专题二 ·期中综合复习·培优提升讲义（第11～13章） ·2026--2027学年沪科版八年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （第11~13章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会根据点的坐标判断所在象限，并由象限符号列不等式求字母取值范围 · 能在平面直角坐标系中进行点的平移、求点到坐标轴的距离并探索坐标规律 · 理解函数与一次函数的概念，会画一次函数图象并由图象判断 k、b 的符号与增减性 · 会用待定系数法求一次函数解析式，能用一次函数解决方程、不等式与实际应用问题 · 掌握三角形三边关系、内角和与外角性质，能判断命题真假并进行简单推理证明 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系与点的坐标 在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系，点的坐标记作有序数对（a，b） 四个象限的符号特征：第一象限（+，+）、第二象限（−，+）、第三象限（−，−）、第四象限（+，−）；坐标轴上的点不属于任何象限 点到 x 轴的距离为纵坐标的绝对值｜b｜，到 y 轴的距离为横坐标的绝对值｜a｜ 点的平移：向右（左）平移横坐标加（减），向上（下）平移纵坐标加（减），即（a，b）右移 m、下移 n 得（a+m，b−n） 概念辨析例题：若点 P（2m−1，3−m）在第二象限，求 m 的取值范围。 答案：＜m＜3 解析：第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，故列不等式组 2m−1＜0 且 3−m＞0，解得 m＜ 且 m＜3，取交集得 m＜。注意第二象限横坐标必须小于 0。 ☆ 2.函数与一次函数的概念 在一个变化过程中，对于自变量 x 的每一个确定的值，因变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数 函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法，三者可以相互转化 形如 y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数；当 b=0 时 y=kx 叫做正比例函数，是特殊的一次函数 自变量取值范围要使实际问题与代数式有意义，如分母不为零、被开方数非负 概念辨析例题：下列关系中，y 不是 x 的函数的是（　）A．正方形面积随边长变化　B．一天内某个气温对应的时间　C．路程一定时路程随速度变化　D．圆的面积随半径变化 答案：B 解析：判断函数关系的关键是「对 x 的每一个值，y 是否唯一确定」。同一气温在一天中可能对应多个时刻，故时间不是气温的函数；其余选项中每个自变量值都对应唯一的因变量值。 ☆ 3.一次函数的图象、性质与应用 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，与 y 轴交于（0，b），与 x 轴交于（−，0） k＞0 时 y 随 x 增大而增大，图象从左到右上升；k＜0 时 y 随 x 增大而减小，图象从左到右下降 b 决定直线与 y 轴交点位置；k、b 的符号共同决定直线经过的象限 求解析式用待定系数法：设 y=kx+b，代入已知两点坐标解关于 k、b 的二元一次方程组 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式紧密联系：kx+b=0 的解即图象与 x 轴交点的横坐标，kx+b＞0（＜0）的解集即图象在 x 轴上（下）方对应的 x 范围 概念辨析例题：一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则 k、b 的符号是（　） 答案：k＜0，b＞0 解析：图象经过第二、四象限说明 y 随 x 增大而减小，故 k＜0；图象与 y 轴交于正半轴，故 b＞0。由 k、b 符号可反过来判断直线所过象限。 ☆ 4.三角形中的边角关系、命题与证明 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形，只需检验较短两边之和是否大于最长边 三角形三个内角和等于 180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与它不相邻的内角 三角形的中线、高、角平分线都是线段；角平分线把内角分成两个相等的角 判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论组成；正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，说明假命题只需举一个反例 概念辨析例题：已知三角形三个内角度数之比为 1∶2∶3，判断该三角形的形状。 答案：直角三角形 解析：设三个内角分别为 x、2x、3x，由内角和 180° 得 x+2x+3x=180°，解得 x=30°，三个角为 30°、60°、90°，故为直角三角形。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 象限符号 第一（+，+）、第二（−，+）、第三（−，−）、第四（+，−） 坐标轴上的点不属于任何象限 点的平移 右加左减横坐标，上加下减纵坐标 平移不改变点的形状与相对位置 一次函数 y=kx+b（k≠0），b=0 时为正比例函数 k≠0 是一次函数的必要条件 图象与性质 k＞0 上升，k＜0 下降；b 为与 y 轴交点纵坐标 由 k、b 符号判断直线经过的象限 三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 只需检验较短两边之和 内角和与外角 内角和 180°；外角等于不相邻两内角之和 外角大于任一不相邻内角 ⚠️ 核心考点 【考点1】点的坐标与象限符号（第1-4题） · 牢记四个象限的符号特征，画象限图辅助判断 · 由点在某一象限列不等式（组）求字母范围 · 坐标轴上的点坐标特征：x 轴上纵坐标为 0，y 轴上横坐标为 0 1．（2026八年级下·上海·专题练习）已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】此题考查第二象限内点的坐标特点，根据第二象限点的横坐标为负求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）平面直角坐标系中点不可能在第__________象限． 【答案】二 【知识点】求不等式组的解集、判断点所在的象限 【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的取值范围，分类讨论是解题的关键．假设点P分别是第一象限、第二象限、第三象限、第四象限的点，建立不等式组求解即可． 【详解】解：①假设点P是第一象限的点， 则， 解得：； ②假设点P是第二象限点， 则， ∴不等式组无解； ③假设点P是第三象限的点， 则， 解得； ④假设点P是第四象限点， 则， 解得， 故答案为：二． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出a的值，再代入得到点B的坐标，最后根据各象限点的坐标特征判断点B所在象限． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 4．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，当直线轴时，求点的坐标． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】根据直线与x轴平行，则直线上的所有点的纵坐标相同，由此即可求解． 【详解】解：∵直线轴，，， ， 解得， ， ∴点P的坐标为． 【考点2】坐标系中的平移、距离与规律探索（第5-11题） · 按「右加左减、上加下减」写平移后坐标 · 点到 x 轴距离看纵坐标绝对值，到 y 轴距离看横坐标绝对值 · 规律题从横、纵坐标分别入手，找循环节或通项 5．（21-22九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到点Q，则点Q的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：点向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到点Q， ∴点Q的坐标为，即． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（   ） A．7 B．21 C．23 D．35 【答案】D 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题主要考查了有序实数对确定位置，根据数列的排列规律得出第7、8行的数字，再依据题干规定的有序数对的定义得出答案，熟练掌握其变化规律是解决此题的关键． 【详解】由题意知，第7行的数字为1、6、15、20、15、6、1， 第8行的数字为1、7、21、35、35、21、7、1， ∴表示的正整数是35， 故选：D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立直角坐标系，则点的坐标是______________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标规律是解答本题的关键．根据以点为原点重新建立直角坐标系，点的横坐标与纵坐标分别为点的横坐标与纵坐标的相反数解答． 【详解】解：以为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为， 那么若以点为原点建立平面直角坐标系，则点在点左3个单位，下4个单位处， 故点坐标为． 故答案为： 8．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    【答案】或或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】根据点A，点B，点C的坐标求出三角形的面积，则可得到三角形的面积，再分两种情况：点D在x轴上和点D在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 当点D在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为或（舍去）， ∴点D的坐标为； 当点D在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或． 9．（20-21七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)的面积为______； (2)将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全； (3)若连接，，则这两条线段之间的关系是______； 【答案】(1) (2) 如图所示，即为所求； (3)， 【知识点】利用网格求三角形面积、利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】本题考查了作图-平移变换与三角形的面积，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式结合网格即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）由图形可知，若连接，，则这两条线段之间的关系是 ，． 【详解】（1）解：如图， 的面积 故答案为：8； （2）略 （3）连接，， 根据平移的性质可得，． 故答案为：，． 10．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形（点、、的对应点分别为、、），在图中画出三角形，并写出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2) 如图，三角形即为所求． 由图可得，点的坐标为． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图) 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由图可得出答案． （2）根据平移的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，，，； （2）解：略． 11．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、和， ，将线段平移到的位置． (1)求点的坐标； (2)点为轴正半轴上一动点，连接，． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，求点的坐标，此时、和有何数量关系？请直接写出它们的关系，不需证明． 【答案】(1) (2)①证明：如图，作， 由平移的性质得：， ， ∴，． ∵， ∴． ②点的坐标为， 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可求得，的值，即可求出点，的坐标，再根据平移的性质即可求得点的坐标； （2）①作，则，可得 ，，根据即可求证；②设点的坐标为，，则，分两种情况讨论：当点在线段上时，，求出点的值，不符合题意，舍去；当点在线段的延长线上时，，求出点的值，即可得出点的坐标；过点作，则，可得，，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解∵， ∴，． ，． ，． ∴． 由平移的性质得：，， ， ． （2）解：①略 ②∵， ∴． 设点的坐标为， 当点在线段上时，即， 则， 解得， ∵， ∴此种情况不成立． 如图，当点在线段的延长线上时，即， 则， 解得， ． 此时，． 如图，过点作， ∵， ， ∴，． ∵， ∴． 【考点3】函数的概念与三种表示（第12-15题） · 紧扣「每个 x 对应唯一 y」判断函数关系 · 会在解析式、列表、图象三种表示间转化 · 实际问题要注意自变量取值范围 12．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为________，该汽车最多可行驶____小时． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查变量之间的关系，涉及关系式表示的变量间关系及解一元一次方程等知识，根据题意，油箱剩余油量油箱原有油量消耗油量即可得到关系式；令解方程即可得到该汽车最多可行驶时间，读懂题意得到与的关系式是解决问题的关键． 【详解】解：汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升， 油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为； 当时，，解得， 则该汽车最多可行驶小时； 故答案为：；． 13．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知等腰三角形周长为25，底边长y关于腰长x的函数解析式为_______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、等腰三角形的定义 【详解】解：由题意得：底边长y关于腰长x的函数解析式为， 根据三角形三边关系可得：，且， ∴． 14．（23-24七年级下·山西运城·期中）运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表： 请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式：________． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查观察表格规律求关系式问题，找出表格中的规律是解答此题的关键. 销售总价y是一个整数加一个小数的形式，通过观察发现分别是：，，，……，从而得到销售总价y与销售量x之间的关系. 【详解】解：观察表格即可得到：当时，， 当时，， 当时， … ∴销售总价（元）与销售量之间的关系式为 故答案为：. 15．（24-25七年级下·陕西西安·期末）我校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是___________； (2)若护栏总长度为125米，求此时立柱的根数． 【答案】(1) (2)护栏总长度为125米时立柱的根数为40根 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．即可得y与x之间的关系式； （2）当时，代入y与x之间的关系式，求解． 【详解】（1）解：根据题意，每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． 结合图形信息得出与之间的关系式为：； （2）解：当时，， 解得：， 即护栏总长度为125米时立柱的根数为40根． 【考点4】一次函数的图象与性质（第16-24题） · 由 k 的符号判断增减性，由 b 判断与 y 轴交点 · 根据直线经过的象限反推 k、b 符号 · 比较函数值大小可借助图象或代入计算 16．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，这是的函数图象，则的值可能是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象过第一、二、四象限，从而可得答案． 【详解】解：根据题意得，一次函数的图象过第一、二、四象限， 则，， ∴符合题意； 故选：A． 17．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴与异号， ∴， 故选：A 18．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】A 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小即可． 【详解】∵一次函数 中，比例系数 ， ∴随的增大而减小，即纵坐标越小，对应的横坐标越大， 比较三点的纵坐标可得：， ∴对应横坐标的大小关系为：， ∴是三个数中最大的数． 19．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，若，则该函数图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 先由可判断与同号，再分两种情况讨论函数图象经过的象限，找出两种情况的公共象限即可判断． 【详解】解：∵， ∴与同号，分以下两种情况： ①当，时，则一次函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，则一次函数的图象经过第二、三、四象限； 综上，该函数图象一定经过第二、三象限． 故选：B． 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，分和两种情况，判断函数与图象所经过的象限，即可求解． 【详解】解：当时，函数的图象经过第一、二、四象限，的图像经过第一、三象限， 选项C满足条件； 当时，函数的图象经过第二、三、四象限，的图像经过第二、四象限， 四个选项均不满足； 故选：C． 21．（25-26八年级上·浙江台州·期末）若关于x的一次函数的图象经过点，且不经过第三象限，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，不等式的性质，本题先利用函数过已知点得到与的关系式，再根据一次函数不经过第三象限的性质确定的取值范围，最后将用表示后求出的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴将代入函数得： ∴ ∵一次函数图象不经过第三象限 ∴ 将代入得： 解得： ∴的取值范围为 ∵，将代入得： ∴ ∴ 即的取值范围为 故选：B． 22．（24-25八年级下·北京·期中）已知正比例函数满足随增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查正比例函数图象的性质．理解直线所在的位置与k的符号有直接的关系是解题的关键．当时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式求解即可． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴，解得． 故答案为：． 23．（23-24八年级上·江西抚州·期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， ，． 故答案为： ． 24．（22-23八年级下·吉林白山·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数与的图象．    【答案】 画图，如图所示．    【知识点】画一次函数图象 【分析】本题考查画一次函数的图象，描点，连线，画出图象即可。 【详解】解：∵， ∴当时，，， 当时，，， ∴过点；过点， 【考点5】求一次函数的解析式（第25-28题） · 待定系数法：设 y=kx+b，代入两点坐标 · 解二元一次方程组求出 k、b · 正比例函数只需一个点即可确定 25．（2026·山西吕梁·二模）香篆钟是我国古代利用香燃烧的速度来计时的一种方法，古人将香制成特定的形状，如篆文，香燃烧到一定的位置，就表示过去了一定的时间．研究发现某款香篆钟所用香的剩余长度（单位：）与燃烧时间单位：）满足我们学过的某种函数关系，下表是记录的部分数据，则当时间为时，对应的剩余长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、列一次函数解析式并求值、求自变量的值或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】待定系数法求出函数关系式，然后求出函数值即可． 【详解】解：设函数关系为， 将代入关系式得， 解得， ∴， 检验，当时，，符合题意， ∴当时，， ∴对应的剩余长度为． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若一束光线从点射出，经过轴上的点沿射线方向反射出去，则反射光线所在直线的函数表达式为________． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查一次函数解析式的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，先求直线的解析式，然后求直线与轴的交点的坐标，根据镜面知：和直线与轴的交点关于轴对称，则可求的坐标，然后根据待定系数法求反射光线所在的直线的函数表达式即可． 【详解】解：设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点的坐标为， 根据镜面知：和关于轴对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． 故答案为：． 27．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、点坐标规律探索、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．首先，根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标；然后，将点的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，则． ∵是等腰直角三角形，， ∴． ∴点的坐标是． 同理，在等腰直角中，，则． ∵点均在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴该直线方程是． ∵点的横坐标相同，都是3， ∴当时，，即，则， ∴． ， ∴当时，， 即点的坐标为． ∴的坐标为． 故答案为：． 28．（21-22八年级下·云南昆明·期中）通过以后的学习，同学们会发现一个有趣的结论： 当直线与直线中的时，两直线互相垂直；反之亦然，即：若两直线互相垂直，（、均不为0）．下面，请同学们利用上面的结论和学过的知识解决以下问题： (1)若直线过点，和点，直接写出该直线的函数解析式． (2)若直线过点，请问：直线与（1）中直线互相垂直吗？试说明理由． 【答案】(1) (2)直线与（1）中直线不垂直．理由： 将点代入直线，可得， 因为，故两直线不垂直． 【知识点】求一次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，根据两直线互相垂直的条件进行判断即可． 【详解】（1）解：设该直线的解析式为，直线过点，和点， 则， 解得， 直线的函数解析式为； （2）略 【考点6】一次函数与方程、不等式（第29-31题） · 方程 kx+b=0 的解即图象与 x 轴交点横坐标 · 不等式解集看图象在 x 轴上方（下）方对应的 x 范围 · 两直线交点坐标即对应方程组的解 29．（25-26八年级下·天津河东·期末）如图是函数与的图象，下列结论正确的是（     ） A．关于的方程的解为 B．关于的不等式的解集为 C．关于的方程组的解为 D．当时， 【答案】C 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据函数图象一一判断即可． 【详解】解：根据函数图像可知：关于的方程组的解为，故C正确， 则关于的方程的解为，故A错误； 当时，即直线在直线的上方，即， 即关于的不等式的解为，故C错误， 当时，，当时，，故D错误； 30．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，直线（k，b是常数，与直线交与点，则关于x的不等式，的解集为______________． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键．结合函数图象，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴时，， ∴关于x的不等式的解集为：． 故答案为：． 31．（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，直线和交于点，关于的不等式的解集为________． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】将不等式变形为，即函数的图象在函数图象的上方，故可得不等式的解集． 【详解】解：∵， ∴， 由图象得，直线和交于点， 当时，函数的图象在函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故不等式的解集为． 【考点7】一次函数的实际应用与综合（第32-41题） · 先读懂图象，分段求解析式 · 利润、行程问题注意自变量取值与端点 · 几何综合题把坐标转化为线段长度 32．（24-25九年级下·江苏常州·阶段检测）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了新定义—“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． 的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时，，得到． 【详解】解：中，当时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ， ， 当直线过时，， ， ， ∴的取值范围为或． 故m的值可以为， 故选：B． 33．（2026·河北邯郸·一模）在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度，按上述要求将点连续平移3次的过程如图所示，当点第一次落在y轴上时，停止移动． 嘉嘉说：当点第一次落在轴上时，n的值是10； 淇淇说：若直线（）使得这些点分布在它的两侧，每侧点的数量相等，则k的取值范围是． 对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【知识点】一次函数与几何综合、点坐标规律探索、利用平移的性质求解 【分析】按照题意要求，经过平移，确定的值，即可判定嘉嘉的说法是正确的，先确定直线经过定点，利用每侧需要分布5个的边界点求出的值，进而即可判定淇淇的说法是正确的． 【详解】解：∵：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， 此时第一次落在y轴上， ∴当点第一次落在y轴上时，n的值是10，嘉嘉的说法是正确的； ∵， ∴直线经过定点， ∵， ∴这些点共有个，分布在直线的两侧，每侧点的数量相等， ∴每侧需要分布5个， ①当直线经过和时，代入解析式得，，解得，此时在直线上， ②当直线经过和时，代入解析式得，，解得，此时在直线上， ∴当时，如图所示，直线两侧各分布5个，个数相等， ∴淇淇的说法是正确的． 34．（青岛版八年级上学期期末必刷易错84题（28个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版））在平面直角坐标系中,已知点,其中．若在线段上存在点Q,使得点N,Q关于正比例函数的图象对称,则n的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中一次函数图象的有关内容，根据平面直角坐标系中一次函数图象的有关知识进行分析，熟练掌握一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征是本题的解题关键． 【详解】因为，则点在函数的图象上， 当时，点在第二象限．    若，则的图象关于直线的对称图象与线段没有交点， 所以．   ①当与轴正半轴的夹角是时，点A关于的对称点在上． 且，设 可得， 解得（舍去）， 则，此时． ②当与轴正半轴的夹角大于时，关于的对称图象与线段没有交点． ③当与轴正半轴的夹角小于时，关于的对称图象与线段有交点， 当夹角为0度时，点的对称点为， 所以当与轴正半轴的夹角大于，且小于等于时， 的图象关于的对称图象与线段有交点，即在线段上存在点， 此时的取值范围是：， 故答案为：． 35．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值______． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或． 故答案为：． 36．（2024·陕西汉中·二模）2024年4月18日，西安市教育局召开全市践行“三个课堂”现场推进会．为了加强“三个课堂”建设，使“立德树人”在课堂深耕厚植，某校建成了一处劳动实践基地，计划将其全部用来种植蔬菜．经调查发现，某种蔬菜的种植成本（元/平方米）与其种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题： (1)请求出图中段与之间的函数关系式； (2)当这种蔬菜每平方米的种植成本不超过26元时，种植蔬菜的面积最大为多少平方米？ 【答案】(1)图中段与之间的函数关系式为 (2)种植蔬菜的面积最大为500平方米 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确解得段与之间的函数关系式是解题关键． （1）设图中段与之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，令，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：（1）设图中段与之间的函数关系式为， 根据题意，将点，代入， 可得，解得， ∴段与之间的函数关系式为； （2）对于函数，令， 可得，解得， ∴种植蔬菜的面积最大为500平方米． 37．（23-24八年级上·江西吉安·阶段检测）某商店准备购进甲乙两种服装共100件进行销售，其中甲种服装每件利润40元，乙种服装每件利润50元．设购进甲种服装（）件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)该店购进甲，乙服装各多少件时，才能使销售总利润最大？最大利润为多少元？ (3)实际进货时，厂家对甲服装的出厂价下调（）元，且限定该店最多只能购进甲服装60件．若该店保持售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100件服装总利润最大的进货方案． 【答案】(1) (2)当购进甲服装30件，乙服装70件时，总利润最大，为4700元 (3)购进60件甲服装，40件乙服装时，总利润最大 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、不等式的性质 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据总利润=甲种服装的利润+乙种服装的利润求解即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）先求出函数解析式，然后分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：∵，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为（元）． ∴当购进甲服装30件，乙服装70件时，总利润最大，为4700元； （3）解：． ①当时，即时，随的增大而增大， ∴当时，取最大值．即购进60件甲服装，40件乙服装时，总利润最大， 此时， ∵， ∴， ∴； ②当时，即时，． ∴当购进甲服装满足的整数时，均获得最大利润． ③当时，即时，随的增大而减小． ∴当时，取最大值，即购进30件甲服装，70件乙服装时，总利润最大， 此时， ∵， ∴， ∴． 综上可知，购进60件甲服装，40件乙服装时，总利润最大． 38．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，已知过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若与y轴交于点C，与x轴交于点A，则点A的坐标为________，点C的坐标为________，四边形的面积是________（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）设直线的解析式为，先利用直线求出点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先根据直线和的解析式求出点和点的坐标，然后利用即可求出结果． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴点在直线上， ∴在直线中，令，得：， ∴点为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴令，得：， ∴， ∵直线， ∴令，得：，解得：， ∴， 由（1）得：， ∴，， ∴． 39．（2023·贵州黔东南·二模）某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加．今年A，B两种型号车的进价和售价如下表： (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且A型车辆至少30辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？ 【答案】(1)今年A型车每辆售价元 (2)应进A型车30辆，B型车20辆.售完后获利最多 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）设今年型车每辆售价元，去年型车辆的售价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设今年进型车辆，则型车辆，总获利为元，根据题意得出关于的关系式，由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设今年型车每辆售价元，去年型车辆的售价为元， 由题意，得， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：今年型车每辆售价元； （2）解：设今年进型车辆，则型车辆，总获利为元， 则， 又， ∴随的增大而减小， 又， ∴当时，最大为， ∴应进型车30辆，型车20辆，售完后获利最多． 40．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，如图为容器顶部离水面的距离随时间分钟的变化图象． (1)求放入的长方体的高度； (2)求该容器注满水所用的时间； (3)若长方体铁块的底面积为，求圆柱体的底面积． 【答案】(1) (2)分钟 (3) 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，从函数图象获得信息，二元一次方程组的应用； （1）根据函数图象可得当时，水面到达长方体的上表面； （2）运用待定系数法分别求出的解析式，再由一次函数的性质结合自变量与函数值之间的关系就可以求出结论; （3）设圆柱体的底面积为，每分钟向容器内注水根据函数图象，结合（1）（2）的结论，列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，水面到达长方体的上表面， 长方体的高度为 （2）解：设所在直线与的函数关系式为、b为常数，且 将，和，代入， 得， 解得， 当该容器注满水时，， 即，解得， 该容器注满水所用的时间为21分钟． （3）解：设圆柱体的底面积为，每分钟向容器内注水 根据题意，得， 解得， 圆柱体的底面积为 41．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）数学社团张老师为了鼓励同学们，计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品．已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元；买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元． (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元？ (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个，求总费用（单位：元）与毛绒玩具的数量个（，且为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 【答案】(1)每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元 (2)与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个毛绒玩具价格为元，每个编程玩具价格为元， 由题意得，， 解得， 答：每个毛绒玩具价格为30元，每个编程玩具价格为40元． （2）解：由题意得编程玩具有个， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的最小值为， 答：与的关系式为（，且为整数），总费用至少要1360元． 【考点8】三角形的边角关系（第42-45题） · 判断三边关系只验较短两边之和 · 中线把对边分成相等两段 · 等腰三角形注意分类讨论腰与底 42．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，即“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．根据三角形三边关系判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B．，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C．，能组成三角形，故本选项符合题意； D．，不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 43．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，点从点出发以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    （1）当时，______； （2）当为等腰三角形时，______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程与动点问题，涉及了等腰三角形的定义，明确动点的运动初始位置、运动方向和运动速度是解题关键． （1）分别求出即可求解； （2）根据结合为等腰三角形可得即可建立方程求解． 【详解】解：（1）当时， ， 故答案为：12； （2）若为等腰三角形， ， 解得 故答案为： 44．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别是，的中点，若的面积是，则的面积为________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查三角形中线与面积，根据中线与面积的关系可直接求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∴， 又是的中点， ∴的面积的面积． 故答案为：16． 45．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知三条线段的长分别是．若它们能构成三角形，求整数的最大值和最小值． 【答案】整数的最大值是9，最小值5 【知识点】确定第三边的取值范围、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．利用三角形三边关系求出的取值范围，从中找出最大的和最小的整数即可． 【详解】解：∵三条线段的长分别是，能构成三角形， ，即， 因此整数的最大值是9，最小值5． 【考点9】三角形内角和与外角角度计算（第46-57题） · 内角和 180° 列方程求角 · 外角等于不相邻两内角之和，找准外角 · 角平分线与高结合时先画图标注已知角 46．（2024·陕西渭南·二模）如图，已知，为上方一点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质．延长交于，由三角形的外角性质可求出，再根据平行线的性质得即可． 【详解】解：如图，延长交于， ， ． 故选：C． 47．（2024·浙江宁波·一模）把含的直角三角尺和一把直尺摆放成如图所示的图形，能使与互余的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了平行线的性质，余角和补角，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．根据平行线的性质，余角和补角，三角形的外角性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ； 如图：延长交于点， ， ， 是的一个外角， ， ； 如图： ， ， ， ， ； 如图：过点作， ， ， ， ， ， ， ； 所以，能使与互余的图形有4个， 故选：D 48．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，沿翻折使得A与B重合，若，则______． 【答案】58 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠问题和三角形内角和，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题． 求出的度数，再根据翻折求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 由翻折可得，． 故答案为：58． 49．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段检测）若三角形三个内角的比是1:3:6，则最小的内角度数为___________． 【答案】/18度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理的应用．根据三角形的内角定理和及三个内角度数之比即可求解． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比是1:3:6，三角形的内角和为， ∴最小内角的度数为， 故答案为：． 50．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，一副三角板叠放在一起，则的度数是________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和以及三角板的度数，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据三角板的度数得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ． 故答案为：． 51．（16-17七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，分别是的高和角平分线，，，则______．    【答案】/15度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．先根据三角形内角和定理计算出，再根据三角形的高和角平分线的定义得到，，于是可计算出，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的高和角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 52．（2022八年级上·重庆九龙坡·专题练习）已知有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，且，则这个三角形的最大内角度数为______． 【答案】81或84 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理，分情况讨论满足“一个内角是另一个内角3倍”的所有情况，舍去不符合三角形内角和定理的情况，求解最大内角即可． 【详解】解：根据三角形内角和定理，的内角和为，已知，因此另外两个内角的和为，分情况讨论如下： 1．若，不符合三角形内角和定理，舍去该情况； 2．若，不符合三角形内角和定理，舍去该情况； 3．若，则，因此，此时三角形的最大内角为； 4．若，则，因此，此时三角形的最大内角为； 5．若，则，解得，，此时三角形的最大内角为； 6．若，则，解得，，此时三角形的最大内角为； 综上，这个三角形的最大内角度数为或，故答案为或． 53．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，为的一个外角，点，分别在边，上，若，则等于_______． 【答案】140 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用邻补角互补求角度 【分析】先根据，，，求出，再根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 54．（21-22七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，平分，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】由三角形的内角和可求得的度数，再由角平分线的定义可求得的度数，利用三角形的外角性质即可求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴． 55．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，的平分线交于点E，，．求的度数． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识点，先根据角平分线的定义求出，然后根据垂直的定义和三角形内角和定理即可求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 56．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 在利用平行线的性质解答角的问题时，有时需要添加辅助线来帮助解答．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中的原有条件联系在一起． 例：如图①，，M，N分别为直线上的点，E为之间一点，连接得到．请说明． 解：过点E作． 因为，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 【问题解决】 如图，，M，N分别为直线上的点． (1)如图②，E为之间一点，锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F，与交于点G． ①若，，求，的度数； ②若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图③，E，F均为之间的点，，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；；② (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，准确做出辅助线是解题关键 （1）如图，过点E作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和结合角平分线定义即可求出结果；过点E作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和结合角平分线定义即可求出结果； （2）过点作，过点F作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和即可求出结果； 【详解】（1）解：①如图，过点E作， ， ， ， ； ∵锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F ， ， ， ， ， ； ②如图，过点E作， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）如图，过点作，过点F作， ， ， ，， ， ，， ， 57．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，，，分别在，上，点在，之间，连接，． (1)如图1，当，时，_____． (2)如图2，平分，平分，此时和的数量关系是什么？请说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，在的上方有一点，连接，，平分，平分，求证：． 【答案】(1) (2) ，理由如下， 设，则，作，， 同理，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴； (3) 证明：设，， ∵平分，平分， ∴，，，， 由（2）知， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，三角形内角和定理，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过P作，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）设，则，作，，利用平行线的判定和性质求解即可； （3）设，，利用平行线的判定和性质求得，，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【考点10】命题与证明（第58-60题） · 分清命题的题设与结论 · 举反例可判定假命题 · 证明要步步有据，注意平行线性质与判定的区分 58．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．直线在同一平面内，若，则． B．直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． C．点与点到轴的距离相等，到轴的距离也相等． D．同位角相等 【答案】D 【知识点】判断命题真假、垂线段最短、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查平行线的判定、垂线段最短、点到坐标轴的距离以及平行线的性质等，根据平行线的判定与性质，垂线段最短，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行可知，A选项说法正确，不合题意； 直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，B选项说法正确，不合题意； 点与点到轴的距离为3，到轴的距离为5，C选项说法正确，不合题意； 两直线平行，同位角相等，D选项说法错误，符合题意， 故选：D． 59．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】判断命题真假、垂线段最短、两点间的距离、平行公理的应用 【分析】本题考查命题，几何公理，定义和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：∵ 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身， ∴ 命题①错误； ∵ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质， ∴ 命题②正确； ∵ 过一点作与已知直线平行的直线：如果点在直线外，有且只有一条；如果点在直线上，则没有（因为过直线上一点的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行）， ∴ 命题③错误； ∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的垂线不满足有且仅有一条． ∴ 命题④错误； 综上，真命题共1个． 故选：A． 60．（25-26八年级上·河北唐山·期中）通过第十三章《全等三角形》的学习，我们知道了能够完全重合的两个图形是全等图形． (1)写出“能够完全重合的两个图形是全等图形”的逆命题，并判断其真假； (2)如图，沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 【答案】(1)逆命题是：如果两个两个图形是全等图形，那么这两个图形能够完全重合，此命题是真命题 (2) 如图所示：（答案不唯一）． 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】本题考查了逆命题的定义、真假命题的判断以及全等图形的性质，解题的关键是掌握逆命题“题设与结论互换”的改写规则和全等图形“完全重合”的本质特征． （1）将原命题的题设和结论互换得到逆命题，结合全等图形的定义判断真假； （2）根据矩形的对称性和全等图形的面积、形状特征，沿虚线分割出两个能完全重合的图形． 【详解】（1）解：原命题的逆命题为“全等图形是能够完全重合的两个图形”； ∵ 全等图形的定义就是能够完全重合的两个图形，逆命题的题设与结论均符合定义， ∴ 该逆命题是真命题． （2）略 💯 课后巩固 复习建议 · 先回归课本，按第11、12、13章顺序默写象限符号、一次函数性质与三角形内角和公式 · 把本讲义 60 道考点题按考点重做一遍，错题用红笔标注错因 · 重点突破待定系数法与一次函数实际应用，每天精练 2 道解答题 · 三角形角度计算养成「先标图、再列式」的习惯，外角定理要找对外角 · 课后 20 道巩固题限时完成，对照答案订正后归纳同类题解法 【作业1】（25-26七年级下·四川内江·期中）若点在第四象限内，则所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别为：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，先根据点P的位置判断的正负，再推导点Q横纵坐标的正负，即可判断其所在象限． 【详解】解：点在第四象限， ，， 可得，， 点的横坐标为负，纵坐标为负，符合第三象限点的坐标特征， 故选：C． 【作业2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】举例说明假（真）命题、举反例 【分析】本题考查反证法，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题叫做反证法．根据反证法的要求举一个反例即可． 【详解】解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：， ∵，但是， ∴A正确； 故选A． 【作业3】（25-26八年级下·北京门头沟·期末）下列问题中的两个变量不是函数关系的是（     ） A．正方形面积随边长的变化而变化 B．一天内的时间随气温的变化而变化 C．某人的身高随年龄的变化而变化 D．时间不变，路程随速度的变化而变化 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应，则两个变量满足函数关系，据此判断各选项即可. 【详解】解：∵ 选项A中，给定正方形一个确定的边长，面积有唯一确定的值对应，∴ 是函数关系； ∵ 选项B中，两个变量为气温和时间，气温是自变量，给定一个确定的气温，一天中有多个不同的时间对应，没有唯一确定的值满足对应关系，∴ 不是函数关系； ∵ 选项C中，给定一个确定的年龄，人的身高有唯一确定的值对应，∴ 是函数关系； ∵ 选项D中，时间固定，给定一个确定的速度，路程有唯一确定的值对应，∴ 是函数关系． 【作业4】（23-24七年级下·云南昆明·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第31次运动后动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次运动到点， 第5次接着运动到点， …， ∴点P的横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮， ∵， 则经过第31次运动后，动点P的横坐标为31，纵坐标为2，即经过第31次运动后，动点P的坐标是：， 故选：A． 【作业5】（22-23七年级下·重庆万州·期中）如果三角形三个外角度数之比是，则此三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查的是三角形形状的判断，设三个外角分别是，根据判定即可． 【详解】解：∵三角形三个外角度数之比是， 设三个外角分别是，则 ∴此三角形一定是直角三角形． 故选：B． 【作业6】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知点，，，均在一次函数图象上，若，且，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由可得出与异号， 即随的增大而减小，再结合，可得出，对照四个选项后，即可得出结论，由，找出随的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：∵点，在一次函数图象上，且， ∴与异号， ∴随的增大而减小， 又∵，在一次函数图象上，且， ∴， ∴的取值可能是， 故选：． 【作业7】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）若点的坐标为，且点在第四象限，则______0．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点所在的象限：已知点所在的象限求参数，因为点的坐标为，且点在第四象限，得出，即可作答． 【详解】解：∵点的坐标为，且点在第四象限， ∴， 则， 故答案为：． 【作业8】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如果点的坐标为，则点到轴的距离为_______． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离 【详解】解：点坐标为，纵坐标为， 点到轴的距离为． 【作业9】（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得增减性，由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴， 故答案为：． 【作业10】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 【答案】小振 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了逻辑推理能力，解题的关键是根据题意进行合理的逻辑推理．根据给出的信息进行合理的逻辑推理即可． 【详解】解：小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛，小东既不是第一也不是最后一名，小新是第二名， 则小东是第三名， 因为小振的成绩在前三名，小启也不是第一名， 则小振是第一名，小启是最后一名， 故答案为：小振． 【作业11】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点D是的重心，连接并延长交于点E，，的周长比的周长大2，则的大小为______． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据题意可得是的中线，则，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵点D是的重心， ∴是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【作业12】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）直与x轴的交点坐标是，则b的值为________． 【答案】9 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法；把点代入求解即可； 【详解】解：把点代入得， 解得， 故答案为：9； 【作业13】（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在中，，的平分线相交于点O，、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据高、外角的定义以及三角形内角和定理求出，，的度数，设，，利用角平分线的定义用分别表示，利用三角形内角和求出，再次利用三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解： 、分别为边，边上的高， ， ，，， ， ， ， 设，， ，， ，的平分线相交于点， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 【作业14】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为______． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题主要考查确定函数关系式．根据表格得出相应规律，然后列出函数关系式即可． 【详解】解：由表得：海拔每上升米，沸点降低1度， ∴与的关系式为； 故答案为：． 【作业15】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，则的面积为______． 【答案】8 【知识点】利用网格求三角形面积、求点到坐标轴的距离 【分析】利用割补法，通过各顶点水平、竖直的线构成的长方形的面积减去三个小直角三角形的面积计算． 【详解】． 【作业16】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知命题“对于任意实数，都有”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)判断原命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)若，则为实数 (2) 假命题．理由： 当时，，不满足，因此原命题为假命题； 【知识点】判断命题真假、举反例、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题的逆命题构造以及真假命题的判断，关键是理解原命题的条件与结论，以及特殊值法在判断命题真假中的应用． （1）先拆分原命题的结构：原命题“对于任意实数，都有”中，条件是“是实数”，结论是“”．再将条件与结论互换，即可得到逆命题． （2）原命题是全称命题，要证明它为假，只需找到一个满足条件(实数)但不满足结论()的例子．如取，此时，不满足，由此可判定原命题为假． 【详解】（1）解：原命题“对于任意实数，都有”的条件为“是实数”，结论为“”，将条件与结论互换可得逆命题为“若，则为任意实数”； （2）略 【作业17】（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段检测）在中，三角形各内角的度数如图所示，求的度数． 【答案】． 【知识点】三角形内角和定理的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查三角形内角和定理；根据三角形内角和列方程计算即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ∴． 【作业18】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）写出下列各题中与之间的关系式，并指出是一次函数还是正比例函数． (1)每本笔记本元，买笔记本所花的钱数（元）与买到的笔记本的本数（本）之间的关系， (2)某地的地面气温为，如果高度每升高千米，气温下降，该地的气温与上升高度（千米）之间的关系． 【答案】(1)，是的正比例函数； (2)，是的一次函数． 【知识点】函数解析式、求一次函数解析式、正比例函数的定义 【分析】本题考查了一次函数，正比例函数定义，掌握一次函数，正比例函数定义是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式，然后通过正比例函数定义即可求解； （）根据题意列出函数关系式，然后通过一次函数函数定义即可求解． 【详解】（1）解：买笔记本所花的钱数与买到的笔记本的本书之间的关系为：， ∴是的正比例函数； （2）解：该地的气温与上升高度之间的关系为：， ∴是的一次函数． 【作业19】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象与y轴的交点在x轴下方时，求m的取值范围； (3)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）根据一次函数的性质可得当时，函数值y随x的增大而减小，求解即可； （2）根据一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方时，，求解即可； （3）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵直线中y的值随x的增大而减小， ∴， 解得，； （2）解：∵该函数图象与y轴的交点在x轴下方， ∴且， ∴且； （3）解：∵图象经过第一、三、四象限， ∴ 解得：， 故答案为：． 【作业20】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）春风和煦，鸟语花香，小李和小王从学校出发前往与学校相距3000米的开心农场．小李骑自行车匀速向农场驶去，小李出发7分钟后，小王沿着相同的路线匀速步行至农场．当小李到达农场休息了2分钟后，发现相机掉落在学校，就从原路以另一速度匀速返回学校拿相机，返回学校所用的时间是去农场所用时间的，拿到相机后（拿相机的时间忽略不计）立马以变速后的速度再次匀速向农场驶去，结果和小王同时到达农场．若两人与学校的距离y（单位：米）与小李出发的时间x（单位：分钟）的关系如图所示．请根据图中信息解决下列问题： (1)小王步行的速度为___________米/分； (2)求小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离； (3)小李出发多少分钟时，两人的距离为1200米？请直接写出所有答案． 【答案】(1) (2)小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离是米 (3)小李出发6分钟或19分钟或25分钟或31分钟时，两人的距离为1200米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据图象可知小王步行3000米需要的时间为分钟，再根据速度=路程÷时间进行计算； （2）设小李第一次到达农场所用的时间为m分钟．根据题意得，解得，再分别求出小李开始的速度和变速后的速度，设小李和小王第一次相遇时，小王走了分钟，根据题意列方程求解； （3）根据图象，分情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：小王步行的速度为（米/分） （2）解：设小李第一次到达农场所用的时间为m分钟． 由题意得，，解得． ∴小李开始的速度为（米/分）， 小李后来的速度为（米/分）， 设小李和小王第一次相遇时，小王走了分钟， 由题意得，， 解得， ∴， 答：小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离是米； （3）解：设小李出发分钟，两人的距离为1200米， 当时，，解得， 当时，两人的距离在变大， 当时，两人的距离在变小， 时，距离最小，此时距离为（米）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，小李出发6分钟或19分钟或25分钟或31分钟时，两人的距离为1200米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （第11~13章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会根据点的坐标判断所在象限，并由象限符号列不等式求字母取值范围 · 能在平面直角坐标系中进行点的平移、求点到坐标轴的距离并探索坐标规律 · 理解函数与一次函数的概念，会画一次函数图象并由图象判断 k、b 的符号与增减性 · 会用待定系数法求一次函数解析式，能用一次函数解决方程、不等式与实际应用问题 · 掌握三角形三边关系、内角和与外角性质，能判断命题真假并进行简单推理证明 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系与点的坐标 在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系，点的坐标记作有序数对（a，b） 四个象限的符号特征：第一象限（+，+）、第二象限（−，+）、第三象限（−，−）、第四象限（+，−）；坐标轴上的点不属于任何象限 点到 x 轴的距离为纵坐标的绝对值｜b｜，到 y 轴的距离为横坐标的绝对值｜a｜ 点的平移：向右（左）平移横坐标加（减），向上（下）平移纵坐标加（减），即（a，b）右移 m、下移 n 得（a+m，b−n） 概念辨析例题：若点 P（2m−1，3−m）在第二象限，求 m 的取值范围。 答案：＜m＜3 解析：第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，故列不等式组 2m−1＜0 且 3−m＞0，解得 m＜ 且 m＜3，取交集得 m＜。注意第二象限横坐标必须小于 0。 ☆ 2.函数与一次函数的概念 在一个变化过程中，对于自变量 x 的每一个确定的值，因变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数 函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图象法，三者可以相互转化 形如 y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数；当 b=0 时 y=kx 叫做正比例函数，是特殊的一次函数 自变量取值范围要使实际问题与代数式有意义，如分母不为零、被开方数非负 概念辨析例题：下列关系中，y 不是 x 的函数的是（　）A．正方形面积随边长变化　B．一天内某个气温对应的时间　C．路程一定时路程随速度变化　D．圆的面积随半径变化 答案：B 解析：判断函数关系的关键是「对 x 的每一个值，y 是否唯一确定」。同一气温在一天中可能对应多个时刻，故时间不是气温的函数；其余选项中每个自变量值都对应唯一的因变量值。 ☆ 3.一次函数的图象、性质与应用 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，与 y 轴交于（0，b），与 x 轴交于（−，0） k＞0 时 y 随 x 增大而增大，图象从左到右上升；k＜0 时 y 随 x 增大而减小，图象从左到右下降 b 决定直线与 y 轴交点位置；k、b 的符号共同决定直线经过的象限 求解析式用待定系数法：设 y=kx+b，代入已知两点坐标解关于 k、b 的二元一次方程组 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式紧密联系：kx+b=0 的解即图象与 x 轴交点的横坐标，kx+b＞0（＜0）的解集即图象在 x 轴上（下）方对应的 x 范围 概念辨析例题：一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则 k、b 的符号是（　） 答案：k＜0，b＞0 解析：图象经过第二、四象限说明 y 随 x 增大而减小，故 k＜0；图象与 y 轴交于正半轴，故 b＞0。由 k、b 符号可反过来判断直线所过象限。 ☆ 4.三角形中的边角关系、命题与证明 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形，只需检验较短两边之和是否大于最长边 三角形三个内角和等于 180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与它不相邻的内角 三角形的中线、高、角平分线都是线段；角平分线把内角分成两个相等的角 判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论组成；正确的命题叫真命题，错误的叫假命题，说明假命题只需举一个反例 概念辨析例题：已知三角形三个内角度数之比为 1∶2∶3，判断该三角形的形状。 答案：直角三角形 解析：设三个内角分别为 x、2x、3x，由内角和 180° 得 x+2x+3x=180°，解得 x=30°，三个角为 30°、60°、90°，故为直角三角形。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 象限符号 第一（+，+）、第二（−，+）、第三（−，−）、第四（+，−） 坐标轴上的点不属于任何象限 点的平移 右加左减横坐标，上加下减纵坐标 平移不改变点的形状与相对位置 一次函数 y=kx+b（k≠0），b=0 时为正比例函数 k≠0 是一次函数的必要条件 图象与性质 k＞0 上升，k＜0 下降；b 为与 y 轴交点纵坐标 由 k、b 符号判断直线经过的象限 三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 只需检验较短两边之和 内角和与外角 内角和 180°；外角等于不相邻两内角之和 外角大于任一不相邻内角 ⚠️ 核心考点 【考点1】点的坐标与象限符号（第1-4题） · 牢记四个象限的符号特征，画象限图辅助判断 · 由点在某一象限列不等式（组）求字母范围 · 坐标轴上的点坐标特征：x 轴上纵坐标为 0，y 轴上横坐标为 0 1．（2026八年级下·上海·专题练习）已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）平面直角坐标系中点不可能在第__________象限． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）若点在y轴上，则点在第________象限． 4．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，当直线轴时，求点的坐标． 【考点2】坐标系中的平移、距离与规律探索（第5-11题） · 按「右加左减、上加下减」写平移后坐标 · 点到 x 轴距离看纵坐标绝对值，到 y 轴距离看横坐标绝对值 · 规律题从横、纵坐标分别入手，找循环节或通项 5．（21-22九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，得到点Q，则点Q的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（   ） A．7 B．21 C．23 D．35 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立直角坐标系，则点的坐标是______________． 8．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    9．（20-21七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)的面积为______； (2)将经过平移后得到，图中标出了点的对应点，补全； (3)若连接，，则这两条线段之间的关系是______； 10．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形（点、、的对应点分别为、、），在图中画出三角形，并写出点的坐标． 11．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、和， ，将线段平移到的位置． (1)求点的坐标； (2)点为轴正半轴上一动点，连接，． ①当点在线段上时，求证：； ②当时，求点的坐标，此时、和有何数量关系？请直接写出它们的关系，不需证明． 【考点3】函数的概念与三种表示（第12-15题） · 紧扣「每个 x 对应唯一 y」判断函数关系 · 会在解析式、列表、图象三种表示间转化 · 实际问题要注意自变量取值范围 12．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为________，该汽车最多可行驶____小时． 13．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知等腰三角形周长为25，底边长y关于腰长x的函数解析式为_______，自变量x的取值范围是______． 14．（23-24七年级下·山西运城·期中）运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表： 请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式：________． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期末）我校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是___________； (2)若护栏总长度为125米，求此时立柱的根数． 【考点4】一次函数的图象与性质（第16-24题） · 由 k 的符号判断增减性，由 b 判断与 y 轴交点 · 根据直线经过的象限反推 k、b 符号 · 比较函数值大小可借助图象或代入计算 16．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，这是的函数图象，则的值可能是（   ） A．1 B． C．0 D． 17．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 18．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 19．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，若，则该函数图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·浙江台州·期末）若关于x的一次函数的图象经过点，且不经过第三象限，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·北京·期中）已知正比例函数满足随增大而减小，则的取值范围是______． 23．（23-24八年级上·江西抚州·期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是_____． 24．（22-23八年级下·吉林白山·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数与的图象．    【考点5】求一次函数的解析式（第25-28题） · 待定系数法：设 y=kx+b，代入两点坐标 · 解二元一次方程组求出 k、b · 正比例函数只需一个点即可确定 25．（2026·山西吕梁·二模）香篆钟是我国古代利用香燃烧的速度来计时的一种方法，古人将香制成特定的形状，如篆文，香燃烧到一定的位置，就表示过去了一定的时间．研究发现某款香篆钟所用香的剩余长度（单位：）与燃烧时间单位：）满足我们学过的某种函数关系，下表是记录的部分数据，则当时间为时，对应的剩余长度为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若一束光线从点射出，经过轴上的点沿射线方向反射出去，则反射光线所在直线的函数表达式为________． 27．（24-25八年级下·上海·阶段检测）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________ 28．（21-22八年级下·云南昆明·期中）通过以后的学习，同学们会发现一个有趣的结论： 当直线与直线中的时，两直线互相垂直；反之亦然，即：若两直线互相垂直，（、均不为0）．下面，请同学们利用上面的结论和学过的知识解决以下问题： (1)若直线过点，和点，直接写出该直线的函数解析式． (2)若直线过点，请问：直线与（1）中直线互相垂直吗？试说明理由． 【考点6】一次函数与方程、不等式（第29-31题） · 方程 kx+b=0 的解即图象与 x 轴交点横坐标 · 不等式解集看图象在 x 轴上方（下）方对应的 x 范围 · 两直线交点坐标即对应方程组的解 29．（25-26八年级下·天津河东·期末）如图是函数与的图象，下列结论正确的是（     ） A．关于的方程的解为 B．关于的不等式的解集为 C．关于的方程组的解为 D．当时， 30．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，直线（k，b是常数，与直线交与点，则关于x的不等式，的解集为______________． 31．（25-26八年级下·福建三明·期末）如图，直线和交于点，关于的不等式的解集为________． 【考点7】一次函数的实际应用与综合（第32-41题） · 先读懂图象，分段求解析式 · 利润、行程问题注意自变量取值与端点 · 几何综合题把坐标转化为线段长度 32．（24-25九年级下·江苏常州·阶段检测）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（   ） A． B． C． D．1 33．（2026·河北邯郸·一模）在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度，按上述要求将点连续平移3次的过程如图所示，当点第一次落在y轴上时，停止移动． 嘉嘉说：当点第一次落在轴上时，n的值是10； 淇淇说：若直线（）使得这些点分布在它的两侧，每侧点的数量相等，则k的取值范围是． 对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 34．（青岛版八年级上学期期末必刷易错84题（28个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版））在平面直角坐标系中,已知点,其中．若在线段上存在点Q,使得点N,Q关于正比例函数的图象对称,则n的取值范围是_______． 35．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知平面直角坐标系中有三点，若过点的直线将分成面积之比为两部分，则k的值______． 36．（2024·陕西汉中·二模）2024年4月18日，西安市教育局召开全市践行“三个课堂”现场推进会．为了加强“三个课堂”建设，使“立德树人”在课堂深耕厚植，某校建成了一处劳动实践基地，计划将其全部用来种植蔬菜．经调查发现，某种蔬菜的种植成本（元/平方米）与其种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息，解答下列问题： (1)请求出图中段与之间的函数关系式； (2)当这种蔬菜每平方米的种植成本不超过26元时，种植蔬菜的面积最大为多少平方米？ 37．（23-24八年级上·江西吉安·阶段检测）某商店准备购进甲乙两种服装共100件进行销售，其中甲种服装每件利润40元，乙种服装每件利润50元．设购进甲种服装（）件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)该店购进甲，乙服装各多少件时，才能使销售总利润最大？最大利润为多少元？ (3)实际进货时，厂家对甲服装的出厂价下调（）元，且限定该店最多只能购进甲服装60件．若该店保持售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100件服装总利润最大的进货方案． 38．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，已知过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若与y轴交于点C，与x轴交于点A，则点A的坐标为________，点C的坐标为________，四边形的面积是________（直接写出答案即可）． 39．（2023·贵州黔东南·二模）某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加．今年A，B两种型号车的进价和售价如下表： (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且A型车辆至少30辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？ 40．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，如图为容器顶部离水面的距离随时间分钟的变化图象． (1)求放入的长方体的高度； (2)求该容器注满水所用的时间； (3)若长方体铁块的底面积为，求圆柱体的底面积． 41．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）数学社团张老师为了鼓励同学们，计划购买一些毛绒玩具和编程玩具作为奖品．已知买3个毛绒玩具和2个编程玩具共需要170元；买2个毛绒玩具和3个编程玩具共需要180元． (1)求每个毛绒玩具和编程玩具各多少元？ (2)若张老师需购买毛绒玩具和编程玩具共40个，求总费用（单位：元）与毛绒玩具的数量个（，且为整数）之间的关系式，并求出总费用至少要多少元？ 【考点8】三角形的边角关系（第42-45题） · 判断三边关系只验较短两边之和 · 中线把对边分成相等两段 · 等腰三角形注意分类讨论腰与底 42．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 43．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，点从点出发以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    （1）当时，______； （2）当为等腰三角形时，______． 44．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别是，的中点，若的面积是，则的面积为________． 45．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知三条线段的长分别是．若它们能构成三角形，求整数的最大值和最小值． 【考点9】三角形内角和与外角角度计算（第46-57题） · 内角和 180° 列方程求角 · 外角等于不相邻两内角之和，找准外角 · 角平分线与高结合时先画图标注已知角 46．（2024·陕西渭南·二模）如图，已知，为上方一点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 47．（2024·浙江宁波·一模）把含的直角三角尺和一把直尺摆放成如图所示的图形，能使与互余的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，沿翻折使得A与B重合，若，则______． 49．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段检测）若三角形三个内角的比是1:3:6，则最小的内角度数为___________． 50．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，一副三角板叠放在一起，则的度数是________． 51．（16-17七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，分别是的高和角平分线，，，则______．    52．（2022八年级上·重庆九龙坡·专题练习）已知有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，且，则这个三角形的最大内角度数为______． 53．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，为的一个外角，点，分别在边，上，若，则等于_______． 54．（21-22七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，平分，求的度数． 55．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，的平分线交于点E，，．求的度数． 56．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 在利用平行线的性质解答角的问题时，有时需要添加辅助线来帮助解答．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中的原有条件联系在一起． 例：如图①，，M，N分别为直线上的点，E为之间一点，连接得到．请说明． 解：过点E作． 因为，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 【问题解决】 如图，，M，N分别为直线上的点． (1)如图②，E为之间一点，锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F，与交于点G． ①若，，求，的度数； ②若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图③，E，F均为之间的点，，请直接写出的度数． 57．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，，，分别在，上，点在，之间，连接，． (1)如图1，当，时，_____． (2)如图2，平分，平分，此时和的数量关系是什么？请说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，在的上方有一点，连接，，平分，平分，求证：． 【考点10】命题与证明（第58-60题） · 分清命题的题设与结论 · 举反例可判定假命题 · 证明要步步有据，注意平行线性质与判定的区分 58．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．直线在同一平面内，若，则． B．直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． C．点与点到轴的距离相等，到轴的距离也相等． D．同位角相等 59．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．（25-26八年级上·河北唐山·期中）通过第十三章《全等三角形》的学习，我们知道了能够完全重合的两个图形是全等图形． (1)写出“能够完全重合的两个图形是全等图形”的逆命题，并判断其真假； (2)如图，沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 💯 课后巩固 复习建议 · 先回归课本，按第11、12、13章顺序默写象限符号、一次函数性质与三角形内角和公式 · 把本讲义 60 道考点题按考点重做一遍，错题用红笔标注错因 · 重点突破待定系数法与一次函数实际应用，每天精练 2 道解答题 · 三角形角度计算养成「先标图、再列式」的习惯，外角定理要找对外角 · 课后 20 道巩固题限时完成，对照答案订正后归纳同类题解法 【作业1】（25-26七年级下·四川内江·期中）若点在第四象限内，则所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【作业2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【作业3】（25-26八年级下·北京门头沟·期末）下列问题中的两个变量不是函数关系的是（     ） A．正方形面积随边长的变化而变化 B．一天内的时间随气温的变化而变化 C．某人的身高随年龄的变化而变化 D．时间不变，路程随速度的变化而变化 【作业4】（23-24七年级下·云南昆明·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第31次运动后动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【作业5】（22-23七年级下·重庆万州·期中）如果三角形三个外角度数之比是，则此三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【作业6】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知点，，，均在一次函数图象上，若，且，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【作业7】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）若点的坐标为，且点在第四象限，则______0．（填“”“”或“”） 【作业8】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如果点的坐标为，则点到轴的距离为_______． 【作业9】（25-26八年级上·江苏常州·阶段检测）已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 【作业10】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 【作业11】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点D是的重心，连接并延长交于点E，，的周长比的周长大2，则的大小为______． 【作业12】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）直与x轴的交点坐标是，则b的值为________． 【作业13】（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在中，，的平分线相交于点O，、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为______． 【作业14】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的数据，请写出y与x的关系式为______． 【作业15】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，则的面积为______． 【作业16】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知命题“对于任意实数，都有”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)判断原命题的真假，并说明理由． 【作业17】（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段检测）在中，三角形各内角的度数如图所示，求的度数． 【作业18】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）写出下列各题中与之间的关系式，并指出是一次函数还是正比例函数． (1)每本笔记本元，买笔记本所花的钱数（元）与买到的笔记本的本数（本）之间的关系， (2)某地的地面气温为，如果高度每升高千米，气温下降，该地的气温与上升高度（千米）之间的关系． 【作业19】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象与y轴的交点在x轴下方时，求m的取值范围； (3)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【作业20】（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）春风和煦，鸟语花香，小李和小王从学校出发前往与学校相距3000米的开心农场．小李骑自行车匀速向农场驶去，小李出发7分钟后，小王沿着相同的路线匀速步行至农场．当小李到达农场休息了2分钟后，发现相机掉落在学校，就从原路以另一速度匀速返回学校拿相机，返回学校所用的时间是去农场所用时间的，拿到相机后（拿相机的时间忽略不计）立马以变速后的速度再次匀速向农场驶去，结果和小王同时到达农场．若两人与学校的距离y（单位：米）与小李出发的时间x（单位：分钟）的关系如图所示．请根据图中信息解决下列问题： (1)小王步行的速度为___________米/分； (2)求小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离； (3)小李出发多少分钟时，两人的距离为1200米？请直接写出所有答案． 学科网（北京）股份有限公司 $