期中复习专题03 直线斜率与直线方程【知识清单+8大考点+强化训练】讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题03 直线斜率与直线方程 知识点1：直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2．直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 3．过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，， 则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关。 （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4．三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。 知识点2：两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点3：两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 知识点4：直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 知识点5：直线的斜截式方程 (1) 直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 知识点6：直线的两点式方程 (1) 直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点， 时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 知识点7：直线的截距式方程 (1) 直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 知识点8：直线的一般式方程 (1) 直线的一般式方程的定义： 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 【注意】(1)直线的一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系数A，B，C对直线位置的影响 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交． ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直． ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直． ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合． ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 考点一 求直线的斜率或倾斜角 考点二 已知倾斜角或斜率求参数 考点三 直线与线段的相交关系求斜率范围 考点四 求直线方程 考点五 判断直线的平行、垂直及其求参 考点六 由两条直线平行、垂直求方程 考点七 直线图象的问题 考点八 直线与坐标轴围成图形的面积问题 考点一 求直线的斜率或倾斜角 1．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的方程为，当时，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 故，又，解得； 当时，此时直线的方程为，倾斜角为. 综上，直线的倾斜角范围是. 2．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的斜率为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】已知直线过点和点. 根据过两点的直线的斜率公式可得： 该直线的斜率为. 3．（26-27高二上·广东江门·阶段检测）（多选）直线的倾斜角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由诱导公式得， 直线的方程化为，则直线斜率， 因为，所以，即， 设直线倾斜角为，，，于是， 当时，， 当时，， 所以倾斜角的取值范围是，ABD满足，C不满足. 4．（26-27高二上·湖北黄石·阶段检测）已知直线经过两点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知直线过，， 所以. 设直线倾斜角为，， 由，得. 考点二 已知倾斜角或斜率求参数 5．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线 过点 和点 ，分别求出满足下列条件的 的取值或取值范围. (1)直线 的倾斜角为直角; (2)直线 的倾斜角为锐角; (3)直线 的倾斜角为钝角. 【答案】(1) (2)的取值范围为， (3)的取值范围为. 【分析】（1）由条件可得两点横坐标相等，纵坐标不相等，列方程求解； （2）利用两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率关系列不等式即得解； （3）结合倾斜角与斜率关系列不等式即得解. 【详解】（1）∵直线的倾斜角为直角，所以. （2）因为直线的倾斜角为锐角， 所以 ， 解得 ， 即的取值范围为， （3）因为直线的倾斜角为钝角， 所以， 解得或， 即的取值范围为. 6．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为，故. 由斜率公式可得，解得. 7．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 8．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 考点三 直线与线段的相交关系求斜率范围 9．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，. 由图像可知，从方向转到方向须经过竖直方向，斜率的取值范围为或，即，A正确. 10．（26-27高二上·辽宁阜新·阶段检测）已知点在线段上，则的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由转化为求定点与线段上动点斜率问题，利用图象求解. 【详解】可看作线段上的点与定点连线的斜率， 因为，如图， 由图象知，， 即的范围是. 11．（25-26高二上·江苏苏州·期中）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线l的倾斜角为，根据直线l与连接的线段总有公共点，可得或，结合正切函数的图象即得. 【详解】 如图所示，设直线l的倾斜角为， 则 直线与连接的线段总有公共点， 或，即或， 又，则有. 故选：C. 12．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 考点四 求直线方程 13．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线点斜式方程的定义，代入已知的定点坐标和斜率即可得到对应方程. 【详解】由题意可知，直线过定点且斜率，由直线的点斜式方程的定义，可得直线的点斜式方程为，故C正确. 14．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）（多选）过点，并且在两轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，按直线是否过原点分类，结合直线方程的截距式求解. 【详解】当直线过原点时，该直线在两轴上的截距的绝对值相等，方程为，即； 当直线不过原点时，若该直线在两轴上的截距相等，设方程为，则，解得，所求方程为； 若该直线在两轴上的截距互为相反数，设方程为，则，解得，所求方程为， 所以符合要求的直线方程为或或. 15．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）已知直线l的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线l经过点 B．直线l的斜截式方程为 C．直线l的横截距为 D．与直线l垂直的直线的一个方向向量为 【答案】ACD 【详解】对于选项A：由直线方程可知直线l经过点和，故A正确； 对于选项B：由直线方程即为，可得， 所以直线l的斜截式方程为，故B错误； 对于选项C：对于直线l：，令，解得， 所以直线l的横截距为，故C正确； 对于选项D：因为直线l的斜率，则直线l的一个方向向量为， 且，即， 所以与直线l垂直的直线的一个方向向量为，故D正确. 16．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）过点，斜率为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：，斜率为， 根据点斜式方程可得：，化简可得：. 考点五 判断直线的平行、垂直及其求参 17．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，：（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过两直线互相垂直斜率之积等于求解. 【详解】当即时，：，：，两直线不垂直； 当，时，若，则，解得. 18．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线和垂直，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线的位置关系求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 19．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线，直线，若，则（     ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴由一般方程满足的条件可得，解得. 20．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的条件列方程求解，再检验排除两直线重合的情况即可得到结果 【详解】因为 直线：，：，与平行， 所以，即，解得或， 当时，，，满足平行要求； 当时，，，即，与重合，不符合要求. 综上所述，实数的取值集合为. 考点六 由两条直线平行、垂直求方程 21．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）已知直线经过点． (1)若直线与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为，，     将点代入，得，解得， 故直线的一般式方程为． （2）由题知，直线的斜率为，     设直线的斜率为， 由题意知，即，解得．     又因为直线经过点， 由点斜式得，     整理得， 故直线的一般式方程为． 22．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知点，直线. (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设与直线垂直的直线方程为，代入点的坐标，求出，即可得到过点且与直线垂直的直线方程； （2）设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，求出，即可得到过点且与直线平行的直线方程. 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为， 因为过点，所以，解得. 所以过点且与直线垂直的直线方程为. （2）设与直线平行的直线方程为， 因为过点，所以，解得. 所以过点且与直线平行的直线方程为：. 23．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)过点且与直线垂直的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若两条直线互相垂直且斜率存在，则两条直线斜率乘积为，再利用点斜式求解； （2）若两条直线互相平行，则它们的斜率相等，再利用点斜式求解. 【详解】（1）由题可知：过点且与直线垂直的直线斜率为， 利用点斜式可得：，化简得：. （2）由题可知：过点且与直线平行的直线斜率为， 利用点斜式可得：，化简得： 24．（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． （2）由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 考点七 直线图象的问题 25．（25-26高二上·全国·课后作业）直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】化简直线方程分别为和，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】化简直线方程分别为和， 显然的斜率是的纵截距, 的纵截距是的斜率， 对于A中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然不成立； 对于B中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然成立； 对于C中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然不成立； 对于D中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然不成立； 故选：B. 26．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）（多选）已知直线，当m变化时，以下结论正确的是（    ） A．直线l必过定点 B．直线l的倾斜角大小不变 C．直线l一定不经过第四象限 D．直线l一定经过第一、二、三象限 【答案】BCD 【分析】在考虑含参数的方程是否过定点时，可考虑在参数给定范围取两个值，检验得到的方程组是否有解判断，而后三个选项，都是需要将直线方程转化成斜截式方程再去一一判断. 【详解】对于A选项，因，分别取代入方程，即得： 易知该方程组无实数解，故直线不过定点，选项A错误； 对于B选项，因直线方程可转化为：，故直线斜率为，倾斜角为定值，故选项B正确； 对于C选项，由上述结果，知直线方程为：，因则，故当时，必有恒成立， 即直线l一定不经过第四象限，故选项C正确； 对于D选项，由上述结果，知直线方程为：，可得：直线斜率为正，纵截距也为正， 故直线l一定经过第一、二、三象限. 故选：BCD. 27．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）若直线经过第二、三、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意，化简直线为，列出不等式组，即可求解. 【详解】由直线，可得， 要使得直线经过第二、三、四象限，则满足，解得. 故选：A. 28．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如果，那么直线一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．坐标原点 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴的截距分别是、，结合题意即可判定. 【详解】直线在轴上的截距为， 在轴上的截距为， 因为，所以同号， 则直线在坐标轴上的截距同正或同负，如图， 则直线一定经过第二象限. 故选：B 考点八 直线与坐标轴围成图形的面积问题 29．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】法一：设点斜式方程，分别求出两坐标轴的交点坐标，表示出面积，分两种情况考虑，去掉绝对值，方程解的个数即对应直线的个数；法二：设截距式方程，由三角形面积为6，可得，即，分情况去掉绝对值，由判别式即可判断方程解的个数即直线的个数. 【详解】法一：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 设此直线与轴、轴的交点分别为，， 则点，的坐标分别为，， 因此面积为， 若，化简得，无解； 若，化简得，解得， 综上，直线的个数为2. 法二：过的直线与坐标轴围成三角形， 故的方程可设为，则，，即， 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又，无解； 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又， 则方程有两个不相等的实数根，即对应的直线个数为2条. 30．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的截距式方程，代入已知点坐标，利用基本不等式求得△MON面积最小时的横、纵截距，转化为斜截式即可得到直线方程. 【详解】设直线的截距式方程为，其中，， 因为直线过点，将点代入方程得：， 的面积， 根据基本不等式，有： 将代入不等式，得： ，两边平方整理得，当且仅当时等号成立， 联立，解得，， 将代入截距式方程，得， 整理为斜截式得. 31．（2026高二·全国·专题练习）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 32．（25-26高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是____________. 【答案】． 【分析】设直线的方程为，求出坐标，再求得的面积，由关于的方程有四个不等的实根可求得的范围． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记直线的倾斜角为，由题意， ，得或， 故的取值范围是. 2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）“”是“直线与垂直”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：当时，直线的斜率， 直线的斜率，此时，两直线垂直，充分性成立. 必要性：①时，两条直线分别为和，两直线垂直，符合题意， ②时，两条直线斜率均存在，直线的斜率，直线的斜率，此时， 当直线与垂直时，此时，必要性不成立. 综上，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 3．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先验证充分性是否满足，再验证必要性是否满足即可. 【详解】当时，：，即， 此时，故充分性满足； 当时，则有， 解得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 4．（26-27高二上·河北·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为. 由直线，得直线的斜率； 由，，得. 5．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的方向向量求出直线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意知，直线的斜率为， 故直线的方程为，整理得. 6．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）直线：与：（其中，，），在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线方程，发现交点横坐标恒为，据此可直接排除交点轴左侧A选项，再验证其余选项中斜率、纵截距的大小关系即可确认. 【详解】将直线的方程分别化为斜截式：，， 联立两直线方程求交点：，移项得，因为，解得， 即无论取何值，两条直线的交点横坐标恒为1，即交点一定在轴右侧， 对于选项A：两直线交点在轴左侧，矛盾，所以A错误； 对于选项B：两直线交点在轴右侧，斜率大于0，即，纵截距为正，即； 斜率大于0，即，纵截距为正，即，参数正负完全一致，所以B正确； 对于选项C：两直线交点在轴右侧，斜率小于0，即，纵截距为正，即； 斜率大于0，即，纵截距为正，即，矛盾，所以C错误； 对于选项D：两直线交点在轴右侧，斜率大于0，即，纵截距为负，即； 斜率大于0，即，纵截距为正，即，矛盾，所以D错误； 7．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线l恒过定点P(1，1)，计算PA、PB的斜率，结合直线与线段AB相交的斜率约束求解m的取值范围. 【详解】将整理为， 令，解得，即直线l恒过定点， ， ， 直线l的斜率为，因直线l与线段AB相交，结合几何关系可知斜率需满足或，即或， 分别解不等式得 或 ，故实数m的取值范围是. 8．（26-27高二上·河北·期中）直线经过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由，解得，即直线过定点. 9．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（     ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与直线垂直 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB 【分析】根据直线的点斜式方程，可判定A正确；根据，可判定B正确；令，求得，列出方程，求得的值，可判定C错误；根据斜率与倾斜角的关系，可判定D错误. 【详解】对于A，直线，可化为， 根据直线的点斜式方程，可得直线恒过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线的方程为，可得直线的斜率为， 又由直线与直线的斜率为， 可得，所以直线与直线垂直，所以B正确； 对于C，由直线，令，可得， 由，解得，即若直线在轴上的截距为时，则，所以C错误； 对于D，当时，可得，因为，可得， 即直线的倾斜角的取值范围为，所以D错误. 10．（26-27高二上·福建福州·阶段检测）（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线必过定点 C．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是 D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求其解即可判断C；举特例判断D． 【详解】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线，化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线方程整理为斜截式， 直线不经过第二象限的充要条件是斜率非负、轴截距非正，即 解得，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在轴，轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 11．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知直线：，：，则（     ） A．，不可能重合 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 【答案】AC 【详解】对于A选项，假设与重合，则存在非零实数，使得， 故，该方程组无解，故不可能重合，A正确. 对于B选项，当时，，，两直线垂直不平行； 当时，若，则两直线斜率相等，即，解得， 当时，满足要求； 当时，满足要求，所以，故B错误. 对于C选项，若，则，解得，故C正确. 对于D选项，若的倾斜角为0，则的斜率为0，当时，，倾斜角为； 当时，的斜率为，令无实数解，故的倾斜角不可能为0，D错误. 12．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则________． 【答案】/ 【详解】由，可知，， 而直线方向向量为，故，解得. 13．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）已知直线：，：，若，则__________；若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】第一空：根据两直线垂直的关系列出关于的方程，解得的值，即可得出实数的值； 第二空：由，直线恒过，结合图像即可求出实数的取值范围. 【详解】由，所以，即，解得， 因为，恒过定点， 画出函数图像，如图： 因为与直线有两个公共点，所以或或， 解得，所以. 14．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 【答案】 【分析】直线l: 平分角，即直线与直线关于直线l对称，求出点关于直线l的对称点坐标，点一定在直线上，结合点坐标求解即可. 【详解】设点关于直线l的对称点坐标，则中点坐标为，直线斜率， 点与点关于直线对称，即， 整理得化简得解得即点坐标， 因为直线平分角，所以点在直线上，可得， 结合有直线的方程为：， 化简得. 15．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知点，，直线经过点． (1)若与直线平行，求的斜截式方程； (2)若与直线垂直，求的一般式方程； (3)若与线段的延长线有交点，求斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题， 因为与直线平行，所以， 所以的方程为． （2）因为与直线垂直，所以， 所以的方程为，即． （3）依题意，， 若与线段延长线有公共点，如图，则的斜率的取值范围是. 16．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． (1)若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 由轴，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为， 四边形是梯形，其上底为，下底为，高为， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和， 当时，其斜率， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得， 所以，直线过定点； 当时，、，此时直线为，过点； 综上可得：直线必过定点. 【分析】（1）借助中点公式计算可得点、坐标，即可得直线l的方程； （2）设直线方程，代入点得到直线方程，然后得到交点坐标，由交点坐标计算三角形面积，然后利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设，利用得到，再设，根据四边形面积得到关系式，代回直线方程，求出定点得解． 【详解】（1）由点P为线段AB的中点，则有，即，， 故直线l的方程为，即； （2）当直线斜率不存在时，不存在点，舍去； 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴； （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线斜率与直线方程 知识点1：直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2．直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 3．过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，， 则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关。 （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4．三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。 知识点2：两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点3：两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 知识点4：直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 知识点5：直线的斜截式方程 (1) 直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 知识点6：直线的两点式方程 (1) 直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点， 时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 知识点7：直线的截距式方程 (1) 直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 知识点8：直线的一般式方程 (1) 直线的一般式方程的定义： 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 【注意】(1)直线的一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系数A，B，C对直线位置的影响 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交． ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直． ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直． ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合． ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 考点一 求直线的斜率或倾斜角 考点二 已知倾斜角或斜率求参数 考点三 直线与线段的相交关系求斜率范围 考点四 求直线方程 考点五 判断直线的平行、垂直及其求参 考点六 由两条直线平行、垂直求方程 考点七 直线图象的问题 考点八 直线与坐标轴围成图形的面积问题 考点一 求直线的斜率或倾斜角 1．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的斜率为（     ） A． B．4 C． D． 3．（26-27高二上·广东江门·阶段检测）（多选）直线的倾斜角可以为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·湖北黄石·阶段检测）已知直线经过两点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 考点二 已知倾斜角或斜率求参数 5．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线 过点 和点 ，分别求出满足下列条件的 的取值或取值范围. (1)直线 的倾斜角为直角; (2)直线 的倾斜角为锐角; (3)直线 的倾斜角为钝角. 6．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 考点三 直线与线段的相交关系求斜率范围 9．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·辽宁阜新·阶段检测）已知点在线段上，则的范围是（  ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江苏苏州·期中）经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点四 求直线方程 13．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（     ） A． B． C． D． 14．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）（多选）过点，并且在两轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（   ） A． B． C． D． 15．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）已知直线l的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线l经过点 B．直线l的斜截式方程为 C．直线l的横截距为 D．与直线l垂直的直线的一个方向向量为 16．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）过点，斜率为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 考点五 判断直线的平行、垂直及其求参 17．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，：（），若，则（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线和垂直，则实数（     ） A． B． C． D． 19．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线，直线，若，则（     ） A．或 B．或2 C． D． 20．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 考点六 由两条直线平行、垂直求方程 21．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）已知直线经过点． (1)若直线与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 22．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知点，直线. (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程. 23．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)过点且与直线垂直的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程； 24．（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 考点七 直线图象的问题 25．（25-26高二上·全国·课后作业）直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（   ） A．   B．   C．   D．   26．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）（多选）已知直线，当m变化时，以下结论正确的是（    ） A．直线l必过定点 B．直线l的倾斜角大小不变 C．直线l一定不经过第四象限 D．直线l一定经过第一、二、三象限 27．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）若直线经过第二、三、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 28．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如果，那么直线一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．坐标原点 考点八 直线与坐标轴围成图形的面积问题 29．（25-26高二上·广东深圳·期中）若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的方程为（     ） A． B． C． D． 31．（2026高二·全国·专题练习）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 32．（25-26高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是____________. 1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）若经过，两点的直线的倾斜角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）“”是“直线与垂直”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高二上·河北·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）直线：与：（其中，，），在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·河北·期中）直线经过定点（ ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（     ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与直线垂直 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 10．（26-27高二上·福建福州·阶段检测）（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线必过定点 C．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是 D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 11．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知直线：，：，则（     ） A．，不可能重合 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 12．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）经过，两点的直线的方向向量为，则________． 13．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）已知直线：，：，若，则__________；若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________． 14．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 15．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）已知点，，直线经过点． (1)若与直线平行，求的斜截式方程； (2)若与直线垂直，求的一般式方程； (3)若与线段的延长线有交点，求斜率的取值范围． 16．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． (1)若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $