04 第四册 一次函数的应用《真题淬炼·题型通关》2026-2027学年沪科版八年级数学上册

沪科版八上期中专项复习 · 第四册 一次函数的应用 安徽各地市期中真题精选 · 7 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 过程图象信息（注水/加热/传送等） 过程图象信息 2026沪科版期中卷（一） 3 题 行程图象应用（相遇与追及） 行程图象应用 2026合肥五十五中天鹅湖校区期中 3 题 分段计费与分段函数 分段计费应用 2026亳州利辛联考期中 3 题 方案选择与费用比较 方案选择应用 2026长丰下塘实验学校期中 3 题 一次函数最值（利润与调配） 一次函数最值 2026沪科版期中卷（二） 3 题 一次函数与几何综合（面积与动点） 一次函数与几何综合 2026蚌埠怀远新城实验期中 3 题 函数应用综合压轴（多问综合） 函数应用综合 2025合肥肥东三中期中 3 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 一次函数应用的核心，是把实际问题中的等量关系抽象为 ：行程问题中路程 、速度 、时间 满足 ，匀速行驶的图象是直线（或折线）；当自变量在不同区间对应不同规律时，需建立分段函数，逐段写解析式、标清每段的取值范围；方案问题中，总费用（总利润）等于各部分费用（利润）之和，约束条件（"不超过""不少于"）化为不等式（组）确定自变量范围；函数与几何综合，则把交点、面积、动点坐标用解析式联系起来，用数形结合求解。 ▍二、法则与公式 1. 待定系数法：图象过 、，代入 解方程组求 ；正比例函数只需一个点。 2. 利润公式：；混合进货 。 3. 阶梯费用（第二档）：，如 。 4. 相遇与追及：相遇 ；追及 ；图象交点的横坐标即相遇（相遇路程相等）时刻。 5. 面积公式：直线 与两轴交于 、，围成 ；两直线与 x 轴围成三角形，以两交点间距离为底、交点纵坐标的绝对值为高。 6. 增减性与最值： 时 随 增大而增大， 时相反；最值只在自变量取值范围的端点取得，正整数解取最接近端点的整数。 ▍三、方法技巧 1. 读图四步：看两轴意义与单位 → 抓特殊点（交点、拐点、端点、与轴交点）→ 由"纵坐标差 ÷ 横坐标差"算速度（单价、速率）→ 分段写解析式并标范围。 2. 双直线交点 ⟺ 方程组的解；"图象在上方" ⟺ ，直接由图写不等式解集。 3. 方案比较三步：分别列费用解析式 → 令两式相等求临界点 → 分区间代入比较大小下结论。 4. 利润最值三步：设变量 → 列 关于 的一次函数 → 由 的符号与取值范围（注意整数）定最值及方案。 5. 几何面积用割补法：；动点问题先设坐标参数，再用距离（含绝对值）列方程，分类讨论去绝对值。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 忽略自变量取值范围：如 仅在 成立，若对 套用得 元，而实际第一档 元——分段函数必须先判档再代式。 2. 面积计算漏绝对值：直线 与两轴围成面积 25，由 得 ，漏负号则丢一解。 3. 最值忽视整数限制：如 且 为正整数， 取最大时应取 ，误取 无意义。 4. 误把图象交点当行程全部：折线的水平段表示停留（速度为 0），拐点多为"到达、折返、停留结束"，需逐段核对；两线交点才表示相遇。 5. 平行四边形动点漏解：如由 得 ，只取正值会丢掉 在 x 轴下方的解。 　题型一 过程图象信息（注水/加热/传送等） 方法要领　看轴意义→抓拐点端点→算速率→分段写式并标范围。 【例】（2026沪科版期中卷（一） 18）某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后停止注水，水位线的高度为 1.2 m。在某次注水的整个过程中，水位的高度 y（m）与注水时间 x（h）之间的函数关系如图所示。根据图象，回答下列问题： (1) 求线段 AB 所表示的函数关系式； (2) 当 x 的值为多少时，恰好停止注水。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026马鞍山二十中期中 15）某生物活动小组观察植物生长，得到该植物高度 y（cm）和观察时间 x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（ 轴），则该植物在第 55 天的高度为 ________ cm。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026沪科版期中卷（二） 19）3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学生注意安全，珍爱生命。小刚骑单车从家出发去上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校。已知小刚家与书店、学校恰好在同一条直线上，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图。根据图中提供的信息回答下列问题： (1) 小刚家到学校的距离是 ________ 米；小刚在书店停留了 ________ 分钟； (2) 本次上学途中，小刚一共行驶了 ________ 米；一共用了 ________ 分钟； (3) 我们认为骑单车的速度超过 400 米/分就超过了安全限度。问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快？并说明此时的速度在安全限度内吗？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型二 行程图象应用（相遇与追及） 方法要领　由纵坐标差÷横坐标差得速度，交点即相遇，往返/停留分段联立方程。 【例】（2026合肥五十五中天鹅湖校区期中 23）甲、乙两地间的直线公路长为 400 千米。一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发 1 小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶。1 小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）。最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离 y（千米）与轿车所用的时间 x（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1) 货车的速度是 ________ 千米/时；轿车的速度是 ________ 千米/时；t 的值为 ________。 (2) 求轿车返回段 BC 的函数表达式并写出自变量 x 的取值范围。 (3) 请直接写出货车出发多长时间两车相距 70 千米。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026亳州利辛联考期中 13）A、B 两地相距 100 km，甲、乙两人骑车同时分别从 A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到 A 地的距离 s（km）与骑车时间 t（h）的关系如图所示，则他们相遇时距离 A 地 ________ km。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026马鞍山雨山实验学校期中 23）甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄。甲行驶 20 分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶。下图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程 y（千米）随时间 x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题： (1) 乙比甲晚多长时间到达李庄？ (2) 甲因事耽误了多长时间？ (3) x 为何值时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多 1 千米？ 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22）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后，超出部分按原价 8.5 折优惠。设顾客预计累计购物 x 元 。 (1) 请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2) 李明准备购买 500 元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由。 (3) 计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026马鞍山二十中期中 22）某课外小组准备进行环保宣传活动，需要制作宣传单，现有甲、乙两家印刷社，两家的收费标准如下表： 甲印刷社 0.2 元/张 乙印刷社 500 张以内（含 500 张）0.3 元/张；超过 500 张部分 0.15 元/张 设印刷费用为 y 元，写出甲、乙两家印刷社的印刷费用 、 与宣传单张数 x 之间的关系式，并说明在何种情况下，乙印刷社比甲印刷社要划算。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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元，一共有多少种满足条件的方案？ (3) 在 (2) 的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排 A、B 两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026沪科版期中卷（一） 21）扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，也增进了人们对扎染文化的了解。云南大理某扎染坊第一次用 3700 元购进甲、乙两种布料共 80 件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1) 该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2) 因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共 100 件。若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的 1.5 倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料 m 件，第二次销售完后获得的利润为 W 元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时20分钟 · 满分50分） 一、选择题（每小题3分） 1．（3分）（2026合肥行知学校期中 8）如图，甲的速度比乙的速度每分快（　　） A． 米　B． 米　C． 米　D．2 米 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（3分）（2026合肥五十中东校期中 10）如图，在矩形 ABCD 中，，，动点 P 从点 B 出发，沿路线 做匀速运动，那么 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（3分）（2026亳州利辛联考期中 5）甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，甲车到达 B 地后立即返回 A 地，两车离 A 地的距离 y（单位：km）与所用时间 x（单位：min）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．甲车速度与乙车速度的比为 3:2 B．甲、乙两车在途中两次相遇的时间间隔为 7.5 min C．第二次相遇时间是第 14 min D．出发后，乙车比甲车先到达 A 地 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（3分）（2026宣城六中期中 10）明明和亮亮都在同一直道 A、B 两地间做匀速往返走锻炼。明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）。明明从 A 地出发，同时亮亮从 B 地出发。图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离 y（米）与行走时间 x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A．　B．　C．　D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、填空题（每小题3分） 5．（3分）（2026宣城六中期中 15）一次函数 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于 4，则 的值等于 ________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（3分）（2026蚌埠蚌山区期中 14）如图 1，在长方形 ABCD 中，动点 E 从点 B 出发，以 1 cm/s 的速度沿着 运动，到点 A 时停止运动。设点 E 的运动时间为 t（s）， 的面积为 S（cm²），其中 S 与 t 的关系如图 2 所示。 (1) 当 时， ________； (2) 当 时， ________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（3分）（2026沪科版期中卷（一） 14）一次函数 （k 为常数且 ）： (1) 该一次函数恒经过点 P，则 P 点的坐标为 ________； (2) 如图，已知长方形 ABCD 中，，，，若一次函数 与长方形 ABCD 的边有公共点，则 k 的取值范围为 ________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（3分）（2026合肥五十五中天鹅湖校区期中 16）直线 恒过一定点 A。 (1) 则该定点 A 的坐标是 ________； (2) 平面直角坐标系中有两点 ，，若该直线 与线段 BC 没有交点，则 k 的取值范围是 ________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2026淮南凤台联考期中 18）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，已知 ，且 。 (1) 求一次函数的表达式； (2) 当 x 轴上有一点 C，使得 的面积为 5，求点 C 的坐标。 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增大而增大， 时相反；最值只在自变量取值范围的端点取得，正整数解取最接近端点的整数。 ▍三、方法技巧 1. 读图四步：看两轴意义与单位 → 抓特殊点（交点、拐点、端点、与轴交点）→ 由"纵坐标差 ÷ 横坐标差"算速度（单价、速率）→ 分段写解析式并标范围。 2. 双直线交点 ⟺ 方程组的解；"图象在上方" ⟺ ，直接由图写不等式解集。 3. 方案比较三步：分别列费用解析式 → 令两式相等求临界点 → 分区间代入比较大小下结论。 4. 利润最值三步：设变量 → 列 关于 的一次函数 → 由 的符号与取值范围（注意整数）定最值及方案。 5. 几何面积用割补法：；动点问题先设坐标参数，再用距离（含绝对值）列方程，分类讨论去绝对值。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 忽略自变量取值范围：如 仅在 成立，若对 套用得 元，而实际第一档 元——分段函数必须先判档再代式。 2. 面积计算漏绝对值：直线 与两轴围成面积 25，由 得 ，漏负号则丢一解。 3. 最值忽视整数限制：如 且 为正整数， 取最大时应取 ，误取 无意义。 4. 误把图象交点当行程全部：折线的水平段表示停留（速度为 0），拐点多为"到达、折返、停留结束"，需逐段核对；两线交点才表示相遇。 5. 平行四边形动点漏解：如由 得 ，只取正值会丢掉 在 x 轴下方的解。 　题型一 过程图象信息（注水/加热/传送等） 方法要领　看轴意义→抓拐点端点→算速率→分段写式并标范围。 【例】（2026沪科版期中卷（一） 18）某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后停止注水，水位线的高度为 1.2 m。在某次注水的整个过程中，水位的高度 y（m）与注水时间 x（h）之间的函数关系如图所示。根据图象，回答下列问题： (1) 求线段 AB 所表示的函数关系式； (2) 当 x 的值为多少时，恰好停止注水。 【答案】(1) ；(2) 【分析】本题考查了一次函数应用、待定系数法求解析式，从图象获取信息是解题的关键。(1) 把点 、 代入 ，即可求出线段 AB 所表示的函数关系式；(2) 令 代入解析式，求出 x 的值即可。 【详解】(1) 解：设线段 AB 所表示的函数关系式为 ， 则 ，解得 ， ∴线段 AB 所表示的函数关系式为 。 (2) 当 时，，解得 。 答：当 时，恰好停止注水。 【练1】（2026马鞍山二十中期中 15）某生物活动小组观察植物生长，得到该植物高度 y（cm）和观察时间 x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（ 轴），则该植物在第 55 天的高度为 ________ cm。 【答案】16 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出线段 AC 对应的函数关系式是解题的关键。利用待定系数法求出线段 AC 对应的函数关系式，进而求出点 C 的坐标，即可得解。 【详解】解：设直线 AC 的解析式为 ， 将 ， 代入得：，解得 ， ∴。 当 时，即 ，解得 ，即 。 结合图象可知，第 50 天时该植物高度达到最高 16 cm，以后不再长高， ∴该植物在第 55 天的高度为 16 cm。 故答案为：16。 【练2】（2026沪科版期中卷（二） 19）3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学生注意安全，珍爱生命。小刚骑单车从家出发去上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校。已知小刚家与书店、学校恰好在同一条直线上，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图。根据图中提供的信息回答下列问题： (1) 小刚家到学校的距离是 ________ 米；小刚在书店停留了 ________ 分钟； (2) 本次上学途中，小刚一共行驶了 ________ 米；一共用了 ________ 分钟； (3) 我们认为骑单车的速度超过 400 米/分就超过了安全限度。问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快？并说明此时的速度在安全限度内吗？ 【答案】(1) 1500，4；(2) 2700，14；(3) 12～14 分钟时速度最快，不在安全限度内 【分析】本题主要考查了函数图象的读图应用。(1) 根据函数图象的纵坐标可得路程，根据横坐标可得到达、离开书店的时间，相减即得停留时间；(2) 根据函数图象的纵坐标可得各段路程，求和即得总路程；(3) 根据路程与时间的关系分段求平均速度，再与安全限度比较即可。 【详解】(1) 解：根据图象，学校的纵坐标为 1500，小刚家的纵坐标为 0， 故小刚家到学校的路程是 1500 米； 根据函数图象，小刚在书店停留的时间为从 8 分到 12 分， ∴（分钟）， 故小刚在书店停留了 4 分钟。 (2) 解：由函数图象可知， 一共行驶的总路程 （米）；一共用了 14 分钟。 (3) 解：由图象可知：0～6 分钟时，平均速度 （米/分）， 6～8 分钟时，平均速度 （米/分）， 12～14 分钟时，平均速度 （米/分）， ∵， ∴12～14 分钟时速度最快，不在安全限度内。 故建议小刚在从书店去学校的途中放慢速度，保持安全骑行。 　题型二 行程图象应用（相遇与追及） 方法要领　由纵坐标差÷横坐标差得速度，交点即相遇，往返/停留分段联立方程。 【例】（2026合肥五十五中天鹅湖校区期中 23）甲、乙两地间的直线公路长为 400 千米。一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发 1 小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶。1 小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）。最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离 y（千米）与轿车所用的时间 x（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1) 货车的速度是 ________ 千米/时；轿车的速度是 ________ 千米/时；t 的值为 ________。 (2) 求轿车返回段 BC 的函数表达式并写出自变量 x 的取值范围。 (3) 请直接写出货车出发多长时间两车相距 70 千米。 【答案】(1) 50；80；3　(2) 　(3) 货车出发 小时后两车相距 70 千米 【分析】本题主要考查根据图象的信息解答行程问题，关键在于分段求函数的解析式，必须分段研究。(1) 观察图象即可解决问题；(2) 分别求出 B、C 的坐标，运用待定系数法即可；(3) 根据题意分段列方程解答即可。 【详解】(1) 解：由函数图象可知货车的速度是 50 千米/小时； 轿车的速度是：（千米/小时）； 。 故答案为 50；80；3。 (2) 解：，则 ； 由题意可知 ， 设直线 BC 的解析式为 ， 则 ，解得 ， ∴。 (3) 解：当 时，，即 ， 解得 （舍去）或 （舍去）； 当 时，，即 ， 解得 （舍去）或 （舍去）； 当 时，， 解得 ，则 。 综上，货车出发 小时后两车相距 70 千米。 答：货车出发 小时后两车相距 70 千米。 【练1】（2026亳州利辛联考期中 13）A、B 两地相距 100 km，甲、乙两人骑车同时分别从 A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到 A 地的距离 s（km）与骑车时间 t（h）的关系如图所示，则他们相遇时距离 A 地 ________ km。 【答案】 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键。设甲的函数图象为 ，乙的函数图象为 ，结合图形确定两函数解析式；再联立方程组，求得方程组的解即可。 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为 ， ∴设甲的函数图象为 ，乙的函数图象为 ， 则 ，， 解得 ，， ∴甲的函数图象为 ，乙的函数图象为 ， 联立 ，解得 ， 即他们相遇时距离 A 地 km。 故答案为：。 【练2】（2026马鞍山雨山实验学校期中 23）甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄。甲行驶 20 分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶。下图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程 y（千米）随时间 x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题： (1) 乙比甲晚多长时间到达李庄？ (2) 甲因事耽误了多长时间？ (3) x 为何值时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多 1 千米？ 【答案】(1) 乙比甲晚 10 分钟到达李庄；(2) 20 分钟；(3) 当 或 时 【分析】本题考查一次函数的行程综合应用。(1) 根据图象求出乙的函数解析式，从而求出乙所需的总时间，与甲所需总时间相减即可；(2) 用待定系数法求出甲停车后行驶段的一次函数式，由图象知甲 20 分钟所行驶的路程，将时间求出，从而得耽误的时间；(3) 分甲因事停止时和甲、乙都行驶时两种情况，由路程差列方程求解。 【详解】(1) 解：设直线 OD 解析式为 ， 由题意可得 ，，∴。 当 时，，，（分）。 故乙比甲晚 10 分钟到达李庄。 (2) 解：设直线 BC 解析式为 ， 由题意可得 ，解得 ，∴。 由图象可知甲 20 分钟行驶的路程为 5 千米，，，（分）。 故甲因事耽误了 20 分钟。 (3) 解：分两种情况： ①甲因事停止期间，乙比甲多行驶 1 千米：，解得 ； ②甲、乙都行驶时，乙比甲多行驶 1 千米：，解得 。 ∴当 或 时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多 1 千米。 　题型三 分段计费与分段函数 方法要领　先判档再代式；由费用反推用量须先定档，边界值代两式检验。 【例】（2026亳州利辛联考期中 19）为鼓励市民节约用电，某市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法。现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量 x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） 根据以上信息解答下列问题： (1) 如果月用电量用 x 度来表示，实付金额用 y 元来表示，当 时，写出实付额 y 元与月用电量 x 度之间的函数关系式； (2) 若小强家一个月的实际用电量为 250 度，则实付金额为多少元？ (3) 请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量。 【答案】(1) ；(2) 128.5 元；(3) 210 度 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据用电量的多少分档求出实付电费与用电量之间的函数关系。(1) 当 时成一次函数关系，实付金额等于 180 度内的用电付出金额与超出 180 度的用电付出金额之和；(2) 根据用电度数判断出适合的档位，把用电度数代入关系式计算即可；(3) 先判断 106.5 元对应的用电量超出 180 度，再代入函数关系式计算即可。 【详解】(1) 解：当 时， 则 。 答：当 时，y 与 x 之间的函数关系式为 。 (2) 解：∵， ∴小强家本月用电量属于第二档， 当 时，（元）。 答：小强家这一个月实付金额 128.5 元。 (3) 解：∵180 度电费为 （元），350 度电费为 （元）， 而 ， ∴该家庭本月用电量属于第二档。 令 ，则 ，解得 。 答：这个家庭本月的实际用电量为 210 度。 【练1】（2026淮南凤台联考期中 20）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费。下表是用户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 x（kW·h） 单价（元/(kW·h)） 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1) 当 时，写出电费 y（单位：元）与 x 之间的关系式； (2) 某户年用电量是 4000 kW·h，求该户这一年的电费； (3) 某户去年一年的电费是 1834 元，求该户去年一年的用电量。 【答案】(1) ；(2) 2182 元；(3) 3400 kW·h 【分析】本题主要考查了求分段函数关系式、求函数值或自变量的值。(1) 先求出第一档的电费，再用第一档的电费加上超过第一档部分的费用即可；(2) 将 代入关系式计算即可；(3) 先确定该费用属于第二档，再将 代入求出 x 的值。 【详解】(1) 解：第一档的电费为 （元）， 第二档的电费为 ， 所以电费 y 与 x 之间的关系式为 。 (2) 解：当某用户一年的用电量为 4000 kW·h 时，处于第二档， ∴（元）， 所以这一年的电费为 2182 元。 (3) 解：由 (1)(2) 知 ， ∴该用户用电量属于第二档， ∴，解得 ， 所以该用户去年一年的用电量为 3400 kW·h。 【练2】（2026马鞍山雨山实验学校期中 8）为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过 4 立方米，则按每立方米 2 元计算；②若每月每户居民用水超过 4 立方米，则超过部分按每立方米 4.5 元计算（不超过部分仍按每立方米 2 元计算）。现假设该市某户居民某月用水 x 立方米，水费为 y 元，则 y 与 x 的函数关系用图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、一次函数图象的识别，根据题意列出函数解析式是解题的关键。列出分段函数解析式再作图即可判断。 【详解】解：由题意可得： 当 时，； 当 时，。 ∴y 与 x 的函数关系为 ， 其图象为从原点出发的射线接到一条更陡的射线（在 处折弯，两段都不过原点下方），作出图象如详解图（同选项 C）， 故选：C。 　题型四 方案选择与费用比较 方法要领　分别列费用解析式→令相等求临界点→分区间比较下结论。 【例】（2026长丰下塘实验学校期中 22）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出 200 元之后，超出部分按原价 8.5 折优惠。设顾客预计累计购物 x 元 。 (1) 请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2) 李明准备购买 500 元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由。 (3) 计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？ 【答案】(1) 甲： 元；乙： 元；(2) 应去乙超市；(3) 购买 600 元的商品时两家费用一样 【分析】本题主要考查列代数式、代数式求值及一元一次方程的实际应用。(1) 根据所给的优惠标准分别计算出两个超市的费用即可；(2) 将 代入 (1) 中两式比较大小即可；(3) 根据两费用相等列方程 求解即可。 【详解】(1) 解：顾客在甲超市购物所付的费用为： 元； 顾客在乙超市购物所付的费用为： 元。 (2) 解：当 时，，， ∵， ∴他去乙超市划算。 答：他应该去乙超市。 (3) 解：由题意得 ， 解得 。 答：李明购买 600 元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样。 【练1】（2026马鞍山二十中期中 22）某课外小组准备进行环保宣传活动，需要制作宣传单，现有甲、乙两家印刷社，两家的收费标准如下表： 甲印刷社 0.2 元/张 乙印刷社 500 张以内（含 500 张）0.3 元/张；超过 500 张部分 0.15 元/张 设印刷费用为 y 元，写出甲、乙两家印刷社的印刷费用 、 与宣传单张数 x 之间的关系式，并说明在何种情况下，乙印刷社比甲印刷社要划算。 【答案】；；当印刷张数大于 1500 张时，乙印刷社比甲印刷社划算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解题的关键是从表格信息中获取函数关系式。根据表格信息直接得到 、 与 x 之间的关系式，然后分区间比较函数值大小：当 时显然 ；当 时，令 ，列不等式求解即可。 【详解】解：根据题意，。 当 时，； 当 时，。 ∴。 当 时，显然 ，即甲印刷社比乙印刷社划算； 当 时，令 ， 即 ，解得 。 ∴当印刷张数大于 1500 张时，乙印刷社比甲印刷社要划算。 【练2】（2026马鞍山雨山实验学校期中 21）某公司需要购买甲、乙两种商品共 150 件，甲、乙两种商品的价格分别为 600 元和 1000 元，且要求乙种商品的件数不少于甲种商品件数的 2 倍。设购买甲种商品 x 件，购买两种商品共花费 y 元。 (1) 请求出 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围。 (2) 试利用函数的性质说明，当购买多少件甲种商品时，所需要的费用最少？费用最少是多少？ 【答案】(1) ， 且 x 为整数；(2) 当 时费用最少，最少费用为 130000 元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，寻找等量关系列出函数式子是解题的关键。(1) 根据总花费 = 甲的总费用 + 乙的总费用列式，再由"乙种商品的件数不少于甲种商品件数的 2 倍"列不等式求取值范围；(2) 分析函数的增减性，代入端点运算求解即可。 【详解】(1) 解：∵购买了甲种商品 x 件，且甲、乙两种商品共 150 件， ∴购买了乙种商品 件， ∴由题意可得：。 ∵乙种商品的件数不少于甲种商品件数的 2 倍， ∴，解得 ， ∴， 且 x 为整数。 (2) 解：∵ 中 ， ∴y 随 x 的增大而减小， ∴当 时，费用最少，最少费用为：（元）。 答：当 时费用最少，最少费用为 130000 元。 　题型五 一次函数最值（利润与调配） 方法要领　设变量列 ，不等式定范围，按 符号取端点。 【例】（2026沪科版期中卷（二） 21）宣城市郎溪县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园。为拓宽销售渠道，进一步向外扩大郎溪县茶叶市场，某乡镇帮助农户将 A、B 两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售。已知每件 A 品种茶叶礼盒比 B 品种茶叶礼盒的售价少 20 元，且出售 2 件 A 品种茶叶礼盒和 1 件 B 品种茶叶礼盒的总价共 500 元。 (1) 求 A、B 两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？ (2) 已知 A、B 两种茶叶礼盒每件的成本分别为 100 元、110 元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出 A、B 两种茶叶礼盒共 100 盒，且 A 品种茶叶礼盒售出的数量不超过 B 品种茶叶礼盒数量的 1.5 倍，总成本不超过 10500 元，一共有多少种满足条件的方案？ (3) 在 (2) 的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排 A、B 两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1) A、B 每件售价分别为 160 元、180 元；(2) 共有 11 种方案；(3) 售出 A 种 50 盒、B 种 50 盒，最大收益 6500 元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用。(1) 设 A、B 两种茶叶礼盒每件的售价分别为 a 元、b 元，根据题意列出二元一次方程组求解；(2) 设售出 A 种茶叶礼盒 x 盒，则售出 B 种 盒，根据题意列一元一次不等式组，求出正整数解的个数即可；(3) 设收益为 y 元，结合 (2) 列出 y 关于 x 的一次函数关系式，由一次函数的性质求最值即可。 【详解】(1) 解：设 A、B 两种茶叶礼盒每件的售价分别为 a 元、b 元，根据题意得 ， 解得：。 答：A、B 两种茶叶礼盒每件的售价分别为 160 元、180 元。 (2) 解：设售出 A 种茶叶礼盒 x 盒，则售出 B 种茶叶礼盒 盒， 根据题意得 ， 解得 。 ∵x 为正整数，， ∴共有 11 种满足条件的方案。 (3) 解：设收益为 y 元， 根据题意得 。 ∵， ∴y 随 x 的增大而减小， ∴当 时，y 取得最大值，最大值为 （元）， ∴售出 B 种茶叶礼盒 （盒）。 答：要使农户收益最大，销售方案为售出 A 种茶叶礼盒 50 盒、B 种茶叶礼盒 50 盒，最大收益为 6500 元。 【练1】（2026沪科版期中卷（一） 21）扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，也增进了人们对扎染文化的了解。云南大理某扎染坊第一次用 3700 元购进甲、乙两种布料共 80 件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1) 该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2) 因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共 100 件。若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的 1.5 倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料 m 件，第二次销售完后获得的利润为 W 元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) 甲种布料 25 件，乙种布料 55 件；(2) 购进甲种 60 件、乙种 40 件时获利最大，最大利润 3600 元 【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键。(1) 设第一次购进甲种布料 x 件、乙种布料 y 件，根据题意列出二元一次方程组计算即可；(2) 根据题意得到 ，求出 ，再利用一次函数增减性求最值即可。 【详解】(1) 解：设扎染坊第一次购进甲种布料 x 件，购进乙种布料 y 件， 根据题意得 ， 解得 。 答：扎染坊第一次购进甲种布料 25 件，购进乙种布料 55 件。 (2) 解：由题知 ，解得 。 ，即 。 ∵， ∴W 随 m 的增大而增大， ∴当 时， 元， 此时 件。 答：第二次购进甲种布料 60 件、乙种布料 40 件时获利最大，最大利润为 3600 元。 【练2】（2026宣城六中期中 23）某超市销售 A、B 两款保温杯，已知 B 款保温杯的销售单价比 A 款保温杯多 10 元，用 480 元购买 B 款保温杯的数量与用 360 元购买 A 款保温杯的数量相同。 (1) A、B 两款保温杯的销售单价各是多少元？ (2) 由于需求量大，A、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共 120 个，且 A 款保温杯的数量不少于 B 款保温杯数量的两倍。若 A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低 10%，两款保温杯的进价每个均为 20 元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) A 款单价 30 元，B 款单价 40 元；(2) 购进 B 款 40 个、A 款 80 个，最大利润 1440 元 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一次函数的实际应用。(1) 设 A 款保温杯的销售单价是 x 元，B 款为 元，根据"用 480 元购买 B 款的数量与用 360 元购买 A 款的数量相同"列分式方程解答即可；(2) 设购进 B 款保温杯 y 个，则 A 款为 个，根据题意求出 ，设总销售利润为 W 元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可。 【详解】(1) 解：设 A 款保温杯的销售单价是 x 元，B 款保温杯的销售单价是 元， 则 ， 解得 ， 经检验， 是原方程的解， ∴。 答：A 款保温杯的销售单价是 30 元，B 款保温杯的销售单价是 40 元。 (2) 解：B 款保温杯销售单价为 元， 设购进 B 款保温杯数量为 y 个，则 A 款保温杯数量为 个， 由 ，解得 ， ∴ 且 y 为整数。 设总销售利润为 W 元， 。 ∵，W 随 y 的增大而增大， ∴当 时，利润 W 最大，最大为 元， 此时 A 款为 个。 答：进货方式为购进 B 款保温杯 40 个、A 款保温杯 80 个，最大利润是 1440 元。 　题型六 一次函数与几何综合（面积与动点） 方法要领　联立求交点，割补法算面积，动点设坐标参数分类讨论。 【例】（2026蚌埠怀远新城实验期中 23）如图，直线 过点 ，且与直线 ： 相交于点 。 (1) 求直线 的解析式； (2) 求四边形 PAOC 的面积； (3) 动点 M 在直线 上，动点 N 在坐标平面内，且四边形 AMNB 是平行四边形，当四边形 AMNB 的面积等于四边形 PAOC 面积的 2 倍时，请直接写出点 N 的坐标。 【答案】(1) ；(2) ；(3) 或 【分析】本题考查了两条直线相交问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积。(1) 由点 在直线 上，利用一次函数图象上点的坐标特征求出 a 值，再利用点 P、B 的坐标可求直线 的解析式；(2) 根据面积差可得结论；(3) 求得平行四边形的面积，即可求得 M 的纵坐标，根据 M 的坐标就可以求得 N 的坐标。 【详解】(1) 解：把点 代入直线 的解析式得 。 设直线 的解析式为 ，则 ， 解得 ， ∴直线 的解析式为 。 (2) 解：作 轴于点 D，则 ，， 由 解得 ，所以 ； 由 解得 ，所以 ； 当 时 ，所以 。 ∴，，， ∴S(四边形PAOC)=S(△ABP)-S(△BOC)=。 (3) 解：设 M 的纵坐标为 h， ∵四边形 AMNB 的面积等于四边形 PAOC 面积的 2 倍， ∴S(四边形AMNB)=。 ∵，且 ，AB、MN 间的距离为 ， ∴，∴。 把 代入 ，解得 或 。 ∵四边形 AMNB 是平行四边形，A、B 都在 x 轴上且 ， ∴N 由 M 向右平移 3 个单位得到， ∴ 或 。 【练1】（2026合肥五十中东校期中 19）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 经过原点，且与直线 ： 交于点 ，直线 与 x 轴交于点 B。 (1) 求直线 的函数解析式； (2) 点 在 x 轴上，过点 P 作平行于 y 轴的直线，分别与直线 、 交于点 M、N。若 ，求 n 的值。 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数综合，关键是注意绝对值方程的解法。(1) 设直线 为 ，先求出点 A 坐标，将点 A 坐标代入 ，求得 k 的值即可；(2) 先求点 B 的坐标，用 n 表示出点 M、N 的坐标，进而表示出 MN 的长，然后解绝对值方程即可。 【详解】(1) 解：∵： 过点 ， ∴，∴，∴。 设直线 为 ， ∵直线 经过原点，且与直线 ： 交于点 ， ∴， ∴直线 为 。 (2) 解：当 时，代入 ：，得到 ， ∴，∴。 ∵点 在 x 轴上，过点 P 作平行于 y 轴的直线，分别与直线 、 交于点 M、N， ∴，， ∴。 ∵， ∴， ∴ 或 。 【练2】（2026长丰下塘实验学校期中 21）如图，已知直线 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 交 x 轴于点 D，与直线 AB 相交于点 。 (1) 根据图象，写出关于 x 的不等式 的解集； (2) 若点 A 的坐标为 ，求直线 AB 的解析式； (3) 在 (2) 的条件下，求四边形 BODC 的面积。 【答案】(1) ；(2) ；(3) 9.5 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式的关系、不规则图形的面积等。(1) 根据点 C 的坐标结合图象可直接得到答案；(2) 把点 、 代入 解方程组即可；(3) 由直线解析式求得点 A、B、D 的坐标，进而根据 S(四边形BODC)=S(△AOB)-S(△ACD) 进行求解即可。 【详解】(1) 解：根据图象可得不等式 的解集为：。 (2) 解：把点 ， 代入 可得： ，解得 ， 所以解析式为 。 (3) 解：把 代入 得 ，所以点 ； 把 代入 得 ，所以点 ； 把 代入 得 ，所以点 ， 所以 ， 所以 S(四边形BODC)=S(△AOB)-S(△ACD)=。 　题型七 函数应用综合压轴（多问综合） 方法要领　方程组定价→不等式（组）定方案→一次函数定最值，含参时按参数符号分类。 【例】（2025合肥肥东三中期中 23）义乌某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元，销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利润为 3500 元。 (1) 求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润； (2) 该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元。 ① 求 y 关于 x 的函数关系式； ② 该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3) 实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 元，且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及 (2) 中条件，设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案。 【答案】(1) 每台 A 型利润 100 元、B 型利润 150 元；(2) ① ；② 购进 A 型 34 台、B 型 66 台；(3) 购进 A 型 70 台、B 型 30 台 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数的性质判断 y 值的增减情况。(1) 设每台 A 型电脑销售利润为 a 元、每台 B 型电脑销售利润为 b 元，根据题意列出方程组求解；(2) ① 根据总利润 = 两种电脑利润之和列出函数关系式；② 利用不等式求出 x 的范围，由函数减函数性质取最小端点求最大利润；(3) 由题意得 ，即 ，根据一次函数的性质求解即可。 【详解】(1) 解：设每台 A 型电脑销售利润为 a 元，每台 B 型电脑的销售利润为 b 元，根据题意得 ， 解得 。 答：每台 A 型电脑销售利润为 100 元，每台 B 型电脑的销售利润为 150 元。 (2) ① 解：据题意得 ，即 。 ② 据题意得 ，解得 。 ∵ 中 ， ∴y 随 x 的增大而减小， ∵x 为正整数， ∴当 时，y 取最大值，则 ， 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大。 (3) 解：据题意得 ，即 ，其中 。 当 时，，y 随 x 的增大而增大， ∴当 时，y 取得最大值，， 即商店购进 70 台 A 型电脑和 30 台 B 型电脑的销售利润最大。 【练1】（2026蚌埠蚌山区期中 23）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 类别 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共 100 件，其中甲种服装不少于 60 件。设购进甲种服装 x 件，两种服装全部售完，商场获利 y 元。 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式。 (2) 若购进 100 件服装的总费用不超过 15000 元，求最大利润。 (3) 在 (2) 的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 a 元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少 元，售价不变，且 。若最大利润为 4000 元，求 b 的值。 【答案】(1) ；(2) 最大利润 4500 元；(3) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键。(1) 由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式；(2) 先求解自变量 x 的取值范围，再根据一次函数增减性求最值；(3) 先建立总利润关于 x 的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于 b 的方程求值即可。 【详解】(1) 解：， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 。 (2) 解：由题意，得 ， 解得 。 ∵在 中，， ∴y 随 x 的增大而增大， ∴当 时，y 有最大值，最大值为 （元）， ∴最大利润为 4500 元。 (3) 解： 。 又∵， ∴， ∴。 ∵，此时 ，y 随 x 的增大而增大， ∴当 时，。 ∵最大利润为 4000 元， ∴， 解得 ，符合题意， ∴b 的值为 4。 【练2】（2026阜阳界首期中 22）某体育器材专卖店购进甲、乙两种品牌排球共 80 个，其进价与售价情况如表： 品牌 甲 乙 进价（元/个） 60 56 售价（元/个） 80 72 设购进甲品牌排球 x 个，销售完这 80 个排球所获得的总利润是 y 元。 (1) 求 y 与 x 的函数关系式；（不需要写出 x 的取值范围） (2) 该体育器材专卖店出售这批排球是否能获得利润 1408 元？如果不能，说明理由；如果能，求甲、乙两种品牌排球分别售出多少个； (3) 若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) ；(2) 能，甲售出 32 个、乙售出 48 个；(3) 购进甲品牌 26 个、乙品牌 54 个，最大利润 1384 元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润。(1) 设购进甲品牌排球 x 个，则购进乙品牌排球 个，根据总利润与单件利润之间的关系，可得 y 与 x 的函数关系式；(2) 当 时，得到关于 x 的一元一次方程，求出 x 的值判断即可；(3) 根据"购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半"列不等式求出 x 的取值范围，然后利用一次函数的增减性解答即可。 【详解】(1) 解：设购进甲品牌排球 x 个，则购进乙品牌排球 个， ∴， ∴y 与 x 的函数关系式为 。 (2) 解：当 时，得 ， 解得 ， ∴（个）。 ∴该体育器材专卖店出售这批排球能获得利润 1408 元，甲品牌排球售出 32 个，乙品牌排球售出 48 个。 (3) 解：∵购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半， ∴， ∴。 在 中，， ∴y 随 x 的增大而增大， ∵x 为整数， ∴当 时，获得利润最大，最大利润为 元。 ∴（个）。 ∴购进甲品牌排球 26 个、乙品牌排球 54 个时，该专卖店获得利润最大，最大利润为 1384 元。 　专题过关检测（限时20分钟 · 满分50分） 一、选择题（每小题3分） 1．（3分）（2026合肥行知学校期中 8）如图，甲的速度比乙的速度每分快（　　） A． 米　B． 米　C． 米　D．2 米 【答案】B 【分析】本题考查了行程问题的应用，合理从图中获取相关信息是解题的关键。分别求出甲、乙的速度，作差即可解答。 【详解】解：甲的速度 ，乙的速度 ， 速度差 ， 故选：B。 2．（3分）（2026合肥五十中东校期中 10）如图，在矩形 ABCD 中，，，动点 P 从点 B 出发，沿路线 做匀速运动，那么 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象、分类讨论思想的应用。分别判断出从点 B 到点 C 以及从点 C 到点 D， 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数关系：从 B 到 C 为 ，从 C 到 D 面积一定，进而判断出图象大致形状即可。 【详解】解：从点 B 到点 C， 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数关系是：； 从点 C 到点 D， 的面积一定，为 。 所以 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致是选项 B（先上升后水平）， 故选：B。 3．（3分）（2026亳州利辛联考期中 5）甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，甲车到达 B 地后立即返回 A 地，两车离 A 地的距离 y（单位：km）与所用时间 x（单位：min）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．甲车速度与乙车速度的比为 3:2 B．甲、乙两车在途中两次相遇的时间间隔为 7.5 min C．第二次相遇时间是第 14 min D．出发后，乙车比甲车先到达 A 地 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的理解、行程问题中的速度、路程和时间关系及相遇问题。根据题中给出的图象逐一分析每个选项，选择出正确选项即可。 【详解】解：设 A、B 两地的距离为 S km，则由图象可知甲车的速度为 km/min，乙车的速度为 km/min，所以甲车的速度与乙车的速度比为 ，故 A 错误； 由图象可得甲车离 A 地距离 与时间 x 之间的函数表达式为 ， 乙车离 A 地距离 与时间 x 之间的函数表达式为 。 当 时，联立 与 的表达式，得 ， 解得 ，即第一次相遇的时间是第 7.5 min； 当 时，联立此时的 与 的表达式，得 ， 解得 ，即第二次相遇时间是第 15 min， 则甲、乙两车在途中两次相遇时间间隔是：（min），故 B 正确，C 错误； 由图象可知甲车出发后第 20 分钟返回 A 地，乙车出发后第 30 分钟到达 A 地，所以甲车先到达 A 地，故 D 错误。 故选：B。 4．（3分）（2026宣城六中期中 10）明明和亮亮都在同一直道 A、B 两地间做匀速往返走锻炼。明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）。明明从 A 地出发，同时亮亮从 B 地出发。图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离 y（米）与行走时间 x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用。观察函数图象，逐一分析四个选项的正误即可。 【详解】解：∵第一次相遇两人共走了 2800 米，第二次相遇两人共走了 米，且二者速度不变， ∴（分），所以 C 正确； 当 时出现拐点，显然此时亮亮到达 A 地，路程为 2800 米， 亮亮的速度为 （米/分）， 两人的速度和为 （米/分）， 明明的速度为 （米/分）， ∴，所以 A 正确； 第三个拐点处应为明明到达 B 地，此时所用时间为 （分），所以 D 正确； 此时 ，所以 B 错误。 故选：B。 二、填空题（每小题3分） 5．（3分）（2026宣城六中期中 15）一次函数 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于 4，则 的值等于 ________。 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键。先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列出方程求解。 【详解】解：当 时，，所以与 y 轴交点为 ； 当 时，，解得 ，所以与 x 轴交点为 。 三角形的两条直角边长度分别为 和 ， ∴， 所以 ， 经检验， 符合题意。 故答案为：。 6．（3分）（2026蚌埠蚌山区期中 14）如图 1，在长方形 ABCD 中，动点 E 从点 B 出发，以 1 cm/s 的速度沿着 运动，到点 A 时停止运动。设点 E 的运动时间为 t（s）， 的面积为 S（cm²），其中 S 与 t 的关系如图 2 所示。 (1) 当 时， ________； (2) 当 时， ________。 【答案】(1) 3；(2) 1 或 6 【分析】本题考查了动点问题与函数图象的结合、长方形的性质，理解函数图象与动点的关系是解题的关键。(1) 当 时，E 在 CD 上，根据长方形对边相等及三角形面积公式得到 ；(2) 当 时，分 E 在 BC 上（）和 E 在 DA 上（）两种情况求解。 【详解】解：(1) 由图 2 可知， 时面积开始不变， 又∵动点的速度为 1 cm/s， ∴ cm， 从 C 到 D 用时 s， ∴ cm。 ∵四边形 ABCD 是长方形， ∴ cm。 当点 E 在 CD 上运动时 ， 的高为 2 cm， ∴ cm²，且保持不变， ∴ 时， cm²。 故答案为 3。 (2) ① E 在 BC 上运动 ： 此时 ， ， 解得 （符合 ）； ② E 在 DA 上运动 ： cm，E 从 D 到 A 用时 2 秒，总运动到 时停止， ∴总路程为 cm， ∴， ， 解得 （符合 ）。 故答案为 1 或 6。 7．（3分）（2026沪科版期中卷（一） 14）一次函数 （k 为常数且 ）： (1) 该一次函数恒经过点 P，则 P 点的坐标为 ________； (2) 如图，已知长方形 ABCD 中，，，，若一次函数 与长方形 ABCD 的边有公共点，则 k 的取值范围为 ________。 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想解题是解题的关键。(1) 由一次函数解析式为 ，可得出点 P 的坐标为 ；(2) 分别求出当一次函数 经过点 时及经过点 时的 k 值，再结合图象求出 k 的取值范围。 【详解】解：(1) ∵一次函数 恒经过点 P， ∴点 P 的坐标为 。 故答案为：。 (2) ∵长方形 ABCD 中，，，， ∴，，。 当一次函数 经过点 时， ，解得 ； 当一次函数 经过点 时， ，解得 。 ∵一次函数 与长方形 ABCD 的边有公共点， ∴由图可知， 或 。 故答案为： 或 。 8．（3分）（2026合肥五十五中天鹅湖校区期中 16）直线 恒过一定点 A。 (1) 则该定点 A 的坐标是 ________； (2) 平面直角坐标系中有两点 ，，若该直线 与线段 BC 没有交点，则 k 的取值范围是 ________。 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题、一次函数的性质，理解经过 B、C 两点求得的 k 值是临界值是解题的关键。(1) 根据 ，当 时 y 与 k 的值无关，即可得出定点 A 的坐标；(2) 要使直线与线段 BC 没有交点，则直线在点 B 上方或在点 C 下方，分别将 B、C 坐标代入 求临界值即可。 【详解】解：(1) ∵， ∴当 时，， ∴直线 恒过点 。 故答案为：。 (2) ∵直线 与线段 BC 没有交点， ∴直线 在点 B 上方或在点 C 下方。 当直线过 B 点时，，解得 ； 当直线过 C 点时，，解得 。 当直线在 B 点上方时， 处 ，即 ； 当直线在 C 点下方时， 处 ，即 。 ∴ 或 。 故答案为： 或 。 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2026淮南凤台联考期中 18）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，已知 ，且 。 (1) 求一次函数的表达式； (2) 当 x 轴上有一点 C，使得 的面积为 5，求点 C 的坐标。 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，正确求出函数解析式是关键。(1) 利用待定系数法进行解答即可；(2) 设点 ，则 ，根据 的面积为 5 得到 ，解方程即可得到答案。 【详解】(1) 解：∵一次函数 的图象与 x 轴交于点 ， ∴， ∵， ∴， ∴。 ∵一次函数 的图象经过点 和点 ， ∴， 解得 ， ∴。 (2) 解：设点 C 的坐标为 ，则 ， ∵ 的面积为 5， ∴， 解得 或 ， ∴点 C 的坐标为 或 。 10．（8分）（2026蚌埠怀远新城实验期中 20）如图，一次函数 的图象交 x 轴于点 A， 的图象交 x 轴于点 B，且两条直线相交于点 。 (1) 则 ________， ________； (2) 求 的面积； (3) 结合图象，直接写出不等式 的解集。 【答案】(1) 2，1；(2) 27；(3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、两条一次函数图象的交点问题。(1) 先把 代入 求出 m，再把点 C 的坐标代入 求出 k；(2) 求出两直线与 x 轴的交点，利用面积公式求解；(3) 根据图象确定解集。 【详解】(1) 解：将 代入 得 ， 解得 ， ∴。 将 代入 得 ， 解得 ， ∴。 故答案为：2，1。 (2) 解：对于 ，当 时，，解得 ； 对于 ，当 时，，解得 ， ∴，， ∴。 (3) 解：由 (1) 知 ， ∵ 即 ，表示 的图象在 的图象下方（含交点）， 由图象知对应交点横坐标满足 ， ∴不等式 的解集是 。 11．（10分）（2025合肥肥东三中期中 21）甲、乙两车分别从 M、N 两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达 N、M 两地后即停止行驶。已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为 s（单位：km），乙车行驶的时间为 t（单位：h），s 与 t 的函数关系如图所示。 (1) M、N 两地之间的公路路程是 ________ km，乙车的速度是 ________ km/h，m 的值为 ________； (2) 求线段 EF 的解析式； (3) 直接写出甲车出发多长时间，两车相距 140 km。 【答案】(1) 300，60，5；(2) ；(3) 小时或 小时 【分析】本题考查一次函数的行程综合应用。(1) 根据题图即可知 M、N 两地之间的公路路程，分别求出甲、乙的速度即可求 m；(2) 设 的表达式为 ，将 、 代入表达式即可求解；(3) 分相遇前和相遇后进行计算即可。 【详解】(1) 解：由图可知 M、N 两地之间的公路路程是 300 km； 乙车的速度是： km/h； 甲车的速度是： km/h； ∴（h）。 (2) 解：设 EF 的表达式为 ， 将 、 代入表达式得 ，解得 ， ∴。 (3) 解：两车相遇前：（h）； 两车相遇后：（h）。 故甲车出发 h 或 h，两车相距 140 km。 期中专项复习 · 八年级教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $