2026--2027学年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制)期中测评 押题卷(二)

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中测评 押题卷(二) 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 2．（4分）点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 3．（4分）已知6是3和x的比例中项，那么x的值是（　　） A．2 B．12 C． D．18 4．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞1 B．x＞﹣3或x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣1＜x＜1 5．（4分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C． D．∠ACB＝∠E 6．（4分）在平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④当x＞0时，y随x的增大而减小．上述结论一定正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1.5，1），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝2和x2＝_______ ． 8．（4分）已知线段a＝3，b＝5，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为________________ ． 9．（4分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：______________ ． 10．（4分）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7的最大值为_____ ． 11．（4分）一个零件，画在图纸上的长度是10cm，零件的实际长度是5mm．则这张图纸的比例尺是_________ ． 12．（4分）如图是抛物线y＝ax2﹣2ax的部分图象，抛物线与x轴的另一个交点为__________ ． 13．（4分）如图，直线AB∥CD∥EF，如果，BD＝6，那么BF的长是_______ ． 14．（4分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为__________________ m． 15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y m 0 ﹣4 n 0 则m，n的大小关系为m_____ n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 16．（4分）如图，已知函数与与y2＝kx（k＞0），则可以看作y1与y2的和函数，可以看作y1与y2的差函数，下列五个结论： ①函数y3与y4都经过原点； ②函数y3不经过第四象限； ③函数y3与函数y4关于y轴轴对称； ④若A（m，n）和B（p，q）分别是函数y3与y4图象上点，且m+p＜0，则n＞q； ⑤若P、Q分别是直线y＝a（a＞0）与函数y3与y4图象的交点，且PQ不大于2，则0＜a+k≤1；其中正确的结论是________ （填写序号）． 17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°．D是边BC上一点，以AD为边，作△ADE，使得△ADE∽△ABC．DE交AC于点F，当取最小值时，DF＝EF，则__________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）求证：如果，那么，． 19．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣4x+5在对称轴右侧呈下降趋势，其中a2＝4． （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数y＝ax2﹣4x+5有最大值还是最小值？请求出这个最值． 20．（10分）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB． （1）求证：△AED∽△DFC； （2）若，则的值为 __________________ ． 21．（12分）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C（A的对应点是A1，B的对应点是B1）． （2）求△A1B1C的面积． （3）用无刻度的直尺在线段A1B1上找一点P，使得．（保留画图痕迹） 22．（12分）如图，线段AD、BC相交于点E，点F是线段ED的中点，联结AB、BD、CD，分别延长BA、FC交于点G．已知∠BAD＝90°，且． （1）求证：∠ABE＝∠FCD； （2）如果DA平分∠BDC，求证：． 23．（14分）综合与实践 问题情境：已知羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）满足y＝ax2+bx+1，某次发球时，数学实践小组测得的对应值如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 … 竖直高度y/m 1 k … 数学思考： （1）求y与x的函数解析式，并求出羽毛球本次飞行的最大高度． 问题解决： （2）求出表格中k的值，并判断当羽毛球场的球网高度为1.55m，发球点距离球网2m时，羽毛球能否越过球网？说明理由． （3）若球员甲发球过网后，球员乙在羽毛球飞行的水平距离为6m的点Q处接住球（如图2），此时如果球员乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数；如果球员乙选择吊球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和C，与y轴交于点B（0，3），顶点为D，联结AB、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点P在x轴上方时，联结PB、PC，如果，求点P的坐标； ②如果点E在对称轴上，且使△PDE与△AOB相似，请直接写出点P的坐标． 试卷第2页，总2页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市九年级数学上册沪教版（五四制 期中测评押题卷（二）答题卡 试卷类型：B 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二. 填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 试卷第1页，总6页 7. 8 9 10. 2 13. 14. 15. 6 18 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作 答) 19.答： 20.答： 试卷第2页，总6页 A E D B F C 21.答： B 22.答： 试卷第3页，总6页 G C A 金 F B D 23.答： y/m y/m Q 甲职发球点 球 乙 球 图1 图2 24.答： D B C 25.答： 试卷第4页，总6页 试卷第5页，总6页 试卷第6页，总6页 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中测评 押题卷(二)答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：B 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中测评 押题卷(二) 考试范围：二次函数+相似三角形；考试时间：100分钟；满分：150分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 2．（4分）点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 3．（4分）已知6是3和x的比例中项，那么x的值是（　　） A．2 B．12 C． D．18 4．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞1 B．x＞﹣3或x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣1＜x＜1 5．（4分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C． D．∠ACB＝∠E 6．（4分）在平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④当x＞0时，y随x的增大而减小．上述结论一定正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1.5，1），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝2和x2＝_______ ． 8．（4分）已知线段a＝3，b＝5，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为________________ ． 9．（4分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：______________ ． 10．（4分）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7的最大值为_____ ． 11．（4分）一个零件，画在图纸上的长度是10cm，零件的实际长度是5mm．则这张图纸的比例尺是_________ ． 12．（4分）如图是抛物线y＝ax2﹣2ax的部分图象，抛物线与x轴的另一个交点为__________ ． 13．（4分）如图，直线AB∥CD∥EF，如果，BD＝6，那么BF的长是_______ ． 14．（4分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为__________________ m． 15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y m 0 ﹣4 n 0 则m，n的大小关系为m_____ n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 16．（4分）如图，已知函数与与y2＝kx（k＞0），则可以看作y1与y2的和函数，可以看作y1与y2的差函数，下列五个结论： ①函数y3与y4都经过原点； ②函数y3不经过第四象限； ③函数y3与函数y4关于y轴轴对称； ④若A（m，n）和B（p，q）分别是函数y3与y4图象上点，且m+p＜0，则n＞q； ⑤若P、Q分别是直线y＝a（a＞0）与函数y3与y4图象的交点，且PQ不大于2，则0＜a+k≤1；其中正确的结论是________ （填写序号）． 17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°．D是边BC上一点，以AD为边，作△ADE，使得△ADE∽△ABC．DE交AC于点F，当取最小值时，DF＝EF，则__________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）求证：如果，那么，． 19．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣4x+5在对称轴右侧呈下降趋势，其中a2＝4． （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数y＝ax2﹣4x+5有最大值还是最小值？请求出这个最值． 20．（10分）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB． （1）求证：△AED∽△DFC； （2）若，则的值为 __________________ ． 21．（12分）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C（A的对应点是A1，B的对应点是B1）． （2）求△A1B1C的面积． （3）用无刻度的直尺在线段A1B1上找一点P，使得．（保留画图痕迹） 22．（12分）如图，线段AD、BC相交于点E，点F是线段ED的中点，联结AB、BD、CD，分别延长BA、FC交于点G．已知∠BAD＝90°，且． （1）求证：∠ABE＝∠FCD； （2）如果DA平分∠BDC，求证：． 23．（14分）综合与实践 问题情境：已知羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）满足y＝ax2+bx+1，某次发球时，数学实践小组测得的对应值如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 … 竖直高度y/m 1 k … 数学思考： （1）求y与x的函数解析式，并求出羽毛球本次飞行的最大高度． 问题解决： （2）求出表格中k的值，并判断当羽毛球场的球网高度为1.55m，发球点距离球网2m时，羽毛球能否越过球网？说明理由． （3）若球员甲发球过网后，球员乙在羽毛球飞行的水平距离为6m的点Q处接住球（如图2），此时如果球员乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数；如果球员乙选择吊球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和C，与y轴交于点B（0，3），顶点为D，联结AB、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点P在x轴上方时，联结PB、PC，如果，求点P的坐标； ②如果点E在对称轴上，且使△PDE与△AOB相似，请直接写出点P的坐标． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市 九年级数学上册 沪教版(五四制) 期中测评 押题卷(二) 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A B C C C 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后根据比例性质求出d的值． 【解答】解：∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴a：b＝c：d，即1：5＝3：d， ∴d＝15（cm）． 故选：A． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d满足 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说a、b、c、d是成比例线段，简称比例线段． 2．（4分）点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【答案】A 【分析】由抛物线y＝﹣（x+1）2+2，可得对称轴为直线x＝﹣1，a＝﹣1＜0，即当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小，由A（﹣2，y1）点关于对称轴对称的点坐标为（0，y1），0＜1＜2，可得y1＞y2＞y3． 【解答】解：点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则： ∵抛物线y＝﹣（x+1）2+2， ∴对称轴为直线x＝﹣1，a＝﹣1＜0， ∴当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小， ∴A（﹣2，y1）点关于对称轴对称的点坐标为（0，y1）， ∵0＜1＜2， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（4分）已知6是3和x的比例中项，那么x的值是（　　） A．2 B．12 C． D．18 【答案】B 【分析】根据6是3和x的比例中项，可得6×6＝3x，进而得出答案． 【解答】解：∵6是3和x的比例中项， ∴6×6＝3x， ∴x＝12． 故选：B． 【点评】本题主要考查解比例，理解题意是解题的关键． 4．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞1 B．x＞﹣3或x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣1＜x＜1 【答案】C 【分析】不等式ax2+c＞kx+b的解集是抛物线y＝ax2+c在直线y＝kx+b上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点， 结合抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b的图象可知，关于x的不等式ax2+c＞kx+b的解集是﹣3＜x＜1， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键在于数形结合思想的运用． 5．（4分）如图，已知∠BAD＝∠CAE，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C． D．∠ACB＝∠E 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE， 当时， 根据两边对应成比例及夹角相等，则△ABC∽△ADE， 故选项A不符合题意； 当∠B＝∠D时， 根据两角对应相等，则△ABC∽△ADE， 故选项B不符合题意； 当时， 虽然两边对应成比例，但∠BAC和∠DAE不是它们的夹角， ∴△ABC和△ADE不一定相似， 故选项C符合题意； 当∠ACB＝∠E时， 根据两角对应相等，则△ABC∽△ADE， 故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6．（4分）在平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④当x＞0时，y随x的增大而减小．上述结论一定正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】据二次函数的图象性质，逐一判断每个结论的对错，先看开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，再分析判别式和增减性，通过图象特征确定a，b，c的符号，进而判断abc的符号，再结合判别式和对称轴判断其他结论． 【解答】解：观察图象可知抛物线的开口向下，则a＜0； 抛物线的对称轴为直线x0，则b＞0； 抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0； ∴abc＜0； 故①正确； 由于抛物线与x轴有两个不同的交点，即ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 故②正确； 由于抛物线与x轴有两个不同的交点，即ax2+bx+c＝0有两个不相等实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 故③正确； 抛物线的对称轴在y轴右侧， 当x＞0时，在对称轴左侧y随x增大而增大， 在对称轴右侧y随x增大而减小， 因此不是整个x＞0区间都递减， 故④错误； 故①②③正确， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象的性质，通过数形结合理解二次函数图象的性质是解决问题的关键． 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1.5，1），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝2和x2＝　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】由二次函数的顶点坐标可得对称轴，进而得到的值，再根据根与系数的关系求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点坐标为（﹣1.5，1）， ∴对称轴为直线1.5即， ∴3， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝2和x2， 根据根与系数的关系，有x1+x2， ∴2+x2＝﹣3， 解得：x2＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握以上知识是解答本题的关键． 8．（4分）已知线段a＝3，b＝5，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为　　 ． 【答案】． 【分析】根据线段比例中项的概念，得c2＝ab，即可得到答案． 【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项， ∴c2＝ab＝3×5＝15， 解得c＝±， ∵线段的长是正数， ∴c． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例线段，正确记忆如果a：b＝b：c，那么b叫做a，c的比例中项是本题关键． 9．（4分）平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：y＝x2﹣2x+3　 ． 【答案】y＝x2﹣2x+3． 【分析】先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， ∴将二次函数y＝x2﹣6x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为y＝x2﹣2x+3． 故答案为：y＝x2﹣2x+3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 10．（4分）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7的最大值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】将解析式配方，进而求得函数的最大值． 【解答】解：将解析式配方可得： 二次函数y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2， ∴当x＝3时，取得最大值，最大值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键． 11．（4分）一个零件，画在图纸上的长度是10cm，零件的实际长度是5mm．则这张图纸的比例尺是　20：1　 ． 【答案】20：1． 【分析】根据比例尺的意义作答． 【解答】解：根据“比例尺＝图上距离与实际距离的比”可得， 10cm：5mm＝100mm：5mm＝20：1． 故答案为：20：1． 【点评】本题考查了比例尺，掌握比例尺是图上距离与实际距离的比是解题关键． 12．（4分）如图是抛物线y＝ax2﹣2ax的部分图象，抛物线与x轴的另一个交点为　（2，0）　 ． 【答案】（2，0）． 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【解答】解：根据抛物线的解析式，该二次函数的对称轴为直线x1，∵点O的坐标为（0，0）， ∴当x＝0和x＝2时，y＝0， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点评】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性． 13．（4分）如图，直线AB∥CD∥EF，如果，BD＝6，那么BF的长是　14　 ． 【答案】14． 【分析】由，得，由AB∥CD∥EF，得即可解答． 【解答】解：∵， ∴， ∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵BD＝6， ∴如果，BD＝6，那么， 故答案为14． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．（4分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　　 m． 【答案】． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当x＝0时，， ∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y m 0 ﹣4 n 0 则m，n的大小关系为m　＞　 n（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【分析】根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【解答】解：由表格知：二次函数与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0）， 故图象对称轴为：直线， ∵当﹣1＜x＜0时，﹣4＜y＜0， ∴当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小， ∴a＞0，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵|1﹣0.5|＝0.5，|﹣2﹣0.5|＝2.5，2.5＞0.5， ∴m，n的大小关系为m＞n． 故答案为：＞． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16．（4分）如图，已知函数与与y2＝kx（k＞0），则可以看作y1与y2的和函数，可以看作y1与y2的差函数，下列五个结论： ①函数y3与y4都经过原点； ②函数y3不经过第四象限； ③函数y3与函数y4关于y轴轴对称； ④若A（m，n）和B（p，q）分别是函数y3与y4图象上点，且m+p＜0，则n＞q； ⑤若P、Q分别是直线y＝a（a＞0）与函数y3与y4图象的交点，且PQ不大于2，则0＜a+k≤1；其中正确的结论是　①②③　 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括函数过定点、象限分布、对称性、函数值大小比较以及交点距离问题，需要结合二次函数的顶点式、对称轴、单调性等知识逐一分析结论． 【解答】解：当x＝0时，y3＝02+k•0＝0，y4＝02﹣k•0＝0， 故y3、y4都经过（0，0），①正确； y3＝x2+kx＝x（x+k），开口向上，对称轴为x，顶点为（，）， 当x＞0时，x2＞0，kx＞0，故y3＞0， 当x＝0时，y3＝0， 当x＜0时，y3最小值为，但第四象限要求x＞0，y＜0，而x＞0时y3＞0，因此y3无x＞0，y＜0的点，不经过第四象限，②正确； 若函数关于y轴对称，则满足f（﹣x）＝g（x）， y3（﹣x）＝（﹣x）2+k（﹣x）＝x2﹣kx＝y4（x）， 故y3与y4关于y轴对称，③正确； 由对称性，y4（p）＝y3（﹣p），即q＝y3（﹣p）， m+p＜0， ∴m＜﹣p， y3对称轴为x，在对称轴左侧单调递减： 若m＜﹣p，则y3（m）＞y3（﹣p）， ∴n＞q， 若mp，需比较m与﹣p到对称轴的距离： y3（m）﹣y3（﹣p）＝m2+km﹣（（﹣p）2﹣kp）＝（m2﹣p2）+k（m+p）＝（m+p）（m﹣p+k）， 由m+p＜0，m﹣p+k＝（m+p）﹣2p+k，符号不确定，故n＞q不一定成立，④错误； 解方程：x2+kx＝a，x，x2﹣kx＝a，x， PQ＝||， 由PQ≤2： 2， ∴k2+4a≤4， ∴a， a+kkk+1＝﹣（k﹣2）2+2， 当k＝2时，a+k最大值为2，故0＜a+k≤2，而非0＜a+k≤1，故⑤错误． 故正确结论①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，涵盖函数过定点、象限分布、轴对称性、单调性及函数值大小比较，同时结合一次函数考查了交点距离与不等式的求解，熟练掌握二次函数的顶点式、对称轴、开口方向与单调性的关系，并能灵活运用数形结合思想，通过代数计算与图象特征的结合，逐一分析并判断每个结论的正确性． 17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°．D是边BC上一点，以AD为边，作△ADE，使得△ADE∽△ABC．DE交AC于点F，当取最小值时，DF＝EF，则　　 ． 【答案】． 【分析】根据相似三角形的性质，得出，根据相似三角形的判定，证明△BAD∽△CAE，得出∠ABD＝∠ACE，进一步推出∠DCE＝60°，得出当DE⊥CE时，取最小值为，设，根据解直角三角形和勾股定理，表示出CE，CD，CF，根据相似三角形的判定，证明△CEF∽△DAF，根据相似三角形的性质，则由计算，根据相似三角形的判定，证明△AEF∽△DCF，根据相似三角形的性质，则由计算，最后由，计算得出答案即可． 【解答】解：如图，连接CE， ∵∠BAC＝120°，△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AEF＝∠DCF，∠ABD+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，∠DAE＝∠BAC＝120°，， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ECF＝∠ADF，∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝∠ABD+∠ACB＝60°， ∴当DE⊥CE时，取最小值，， 又∵当取最小值时，DF＝EF， ∴设此时，则CE＝2a，CD＝4a，， ∵∠ECF＝∠ADF，∠EFC＝∠AFD， ∴△CEF∽△DAF， ∴，则， ∵∠AEF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC， ∴△AEF∽△DCF， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）求证：如果，那么，． 【答案】∵， ∴11，即， 11，即． 【分析】运用等式性质求解即可． 【解答】证明：∵， ∴11，即， 11，即． 【点评】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是运用等式性质求解． 19．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣4x+5在对称轴右侧呈下降趋势，其中a2＝4． （1）求抛物线的对称轴； （2）二次函数y＝ax2﹣4x+5有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】（1）直线x＝﹣1； （2）最大值，y最大值＝7． 【分析】（1）根据a2＝4，可得a＝±2，由抛物线y＝ax2﹣4x+5在对称轴右侧呈下降趋势可得a＜0，进而可求出抛物线的解析式即可求解； （2）根据二次函数的性质解答即可求解； 【解答】解：（1）∵a2＝4， ∴a＝±2， ∵抛物线y＝ax2﹣4x+5在对称轴右侧呈下降趋势， ∴a＜0， ∴a＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+5， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）∵抛物线的开口向下， ∴二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5有最大值， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，y的值最大，． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（10分）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB． （1）求证：△AED∽△DFC； （2）若，则的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】（1）由DE∥BC，DF∥AB，得∠ADE＝∠C，∠A＝∠CDF，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AED∽△DFC； （2）设S△DFC＝m，由CDAC，推导出，DA＝2CD，由△DFC∽△ABC，△AED∽△DFC，得，4，则S△ABC＝9S△DFC＝9m，S△AED＝4S△DFC＝4m，求得S四边形BEDF＝4m，所以，于是得到问题的答案． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB， ∴∠ADE＝∠C，∠A＝∠CDF， ∴△AED∽△DFC． （2）解：设S△DFC＝m， ∵CDAC， ∴，CD+DA＝AC＝3CD， ∴DA＝2CD， ∴△DFC∽△ABC，△AED∽△DFC， ∴，4， ∴S△ABC＝9S△DFC＝9m，S△AED＝4S△DFC＝4m， ∴S四边形BEDF＝S△ABC﹣S△AED﹣S△DFC＝9m﹣4m﹣m＝4m， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明△AED∽△DFC及△DFC∽△ABC是解题的关键． 21．（12分）在边长为1的正方形的网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点C为位似中心，在网格区域内将△ABC放大2倍得到△A1B1C（A的对应点是A1，B的对应点是B1）． （2）求△A1B1C的面积． （3）用无刻度的直尺在线段A1B1上找一点P，使得．（保留画图痕迹） 【答案】（1）将△ABC放大2倍得到△A1B1C，如图1即为所求； （2）16； （3）使得的点P，如图2即为所求． 【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，然后画图即可； （2）分割法计算△A1B1C的面积即可； （3）过点A1、B1作A1F∥B1E，且满足B1E＝3，A1F＝4，根据相似三角形的性质即可得解． 【解答】解：（1）将△ABC放大2倍得到△A1B1C，如图1即为所求； （2）； （3）使得的点P，如图2即为所求； 过点A1、B1作A1F∥B1E，且满足B1E＝3，A1F＝4，连接EF，与A1B1的交点即为所求的点P， ∴△B1EP∽△A1FP， ∴． 【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 22．（12分）如图，线段AD、BC相交于点E，点F是线段ED的中点，联结AB、BD、CD，分别延长BA、FC交于点G．已知∠BAD＝90°，且． （1）求证：∠ABE＝∠FCD； （2）如果DA平分∠BDC，求证：． 【答案】（1）证明：∵，∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∠ABE＝∠FDC， ∵点F是ED的中点， ∴CFDE，DFDE， ∴CF＝DF， ∴∠FCD＝∠FDC， ∴∠ABE＝∠FCD； （2）∵DA平分∠BDC， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ABE＝∠ADC， ∴∠ABE＝∠ADB， ∵∠BCD＝90°，点F是ED的中点， ∴CFDE，FEDE， ∴CF＝EF，DE＝2CF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∵∠BCG＝∠CEF+∠EFC， ∠BED＝∠ECF+∠EFC， ∴∠BCG＝∠BED， ∴△BCG∽△DEB， ∴， ∴． 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似可得△AEB∽△CED，那么∠BCD＝∠BAD＝90°，∠ABE＝∠FDC，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CF＝DF，即可判断出∠FCD＝∠FDC，那么∠ABE＝∠FCD； （2）证明△BCG∽△DEB，可得，进而判断出DE＝2CF，代换即可． 【解答】解：（1）证明：∵，∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∠ABE＝∠FDC， ∵点F是ED的中点， ∴CFDE，DFDE， ∴CF＝DF， ∴∠FCD＝∠FDC， ∴∠ABE＝∠FCD； （2）∵DA平分∠BDC， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ABE＝∠ADC， ∴∠ABE＝∠ADB， ∵∠BCD＝90°，点F是ED的中点， ∴CFDE，FEDE， ∴CF＝EF，DE＝2CF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∵∠BCG＝∠CEF+∠EFC， ∠BED＝∠ECF+∠EFC， ∴∠BCG＝∠BED， ∴△BCG∽△DEB， ∴， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质的综合应用．熟练掌握并应用相似三角形的判定和性质是解决本题的关键． 23．（14分）综合与实践 问题情境：已知羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）满足y＝ax2+bx+1，某次发球时，数学实践小组测得的对应值如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 … 竖直高度y/m 1 k … 数学思考： （1）求y与x的函数解析式，并求出羽毛球本次飞行的最大高度． 问题解决： （2）求出表格中k的值，并判断当羽毛球场的球网高度为1.55m，发球点距离球网2m时，羽毛球能否越过球网？说明理由． （3）若球员甲发球过网后，球员乙在羽毛球飞行的水平距离为6m的点Q处接住球（如图2），此时如果球员乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数；如果球员乙选择吊球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 【答案】（1），羽毛球本次飞行的最大高度为3m； （2）羽毛球能越过球网，理由如下： 当x＝2时，， ∴， 又∵， ∴羽毛球能越过球网． （3）球员乙选择吊球更合适． 【分析】（1）根据表格将点，代入二次函数解析式，利用待定系数法可求得二次函数的一般式，再将二次函数一般式转为顶点式，即可求得结果； （2）先将x＝2代入二次函数解析式求得y值，即k值，再将k值与1.55m进行比较即可判断； （3）先求出乙选择扣球的函数解析式，球的落地点即函数图象与x轴的交点，此时y＝0，令一次函数关系式中的y＝0，解出对应的x值，再将代入乙选择吊球的函数解析式并求出，令二次函数关系式中的y＝0，解出对应的x值，通过比较二者的x值，选择出较大的x值可使羽毛球的落地点到原点的距离更远的方式． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为（4，3）， ∵， ∴羽毛球本次飞行的最大高度为3m． （2）羽毛球能越过球网， 理由：当x＝2时，， ∴， 又∵， ∴羽毛球能越过球网． （3）当x＝6时，， ∴点， 将点Q代入，得，解得， ∴乙选择扣球，则y与x的函数关系式为， 令y＝0，即，解得x＝2，即羽毛球的落地点到原点的距离为2m， 将点代入，得，解得， ∴乙选择吊球，则y与x的函数关系式为， 令y＝0，即，解得x1＝3，x2＝7（舍去）， 即羽毛球的落地点到原点的距离为3m， ∵3＞2， ∴要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，球员乙选择吊球更合适． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是关键． 24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和C，与y轴交于点B（0，3），顶点为D，联结AB、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点P在x轴上方时，联结PB、PC，如果，求点P的坐标； ②如果点E在对称轴上，且使△PDE与△AOB相似，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3； （2）①P（2，3）； ②P（4，﹣5）或（，）． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①先求出3，过P点作PG∥y轴交BC于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），可得（﹣t2+3t）＝3，求出P（1，4）或（2，3）； ②设P（m，﹣m2+2m+3），当∠DEP＝90°时，E（1，﹣m2+2m+3），当DE＝3PE时，求出P（4，﹣5）；当PE＝3DE时，求出P（，）；当∠DPE＝90°时，过点P作MN∥y轴，过点D作DM⊥MN交于M点，过点E作EN⊥MN交于N点，可得△PDM∽△EPN，当PD＝3PE时，PM＝3EN，求出P（4，﹣5）；当PE＝3DP时，求出P（，）． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）①当﹣x2+2x+3＝0时，解得x＝﹣1或x＝3， ∴C（3，0）， ∴AC＝4， ∴△ABC的面积6， ∵， ∴△PBC的面积＝3， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， ∴3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 过P点作PG∥y轴交BC于点G， 设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3）， ∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∴（﹣t2+3t）＝3， 解得t＝1（舍）或t＝2， ∴P（2，3）； ②由（1）可知，AO＝1，BO＝3， 设P（m，﹣m2+2m+3）， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）， 当∠DEP＝90°时，E（1，﹣m2+2m+3）， ∴DE＝4+m2﹣2m﹣3＝m2﹣2m+1，PE＝m﹣1， 当DE＝3PE时，m2﹣2m+1＝3m﹣3， 解得m＝1（舍）或m＝4， ∴P（4，﹣5）； 当PE＝3DE时，3（m2﹣2m+1）＝m﹣1， 解得m＝1（舍）或m， ∴P（，）； 当∠DPE＝90°时，过点P作MN∥y轴，过点D作DM⊥MN交于M点，过点E作EN⊥MN交于N点， ∴△PDM∽△EPN， 当PD＝3PE时，PM＝3EN， ∴m2﹣2m+1＝3m﹣3， 解得m＝1（舍）或m＝4， ∴P（4，﹣5）； 当PE＝3DP时，3（m2﹣2m+1）＝m﹣1， 解得m＝1（舍）或m， ∴P（，）； 综上所述：P（4，﹣5）或（，）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 试卷第1页，总1页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 $