第12章·函数与一次函数·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪科版八年级数学上册

第12章·函数与一次函数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解常量与变量、函数的概念，能在具体实例中识别自变量与函数关系 · 掌握函数的三种表示方法（解析式法、列表法、图象法），能从函数图象中读取并解读实际信息 · 理解一次函数与正比例函数的概念，能判断给定函数是否为一次函数或正比例函数 · 掌握一次函数的图象与性质，理解系数k、b对图象位置及增减性的影响 · 会用待定系数法求一次函数解析式，能综合解决一次函数与方程、不等式及实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.函数的概念 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数 函数的三要素：自变量的取值范围、对应法则、函数值；自变量取值范围要使代数式有意义且符合实际意义 当x=a时y=b，b叫做当自变量的值为a时的函数值 概念辨析例题：下列关系式中，y是x的函数的是（　　）①y=x；②y2=x；③y=|x|；④|y|=x 答案：①③ 解析：根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y必须有唯一确定的值与之对应。②中一个正数x对应两个互为相反的y值，④中一个正数x也对应两个y值，均不满足唯一性；①③中每个x都有唯一的y与之对应，故①③中y是x的函数。 ☆ 2.函数的图象与表示方法 函数的三种表示方法：解析式法（用数学式子表示函数关系）、列表法（用表格列出自变量与函数的对应值）、图象法（用图象表示函数关系） 画函数图象的步骤：列表、描点、连线；图象上任意一点(x，y)的坐标满足函数解析式 从图象中读取信息时，先看横纵轴表示的实际意义，再分析上升（增大）、下降（减小）、水平（不变）及交点、转折点的实际含义 图象与横轴的交点表示函数值为0的时刻，两图象的交点表示两个函数值相等 概念辨析例题：小明从家骑车上学，匀速行驶一段后因修车停下几分钟，修好后加快速度匀速赶到学校。下列图象能近似表示小明离家距离s与时间t关系的是（　　） 答案：先匀速上升一段，再水平一段（修车），最后以更陡的斜率上升的图象 解析：修车时时间增加而离家距离不变，图象为水平线段；修好后加速，相同时间内距离增加得更快，图象比第一段更陡。抓住「先上升—再水平—最后更陡上升」三段特征即可判断。 ☆ 3.一次函数与正比例函数的概念 一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数 当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数 判断一个函数是否为一次函数，关键看能否化为y=kx+b（k≠0）的形式，特别注意k≠0这一条件 一次函数自变量的取值范围一般为全体实数，实际问题中要根据实际意义确定 概念辨析例题：下列函数：①y=2x；②y=+1；③y=；④y=x2+1；⑤y=-3x+2。其中是一次函数的有（　　） 答案：①②⑤ 解析：一次函数要求自变量x的次数为1且系数不为0。①是正比例函数（特殊的一次函数），②可化为y=x+1，⑤是标准的一次函数；③中x在分母上，不是一次式；④中x的次数为2，是二次函数。 ☆ 4.一次函数的图象与性质 一次函数y=kx+b的图象是一条直线，画图象时常取它与两坐标轴的交点：与y轴交于(0，b)，与x轴交于(-，0) 当k>0时，y随x的增大而增大，图象从左到右上升；当k<0时，y随x的增大而减小，图象从左到右下降 b决定图象与y轴交点的位置：b>0交y轴正半轴，b<0交y轴负半轴，b=0过原点 k的绝对值越大，直线越靠近y轴（越陡）；两直线平行则k相等；直线平移时k不变，只改变b的值 概念辨析例题：一次函数y=-2x+3的图象不经过（　　）A．第一象限　B．第二象限　C．第三象限　D．第四象限 答案：C 解析：k=-2<0，直线从左到右下降；b=3>0，直线与y轴交于正半轴。直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 函数 在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应 强调「唯一确定」，一个x只能对应一个y 函数的表示 解析式法、列表法、图象法 三种方法可以相互转化，图象上的点满足解析式 一次函数 y=kx+b（k、b为常数，k≠0） k≠0是前提；x的次数必须为1 正比例函数 y=kx（k≠0），是b=0时的特殊一次函数 图象必过原点(0，0) 图象性质 k>0上升，k<0下降；b决定与y轴交点位置 |k|越大直线越陡；平移只改b不改k 待定系数法 设y=kx+b，代入已知点坐标得方程组，解出k、b 求一次函数解析式一般需要两个点的坐标 ⚠️ 核心考点 【考点1】函数的概念与变量间的关系（第1-7题） · 紧扣函数定义判断：一个自变量的值只能对应唯一的函数值，出现一对多的关系式一定不是函数 · 求自变量取值范围时分两种情况：代数式有意义（分母≠0、被开方数≥0等）与实际问题中的限制 · 函数值问题：把自变量的值代入解析式计算；反过来由函数值求自变量就是解方程 · 识别常量与变量时注意字母不一定都是变量，用已知数表示的字母仍是常量 1．（2025八年级下·全国·专题练习）研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 土豆产量（吨/公顷） 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 下列说法错误的是（   ） A．土豆产量是因变量 B．氮肥施用量是自变量 C．氮肥施用量是101千克/公顷时，土豆产量为32.2吨/公顷 D．氮肥施用量越大，土豆产量越高 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）函数，则＝______． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如果对于一切实数x，有，则的解析式是_________． 4．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件__________件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一位病人某天（0时时）体温的变化情况，观察图象变化过程，回答下列问题： (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)这个病人该天最高体温是__________，该天最低体温是 ； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧时间为多久？ 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图中的每个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有盆花，每个图案中花盆的总数是，按此规律推断，是的函数吗？如果是，你能用一个数学式子表示吗？ 7．（2023·广东广州·一模）已知． (1)化简T； (2)若点在一次函数的图像上，求T的值． 【考点2】函数的图象信息读取（第8-19题） · 读图先看横纵轴各表示什么量、单位是什么，再看图象的变化趋势（升、降、平） · 水平线段表示该量保持不变；上升表示增大，下降表示减小 · 两图象的交点表示同一时刻两个量相等；与坐标轴的交点表示其中一个量为0 · 实际问题图象要结合生活常识检验，如行程问题中的速度、停留、相遇等 8．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）.从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度d（）之间的关系图象如图2所示，已知是点P是该图象的顶点，根据图象，下列说法正确的是（    ）    A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 C．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 D．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 9．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）小亮同学骑自行车上学，刚开始以某一速度匀速行驶，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为离家的路程，为行驶时间），符合上述情况的是（     ）． A． B． C． D． 10．（12-13八年级下·浙江·开学考试）甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 11．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，将一个圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面，小水杯中有部分水．现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则大容器水面的高度（）与注水时间（）的关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·山东济南·阶段检测）A、B两地相距，甲车以的速度从A地驶往B地，乙车以的速度从B地驶往A地，两车同时出发，设乙车行驶的时间为，两车之间的距离为，则y与x之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·河南郑州·期末）受潮汐影响，某港口从0时到12时港内水深情况如图．港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于4 米时，才能进出该港．一艘吃水深度(即船底与水面的距离)为2米的轮船可以进出该港的时间长大约为（   ） A．3个小时 B．4 个小时 C．5个小时 D．6个小时 14．（24-25六年级下·山东淄博·阶段检测）一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为（），慢车离锦绣中学的距离为（），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（）．，与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当两车相距时，．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．（23-24八年级下·河南南阳·阶段检测）已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有_______． ①两人出发后相遇；②甲骑自行车的速度为；③乙比甲提前到达目的地；④乙到达目的地时两人相距． 16．（23-24八年级上·江西吉安·期末）为践行“低碳环保、绿色出行”的理念，周末小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以的速度骑行一段时间，休息了，再以的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程与时间的关系如图． 请结合图象，解答下列问题． (1)________；________；______； (2)若小军的速度是，小军出发后多少分钟在途中与爸爸第二次相遇． 17．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图甲，在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示．其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点对应图甲中的状态　　　　，点对应图甲中的状态　　　　，（填写图形序号），　　　　，　　　　． (2)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体下降的高度和圆柱体浸入水中的高度． 18．（2025·浙江衢州·三模）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．图是客车、货车距C地的路程， 与行驶时间的函数关系的图象． (1)求客车的速度及A、B两地间的路程； (2)求货车距C地的路程与x的函数关系式； (3)请直接写出两车出发多长时间时相距的路程． 19．（2026·北京·中考真题）在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度 甲的溶解度 (1)根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线； (2)当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________（精确到个位）乙从水中析出； (3)当温度为时，小云将甲加入到装有水的号杯中，将乙加入到装有水的号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向号杯中再加入水，向号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解． ①方案一中，的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，的最小值为________（精确到个位）． 【考点3】一次函数与正比例函数的概念（第20-22题） · 判断时先化为y=kx+b的标准形式，再检查k≠0且x的次数为1 · 正比例函数是b=0的特殊一次函数，正比例函数一定是一次函数，反之不一定 · 含参数的题目要分情况讨论：若题目说是一次函数，必须保证一次项系数k≠0 · 注意区分y=k/x这类反比例函数与y=kx+b一次函数的形式差异 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数 的图象经过点，则的值为（   ） A．2 B． C．18 D． 21．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知一次函数的图象与直线平行，则______． 22．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知关于的正比例函数． (1)若点在该正比例函数的图象上，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的最小值． 【考点4】一次函数的图象与性质（第23-31题） · 由k、b的符号判断直线经过的象限：k>0时必过一、三象限，k<0时必过二、四象限，再由b决定上下平移 · k>0时y随x增大而增大，比较函数值大小只需比较自变量大小 · 直线平移规律：上下平移改b，上加下减；左右平移也转化为b的变化 · 两直线平行⟺k相等；与y轴交于同一点⟺b相等 23．（2022·浙江温州·模拟预测）一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 24．（22-23八年级上·陕西汉中·期末）若把正比例函数图象向上平移个单位长度，得到图象解析式是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断正确的有（     ） ①点在第一象限；②点在函数图象上； ③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 26．（2022·安徽·模拟预测）已知一次函数与正比例函数的图象的交点在第二象限，且横坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．，都为负，且 B．，都为负，且 C．，至少有一项为负，且 D．，至少有一项为负，且 27．（24-25八年级上·江苏南京·期末）点，，在一次函数的图象上，且，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 28．（2024·河南洛阳·一模）若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）． 29．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一次函数的图象向下平移2个单位长度得到的一次函数解析式为______． 30．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）点在函数的图像上，则代数式的值等于______． 31．（24-25八年级上·重庆·期末）一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为_____． 【考点5】待定系数法求一次函数解析式（第32-38题） · 步骤：设y=kx+b→代入已知点坐标→得二元一次方程组→解出k、b→写出解析式 · 正比例函数只需一个点（非原点）即可求出k · 已知图象上的两点、或已知平行条件（k值已知）与一个点，都可用待定系数法 · 求完解析式后要回代检验，确保点坐标满足解析式 32．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知、，直线与线段的延长线（交点不包括）相交．则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 33．（25-26八年级上·山西晋中·期中）图中直线对应的函数表达式为________． 34．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 35．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 36．（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 37．（24-25七年级下·福建福州·期中）活动：二元一次方程的“图象”，在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．二元一次方程的图象是一条直线． (1)根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象； (2)点分别是图象上的点． ①是否为定值？若是，则求出的值；若不是，则说明理由． ②点R在坐标轴上，当时，，求出R的坐标． 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)结合图象，求不等式的解集． 【考点6】一次函数与方程、不等式（第39-42题） · kx+b=0的解就是一次函数图象与x轴交点的横坐标 · kx+b>0（或<0）的解集，就是图象在x轴上方（或下方）部分对应的x的取值范围 · 两个一次函数图象的交点坐标，就是两个函数解析式组成的方程组的解 · 比较两个函数值大小，看同一x处图象的上下位置 39．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，点在一次函数（k，b为常数，且）的图象上，则关于x的不等式的解集为______． 40．（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为________． 41．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线分别交轴、轴于点．直线分别交轴、轴于点，与直线相交于点．已知． (1)直接写出直线的表达式：_________． (2)求时，x的取值范围． 【考点7】一次函数的实际应用与综合（第43-52题） · 实际问题先审题找等量关系，设自变量与因变量，列出解析式并注明自变量取值范围 · 分段函数要逐段求解析式，注意各段端点的取舍 · 方案选择问题：列出两种方案的费用解析式，比较相等时的临界点再分类讨论 · 结合图象求最值时，先确定取值范围，再利用增减性判断最大或最小值 43．（23-24八年级上·山西运城·阶段检测）每年夏季的7月份和8月份，运城市盐湖区迎来高温天气，居民家中一般采用开空调的方式降温，家中的用电量也剧增，下表是山西省一户一表的居民用户电价表，每月的用电量如果是小数，四舍五入取整．运城市盐湖区某小区都是一户一表居民用户，若住在此小区的某户居民2023年7月和8月双月用电总量为x度，费用y元，则y与x之间的关系式为______． 山西省居民电价表 用户分类 分档 电量（度） 电价（元/度） 执行周期 一户一表 居民用户 第一挡 （双月电量340度及以内） 0.477 居民阶梯电价以“双月”为周期执行 第二档 （双月电量超过340度但不超过520度） 0.527 第三档 521及以上 （双月电量521度及以上） 0.777 44．（25-26八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的关系如图所示．给出下列说法：①甲气球上升过程中，与之间的关系式为；②10min时，甲气球在乙气球下方；③当两只气球高度差为15m时，上升时间为50min；④上升60min时，乙气球距离地面的高度为40m．其中正确的有______．（填序号） 45．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 46．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ___________． 47．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）某生物活动小组观察植物生长，得到该植物高度（）和观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图像（轴），则该植物在第天的高度为________． 48．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为________． 49．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标_________； (2)计算：的面积是________，边上的高是________； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标________． 50．（2024·山东济南·一模）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元． (1)求，两种跳绳的单价； (2)如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 51．（24-25八年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【问题情景】 某移动通讯公司有A、B两种手机收费方案供用户选择．A类收费方案是不管每月通话时长如何，每部手机每月先缴纳固定的基础费用，再按实际通话时间每分钟收取一定费用；B类收费方案则是按照通话时长分段进行收费，各有不同的单价．收费细则如下表： A B 每月基本服务费（元） 20 40 免费通话时间（） 0 150 通话每分钟收费（元） 0.2 0.3 备注 B类收费：当通话时长小于等于时每月费用固定40元；当通话时长超过时，超出部分每分钟加收0.3元． 【问题解决】 (1)分别写出A类、B类收费方案下每月应缴费用y（元）与通话时间之间的函数关系式，并在同一坐标系中画出它们大致的函数图象． (2)若某手机用户预计自己这个月通话时间为，分别计算按照A、B两种收费方案他应缴费多少元？通过比较，你建议他选择哪种收费方案更划算呢？ (3)小明也喜欢该公司的收费方案，请你结合第（1）小问的函数图象，给小明一个实惠的选择方案． 52．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过7立方米时，每立方米收取1元外加元的污水处理费；超过时，超过的部分每立方米收取元外加元污水处理费，现设一户某月用水立方米，应缴水费元． (1)求出关于的函数解析式： (2)该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； (3)该市一户某月缴水费元，求该户这月用水量． 💯 课后巩固 复习建议 · 先背熟一次函数y=kx+b中k、b的几何意义，做到看到解析式就能说出图象经过哪几个象限 · 图象信息题先标清坐标轴含义，再逐段分析，重点关注交点与转折点的实际意义 · 待定系数法是本章核心计算技能，每天练2道求解析式题，确保方程组求解不出错 · 函数与方程、不等式结合题要学会「看图说话」，把代数问题转化为图象上下位置关系 · 实际应用题答题时务必写明自变量取值范围，方案比较题要画出临界点两侧的结论 【作业1】（23-24八年级下·全国·单元测试）函数的图象是（　　） A．过点，的直线 B．过点，的直线 C．过点，的直线 D．过点，的直线 【作业2】（23-24八年级下·广东梅州·期中）已知， 如图， 一次函数 和的图象交于点， 则的解集（    ） A． B． C． D． 【作业3】（23-24八年级上·广西崇左·阶段检测）下列函数中，不是一次函数的是（） A． B． C． D． 【作业4】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）下列变化过程中，一个变量与另一个变量成正比例函数关系的是（   ） A．正方形的面积S随边长a的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．圆的周长C随半径r的变化而变化 D．汽车在行驶过程中，油箱的剩余油量Q随行驶路程s的变化而变化 【作业5】（2026·新疆昌吉·模拟预测）向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系如图所示，那么水瓶的形态是（     ） A． B． C． D． 【作业6】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）正比例函数和一次函数在同一个直角坐标系内的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【作业7】（2024·四川成都·模拟预测）一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围为________． 【作业8】（24-25八年级下·河北唐山·期末）一次函数的图象与y轴的交点坐标是________． 【作业9】（2024·湖南·模拟预测）在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的重量x的一组对应值： 所挂物体重量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧长度 20 22 24 26 28 30 … 则当所挂重物为时（在允许范围内），弹簧的长是______． 【作业10】（24-25八年级下·福建福州·期中）函数的自变量的取值范围是_______________． 【作业11】（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知一次函数的图象经过点，则_____ ． 【作业12】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【作业13】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数，当的值每增加2，的值就减少5，则的值为__． 【作业14】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具、据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据． 0 1 2 3 5 … 2 2.4 2.8 3.2 4 … (1)求水位与时间的函数表达式； (2)当时间为10min时，求水位的高度． 【作业15】（24-25八年级下·新疆哈密·期末）已知一次函数的图象经过点、，求这个一次函数的解析式 (1)求该一次函数的解析式； (2)如果这条直线经过点，求的值． 【作业16】（25-26八年级上·浙江舟山·阶段检测）某小区临时停车收费规则如下：半小时内（含半小时）收费5元；超过半小时，超出的部分每小时收费10元（不足1小时按1小时计）；每天不超过40元．如果停车时间为，停车费为y（元）． (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)分别求当时的函数值，并说明它们的实际意义． 【作业17】（22-23八年级上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，直线的图象如图所示，它与直线的图象都经过，且两直线与轴分别交于两点． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)直接写出两点的坐标． 【作业18】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数． (1)图象经过，求m的值； (2)y随x的增大而减小，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章·函数与一次函数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解常量与变量、函数的概念，能在具体实例中识别自变量与函数关系 · 掌握函数的三种表示方法（解析式法、列表法、图象法），能从函数图象中读取并解读实际信息 · 理解一次函数与正比例函数的概念，能判断给定函数是否为一次函数或正比例函数 · 掌握一次函数的图象与性质，理解系数k、b对图象位置及增减性的影响 · 会用待定系数法求一次函数解析式，能综合解决一次函数与方程、不等式及实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.函数的概念 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数 函数的三要素：自变量的取值范围、对应法则、函数值；自变量取值范围要使代数式有意义且符合实际意义 当x=a时y=b，b叫做当自变量的值为a时的函数值 概念辨析例题：下列关系式中，y是x的函数的是（　　）①y=x；②y2=x；③y=|x|；④|y|=x 答案：①③ 解析：根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y必须有唯一确定的值与之对应。②中一个正数x对应两个互为相反的y值，④中一个正数x也对应两个y值，均不满足唯一性；①③中每个x都有唯一的y与之对应，故①③中y是x的函数。 ☆ 2.函数的图象与表示方法 函数的三种表示方法：解析式法（用数学式子表示函数关系）、列表法（用表格列出自变量与函数的对应值）、图象法（用图象表示函数关系） 画函数图象的步骤：列表、描点、连线；图象上任意一点(x，y)的坐标满足函数解析式 从图象中读取信息时，先看横纵轴表示的实际意义，再分析上升（增大）、下降（减小）、水平（不变）及交点、转折点的实际含义 图象与横轴的交点表示函数值为0的时刻，两图象的交点表示两个函数值相等 概念辨析例题：小明从家骑车上学，匀速行驶一段后因修车停下几分钟，修好后加快速度匀速赶到学校。下列图象能近似表示小明离家距离s与时间t关系的是（　　） 答案：先匀速上升一段，再水平一段（修车），最后以更陡的斜率上升的图象 解析：修车时时间增加而离家距离不变，图象为水平线段；修好后加速，相同时间内距离增加得更快，图象比第一段更陡。抓住「先上升—再水平—最后更陡上升」三段特征即可判断。 ☆ 3.一次函数与正比例函数的概念 一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数 当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数 判断一个函数是否为一次函数，关键看能否化为y=kx+b（k≠0）的形式，特别注意k≠0这一条件 一次函数自变量的取值范围一般为全体实数，实际问题中要根据实际意义确定 概念辨析例题：下列函数：①y=2x；②y=+1；③y=；④y=x2+1；⑤y=-3x+2。其中是一次函数的有（　　） 答案：①②⑤ 解析：一次函数要求自变量x的次数为1且系数不为0。①是正比例函数（特殊的一次函数），②可化为y=x+1，⑤是标准的一次函数；③中x在分母上，不是一次式；④中x的次数为2，是二次函数。 ☆ 4.一次函数的图象与性质 一次函数y=kx+b的图象是一条直线，画图象时常取它与两坐标轴的交点：与y轴交于(0，b)，与x轴交于(-，0) 当k>0时，y随x的增大而增大，图象从左到右上升；当k<0时，y随x的增大而减小，图象从左到右下降 b决定图象与y轴交点的位置：b>0交y轴正半轴，b<0交y轴负半轴，b=0过原点 k的绝对值越大，直线越靠近y轴（越陡）；两直线平行则k相等；直线平移时k不变，只改变b的值 概念辨析例题：一次函数y=-2x+3的图象不经过（　　）A．第一象限　B．第二象限　C．第三象限　D．第四象限 答案：C 解析：k=-2<0，直线从左到右下降；b=3>0，直线与y轴交于正半轴。直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 函数 在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应 强调「唯一确定」，一个x只能对应一个y 函数的表示 解析式法、列表法、图象法 三种方法可以相互转化，图象上的点满足解析式 一次函数 y=kx+b（k、b为常数，k≠0） k≠0是前提；x的次数必须为1 正比例函数 y=kx（k≠0），是b=0时的特殊一次函数 图象必过原点(0，0) 图象性质 k>0上升，k<0下降；b决定与y轴交点位置 |k|越大直线越陡；平移只改b不改k 待定系数法 设y=kx+b，代入已知点坐标得方程组，解出k、b 求一次函数解析式一般需要两个点的坐标 ⚠️ 核心考点 【考点1】函数的概念与变量间的关系（第1-7题） · 紧扣函数定义判断：一个自变量的值只能对应唯一的函数值，出现一对多的关系式一定不是函数 · 求自变量取值范围时分两种情况：代数式有意义（分母≠0、被开方数≥0等）与实际问题中的限制 · 函数值问题：把自变量的值代入解析式计算；反过来由函数值求自变量就是解方程 · 识别常量与变量时注意字母不一定都是变量，用已知数表示的字母仍是常量 1．（2025八年级下·全国·专题练习）研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 土豆产量（吨/公顷） 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 下列说法错误的是（   ） A．土豆产量是因变量 B．氮肥施用量是自变量 C．氮肥施用量是101千克/公顷时，土豆产量为32.2吨/公顷 D．氮肥施用量越大，土豆产量越高 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察土豆的产量与氮肥的施用量的表格得出氮肥施用量为自变量，土豆产量为因变量，然后分析表格的数据，得出土豆产量并不是随氮肥施用量的增加而增加的，即可作答． 【详解】解：由表得，土豆产量为因变量，故A正确； 氮肥施用量为自变量，故B正确； 当氮肥施用量是101千克/公顷时，土豆产量为32.2吨/公顷，故C正确； 当氮肥施用量为336千克/公顷时，土豆产量为43.4吨/公顷， 当氨肥施用量为404千克/公顷时，土豆产量为40.8吨/公顷，而， ∴土豆产量并不是随氮肥施用量的增加而增加的，故D错误． 故选D． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）函数，则＝______． 【答案】7 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】直接将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查求函数值，解题的关键就是将自变量所赋的值代入函数解析式中进行计算． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如果对于一切实数x，有，则的解析式是_________． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查求函数解析式，用替换中的，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 4．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件__________件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 【答案】120 【知识点】用表格表示变量间的关系、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，通过计算表格中每种情况下的总零件数，发现结果均为120件，因此确定每天需要完成的零件总数为120件． 【详解】解：设每天需要完成的零件总数为件． 由表格数据：当每人每天生产60件时，需2人，则； 当每人每天生产40件时，需3人，则； 当每人每天生产30件时，需4人，则． 故该车间每天需要完成A零件120件， 故答案为：120． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一位病人某天（0时时）体温的变化情况，观察图象变化过程，回答下列问题： (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)这个病人该天最高体温是__________，该天最低体温是 ； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧时间为多久？ 【答案】(1)时间，体温 (2) (3)10个小时 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了自变量、因变量的定义和函数的图象，正确的识别图象是解题的关键． （1）根据自变量、因变量的定义即可得出答案； （2）根据图象中的信息即可得到结论； （3）根据图象中的信息即可得到结论． 【详解】（1）解：根据图象可知：自变量是时间，因变量是体温； 故答案为：时间，体温； （2）根据图象可知：这个病人该天最高体温是，该天最低体温是； 故答案为：； （3）根据图象可知：若体温超过即为发烧，则这位病人发烧时间段是4时时． 则这位病人发烧时间为：个小时． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图中的每个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有盆花，每个图案中花盆的总数是，按此规律推断，是的函数吗？如果是，你能用一个数学式子表示吗？ 【答案】是， 【知识点】图形类规律探索、函数的概念 【分析】本题考查了图形规律，函数的概念，根据图形的规律，得到S与n的关系式是解题关键；根据图形的规律，得到S与n的关系式，进而即可得解． 【详解】解：是的函数． 第1个图形中，每条边上有2盆花，共有（盆）花， 第2个图形中，每条边上3盆花，共有（盆）花， 第3个图形中，每条边上4盆花，共有（盆）花， ……， ． 7．（2023·广东广州·一模）已知． (1)化简T； (2)若点在一次函数的图像上，求T的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值、一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分括号内，再运算乘法，结合分式的性质进行化简，即可作答． （2）先依题意，得出，再代入（1）的结论，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵点在一次函数的图像上 ∴ ∵ ∴ 【考点2】函数的图象信息读取（第8-19题） · 读图先看横纵轴各表示什么量、单位是什么，再看图象的变化趋势（升、降、平） · 水平线段表示该量保持不变；上升表示增大，下降表示减小 · 两图象的交点表示同一时刻两个量相等；与坐标轴的交点表示其中一个量为0 · 实际问题图象要结合生活常识检验，如行程问题中的速度、停留、相遇等 8．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）.从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度d（）之间的关系图象如图2所示，已知是点P是该图象的顶点，根据图象，下列说法正确的是（    ）    A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 C．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 D．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，据此判断即可．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，故选项A的说法错误； 由图象可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，即小球停止运动，此时弹簧被压缩至最短，小球下落至最低点，弹簧的长度为，故选项B的说法错误，选项C的说法错误． 由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故选项D的说法正确； 故选：D． 9．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）小亮同学骑自行车上学，刚开始以某一速度匀速行驶，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为离家的路程，为行驶时间），符合上述情况的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】根据实际运动情况分析离家的路程关于行驶时间的变化趋势，即可得到答案． 【详解】解：小亮刚开始匀速行驶：路程随时间增大，图像是倾斜上升直线，之后停下修车：时间增加，离家路程不变，图像是水平线段，最后加快速度：再次匀速，速度比原来大，直线倾斜程度比第一段更陡，逐一分析各选项： A选项：没有水平停车段，不满足题意； B选项：离家的路程出现下降（离家变近），不满足题意； C选项：离家的路程整体下降（离家越来越近），不满足题意； D选项：图象先斜向上，再水平停车，最后以更大的斜率的斜向上，满足题意． 故选：． 10．（12-13八年级下·浙江·开学考试）甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像和性质． 根据图像信息分析结论即可． 【详解】A．由图像可判断，甲一小时走了，故甲的速度是，选项不符合题意． B．由图像可判断，乙4小时走了，故乙的速度是,选项符合题意． C．由图像可判断，乙先出发1小时，选项不符合题意． D．由图像可判断，乙比甲晚到地，选项不符合题意． 故选：B． 11．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，将一个圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面，小水杯中有部分水．现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则大容器水面的高度（）与注水时间（）的关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】分析注水过程中大圆柱形容器内水面高度随时间的变化情况，分为三个阶段：水在环形区域上升、水流入小水杯（大圆柱形容器水面不变）、水在整个大圆柱形容器截面上升．根据底面积的变化判断水面上升速度的变化，结合图形即可求解． 【详解】解：注水速度是定值，设为，大圆柱形容器底面积设为，小水杯底面积设为， 第一阶段：水注入大圆柱形容器与小水杯之间的空隙， ∴注入水的体积， ∴逐渐增大，图象为从原点出发的上升线段； 第二阶段：当大圆柱形容器水面到达小水杯杯口时，水流入小水杯， 此时大圆柱形容器水面高度保持不变，图象为水平线段； 第三阶段：图象的上升速度小于第一阶段图象的上升速度； 故选：C ． 12．（24-25八年级上·山东济南·阶段检测）A、B两地相距，甲车以的速度从A地驶往B地，乙车以的速度从B地驶往A地，两车同时出发，设乙车行驶的时间为，两车之间的距离为，则y与x之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意，得到两车相遇前后的函数表达式，结合两车的速度求解即可． 【详解】解：由题意，甲车全程用时，乙车全程用时； 两车相遇前的函数表达式为， 两车相遇后的函数表达式为， 当时，由得，即乙车行驶2小时后两车相遇， 当时，甲车到达B地，此时两车之间的距离为； 此后，乙车继续前行，两车之间的距离缓慢变大， 当时，乙车到达A地，此时两车之间的距离， 综上，选项A、B、D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 13．（23-24七年级下·河南郑州·期末）受潮汐影响，某港口从0时到12时港内水深情况如图．港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与水底间的距离不少于4 米时，才能进出该港．一艘吃水深度(即船底与水面的距离)为2米的轮船可以进出该港的时间长大约为（   ） A．3个小时 B．4 个小时 C．5个小时 D．6个小时 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解决本题的关键是理解吃水的概念． 从图象上找到当水深为米的两个时间相减即可得到本题的答案． 【详解】解：∵当船底与水底间的距离不少于米时，才能进出该港． ∴水深度即船底与水面的距离为米的轮船在水深为米时才可以通航， 从图象可知水深为米的时间为1时和5时， ∴进出该港口的时间为小时， 故选：B 14．（24-25六年级下·山东淄博·阶段检测）一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为（），慢车离锦绣中学的距离为（），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（）．，与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当两车相距时，．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键．由图象可知两地相距300千米，且当时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；分两种情况讨论，列方程求解即可判断③． 【详解】解：由题意可知锦绣中学与实验中学的距离为300千米，当时，快车到达实验中学， ∴，故①正确； 快车的速度为，慢车的速度为， 相遇时，即， 解得：，故②正确； 在相遇前，两车相距，由题意得， 解得：； 在相遇后，两车相距，由题意得， 解得：， ∴当或时，两车相距 故③错误； 综上可知①②正确． 故选：C． 15．（23-24八年级下·河南南阳·阶段检测）已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有_______． ①两人出发后相遇；②甲骑自行车的速度为；③乙比甲提前到达目的地；④乙到达目的地时两人相距． 【答案】①②④ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解题的关键在于能够正确读懂函数图象．先根据在一开始时，两人的距离为，得到A、B两地的距离为，从而可以求出甲的速度，即可判断②；根据在出发后，两人相距为，即可判断①；求出两人的合速度，从而求出乙到达目的地的花费时间即可判断③④． 【详解】解：∵在一开始时，两人的距离为， ∴A、B两地的距离为， ∵乙先到底目的地， ∴甲到目的地花费的时间为， ∴甲的速度为，故②正确； ∵在出发后，两人相距为，即此时两人相遇，故①正确； ∵两人出发2h相遇， ∴两人的合速度为， ∴乙的速度为， ∴乙到目的地花费的时间为， ∴乙比甲提前到达目的地，故③错误； ∵， ∴乙到达目的地时两人相距，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 16．（23-24八年级上·江西吉安·期末）为践行“低碳环保、绿色出行”的理念，周末小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以的速度骑行一段时间，休息了，再以的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程与时间的关系如图． 请结合图象，解答下列问题． (1)________；________；______； (2)若小军的速度是，小军出发后多少分钟在途中与爸爸第二次相遇． 【答案】(1)10，15，200 (2)分钟 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键是明确题意，从图象中获取信息． （1）根据题意和函数图象可知爸爸以150米/分的速度行驶了1500米，即可求a，再根据休息了5分钟得出b即可，根据图象中的数据，可以计算出的值； （2）根据题意，由路程相等得出方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：由图可得， ，； ； （2）解：设小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间是第分钟， ， 解得， 答：小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间是在第分钟． 17．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图甲，在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示．其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点对应图甲中的状态　　　　，点对应图甲中的状态　　　　，（填写图形序号），　　　　，　　　　． (2)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体下降的高度和圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)②，④， (2)圆柱体下降的高度为，圆柱体浸入水中的高度为 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据图象获取信息，作答即可； （2）求出段的解析式，再进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，点表示圆柱体的下表面刚与水面平齐，即对应图甲中的状态②，点表示圆柱体，恰好完全浸没在水中，对应图甲中的状态④， ∴； 故答案为：②，④，； （2）设线段段对应的函数解析式为：， 把，代入，得： ，解得：， ∴， 当N时，，解得：， ∴圆柱体下降的高度为，圆柱体浸入水中的高度为． 18．（2025·浙江衢州·三模）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的．图是客车、货车距C地的路程， 与行驶时间的函数关系的图象． (1)求客车的速度及A、B两地间的路程； (2)求货车距C地的路程与x的函数关系式； (3)请直接写出两车出发多长时间时相距的路程． 【答案】(1)客车的速度为，A、B两地间的路程为 (2) (3)或 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出A、B两地间的路程； （2）根据函数图象中的数据，求出货车与的函数关系式即可； （3）先计算出客车与的函数关系式根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距，然后列出相应的方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 客车的速度：， 则货车速度：， A与B两地间路程为：， （2）当时，设货车与的函数关系式是， 货车的速度为，， 该函数过点，， ， 解得， 即当时，货车与的函数关系式是； 由于货车到达A地用时， ∴当时，设货车与的函数关系式是， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，货车与的函数关系式是； 由上可得，货车与的函数关系式是； （3）解：设客车与的函数关系式是， ， 解得， 即客车与的函数关系式是； 当时，，， ∴当两车相遇前相距时， ， 解得； 当两车相遇后相距时， ， 解得， 综上所述，出发后经过或，两车相距． 19．（2026·北京·中考真题）在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度 甲的溶解度 (1)根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线； (2)当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________（精确到个位）乙从水中析出； (3)当温度为时，小云将甲加入到装有水的号杯中，将乙加入到装有水的号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案： 方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向号杯中再加入水，向号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解． ①方案一中，的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，的最小值为________（精确到个位）． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)（答案不唯一）；（答案不唯一） (3)①（答案不唯一）；②（答案不唯一） 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】（1）根据表格信息描点连线即可； （2）根据（1）中函数图象判断即可； （3）①根据（1）中函数图象判断甲、乙溶解度达到的温度，取较大值即可； ②根据（1）中函数图象得到时甲、乙溶解度，进而求出溶解甲、乙需要的水的总质量，求出、的值，计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：由函数图象可知，当温度约为（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同； 此时溶解度， 降温到，乙溶解度约为， 因此析出乙的质量为； （3）①解：要让溶质完全溶解在水中，溶解度需要至少达到． 由图可知，对甲来说，溶解度达到的温度约为，对乙来说，溶解度达到的温度约为， 因此的最小值为； ②解：时甲溶解度约为，设溶解甲需要的水的总质量为， 由 解得：， 因此需要加水， 即； 时乙溶解度约为，同理得溶解乙需要的水的总质量为， 因此需要加水， 即； 最终． 【考点3】一次函数与正比例函数的概念（第20-22题） · 判断时先化为y=kx+b的标准形式，再检查k≠0且x的次数为1 · 正比例函数是b=0的特殊一次函数，正比例函数一定是一次函数，反之不一定 · 含参数的题目要分情况讨论：若题目说是一次函数，必须保证一次项系数k≠0 · 注意区分y=k/x这类反比例函数与y=kx+b一次函数的形式差异 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数 的图象经过点，则的值为（   ） A．2 B． C．18 D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，把点代入解析式即可求出k的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故选：B． 21．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知一次函数的图象与直线平行，则______． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数、一次函数图象平移问题 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，两个一次函数的自变量系数相等，可得． 22．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知关于的正比例函数． (1)若点在该正比例函数的图象上，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键； （1）直接把点代入正比例函数，求出m的值； （2）根据正比例函数的增减性与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：（1）因为点在正比例函数的图象上， 所以， 解得． （2）解：由（1）知，所以， 所以该正比例函数的表达式为． 因为，所以的值随着值的增大而减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 【考点4】一次函数的图象与性质（第23-31题） · 由k、b的符号判断直线经过的象限：k>0时必过一、三象限，k<0时必过二、四象限，再由b决定上下平移 · k>0时y随x增大而增大，比较函数值大小只需比较自变量大小 · 直线平移规律：上下平移改b，上加下减；左右平移也转化为b的变化 · 两直线平行⟺k相等；与y轴交于同一点⟺b相等 23．（2022·浙江温州·模拟预测）一次函数的图象与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】轴上的点纵坐标为，据此求解一次函数图象与轴交点的横坐标即可． 【详解】解：令，得， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 24．（22-23八年级上·陕西汉中·期末）若把正比例函数图象向上平移个单位长度，得到图象解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数平移的特点，上加下减．直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．据此解答即可． 【详解】解：原直线的，；向上平移个单位长度得到了新直线，那么新直线的，． 新直线的解析式为． 故选D 25．（24-25八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断正确的有（     ） ①点在第一象限；②点在函数图象上； ③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小、判断点所在的象限、判断一次函数的增减性 【分析】根据一次函数的增减性和坐标特征，逐一判断四个推断即可． 【详解】解：∵函数为，， ∴随的增大而增大，且， 逐个判断： ① 对于点， ， ，横纵坐标都为正， 点在第一象限，①正确； ② 当时，， 点不在函数图象上，②错误； ③ ， ， 由随增大而增大得，即， ，③正确； ④ ，， ，，可得， ， ，即，④正确； 综上，正确的推断共个． 26．（2022·安徽·模拟预测）已知一次函数与正比例函数的图象的交点在第二象限，且横坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．，都为负，且 B．，都为负，且 C．，至少有一项为负，且 D．，至少有一项为负，且 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知点所在的象限求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了函数图象的交点，完全平方式，由交点坐标得，可判断，至少有一项为负，将代入进行运算，即可求解；能将化成完全平方式是解题的关键． 【详解】解：交点在第二象限， 且横坐标是， ， ， ，至少有一项为负， 又， ， ； 故选：C． 27．（24-25八年级上·江苏南京·期末）点，，在一次函数的图象上，且，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】先求出一次函数与轴、轴的交点坐标，再根据图象逐项分析判断即可． 【详解】解：令，则， 令，则， 解得：， 一次函数与轴、轴的交点分别为，， ， 随的增大而增大（如图所示）， ， ， 选项： ， ， ， 此时， 故选项正确，符合题意； 选项： 若， 则既可大于也可小于， 由图象可知：当时，， 此时，与选项矛盾， 故选项错误，不合题意； 选项： 若， 则， ， 此时和符号并不确定， 故选项错误，不合题意； 选项： 若， 则， ， 此时和符号并不确定， 故选项错误，不合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质（一次函数图象与坐标轴的交点问题，判断一次函数的增减性），求一次函数的函数值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 28．（2024·河南洛阳·一模）若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出，随便写出一个小于0的b值即可． 【详解】解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 29．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一次函数的图象向下平移2个单位长度得到的一次函数解析式为______． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”原则，向下平移时，对原函数的常数项减去平移单位长度即可求解． 【详解】解：将向下平移个单位长度得到的一次函数解析式为． 30．（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）点在函数的图像上，则代数式的值等于______． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了函数图像上点的坐标特征，熟练掌握“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”是解题的关键． 先根据点在函数图像上的性质得到与的关系式，再将其代入代数式计算． 【详解】解：∵点在函数的图像上， ∴， 将代入，得 ， 故答案为：． 31．（24-25八年级上·重庆·期末）一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为_____． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．利用“上加下减"的平移规律求解即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，则平移后直线解析式为， ∵平移后直线经过点 ∴， 解得：， ∴平移后直线解析式为． 故答案为：． 【考点5】待定系数法求一次函数解析式（第32-38题） · 步骤：设y=kx+b→代入已知点坐标→得二元一次方程组→解出k、b→写出解析式 · 正比例函数只需一个点（非原点）即可求出k · 已知图象上的两点、或已知平行条件（k值已知）与一个点，都可用待定系数法 · 求完解析式后要回代检验，确保点坐标满足解析式 32．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知、，直线与线段的延长线（交点不包括）相交．则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，先求出直线的解析式，找出两临界点即可得出答案，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设直线解析式为， ∵、， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线过定点， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 将直线绕点旋转，当直线与直线平行时，； 当直线过点时，； ∴的取值范围为， 故选：． 33．（25-26八年级上·山西晋中·期中）图中直线对应的函数表达式为________． 【答案】 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题主要考查正比例图象和性质，采用待定系数法即可求得答案． 【详解】因为直线经过原点，所以设直线对应的函数表达式为． 因为直线经过点，将其代入，得 ， 解得 ． 所以直线对应的函数表达式为． 故答案为： 34．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 【答案】 ； 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数的定点问题以及一次函数与线段的交点问题，关键在于掌握恒过定点的求法，以及通过计算直线经过线段端点时的值来确定的取值范围． （1）对于直线，令含的项的系数为0，即可求出恒过的定点坐标； （2）先分别求出直线经过线段的两个端点、时的值，再结合定点与线段的位置关系，确定直线与线段有且只有一个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，， ∴直线恒过的定点坐标是； 故答案为：． （2）解：当直线经过点时，将，代入， 得，解得； 当直线经过点时，将，代入， 得，解得； ∵直线恒过定点， ∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点． 故答案为：． 35．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 【答案】 10 1或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 36．（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相关知识是解题的关键 （1）设解析式为，把，代入，可求，进而可得解析式； （2）将代入（1）的关系式，计算求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴解析式为； （2）解：将代入得：， 解得． ∴x的值为． 37．（24-25七年级下·福建福州·期中）活动：二元一次方程的“图象”，在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现这些点落在同一条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．二元一次方程的图象是一条直线． (1)根据上述结论，在同一平面直角坐标系画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象； (2)点分别是图象上的点． ①是否为定值？若是，则求出的值；若不是，则说明理由． ②点R在坐标轴上，当时，，求出R的坐标． 【答案】(1) 如图所示： (2)①是定值，值为2．②或或 【知识点】求一次函数解析式、二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数图象与性质，熟练掌握二元一次方程组与一次函数之间的关系是解题的关键， （1）根据一次函数的性质令中的分别等于零，即可画出对应的函数图象； （2）①由于点分别是图象上，代入即可得到和 ；和的关系，从而求出的值，即可判断是否为定值；②当时，，则分两种情况讨论：（i）当点R在x轴上时，（ii）当点R在y轴上时，根据，即可求得答案． 【详解】（1）解：略； （2）解：①把点代入，得：， ∴， 把点代入，得：， ∴， ， 是定值，值为2． ②当时，，， （i）当点R在x轴上时， ，， ， 或， （ii）当点R在y轴上时， ∵，，设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∴直线与y轴的交点为， ， ∴, ∴， 解得：, 或， ∴综上所述，或或 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)结合图象，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、正比例函数的性质 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）将代入可得，则，再用待定系数法求直线的表达式即可； （2）根据点B坐标，结合函数图象即可求得答案． 【详解】（1）解：过点， 解得：， ， 直线过点，， ，解得： 直线的表达式为； （2）解：结合图象可知，的解集为， 即的解集为， 由（1）可知， 的解集为． 【考点6】一次函数与方程、不等式（第39-42题） · kx+b=0的解就是一次函数图象与x轴交点的横坐标 · kx+b>0（或<0）的解集，就是图象在x轴上方（或下方）部分对应的x的取值范围 · 两个一次函数图象的交点坐标，就是两个函数解析式组成的方程组的解 · 比较两个函数值大小，看同一x处图象的上下位置 39．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，点在一次函数（k，b为常数，且）的图象上，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】确定一次函数的值小于或等于2的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得：关于的不等式的解集应是． 40．（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为________． 【答案】或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由直线与直线的图象可知，直线与直线的交点为，，根据图形即可求得不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 观察图象可知直线与直线的交点为，， ∴由图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或 41．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题，熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键．先将两个一次函数整理成一般式，根据无论取何值都有，得出关于的不等式恒成立的条件，进而求解的取值范围． 【详解】解：，． ， ， 整理得． 因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即， 此时不等式变为， ， ， ． 故答案为：． 42．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线分别交轴、轴于点．直线分别交轴、轴于点，与直线相交于点．已知． (1)直接写出直线的表达式：_________． (2)求时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解以及一次函数与不等式的关系．解题的关键是利用待定系数法求出函数表达式，结合线段长度关系确定参数值，再通过函数交点求解不等式的取值范围． （1）将点A的坐标代入直线的表达式，求出k的值，得到直线的表达式； （2）先根据直线求出的长度，结合得到的长度，确定点C的坐标后代入直线的表达式求出b的值，联立两条直线的表达式求出交点E的横坐标，进而确定时x的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：∵直线交y轴于点B， ∴当时，即， ∴． ∵， ∴． 又∵直线交x轴于点C，且点C在x轴上， ∴点C的坐标为 将代入得：，解得， ∴直线的表达式为． 解不等式得， 即时，的取值范围为． 【考点7】一次函数的实际应用与综合（第43-52题） · 实际问题先审题找等量关系，设自变量与因变量，列出解析式并注明自变量取值范围 · 分段函数要逐段求解析式，注意各段端点的取舍 · 方案选择问题：列出两种方案的费用解析式，比较相等时的临界点再分类讨论 · 结合图象求最值时，先确定取值范围，再利用增减性判断最大或最小值 43．（23-24八年级上·山西运城·阶段检测）每年夏季的7月份和8月份，运城市盐湖区迎来高温天气，居民家中一般采用开空调的方式降温，家中的用电量也剧增，下表是山西省一户一表的居民用户电价表，每月的用电量如果是小数，四舍五入取整．运城市盐湖区某小区都是一户一表居民用户，若住在此小区的某户居民2023年7月和8月双月用电总量为x度，费用y元，则y与x之间的关系式为______． 山西省居民电价表 用户分类 分档 电量（度） 电价（元/度） 执行周期 一户一表 居民用户 第一挡 （双月电量340度及以内） 0.477 居民阶梯电价以“双月”为周期执行 第二档 （双月电量超过340度但不超过520度） 0.527 第三档 521及以上 （双月电量521度及以上） 0.777 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据阶梯电价收费标准列出y关于x的函数关系式即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 故答案为：． 44．（25-26八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的关系如图所示．给出下列说法：①甲气球上升过程中，与之间的关系式为；②10min时，甲气球在乙气球下方；③当两只气球高度差为15m时，上升时间为50min；④上升60min时，乙气球距离地面的高度为40m．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，用到了数形结合的思想，读懂题意，求出两个气球的上升速度是解题的关键． ①利用待定系数法求出解析式即可判断；②观察图象看时甲乙谁的图象在上方即可判断；③分别求出两个气球的上升速度，再列方程解答即可判断；④根据乙气球的上升速度列式计算即可判断． 【详解】解：设甲气球上升过程中与的函数关系为：，观察图象可知，函数图象经过点和点， 则， 解得， 故甲气球上升过程中与的函数关系为：，所以①正确； 观察图象可知，时，甲气球在乙气球的下方，所以②正确； 由甲气球上升过程中与的函数关系为，可知甲气球的上升速度为， 观察图象可知，乙气球用时从上升至， 故乙气球的上升速度为：， 设上升时间为x时，两气球高度差为， 根据题意，, 解得， 故两气球高度差为时，上升时间为，所以③正确； 上升时，乙气球距离地面高度为： ，所以④错误， 综上，错误的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 45．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 【答案】4 【知识点】梯度计价问题、从函数的图象获取信息 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 46．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ___________． 【答案】180 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，然后再根据图象可知，4.5小时两车相遇，则可以计算出乙车的速度，再计算出甲车从A地到B地用的时间，然后即可计算出甲车到达B地时，乙车距A地的路程． 本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】解：由图象可得， 甲车的速度为：（）， 乙车的速度为：（）， 甲车从A地到B地用的时间为：（小时）， 则甲车到达B地时，乙车距A地的路程是：（）， 故答案为：180． 47．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）某生物活动小组观察植物生长，得到该植物高度（）和观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图像（轴），则该植物在第天的高度为________． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出线段对应的函数关系式是解题的关键．利用待定系数法求出线段对应的函数关系式，进而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得 ， ， 当时，即，解得， 即， 故结合图象可知，第天时，该植物高度达到最高，以后就不长了， 该植物在第天的高度为． 故答案为：． 48．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒成立，则k的取值范围为________． 【答案】且 【知识点】一次函数与几何综合、不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】先根据平行于轴的直线的性质，求出点、点的坐标，得到长度的表达式，再结合不等式恒成立的条件分类讨论，转化为关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：过点作平行于轴的直线为． 将代入，得． 将代入，得． ∴． 由题意，时，恒成立， 即，化简得． 情况1：当时，，不等式恒成立． 情况2：当时，， 不等式两边同时除以（，不等号方向不变），得， 对于在范围内恒成立， ∵，越大，越大，当时，取得最大值， ∴，解得． 对于在范围内恒成立，解得． 又∵是一次函数，， ∴的取值范围为且． 49．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标_________； (2)计算：的面积是________，边上的高是________； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标________． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2)； (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求一次函数解析式、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积，再利用勾股定理求出的长，再结合三角形的面积公式可得答案； （3）连接，交轴于点，连接，此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：的坐标为． 故答案为：． （2）的面积为， 由勾股定理得：， 设边上的高为， 则， 解得：． 故答案为：，； （3）连接，交轴于点，连接，此时满足的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 故答案为：． 50．（2024·山东济南·一模）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元． (1)求，两种跳绳的单价； (2)如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】(1)种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元 (2)购买跳绳所需最少费用是元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键． （1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买型跳绳根，总费用为元，根据“型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍”，求出，求出，根据一次函数的性质，即可得到答案． 【详解】（1）解：设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元． 由题意可得， 解得：， 答：种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元 （2）解：设购买型跳绳根． 班级计划购买，两型跳绳共48根 购买型跳绳根．                      根据题意得： 解得：．       设购买跳绳所需费用为元， 则 即   ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值，最小值为（元）． 答：购买跳绳所需最少费用是元． 51．（24-25八年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【问题情景】 某移动通讯公司有A、B两种手机收费方案供用户选择．A类收费方案是不管每月通话时长如何，每部手机每月先缴纳固定的基础费用，再按实际通话时间每分钟收取一定费用；B类收费方案则是按照通话时长分段进行收费，各有不同的单价．收费细则如下表： A B 每月基本服务费（元） 20 40 免费通话时间（） 0 150 通话每分钟收费（元） 0.2 0.3 备注 B类收费：当通话时长小于等于时每月费用固定40元；当通话时长超过时，超出部分每分钟加收0.3元． 【问题解决】 (1)分别写出A类、B类收费方案下每月应缴费用y（元）与通话时间之间的函数关系式，并在同一坐标系中画出它们大致的函数图象． (2)若某手机用户预计自己这个月通话时间为，分别计算按照A、B两种收费方案他应缴费多少元？通过比较，你建议他选择哪种收费方案更划算呢？ (3)小明也喜欢该公司的收费方案，请你结合第（1）小问的函数图象，给小明一个实惠的选择方案． 【答案】(1)A类：；B类； 如图： (2)A类：60；B类：55；B类收费方案更划算 (3) 当通话时间为100分和250分时，两种方式付费相同； 当通话时间小于100分或超过250分时，A类收费方式合算； 当通话时间超过100分小于250分时，B类收费方式合算． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用．根据题意，得到两种付费方式的关系式是解决本题的关键。 （1）A类收费方案下每月应缴费用每月基本费用通话时间；当时，B类收费方案下每月应缴费用，当时，B类收费方案下每月应缴费用超过150分钟的时间，进而根据取值范围和交点画出相关图形即可； （2）取，代入1中得到的函数解析式，求得对应的y的值，比较即可； （3）结合函数图象分别得到两种方式付费相同，A种付费方式合算，B种付费方式合算三种情况下相对应的通话时间即可． 【详解】（1）解：A类收费方案下每月应缴费用：； B类收费方案下每月应缴费用： 当时，； 当时，； （2）解：当时，A类收费方案下每月应缴费用：； B类收费方案下每月应缴费用：， ∵， ∴B类收费方案更划算； （3）解：当时，， 当时，， 由函数图象可得：当通话时间为100分和250分时，两种方式付费相同； 当通话时间小于100分或超过250分时，A类收费方式合算； 当通话时间超过100分小于250分时，B类收费方式合算． 52．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过7立方米时，每立方米收取1元外加元的污水处理费；超过时，超过的部分每立方米收取元外加元污水处理费，现设一户某月用水立方米，应缴水费元． (1)求出关于的函数解析式： (2)该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； (3)该市一户某月缴水费元，求该户这月用水量． 【答案】(1)； (2)当用水量为10立方米时，应缴水费元； (3)该户这月用水量为13立方米． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值或自变量的值． （1）分当时和当时两种情况，根据所给的收费标准列出函数关系式即可； （2）根据（1）所求关系式代入求解即可； （3）先判断该户这月用水量大于7吨，然后把代入（1）所求式子求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，； 当时，， 综上所述，； （2）解：∵， ∴， ∴当用水量为10立方米时，应缴水费元； （3）解：∵， ∴该用户这月的用水量超过了7吨， ∴， 解得， ∴该户这月用水量为13立方米． 💯 课后巩固 复习建议 · 先背熟一次函数y=kx+b中k、b的几何意义，做到看到解析式就能说出图象经过哪几个象限 · 图象信息题先标清坐标轴含义，再逐段分析，重点关注交点与转折点的实际意义 · 待定系数法是本章核心计算技能，每天练2道求解析式题，确保方程组求解不出错 · 函数与方程、不等式结合题要学会「看图说话」，把代数问题转化为图象上下位置关系 · 实际应用题答题时务必写明自变量取值范围，方案比较题要画出临界点两侧的结论 【作业1】（23-24八年级下·全国·单元测试）函数的图象是（　　） A．过点，的直线 B．过点，的直线 C．过点，的直线 D．过点，的直线 【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数值以及自变量， 当时，求出y值，当，解出x的值，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，则，解得：， ∴函数的图象是过点，的直线， 故选：A． 【作业2】（23-24八年级下·广东梅州·期中）已知， 如图， 一次函数 和的图象交于点， 则的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，求说明函数的图象在的图象的上方(包含交点），根据函数图象可直接解答，从个函数的大小关系可以从交点处分开分别观察、确定不等式解集是解答本题的关键． 【详解】由图象可知：的解集为：， 故选：D． 【作业3】（23-24八年级上·广西崇左·阶段检测）下列函数中，不是一次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【详解】解：A、函数是一次函数，不符合题意； B、函数是一次函数，不符合题意； C、函数不是一次函数，符合题意； D、函数是一次函数，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如（、是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 【作业4】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）下列变化过程中，一个变量与另一个变量成正比例函数关系的是（   ） A．正方形的面积S随边长a的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．圆的周长C随半径r的变化而变化 D．汽车在行驶过程中，油箱的剩余油量Q随行驶路程s的变化而变化 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的定义（为常数，），写出各选项的函数关系式，再判断是否符合定义即可． 【详解】解：A．正方形面积与边长的函数关系式为，不符合的形式， ∴不是正比例函数关系，故A不符合题意； B．矩形周长为，可得，整理得，不符合的形式， ∴不是正比例函数关系，故B不符合题意； C．圆的周长与半径的函数关系式为，其中是不为的常数，符合的形式， ∴是正比例函数关系，故C符合题意； D．剩余油量与行驶路程的函数关系式为 （为初始油量，为单位耗油量，均为非零常数），不符合的形式， ∴不是正比例函数关系，故D不符合题意． 【作业5】（2026·新疆昌吉·模拟预测）向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系如图所示，那么水瓶的形态是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图象的斜率变化判断容器横截面积的变化规律，进而确定容器形状． 【详解】解：由图象可知，随的增大而增大，但图象的坡度越来越小， 随着水深的增加，单位高度内水的体积增量在减小， 水瓶的横截面积从下到上逐渐减小，即水瓶形状为下粗上细， 观察选项： A选项：下粗上细，符合题意； B选项：下细上粗，不符题意； C选项：中间细两头粗，不符题意； D选项：上下一样粗，不符题意． 【作业6】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）正比例函数和一次函数在同一个直角坐标系内的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、正比例函数的图象 【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题．分和两种情况讨论：当时，分析两函数图像经过的象限；时，再分析两函数图像经过的象限，即可获得答案． 【详解】解：分两种情况： ①当时，正比例函数的图像过原点，且过第一、三象限， 而一次函数的图像经过第一、三、四象限，无选项符合； ②当时，正比例函数的图像过原点、且过第二、四象限， 而一次函数的图像经过第一、二、三象限，选项D符合． 故选：D． 【作业7】（2024·四川成都·模拟预测）一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围为________． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，理解当时，y随x值的增大而减小是解题的关键． 根据一次函数的性质可知，据此求解即可． 【详解】解：∵一次函数的值随值的增大而减小， ∴，解得， 故答案为：． 【作业8】（24-25八年级下·河北唐山·期末）一次函数的图象与y轴的交点坐标是________． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了求一次函数与y轴的交点坐标，求出自变量的值为0时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 【作业9】（2024·湖南·模拟预测）在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的重量x的一组对应值： 所挂物体重量 0 1 2 3 4 5 … 弹簧长度 20 22 24 26 28 30 … 则当所挂重物为时（在允许范围内），弹簧的长是______． 【答案】36 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】此题考查了函数的表示方法，本题需仔细分析表中的数据，进而解决问题．明确变量及变量之间的关系是解好本题的关键．由表中的数据可知，时，，并且每增加千克的质量，长度增加，依此可求所挂重物为时（在允许范围内）时的弹簧长度． 【详解】解：由表格可得：当所挂物体重量为时，弹簧长；当不挂重物时，弹簧长， 则， 当所挂重物为时，弹簧的长度为：（）． 故答案为： 【作业10】（24-25八年级下·福建福州·期中）函数的自变量的取值范围是_______________． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， 故答案为：． 【作业11】（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知一次函数的图象经过点，则_____ ． 【答案】7 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，将已知点的坐标代入函数解析式即可求解的值． 【详解】解：将代入得，， 解得：． 【作业12】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 【作业13】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数，当的值每增加2，的值就减少5，则的值为__． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数，当x的值每增加2，y的值就减少5，可以计算出k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：设当的值为时，； 当的值为时，。 根据题意，， 所以， 即， 化简得， 解得， 故答案为：． 【作业14】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具、据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据． 0 1 2 3 5 … 2 2.4 2.8 3.2 4 … (1)求水位与时间的函数表达式； (2)当时间为10min时，求水位的高度． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意，求得一次函数解析式． （1）由题意可得，设，求得一次函数解析式，即可求解； （2）把代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为，把和代入得： ， 解得：， ∴水位与时间的函数表达式为； （2）当时，． 【作业15】（24-25八年级下·新疆哈密·期末）已知一次函数的图象经过点、，求这个一次函数的解析式 (1)求该一次函数的解析式； (2)如果这条直线经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）直接由待定系数法求解即可； （2）将代入，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵图象经过点、， ∴， 解得：， ∴一次函数解析为； （2）解：∵这条直线经过点， ∴将代入， 则， 解得：． 【作业16】（25-26八年级上·浙江舟山·阶段检测）某小区临时停车收费规则如下：半小时内（含半小时）收费5元；超过半小时，超出的部分每小时收费10元（不足1小时按1小时计）；每天不超过40元．如果停车时间为，停车费为y（元）． (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)分别求当时的函数值，并说明它们的实际意义． 【答案】(1) y是关于x的函数， 理由：∵存在两个变量：停车时间为，停车费为y（元），对于x每取一个值，都有唯一确定的y值与之相对应，符合函数的定义， ∴y是关于x的函数； (2) 当时，y的值为5，实际意义：停车时间为时，停车费为5元； 当时，y的值为，实际意义：停车时间为时，停车费为15元， 当时，y的值为，实际意义：停车时间为时，停车费为35元， 当时，，则y的值为，实际意义：停车时间为时，停车费为40元． 【知识点】求自变量的值或函数值、函数的概念 【详解】（1） 略 （2） 略 【点睛】重点注意函数的定义：对于x每取一个值，都有唯一确定的y值与之相对应． 【作业17】（22-23八年级上·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，直线的图象如图所示，它与直线的图象都经过，且两直线与轴分别交于两点． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)直接写出两点的坐标． 【答案】(1)过点作直线，画出函数图像如图；； (2)． 【知识点】画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用两点法画出函数的图像即可； （2）根据图像即可求得． 【详解】（1）解：当时， 当时，，， （2）解：对于，当时，； 对于，当时，； ∴． 【作业18】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数． (1)图象经过，求m的值； (2)y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，熟知一次函数图象与系数之间的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过， ， 解得：， 的值为； （2）解：随的增大而减小， ， 解得：， 的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $