右侧可知A的横坐标为正数，即，据此即可求出a的值． 【详解】解：由题可知， 即或， 解得， 故答案为：3． 23．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知点是平面直角坐标系中的点： (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，求点P在第几象限？ (3)若点P在第二、四象限的角平分线上，求m的值． 【答案】(1) (2)二 (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、判断点所在的象限 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特点；熟练掌握平面直角坐标系中坐标轴上点的特点，与坐标轴平行的直线上点的特点是解题的关键． （1）根据轴上的点的坐标特征，横坐标为0，求得的值，即可求解； （2）根据题意列出关于的方程，解方程，即可求解； （3）依据第二，四象限角平分线性质，横、纵坐标互为相反数，列方程求m． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， 解得：，则， ； （2）解：第二象限，理由如下， ∵点的纵坐标比横坐标大6， ， 解得：，则， ∴在第二象限； （3）∵点在第二、四象限的角平分线上，根据第二、四象限角平分线的性质：角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，即横坐标与纵坐标的和为0， ； 解得：． 24．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知在平面直角坐标系中，点在轴上，求的值及点的坐标． 【答案】， 【知识点】已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特征，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．根据坐标轴上的点的坐标特征可求出的值． 【详解】解：点在轴上 即 解得 点的坐标为． 25．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知点到轴的距离是2，到轴的距离是3，且点在轴的上方，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．先判断出点在第一或第二象限，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值求解． 【详解】解：∵点到轴的距离是2，到轴的距离是3， ∴，， 又∵点在轴的上方， ∴， ∴， ∴点的坐标为或 26．（23-24七年级下·广东珠海·期中）已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点P在第一象限且点P到x轴的距离为2 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形； （1）根据横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据点P在第一象限且点P到x轴的距离为2，列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵点在第一象限且点P到x轴的距离为2， ∴， 解得， ∴， ∴． 27．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点， (1)若点在轴上，则的值为______； (2)若线段与轴平行，则的值为______； (3)若点到两坐标轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． （3）根据点B到x，y轴的距离列出绝对值方程求解m的值． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得， 故答案为：1； （2）解：∵点，，且线段与轴平行， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意，得或 由得，； 由知此情况不存在， ∴． 【考点3】坐标系中点的平移（第28-31题） · 平移规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减 · 图形平移后对应点的平移方式相同，可由一组对应点确定平移方式 · 关于x轴对称横坐标不变、纵坐标相反；关于y轴对称纵坐标不变、横坐标相反 28．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标系中的平移 【分析】本题考查代数式求值，涉及平行于轴的直线上点的坐标特征，熟记平行于轴的直线上点的坐标特征是解决问题的关键． 由轴，可知点与点纵坐标相等；结合，利用两点之间距离公式求点横坐标的值，进而代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵轴，点和点， ∴ ， ∵，且轴， ∴， 即， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴， 故选：C． 29．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了点在坐标系下的平移，掌握好点平移的计算方式是关键．根据坐标平移的规律，横坐标左减右加，纵坐标上加下减，将点A先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，依次计算即可． 【详解】向左平移2个单位：横坐标减少2， 原横坐标为3，平移后横坐标为：； 向上平移4个单位：纵坐标增加4， 原纵坐标为，平移后纵坐标为：； 则平移后点B的坐标为， 故选：A． 30．（22-23八年级下·四川成都·阶段检测）已知点将它先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到点，则点的坐标是______． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了点的平移，根据平移中点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此解答即可求解，掌握平移中点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：将点向左平移个单位，横坐标变为，再向上平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标是， 故答案为：． 31．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是___________ 【答案】或 【知识点】坐标与图形、根据几何图形列二元一次方程组、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握平移的性质是解的关键．由题意可知，由，得出，即可得出，解得或，根据平移的性质，得出，然后分或两种情况解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， 或， 线段进行平移得到线段， ， 当时，则， 解得：， 当时，则， 解得， ∴c的值是12或4． 故答案为：12或4． 【考点4】点坐标规律探索（第32-40题） · 先按规则写出前几个点的坐标，观察下标与坐标的循环周期 · 用目标下标除以周期，根据余数确定它落在循环中的位置 · 新定义题要把定义逐字转化为坐标运算，逐个代入选项检验 32．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿长方形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿长方形的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，以及P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴矩形的周长为， 由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒， ∴第二次相遇点是的中点， 第三次相遇点是， 第四次相遇点是， 第五次相遇点是， 第六次相遇点是……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2023次相遇点的坐标与第三次相遇点的坐标重合，即 故选：C． 【点睛】此题主要考查了规律型：点的坐标、行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题． 33．（24-25七年级下·黑龙江·阶段检测）如图，已知，，按这样的规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查坐标的规律问题，先找到点的规律，然后计算解题即可，解题的关键是找到点的坐标规律． 【详解】解：由题可知，每4个点纵坐标重复一次，横坐标向右平移6个单位长度， ∴ ， 则的横坐标为： ，纵坐标为1， 故选：C． 34．（24-25七年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第1次向上平移1个单位长度至点，接着又向右平移1个单位长度至点，然后再向上平移1个单位长度至点，向右平移1个单位长度至点，，照此规律平移下去，点A平移至点时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移及点的坐标变化规律，能根据题意得出当n为奇数时，点的坐标可表示为是解题的关键；根据题意，观察点，，A5，…，的坐标，发现变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 所以当n为奇数时，点的坐标可表示为， ∴当时，， ∴则点的坐标为． 故选：D． 35．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知坐标，，，，，，，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点的坐标规律的探索，发现点的下标和点的坐标之间的关系是解答本题的关键．根据各个点在坐标系中点的位置，寻找出点的下标和各个点的坐标之间的关系，归纳出规律，然后根据规律推理点的坐标即可． 【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限， ， 点在第三象限， ，，， ，，， 依次类推，， 即． 故选D． 36．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）学习了平面直角坐标系后，初一(1)班的同学组成了数学课外小组，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，其中表示非负实数a的整数部分，例如：按此方案，第棵树种植点为(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律，根据新定义得出的值，找到规律，即可求解． 【详解】解：∵，，，……，， ∵ 当，，，时，， 当等于其余大于等于2的正整数时，均等于0， ， ， ． ∵， ，， 第2025棵树种植点为 故选：D． 37．（25-26七年级下·广东广州·期末）已知点，点为平面直角坐标系内一动点，则线段的最小值为________． 【答案】 【知识点】垂线段最短、求点到坐标轴的距离、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】先判断动点的运动轨迹，可得点在直线上，根据垂线段最短，可知线段的最小值为点到直线的距离，计算距离即可得到结果． 【详解】解：点坐标为，纵坐标为定值， 点在直线上， 根据垂线段最短，可得的最小值为点到直线的距离， 又直线平行于轴， 点到直线的距离为， ∴线段的最小值为5． 38．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，若规定以下两种变换： ①②，例如按照以上变换有：；．则________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题一种新型运算方式，解决的关键是理解相关定义，难点是确定运算顺序． 先根据，计算，然后根据进一步化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 即， 故答案为：． 39．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）小颖同学观看台球比赛，从中受到启发，把它抽象成数学问题：如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，若不考虑阻力，小球运动的轨迹如图所示，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置用坐标表示是_______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查坐标规律探究，根据图象可知，每6次一个循环，进行求解即可． 【详解】解：由图象，可知，第1次到达， 第2次到达， 第3次到达， 第4次到达， 第5次到达， 第6次到达， 第7次到达，； ∴小球每6次一个循环， ∵， ∴小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置：． 40．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为．一只蜘蛛从点出发以每秒2个单位长度的速度沿循环爬行，则第627秒时蜘蛛所处位置的坐标为_______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定2024秒蜘蛛运动了多少个循环余多少个单位长度来确定蜘蛛最终的位置是解题的关键．根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出第627秒蜘蛛移动了几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 【详解】解：，，，， 四边形是矩形， ，， ， 蜘蛛运动一周需要的时间是（秒， ， 按顺序循环爬行，第627秒相当于从点出发运动了11秒，路程是：个单位， 所以在上，且距离点2个单位处， 即蜘蛛所处位置的坐标为， 故答案为：． 【考点5】平移作图与坐标面积综合（第41-52题） · 平移作图：先平移关键点，再顺次连接 · 格点三角形面积用割补法：外接矩形面积减去周围直角三角形面积 · 面积存在性问题先设点坐标，再根据面积公式列方程求解 41．（25-26八年级下·北京·阶段检测）某校七年级学生共180人参加了“强国有我”知识竞赛，老师从中随机抽取了15个学生进行了成绩统计，图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．据此可以推断，全年级学生中国家安全知识竞赛成绩不低于航天知识竞赛成绩的学生有________人． 【答案】120 【知识点】角平分线的性质定理、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】作第一象限角平分线，根据角平分线上的点到两坐标轴的距离相等，可知角平分线上及以下的点满足题意，即可得到满足题意的点的个数，再求出样本中满足条件的学生频率，最后用样本频率估计总体的方法计算即可． 【详解】解：观察散点图可知，横轴表示国家安全知识竞赛成绩，纵轴表示航天知识竞赛成绩，“国家安全知识竞赛成绩不低于航天知识竞赛成绩”即横坐标大于或等于纵坐标， 作第一象限角平分线，所以角平分线上及以下的点满足题意，这样的点图中共有10个，所以样本中满足条件的学生频率为， 则全年级学生中国家安全知识竞赛成绩不低于航天知识竞赛成绩的学生人数约为 （人）． 42．（25-26七年级下·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，有四个点，，顺次连接点A，B，C，D，则四边形的面积为__________． 【答案】15 【知识点】坐标与图形综合、坐标系中描点 【分析】根据平面直角坐标系找出点A、B、C、D的位置，然后顺次连接，再直接由底乘高计算即可． 【详解】解：如图所示： ，边上的高为3， 四边形的面积． 43．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，平移三角形，使点A平移到点的位置，点B、C的对应点分别是点、，请画出平移后的三角形，并写出点的坐标． 【答案】如图，三角形即为所求： 点的坐标为． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图) 【详解】略 44．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为． (1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形； (2)将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点D，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) 解：如图，三角形为所求． (2) 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查平移作图，点的平移的坐标变化． （1）根据平移作出点，依次连接即可得到三角形； （2）根据坐标系中点的平移的坐标变化即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：点A先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点D，则点D的坐标为． 45．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．    (1)画出关于x轴的对称图形，点的坐标为 ． (2)将沿x轴方向向左平移3个单位，向下平移2个单位后得到，直接写出顶点，，的坐标． 【答案】(1) 如图所示，即为所求，    点的坐标为 (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、由平移方式确定点的坐标、画轴对称图形 【分析】本题主要考查画轴对称图形，平移，写出平面直角坐标系中点的坐标； （1）根据轴对称的性质画出x轴的对称图形，根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）根据平移的性质画出，根据坐标系写出顶点，，的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，    46．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上． (1)描出A，C两点的位置，写出点B的坐标； (2)连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的． 【答案】(1) 如图，点A，C即为所求， (2) 如图，，即为所求． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、坐标系中描点 【分析】（1）根据点的坐标 画出点A，C，再根据点B的位置写出坐标； （2）画出，利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点，即可． 【详解】（1）略 （2）略 47．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：，，．将先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到，且点的对应点分别为点． (1)在图中画出； (2)点的坐标为______． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了作图-平移作图，点的坐标平移规律，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先将A、B、C向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的对应点描出来，再顺次连接即可； （2）按照平移规律求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：点先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 得：，即． 48．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上． (1)若把先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，画出平移后的图形，并写出，，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) 解：三角形如图所示，，，； (2)4 【知识点】利用网格求三角形面积、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求三角形面积． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后连线即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：三角形的面积． 49．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图所示的方格纸中每个小正方形都是边长为1个单位长度的小正方形，在平面直角坐标系中，已知． (1)描出A，B，C，D四点的位置，并顺次连接； (2)把四边形向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到四边形，画出平移后的四边形． 【答案】(1)如图，四边形为所作； (2)如图，四边形为所作． 【知识点】平移(作图)、坐标系中描点 【分析】本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）先利用A、B、C、D的坐标描点，然后顺次连接得到四边形； （2）利用点平移的坐标变换特征描点即可． 【详解】（1）略 （2）略 50．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为．若三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点的对应点分别是． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)若三角形内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) 如图，三角形即为所求； (2) (3)15 【知识点】利用网格求三角形面积、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查的是画平移图形，平移的性质，求解网格三角形的面积； （1）分别确定点的对应点，再顺次连接可得三角形，再根据的位置可得其坐标； （2）根据平移的性质可得点的坐标为：； （3）利用割补法求解三角形的面积即可. 【详解】（1）略 （2）解：三角形内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为：. （3）解：三角形的面积为. 51．（24-25七年级下·广东广州·阶段检测）如图每个格为单位1． (1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，在第 象限； (2)平移三角形，使点A移动到点，点B移动到点，点C移动到点．画出平移后的； (3)求三角形的面积（写过程） 【答案】(1)，，三 (2) 如图， 为所求作； (3) 【知识点】利用网格求三角形面积、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、坐标系中的平移 【分析】本题考查了平面直角坐标系内的坐标，网格平移作图，格点三角形面积； （1）根据点的位置写出坐标，即可求解； （2）根据平移得、的坐标，描点画图，即可求解； （3）求三角形面积，即可求解； 能写出点的坐标，会平移作图及会求格点三角形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得 ，， 在第三象限； 故答案为：，，三； （2）解：由图得， 点A移动到点， 将先向右平移个单位，再向上平移个单位； ，， （3）解：由题意得 ． 52．（23-24七年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系内，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，，将三角形向右平移3格，再向下平移4格，得到三角形，其中点A，B，C的对应点分别为点．    (1)画出三角形； (2)写出点的坐标：（______），（______），（______）； (3)三角形的面积是______． 【答案】(1) 如图，三角形即为所求． (2)3，；6，；9，0 (3)9 【知识点】利用网格求三角形面积、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查作图-平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）由图可得，，， 故答案为：3，；6，；9，0． （3）三角形的面积． 故答案为：9． 💯 课后巩固 复习建议 · 每天默写一遍四个象限的符号特征和坐标轴上点的坐标特征，做到脱口而出 · 整理本讲义52道考点题，遮住答案重做一遍，错题标注错因（符号错、漏解、平移方向反） · 点坐标规律题坚持「先写前4个点找周期」的固定步骤，不要凭感觉猜 · 平移作图题用铅笔在方格纸上动手画，确认对应点坐标变化后再连线 · 课后18道作业题限时40分钟完成，对照答案逐题订正，重点检查分类讨论是否漏解 【作业1】（22-23七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“横k倍直角距离”，已知点，下列四个点中是点A的“横2倍直角距离”等于3的点为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的新定义问题，根据“横k倍直角距离”的定义把和选项中的点一一代入并计算出k值，进而即可得出答案． 【详解】解：．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，不是横2倍直角距离，故该选项不符合题意； ．，，则，则，是横2倍直角距离，故该选项符合题意； 故选：D． 【作业2】（24-25七年级下·重庆南川·期末）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，解不等式组等知识，根据第三象限内点的坐标特征，横坐标和纵坐标均小于0，列出不等式组求解即可． 【详解】解∶∵点在第三象限， ∴ 解得 故选∶B． 【作业3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】此题考查了点的变化规律．由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在A点相遇； … 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵， 故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是第一次相遇的点， 物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，如图， 此时相遇点的坐标为：， 故选：B． 【作业4】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如果将阶梯教室中的3排6座用表示，那么表示的是（    ） A．6排3座 B．3排6座 C．6排6座 D．3排3座 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是利用有序数对确定位置注意排在前，座在后． 【详解】解：3排6座用表示，所以表示的是6排3座， 故选：A． 【作业5】（23-24七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，……这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、求一个数的立方根 【分析】本题考查了点的坐标规律和立方根的概念，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律即可求解，解题的关键是熟练掌握点的坐标规律． 【详解】∵， ∴，，，， ， 由此可知：每四次一循环， ， ∴的坐标与相同， ∴，， 解得：，， 则， ∴的立方根是， 故选：． 【作业6】（24-25八年级下·江西吉安·期中）已知点A，B的坐标分别为．将线段沿某个方向平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了平移的性质，根据点平移后的对应点的坐标为，得出平移规律，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标为， ∴平移规律是向上平移个单位， ∴点B的对应点的坐标为， 故选：B． 【作业7】（25-26七年级下·福建厦门·期中）平面直角坐标系中，点到轴的距离为___________；到轴的距离为___________． 【答案】 3 2 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为． 【作业8】（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，，，，，按此规律，点的坐标为______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律的问题．根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，再根据规律求出点的坐标． 【详解】解：观察点的坐标： 点，，，，，…， 可以发现： 以4个点为一组循环，即，，，（n为自然数）． ∵， ∴， 对于： 当时，； 当时，； 当时，， 其横坐标为，纵坐标为． 根据上述规律，当时，横坐标为， 纵坐标为，即． 故答案为：． 【作业9】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为________． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据点平移的规律：左右平移改变横坐标，右移横坐标加，上下平移改变纵坐标，下移纵坐标减，代入原坐标计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， ∴ 点的横坐标为，点的纵坐标为， 即得到的点的坐标为． 【作业10】（25-26七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的值可以为________． 【答案】任意负数均可，例如 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】根据平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征，可得纵坐标小于，任选一个符合条件的负数即可． 【详解】解：∵ 点在第四象限，第四象限内点的纵坐标小于， ∴， ∴ 可以取任意负数，例如． 【作业11】（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为______________． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】左减右加横坐标，上加下减纵坐标；根据平移后坐标列方程求出、的值，再代入计算． 【详解】解：点向左平移个单位，横坐标变为；向上平移个单位，纵坐标变为． 平移后点坐标为，与重合， 故，． 由，得； 由，得． ． 【作业12】（25-26七年级下·北京丰台·期末）如图是某公园部分景点位置的示意图，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长．表示牡丹园的点的坐标为，表示游乐园的点的坐标为，那么表示喷水池的点的坐标为____________ ；如果经过西门的道路a与x轴平行，那么从牡丹园到道路a的距离是_____ ． 【答案】 3 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、实际问题中用坐标表示位置 【详解】解：根据表示牡丹园和游乐园的点的坐标建立平面直角坐标系如下： 表示喷水池的点的坐标为； 由平面直角坐标系可知，表示西门的点的坐标为， 经过西门的道路a与x轴平行，牡丹园的点的坐标为， 牡丹园到道路a的距离是． 【作业13】（23-24八年级上·河南商丘·期末）若将点向上平移个单位长度得到点，点关于轴的对称点坐标仍是，则______． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查关于轴对称的点坐标，平移的坐标变化，解题的关键是根据平移坐标的变化规律以及关于轴对称的两点坐标的关系进行解答即可．点坐标平移规律：左右平移→左减右加纵不变；上下平移→上加下减横不变；点坐标关于坐标轴对称的规律： 关于轴对称的点的坐标的特征是横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点的坐标的特征是纵坐标不变， 横坐标互为相反数． 【详解】解：∵将点向上平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∴点关于轴的对称点坐标， ∵点与点为同一点， ∴， 解得：． 故答案为：． 【作业14】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)在图中画出平移后的三角形，并写出平移后各顶点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点为轴上一动点，当三角形的面积是6时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)三角形，如图所示， (2)5 (3)或 【知识点】利用网格求三角形面积、平移(作图)、几何问题(一元一次方程的应用)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了一元一次方程，平移作图，点的坐标，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形中任意一点，平移后对应点为，得出平移规律，则分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）先设点的坐标为，结合面积公式列式，再解出的值，即可作答． 【详解】（1）解： 则； （2）解：三角形的面积． （3）解：∵点为轴上一动点， ∴设点的坐标为， ∵， ∴ ∵三角形的面积是6， ∴ 解得或． ∴或． 【作业15】（24-25七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)先将向上平移3个单位，再向左平移3个单位，得到，请你在坐标系中画出，并写出点、的坐标； (2)在（1）的条件下，若点是线段上任意一点，则在轴上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】(1) 如图，即为所求． 点，； (2)点Q的坐标为或 【知识点】平移(作图)、坐标系中的平移、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）由平移得，AB∥A1B1，可得，设点Q的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：略； （2）解：存在． 由平移得，， ∴， 设点Q的坐标为， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得或8， ∴点Q的坐标为或． 【作业16】（22-23七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，使点A与点B重合，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接． (1)求点C的坐标； (2)当三角形面积是三角形的面积的3倍时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】坐标与图形综合、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据三角形面积的计算，分类讨论：当点D在线段上时；当点D在线段延长线上时；结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：∵平移，点的对应点为点， ∴点A向右平移2个单位长度，向上平移5个单位长度得到点B， ∴点向右平移2个单位长度，向上平移5个单位长度得到点C， ； （2）解：分两种情况： ①当点D在线段上时， ∵三角形的面积是三角形的面积的3倍， ， ； ②当点D在线段延长线上时， ∵三角形的面积是三角形的面积的3倍， ， ， ． 综上所述，点D的坐标为或． 【作业17】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且，． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)将线段平移得到线段，点A的对应点是点C，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，过点D作轴于点E，请问在射线上，是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)12 (3)存在，点 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、坐标系中的平移、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查绝对值和平方根的性质、图形的平移、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的运用，分类讨论是解答的关键． （1）利用绝对值和算术平方根的性质求得a、b值即可； （2）先由点A和其对应点C的坐标得到平移方式，进而得到点B对应点D的坐标，过点D作轴于点F，然后根据面积公式即可求解； （3）设，三角形的面积为，则，然后分当时，当时，当时，当时四种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵A在x轴负半轴， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）解：点的对应点是点， 将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段， 点对应点D坐标为． 如图-1，过点D作轴于点F，则，． 三角形的面积． （3）解：存在，点． 设，三角形的面积为，三角形的面积为，则． 当时，如图-1，连接． ，， ． 不成立； 当时，，不成立； 当时，如图-2． ． ，． ． ，此时点P的坐标为． 当时，，不成立． 综上可知，点P的坐标为． 【作业18】（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点（与坐标原点O不重合），对于任意一点，给出如下定义： 若点Q的坐标为（），则称点Q为点P关于点M的“k倍位移点”． 已知点，，，． (1)点C关于点A的“2倍位移点”的坐标是______； (2)点E在线段上，过点作x轴的垂线l，若直线l上存在点D关于点E的“2倍位移点”，求m的取值范围； (3)已知点，，，，点在正方形的边上，且，．若对于正方形边上的任意一点P，线段上都不存在点P关于点M的“k倍位移点”，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 或 【知识点】求不等式组的解集、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）由“k倍位移点”的定义解题； （2）设，表示出点D关于点E的“2倍位移点”的坐标，结合线段的位置解题； （3）推出点的坐标为或，设线段上任意一点的坐标为，则，，讨论当点的横、纵坐标最大和最小以及点的坐标为或时的所有情况，列不等式组计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴点C关于点A的“2倍位移点”的坐标是，即； （2）解：如图，设， 由题意知，点D关于点E的“2倍位移点”的坐标为，即， ∵点E在线段上， ∴， ∴， 即， 若点在直线上，则； （3）解：如图，由题意知，点在正方形在第一象限的边上， 由图可知点的坐标为或，，， ∵点在正方形边上， ∴点的横、纵坐标最大时，坐标为，点的横、纵坐标最小时，坐标为， 设线段上任意一点的坐标为， 则，， 当点的横、纵坐标最大，点的坐标为时，点P关于点M的“k倍位移点”为， 当点的横、纵坐标最大，点的坐标为时，点P关于点M的“k倍位移点”为， 当点的横、纵坐标最小，点的坐标为时，点P关于点M的“k倍位移点”为， 当点的横、纵坐标最小，点的坐标为时，点P关于点M的“k倍位移点”为， ∵线段上都不存在点P关于点M的“k倍位移点”， ∴或， 解得或， 即当或时，线段上都不存在点P关于点M的“k倍位移点”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章·平面直角坐标系·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解有序数对与平面直角坐标系的概念，能正确画出坐标系，并由点的位置写出它的坐标 · 掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征，能根据坐标特征判断点所在位置或求字母参数的取值 · 会求点到坐标轴的距离，掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 · 掌握点在坐标系中平移的坐标变化规律，能由平移方式求对应点坐标并进行平移作图 · 能探索点坐标的变化规律，会用割补法求格点图形面积，解决坐标与几何综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有序数对与平面直角坐标系 有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作(a,b)，顺序不同表示的位置一般不同 平面直角坐标系由在同一平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴组成，水平的为x轴（横轴），竖直的为y轴（纵轴），两轴交点为原点O 坐标平面被两条坐标轴分成四个象限：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)；坐标轴上的点不属于任何象限 建立平面直角坐标系后，平面内的点与有序实数对一一对应 概念辨析例题：若电影票上「5排2号」简记为(5,2)，那么「2排5号」可简记为什么？ 答案：(2,5) 解析：有序数对中前一个数表示排、后一个数表示号，把排与号的位置对应交换，即得(2,5)。 ☆ 2.点的坐标与象限 坐标平面内任意一点P，过P向x轴作垂线，垂足对应的数a叫横坐标；向y轴作垂线，垂足对应的数b叫纵坐标，记作P(a,b) 点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值|b|，到y轴的距离等于横坐标的绝对值|a| x轴上的点纵坐标为0，即(a,0)；y轴上的点横坐标为0，即(0,b)；原点为(0,0) 平行于x轴的直线上的点纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点横坐标相同 概念辨析例题：已知点P(a,b)到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在x轴的上方，求点P的坐标 答案：(3,2)或(-3,2) 解析：到x轴距离为2即|b|=2，P在x轴上方故b=2；到y轴距离为3即|a|=3，故a=±3，分类讨论得P(3,2)或(-3,2)。 ☆ 3.坐标系中点的平移 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（左）平移a个单位长度，对应点横坐标加（减）a，纵坐标不变 将点(x,y)向上（下）平移b个单位长度，对应点纵坐标加（减）b，横坐标不变 图形的平移就是图形上所有点的平移，平移不改变图形的形状和大小 关于x轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，将点A(3,-2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，求点B的坐标 答案：B(1,2) 解析：向左平移2个单位，横坐标3-2=1；向上平移4个单位，纵坐标-2+4=2，故B(1,2)。 ☆ 4.坐标方法的简单应用 利用坐标表示地理位置：先选原点、确定x轴y轴正方向和单位长度，再描点写坐标 点坐标规律探索题：按规则写出前若干个点的坐标，观察下标与坐标的循环规律，再求目标点 格点三角形面积常用割补法：外接矩形面积减去周围直角三角形面积 平行于坐标轴的线段上两点距离等于相应坐标差的绝对值 概念辨析例题：已知A1(1,0)，A2(1,1)，A3(-1,1)，A4(-1,-1)，A5(1,-1)，A6(1,0)，…按此规律循环，求A8的坐标 答案：A8(-1,1) 解析：观察发现每4个点一循环，8÷4=2余0，对应循环中第4个点的位置，按规律递推得A8(-1,1)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有序数对 记作(a,b)，顺序固定 (a,b)与(b,a)一般表示不同位置 平面直角坐标系 互相垂直、有公共原点的两条数轴 坐标轴上的点不属于任何象限 点的坐标 P(a,b)，a为横坐标、b为纵坐标 先横后纵，括号内用逗号分隔 点到坐标轴的距离 到x轴距离=|b|，到y轴距离=|a| 距离非负，与坐标符号无关 点的平移 右加左减横坐标，上加下减纵坐标 平移不改变图形的形状和大小 象限符号 一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-) 坐标轴上的点不属于任何象限 ⚠️ 核心考点 【考点1】有序数对与位置的确定（第1-9题） · 有序数对中两个数的顺序不能随意交换，先读「排/列」后读「座/号」 · 实际问题中先根据已知点坐标确定原点位置和坐标轴方向，再写出其他点坐标 · 建立坐标系时通常以正东为x轴正方向、正北为y轴正方向 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点B的位置是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）从学校向东走，再向南走到达小伟家；从学校向南走，再向西走到小亮家，则小亮家在小伟家的________. 3．（24-25八年级上·福建三明·期中）在某表格里，如果用表示第3行第10列，那么第7行第5列用坐标表示为________． 4．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）电影票上写着“9排12座”，如果把“9排12座”记作，那么电影票“8排7座”记作________． 5．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如果将电影票上“5排2号”简记为，那么“2排5号”可简记为__________． 6．（25-26七年级下·内蒙古·阶段检测）山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的三个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为，则壶口瀑布的坐标为_________． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为( )． 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图所示的是天安门周围的景点分布示意图，若以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立坐标系，表示人民大会堂的坐标为，表示美术馆的坐标为，“天安门—故宫—景山”所在的直线称为北京城的中轴线，在王府井的小雅同学如果要在最短的时间内（速度相同）赶到中轴线上，则小雅应该直接到达中轴线上的点的坐标为________． 9．（23-24七年级下·青海果洛·期中）如图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示． (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列这个游乐设施的位置：跷跷板______； (2)秋千的位置是，请在图中标出来； (3)旋转木马在大门以东，再往北处，请在图中标出来． 【考点2】点的坐标与象限（第10-27题） · 记牢象限符号：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-) · 点到x轴距离=|纵坐标|，到y轴距离=|横坐标|，注意分类讨论 · x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；平行于x轴的直线上点纵坐标相同 · 已知点所在象限求参数时，把坐标符号转化为不等式（组）求解 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知点在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若点在x轴上，则点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（24-25七年级下·重庆·期中）点的横坐标是，且到轴的距离为1，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 14．（23-24七年级下·山东滨州·阶段检测）下列说法中，正确的结论的个数是(　　) ①点到x轴距离是3；②若，则点在y轴上；③如果，2.872，那么约等于；④点的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在第二象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，两个顶点的坐标为，，平行于轴，则顶点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 16．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．4或 17．（2025·吉林长春·模拟预测）若点在轴上，则点的坐标是_______． 18．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若点在x轴上，则a的平方根为___________． 19．（24-25七年级下·江西上饶·阶段检测）若点在轴上，则点的坐标为______． 20．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 21．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，若点到x轴的距离为3，则a的值是______． 22．（20-21七年级下·贵州黔西南·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为______． 23．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知点是平面直角坐标系中的点： (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点P的纵坐标比横坐标大6，求点P在第几象限？ (3)若点P在第二、四象限的角平分线上，求m的值． 24．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知在平面直角坐标系中，点在轴上，求的值及点的坐标． 25．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知点到轴的距离是2，到轴的距离是3，且点在轴的上方，求点的坐标． 26．（23-24七年级下·广东珠海·期中）已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点P在第一象限且点P到x轴的距离为2 27．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点， (1)若点在轴上，则的值为______； (2)若线段与轴平行，则的值为______； (3)若点到两坐标轴的距离相等，求的值． 【考点3】坐标系中点的平移（第28-31题） · 平移规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减 · 图形平移后对应点的平移方式相同，可由一组对应点确定平移方式 · 关于x轴对称横坐标不变、纵坐标相反；关于y轴对称纵坐标不变、横坐标相反 28．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 29．（24-25九年级上·重庆·开学考试）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 30．（22-23八年级下·四川成都·阶段检测）已知点将它先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到点，则点的坐标是______． 31．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是___________ 【考点4】点坐标规律探索（第32-40题） · 先按规则写出前几个点的坐标，观察下标与坐标的循环周期 · 用目标下标除以周期，根据余数确定它落在循环中的位置 · 新定义题要把定义逐字转化为坐标运算，逐个代入选项检验 32．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿长方形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿长方形的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·黑龙江·阶段检测）如图，已知，，按这样的规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第1次向上平移1个单位长度至点，接着又向右平移1个单位长度至点，然后再向上平移1个单位长度至点，向右平移1个单位长度至点，，照此规律平移下去，点A平移至点时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知坐标，，，，，，，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 36．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）学习了平面直角坐标系后，初一(1)班的同学组成了数学课外小组，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，其中表示非负实数a的整数部分，例如：按此方案，第棵树种植点为(  ) A． B． C． D． 37．（25-26七年级下·广东广州·期末）已知点，点为平面直角坐标系内一动点，则线段的最小值为________． 38．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，若规定以下两种变换： ①②，例如按照以上变换有：；．则________． 39．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）小颖同学观看台球比赛，从中受到启发，把它抽象成数学问题：如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，若不考虑阻力，小球运动的轨迹如图所示，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球所在的位置用坐标表示是_______． 40．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为．一只蜘蛛从点出发以每秒2个单位长度的速度沿循环爬行，则第627秒时蜘蛛所处位置的坐标为_______． 【考点5】平移作图与坐标面积综合（第41-52题） · 平移作图：先平移关键点，再顺次连接 · 格点三角形面积用割补法：外接矩形面积减去周围直角三角形面积 · 面积存在性问题先设点坐标，再根据面积公式列方程求解 41．（25-26八年级下·北京·阶段检测）某校七年级学生共180人参加了“强国有我”知识竞赛，老师从中随机抽取了15个学生进行了成绩统计，图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．据此可以推断，全年级学生中国家安全知识竞赛成绩不低于航天知识竞赛成绩的学生有________人． 42．（25-26七年级下·天津河西·期中）在平面直角坐标系中，有四个点，，顺次连接点A，B，C，D，则四边形的面积为__________． 43．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，平移三角形，使点A平移到点的位置，点B、C的对应点分别是点、，请画出平移后的三角形，并写出点的坐标． 44．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为． (1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形； (2)将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点D，请直接写出点D的坐标． 45．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．    (1)画出关于x轴的对称图形，点的坐标为 ． (2)将沿x轴方向向左平移3个单位，向下平移2个单位后得到，直接写出顶点，，的坐标． 46．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上． (1)描出A，C两点的位置，写出点B的坐标； (2)连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的． 47．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：，，．将先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到，且点的对应点分别为点． (1)在图中画出； (2)点的坐标为______． 48．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上． (1)若把先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，画出平移后的图形，并写出，，的坐标； (2)求的面积． 49．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图所示的方格纸中每个小正方形都是边长为1个单位长度的小正方形，在平面直角坐标系中，已知． (1)描出A，B，C，D四点的位置，并顺次连接； (2)把四边形向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到四边形，画出平移后的四边形． 50．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为．若三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点的对应点分别是． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)若三角形内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为______； (3)求三角形的面积． 51．（24-25七年级下·广东广州·阶段检测）如图每个格为单位1． (1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，在第 象限； (2)平移三角形，使点A移动到点，点B移动到点，点C移动到点．画出平移后的； (3)求三角形的面积（写过程） 52．（23-24七年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系内，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，，将三角形向右平移3格，再向下平移4格，得到三角形，其中点A，B，C的对应点分别为点．    (1)画出三角形； (2)写出点的坐标：（______），（______），（______）； (3)三角形的面积是______． 💯 课后巩固 复习建议 · 每天默写一遍四个象限的符号特征和坐标轴上点的坐标特征，做到脱口而出 · 整理本讲义52道考点题，遮住答案重做一遍，错题标注错因（符号错、漏解、平移方向反） · 点坐标规律题坚持「先写前4个点找周期」的固定步骤，不要凭感觉猜 · 平移作图题用铅笔在方格纸上动手画，确认对应点坐标变化后再连线 · 课后18道作业题限时40分钟完成，对照答案逐题订正，重点检查分类讨论是否漏解 【作业1】（22-23七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们将称为点M与点N的“横k倍直角距离”，已知点，下列四个点中是点A的“横2倍直角距离”等于3的点为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【作业2】（24-25七年级下·重庆南川·期末）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【作业3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【作业4】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如果将阶梯教室中的3排6座用表示，那么表示的是（    ） A．6排3座 B．3排6座 C．6排6座 D．3排3座 【作业5】（23-24七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，……这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的立方根是（    ） A． B． C． D． 【作业6】（24-25八年级下·江西吉安·期中）已知点A，B的坐标分别为．将线段沿某个方向平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【作业7】（25-26七年级下·福建厦门·期中）平面直角坐标系中，点到轴的距离为___________；到轴的距离为___________． 【作业8】（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，，，，，按此规律，点的坐标为______． 【作业9】（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为________． 【作业10】（25-26七年级下·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的值可以为________． 【作业11】（25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为______________． 【作业12】（25-26七年级下·北京丰台·期末）如图是某公园部分景点位置的示意图，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长．表示牡丹园的点的坐标为，表示游乐园的点的坐标为，那么表示喷水池的点的坐标为____________ ；如果经过西门的道路a与x轴平行，那么从牡丹园到道路a的距离是_____ ． 【作业13】（23-24八年级上·河南商丘·期末）若将点向上平移个单位长度得到点，点关于轴的对称点坐标仍是，则______． 【作业14】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)在图中画出平移后的三角形，并写出平移后各顶点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点为轴上一动点，当三角形的面积是6时，直接写出点的坐标． 【作业15】（24-25七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)先将向上平移3个单位，再向左平移3个单位，得到，请你在坐标系中画出，并写出点、的坐标； (2)在（1）的条件下，若点是线段上任意一点，则在轴上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由． 【作业16】（22-23七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，使点A与点B重合，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接． (1)求点C的坐标； (2)当三角形面积是三角形的面积的3倍时，求点D的坐标． 【作业17】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，且，． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)将线段平移得到线段，点A的对应点是点C，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，过点D作轴于点E，请问在射线上，是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【作业18】（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点（与坐标原点O不重合），对于任意一点，给出如下定义： 若点Q的坐标为（），则称点Q为点P关于点M的“k倍位移点”． 已知点，，，． (1)点C关于点A的“2倍位移点”的坐标是______； (2)点E在线段上，过点作x轴的垂线l，若直线l上存在点D关于点E的“2倍位移点”，求m的取值范围； (3)已知点，，，，点在正方形的边上，且，．若对于正方形边上的任意一点P，线段上都不存在点P关于点M的“k倍位移点”，直接写出k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $