学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（上海专用，新教材沪教版五四制九上第27～29章：二次函数+相似三角形+三角形初步）

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 1 3 3 5 6 D D B 二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。 7.（-1-3) 8.4 9.3:1 10.50 11.4 12.y3>y>y2 13.2或3-v5 14.5 15.（4,4) 5-25 16.3 17.2 三、解答题：本题共7小题，共82分。其中：18-20每题10分，21-22题每题12分，23题13分，24题15 分。 18.【解析】 2 2 解：原式3+2x刘 (每个特殊三角函数值转化正确得1分一一共4分) 5 5-1 23+22 -25-3+1- 2 2 -25-3+2-5 3-1 2.(10分) 19.【解析】(1) 证明：DE∥BC, 119 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AD DE AB BC AD BF AB BC DE BF BC BC, :.DE=BF, 又DEI BE ∴.四边形DBFE为平行四边形， .EF‖AB (5分) (2)EFI‖AB ∴.∠B=∠EFC, :DE∥BC, ∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠C, .∠ADE=∠EFC, .∴ADESAEFC 4E24 SEFC EC) =9, ..AE2 EC 3' EC+AE 2+3 AC 5 AE 一=2，即AE2, DE∥BC, .∠C=∠AED 又：∠A=∠A, .△ABC∽△ADE S.nc (4C_25 AE=4, 25 4 4=25cm2.(10分) 2/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.【解析】(1)解：如图，过点C作CE⊥AB,交BA的延长线于点E, E ∠BAC=120°， ∠CAE=180°-120°=60°， 在RIAACE中，∠E=90°，AC=b=5, 4B=4Cos60=5x3CE=4Cm60=5x5_56 22, 22, 在RtABCE中，∠E=90°，BC=a=14, 3 BE=BC2-CE2=142- 53 4-2 :B=BE-AE=V7095-o9-5 22 2, 即sV095 2:(4分) (2)解：在RIABCE中，∠E=90°， 5v5 “sinB=CE=2_55,(6分) BC-14=28 :B-7-5cg36 2, 2,CE⊥AB, :8m-号4BGE-x7m-55y55227-255 222 8 .(10分) [4-2b+c=0 21.【解析】(1)解：把A(-2,0)、B(4,0)代入得16+4h+c=0, 319 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 [b=-2 解得c=-8, 六抛物线的解析式为)=r-2x-8 (4分) (2)解：“抛物线的解析式为'=-2x-8=(--9,开口向上，顶点坐标为-9)， ∴当x=1时，函数有最小值9， 当x=0时，y=-8;当x=3时，y=9-6-8=-5: .当0≤x≤3时，y的最大值为-5.(8分) (3)解：1(-2,0)B(4,0) AB=4-(-2)=6 设M() 则5.w-4Bw=48, 即2×6×y=48. 解得y=±16 当(x-旷-9=16时，此时x=6或x=4, 当(x-1-9=-16 时，此时方程无解， :M坐标为616)或4,16).12分 y=9+5w2 22.【解析】(1)解：根据题意可得： :%=20x,%三-5x2-3x+36(0≤x≤8 y=20r+5-3x+36 整理可得： y=-x+5x+180(0≤x≤8)；(6分) 419 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：y=-r+5x+180(0≤x≤8) ∴p=y+x2-x =-x2+5x+180+x2-x =4x+180」 192≤p≤208 .192≤4x+180≤208 解得：3≤x≤7.(12分) 23.【解析】(1)解：由图设抛物线的解析式为’=a(x-5犷+6.25， 则0=a(0-5}+6.25 1 解得a=-4,(3分) “抛物线的解标式为y=-列+625=+。 (2)车宽3m、高3.5m, 当x=8时，y=4《8-5+625=4, :4-3.5=05(m ,满足车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为0.5m ∴.该隧道能让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶.(7分) (3)存在， 1 5 .M为y= 4父+2x与y=x的交点， 4 则有女+=，解得5=0,5=6 2 M(6,6) :三角形PNQ为等腰直角三角形，需分类讨论， ①当PN=QN,∠PN0=90°时， 519 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 珠 6.25--- M 力 ! W K 5 10 N为直线y=x与对称轴x=5的交点， :N55列 取点K(10,0)P5,0) 则Om=K=5=w. .∠KNW=∠WN0=45°，即∠KN0=90°， 点Q为KN与抛物线的交点， 设直线KN的解析式为y=c+b, 10k+b=0 则5k+b=5, [k=-1 解得b=10, ∴.直线KN的解析式为y=-x+I0, 点Q为 +2x与y=-x+10的交点， -1x45x 则有 +2x=-x+10,解得x=10(舍)，5=4， :(4,6) :P(44) ②当PN=P吧，∠NP=90°时，因为PO⊥x轴，所以该情况不存在； ③当P0=QW,∠P2N=90°时， N№⊥P2, 619 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .N№川x轴， .N(5,5) Q点的级华标为5.则日+=5，解得5=5+5（会）：与=5-5 .P5-5,5-5) 综上，P点的坐标为(4,4)或5-V5,5-5) (13分) 24.【解析】(1)解：对于y=x+6,令y=0,得x=6,令x=0,得y=6, ∴A(-6,0),B(0,6) .0A=6,0B=6 ...AB=VO42+0B2 =62 0C=3, ∴.C(3,0),AC=9 '∠ACB=∠BCD,∠CDB=∠ABC ∴：△ACBABCD, CD_BC CB AC' “在直角三角形B0C中，由勾股定理得BC=VOB+0C-35, CD 35 359, .CD=5. ∴.OD=CD-OC=5-3=2, 六点D的坐标为20) 5分) 719 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)证明：：OA=OB, ∠BAC=45°， .AACBABCD .∠CBD=∠BAC=45°， CE⊥BC, ∴.∠CEB=∠CBD=45°， ∴.CE=BC, 过点E作EH⊥AC于H,如图， B HD :∠ECH+∠BCO=90°，∠CBO+∠BCO=90° .∴.∠ECH=∠CBO .∠EHC=∠COB=90° ∴.AHCE≌AOBC(AAS) ∴.HC=OB=6,HE=OC=3 .AH=AC-CH=9-6=3. ..AH=HE, ∴.∠EAH=45°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAH=45°+45°=90°. .AE⊥AB(10分) (3)解：过点P作PF⊥AC于点F, 8/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P E .CH=6,CD=5 .DH=CH-CD=6-5=1, 在直角三角形DHE中，由勾股定理得BD=VDI'+HE=V0, .ADEPOABAC, .AB_AC ED EP, .6√29 10EP, p=35 2, EC=BC=35 ∴点P是CE的中点， 由(2)得HC=6HE-3, 0H=3, :E(-3,-3) -3+3-3+0 点P坐标为2,2，即(0，-1.5).(15分) 919 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：沪教版新教材（五四制）九年级上册第27~29章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 1．已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 2．下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 3．如图所示的抛物线是二次函数的图像，且图像经过原点，那么下列结论错误的是（     ） A．上述抛物线可由抛物线平移得到 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 4．下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 5．在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。 7．将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 8．已知，那么________． 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 10．某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 11．在中，，，，则的值为________． 12．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（请用“”连接） 13．已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 14．已知消防员在攀爬训练塔中使用的冲锋梯所在斜坡坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬时垂直上升的高度为______米． 15．如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 16．如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 17．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 三、解答题：本题共7小题，共82分。其中：18-20每题10分，21-22题每题12分，23题13分，24题15分。 18．计算： 19．中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 20．在中，角所对应的边分别是，已知，，． (1)求的值； (2)求和的面积． 21．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 22．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 23．【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，直线l：交x轴于点A，交轴于点，点在轴正半轴上，且．点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连结． (1)求点的坐标； (2)求证：； (3)若点是直线上的动点，连结，当时，直接写出点坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：沪教版新教材（五四制）九年级上册第27~29章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 1．已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 2．下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 3．如图所示的抛物线是二次函数的图像，且图像经过原点，那么下列结论错误的是（     ） A．上述抛物线可由抛物线平移得到 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 4．下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 5．在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。 7．将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 8．已知，那么________． 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 10．某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 11．在中，，，，则的值为________． 12．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（请用“”连接） 13．已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 14．已知消防员在攀爬训练塔中使用的冲锋梯所在斜坡坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬时垂直上升的高度为______米． 15．如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 16．如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 17．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 三、解答题：本题共7小题，共82分。其中：18-20每题10分，21-22题每题12分，23题13分，24题15分。 18．计算： 19．中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 20．在中，角所对应的边分别是，已知，，． (1)求的值； (2)求和的面积． 21．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 22．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 23．【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，直线l：交x轴于点A，交轴于点，点在轴正半轴上，且．点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连结． (1)求点的坐标； (2)求证：； (3)若点是直线上的动点，连结，当时，直接写出点坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：沪教版新教材（五四制）九年级上册第27~29章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 1．已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质、两个二次函数图象综合判断 【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，抛物线的开口向下，故选项A正确； 抛物线和的对称轴均为轴，故选项B正确，两个图像的开口大小不一样，不对称，选项D错误； 抛物线和的顶点均为，故选项C正确； 故选项D符合题意． 2．下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 3．如图所示的抛物线是二次函数的图像，且图像经过原点，那么下列结论错误的是（     ） A．上述抛物线可由抛物线平移得到 B．当时， C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据交点确定不等式的解集 【分析】由二次函数的图像开口向下，且图像经过原点，可得二次函数的解析式为，再根据二次函数的图象与性质，即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，且图像经过原点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， A、∵抛物线可由抛物线平移得到，故选项正确，不符合题意； B、令，， ∴，， ∴抛物线与轴的交点为，， ∵抛物线开口向下， ∴当时，，故选项正确，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项正确，不符合题意； D、∵抛物线与轴的交点为，，开口向下， ∴当时，或，故选项错误，符合题意． 4．下列命题正确的是（   ） A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似 C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似 【答案】B 【知识点】判断命题真假、相似图形、相似多边形的性质 【分析】本题考查了命题与定理的知识，用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，解题的关键是了解相似三角形的判定方法． 【详解】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意； B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意； C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意； 故选：B． 5．在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．由，得到，再由，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：C． 6．已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割的性质，准确分析计算是解题的关键． 根据黄金分割点的性质，较长的线段与较短线段的比等于整个线段与较长的线段的比，设，列出方程求解． 【详解】是的黄金分割点，且是较长的部分， ， 设，则， ， 交叉相乘得：，即， 整理得：， 解方程： ， ， ， ． 故选． 2、 填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。 7．将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】解：， 原二次函数的顶点坐标为， 将图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 新二次函数的解析式为， 平移后二次函数的顶点坐标为． 8．已知，那么________． 【答案】 【知识点】分式的求值、比例的性质 【详解】解：∵， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， 又∵位似图形的相似比等于位似比， ∴与的位似比为. 10．某汽车的紧急刹车距离（米）与车速（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过_______千米/小时． 【答案】50 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出时的自变量的值即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，解得（负值舍去）； 故该车车速不超过50千米/小时． 故答案为：50 11．在中，，，，则的值为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 12．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（请用“”连接） 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向上的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，通过比较各点到对称轴的距离得到函数值大小关系． 【详解】解：二次函数的二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点的距离： 点的距离： 点的距离： ∵ ∴ ． 13．已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 【答案】 或 【知识点】黄金分割 【分析】点是线段的黄金分割点，未说明与的大小关系，需分两种情况，根据黄金分割点的定义计算的长度． 【详解】解：分两种情况讨论： 第一种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 把代入得： 解得 第二种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 ，即 又， 整理得 分母有理化解得 综上，的长为或． 14．已知消防员在攀爬训练塔中使用的冲锋梯所在斜坡坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米，那么消防员攀爬时垂直上升的高度为______米． 【答案】5 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解一元二次方程——直接开平方法、用勾股定理解三角形 【分析】根据坡度定义得到垂直高度与水平宽度的关系，再结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设消防员攀爬时垂直上升的高度为米， ∵坡度为， ∴， ∴水平宽度为米， ∵消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10米， ∴由勾股定理得， 整理得， 解得， ∵高度为正数， ∴． 15．如图，矩形中，点，，若，则点的坐标是________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题是坐标系中的矩形问题，利用一线三垂直构造相似三角形．由矩形内角为推导角相等，证得；再由得到相似比，求出两条直角边长，最后转化为横、纵坐标． 【详解】解：如图所示：过点作于点， ∵点，点， ， ，又， ． 又， ． 相似比， 故． 代入、： ， ． 由图知在的右下方， 故横坐标为，纵坐标为． 【点睛】坐标系中出现直角顶点，优先构造一线三垂直模型；利用相似比求线段长，再转化成横纵坐标，是九年级这类题型标准解法． 16．如图，在中，，点是的重心，连结，如果，那么的正切值为___________． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，过G作于G，延长交于点，证明，结合G为的重心，可得，根据，得，进而根据勾股定理求出，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】解：过G作于G，延长交于点，如图： ∵ ， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ G为的重心， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则在直角三角形中，， 故答案为：． 17．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、黄金分割 【分析】作的中线，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到可求解． 【详解】解：如图，作的中线， ∵是“精准三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本题共7小题，共82分。其中：18-20每题10分，21-22题每题12分，23题每题13分，24题每题15分。 18．计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】先代入特殊角函数值，再利用 去根号（判断被开方数正负后脱去绝对值），最后对含根式的分母有理化并合并同类二次根式． 【详解】解：原式 （每个特殊三角函数值转化正确得1分——共4分） ．（10分） 19．中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ；（5分） (2) 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 先利用平行线分线段成比例得到，再结合已知得到，从而得到，从而证明四边形为平行四边形，即可得出结论； 先证明得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2） ， ， ，， ， ， , ，即， ， 又， ， ．（10分） 20．在中，角所对应的边分别是，已知，，． (1)求的值； (2)求和的面积． 【答案】(1) (2)，的面积为 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、求角的正弦值、解直角三角形的相关计算 【分析】（）过点作，交的延长线于点，由得，再解直角三角形求出，利用勾股定理求出，即可求解； （）根据正弦的定义及三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ， 在中，，， ∴， ∴， 即；（4分） （2）解：在中，， ∴，（6分） ∵，，， ∴．（10分） 21．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为．（4分） （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为．（8分） （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或．（12分） 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 22．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：；（6分） （2）解：， ， ， ， 解得：．（12分） 23．【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． (2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶 (3)P点的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）将车宽转化为横坐标，将横坐标代入解析式求解，判断，即可解题； （3）因为三角形为等腰直角三角形，需分类讨论，再根据等腰直角三角形的性质和函数解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由图设抛物线的解析式为， 则， 解得，（3分） ∴抛物线的解析式为； （2）∵车宽、高， ∴当时，， ∵，满足车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为， ∴该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶．（7分） （3）存在， ∵M为与的交点， 则有，解得，， ∴， ∵三角形为等腰直角三角形，需分类讨论， ①当，时， ∵N为直线与对称轴的交点， ∴， 取点，，则， ∴，即， ∴点Q为与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q为与的交点， 则有，解得（舍），， ∴， ∴； ②当，时，因为轴，所以该情况不存在； ③当，时， ∵， ∴轴， ∵， ∴Q点的纵坐标为5，则，解得（舍），， ∴ 综上，P点的坐标为或．（13分） 【点睛】此题考查用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和数形结合思想，能够将题干条件转化为数学知识解决问题是解题的关键． 24．如图，直线l：交x轴于点A，交轴于点，点在轴正半轴上，且．点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连结． (1)求点的坐标； (2)求证：； (3)若点是直线上的动点，连结，当时，直接写出点坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)略 (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据直线的解析式求出点的坐标，再利用，求出的长，进而求出点的坐标； （2）过点作于，利用，得到，求得点的坐标，最后利用垂直的定义求得结论； （3）过点作于，证明，再利用相似三角形求出的长，推出点是的中点，求出点的坐标，进而求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，令，得，令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得， ， ， ， 点的坐标为．（5分） （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 过点作于，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （10分） （3）解：过点作于点， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， 点是的中点， 由（2）得， ∴， ∴ （2） 点坐标为，即．（15分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。 7._______________ 11. ________________ 15._______________ 8. ___________ 12. _______________ 16._______________ 9. _________________ 13.________________ 17._______________ 10. __________________ 14. ________________ 三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 18.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 日 姓 名 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==--■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题日的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效， 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]Ⅵ[/] 一、 单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.A][B][C][D] 二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。 10. 衣 12. 13. 15 16. 17. 三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. (10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(12分) A B x 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. (12分) 23.(13分) 6.25 6.25 0 0 5 5 10 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(15分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！