专题07 期中复习高频与压轴31类题型归纳（考试范围：第15章～第17章 ）-2026-2027学年人教版八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题07 期中复习高频与压轴32类题型归纳 （考试范围：第13章-第15章 ） 【新教材人教版】 题型归纳 【选填高频】 3 【题型 1三角形三边关系、三角形识别】 3 【题型 2三角形高、中线、角平分线识别;中线等分面积】 3 【题型 3三角形内角、外角基础计算】 4 【题型 4全等三角形的性质:对应边、对应角相等】 5 【题型 5全等判定条件辨析】 5 【题型6角平分线的性质与判定基础】 6 【题型 7轴对称图形识别、对称轴条数判断】 7 【题型 8垂直平分线性质】 8 【题型 9点关于坐标轴对称的坐标变化】 9 【题型 10等腰三角形基础性质:等边对等角、三线合】 9 【选填压轴 】 10 【题型 11三角形内外角模型】 10 【题型 12等腰三角形分类讨论压轴】 11 【题型 13全等多结论判断题】 12 【题型 14角平分线·+平行线构造等腰模型】 13 【题型 15最短路径(将军饮马)】 13 【题型 16折叠问题角度】 14 【题型 17等腰直角、等边三角形边角综合小题】 15 【题型 18动点角度/边长分类讨论选填压轴】 16 【解答高频】 17 【题型 19三角形角度基础计算】 17 【题型 20中线求周长、中线等分面积】 18 【题型 22基础全等证明】 18 【题型 23角平分线性质/判定证明、距离求值】 19 【题型 24垂直平分线性质证明与计算】 20 【题型 25等腰三角形基础证明、角度边长计算】 21 【解答压轴】 22 【题型 26全等证明·+线段相等/平行综合(二次全等)】 22 【题型 27 8字、飞镖模型角度探究大题】 24 【题型 28手拉手，中线倍长法，半角模型全等综合大题】 26 【题型 29等腰(等边)三角形综合证明探究】 28 【题型 30将军饮马作图·+最值解答大题】 29 【题型 31动点全等、动点等腰分类讨论压轴】 31 【题型 32一线三垂直模型全等综合】 32 【选填高频】 【题型 1三角形三边关系、三角形识别】 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A．B．C．D． 2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（     ） A．10米 B．70米 C．110米 D．115米 【题型 2三角形高、中线、角平分线识别;中线等分面积】 4．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A．B．C．D． 5．下列说法中，正确的是（     ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 6．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是8，则的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【题型 3三角形内角、外角基础计算】 8．如图，是的一个外角，，，则是（     ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，，平分．若＝，＝，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型 4全等三角形的性质:对应边、对应角相等】 11．如图，与全等，顶点与与与分别对应．已知，，那么中等于（     ） A． B． C． D． 12．如图，，，，则（     ） A． B．2 C． D．3 13．如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【题型 5全等判定条件辨析】 14．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点；（2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 15．如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 16．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【题型6角平分线的性质与判定基础】 17．三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 18．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为（     ） A．6 B．9 C．12 D．18 19．如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【题型 7轴对称图形识别、对称轴条数判断】 20．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 21．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 22．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【题型 8垂直平分线性质】 23．如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 24．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 25．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【题型 9点关于坐标轴对称的坐标变化】 26．点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 27．已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 28．已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【题型 10等腰三角形基础性质:等边对等角、三线合】 29．如图，在中，，，P是边上一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 30．如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 31．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 32．如图，在中，是高，，则_________． 【选填压轴 】 【题型 11三角形内外角模型】 33．如图，，则（     ） A． B． C． D． 34．如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 35．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……若，则（     ） A． B． C． D． 36．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【题型 12等腰三角形分类讨论压轴】 37．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 38．如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（     ）个 A．7 B．8 C．9 D．1 39．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【题型 13全等多结论判断题】 40．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③；④的面积为．其中正确结论的序号是（     ） A．②③④ B．①③ C．①②③④ D．①②④ 41．如图，和中，，，，连接，交于点K，连接，下列结论：①；②；③平分；④点A到和到的距离相等．上述说法中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 42．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【题型 14角平分线·+平行线构造等腰模型】 43．如图，在中，平分，平分，过点作，分别交于点，若，则的周长是（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 44．如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 【题型 15最短路径(将军饮马)】 45．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 46．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 47．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 48．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【题型 16折叠问题角度】 49．如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 50．如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ） A． B． C． D． 51．如图，长方形为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型 17等腰直角、等边三角形边角综合小题】 52．如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论： 是等腰三角形； ； 平分； 垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 53．如图，在中，，过点作于点D，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点E，若点是的中点，则下列结论中： ； ； ； ．正确结论的个数是（     ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【题型 18动点角度/边长分类讨论选填压轴】 55．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 56．如图，中，，，，为的中点，动点以的速度从点出发，向着点的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，的值（     ） A．4 B．4或5 C．4或6 D．4或7 【解答高频】 【题型 19三角形角度基础计算】 57．如图所示，在中，，平分，若，，求和的度数． 58．如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【题型 20中线求周长、中线等分面积】 59．如图，已知，分别是的高和中线，，，求：的面积． 60．如图，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求与的周长差． 【题型 22基础全等证明】 61．已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 62．如图，已知A、E、B、F共线，，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 63．如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【题型 23角平分线性质/判定证明、距离求值】 64．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 65．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 【题型 24垂直平分线性质证明与计算】 66．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 67．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； (3)若，，求的长． 【题型 25等腰三角形基础证明、角度边长计算】 68．已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 69．如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 70．如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【解答压轴】 【题型 26全等证明·+线段相等/平行综合(二次全等)】 71．如图 ，在中，为 边上的中线，延长 到点，使；连接，． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 72．如图，点，在线段上，，，. (1)求证：； (2)已知，，求的长． 73．已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【题型 27 8字、飞镖模型角度探究大题】 74．如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则______度，若，则______度（用含的式子表示）： ②如图③，平分，平分，若，，的度数是______． 75．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 76．如图1，线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”． (1)求证：； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，求 的度数； (3)如图3，点E是延长线上一点，与的平分线交于点P，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 77．【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【题型 28手拉手，中线倍长法，半角模型全等综合大题】 78．已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． (1)如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． (3)如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 79．【问题情境】在和中，，，． (1)【初步探究】如图①，当点，，在同一条直线上时，连接，，延长交于点，则与之间有什么关系？ (2)【类比探究】如图②，当点，，不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图③，在（2）的条件下，连接并延长交于点，的大小确定吗？若确定，求出的度数；若不确定，请说明理由． 80．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【题型 29等腰(等边)三角形综合证明探究】 81．综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 82．如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 83．综合与实践：在等边中，，点是直线上一动点（不与，重合），以为边在的右侧作等边，连接．探究图中与之间的数量关系． (1)特例研究：如图1，当点在线段上时， ①求证：； ②判断与有什么样的位置关系，并说明理由； (2)类比探究：在（1）的条件下，探究与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展延伸：当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【题型 30将军饮马作图·+最值解答大题】 84．【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 85．在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【题型 31动点全等、动点等腰分类讨论压轴】 86．如图，的两条高与交于点O，，． (1)若，求的度数； (2)①求证：； ②的长为________； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 87．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 88．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【题型 32一线三垂直模型全等综合】 89．“一线三垂直”属于“一线三等角”模型的特例，特点是三个相等的角都是直角，对应有三组边相互垂直．若该模型内有一组对应边相等，则一定能找到一对全等三角形．（如图：） (1)如图，在等腰直角中，，．过点作直线，于，于．若，， ①求证：； ②求的长． (2)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． ①连接、，则是等腰直角三角形吗？请判断，并说明理由． ②第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 90．平面直角坐标系中，点、分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，若，则_________，_________，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，若平分，，过点B作轴于点E，并延长交的延长线于点F，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，F为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段AG上一点，且，连接，，若点F的坐标为，求的值． 91．在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，试求点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分． (3)若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数．（温馨提示：等腰三角形的两个底角相等） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中复习高频与压轴32类题型归纳 （考试范围：第13章-第15章 ） 【新教材人教版】 题型归纳 【选填高频】 3 【题型 1·三角形三边关系、三角形识别】 3 【题型 2·三角形高、中线、角平分线识别;中线等分面积】 4 【题型 3·三角形内角、外角基础计算】 6 【题型 4·全等三角形的性质:对应边、对应角相等】 7 【题型 5·全等判定条件辨析】 8 【题型6·角平分线的性质与判定基础】 10 【题型 7·轴对称图形识别、对称轴条数判断】 11 【题型 8·垂直平分线性质】 12 【题型 9 点关于坐标轴对称的坐标变化】 14 【题型 10·等腰三角形基础性质:等边对等角、三线合】 15 【选填压轴 】 17 【题型 11.·三角形内外角模型】 17 【题型 12·等腰三角形分类讨论压轴】 20 【题型 13·全等多结论判断题】 22 【题型 14·角平分线·+平行线构造等腰模型】 27 【题型 15·最短路径(将军饮马)】 28 【题型 16·折叠问题角度】 33 【题型 17·等腰直角、等边三角形边角综合小题】 35 【题型 18·动点角度/边长分类讨论选填压轴】 40 【解答高频】 43 【题型 19·三角形角度基础计算】 43 【题型 20·中线求周长、中线等分面积】 44 【题型 22·基础全等证明】 45 【题型 23·角平分线性质/判定证明、距离求值】 47 【题型 24·垂直平分线性质证明与计算】 50 【题型 25·等腰三角形基础证明、角度边长计算】 52 【解答压轴】 56 【题型 26·全等证明·+线段相等/平行综合(二次全等)】 56 【题型 27·8字、飞镖模型角度探究大题】 59 【题型 28·手拉手，中线倍长法，半角模型全等综合大题】 65 【题型 29·等腰(等边)三角形综合证明探究】 74 【题型 30·将军饮马作图·+最值解答大题】 81 【题型 31·动点全等、动点等腰分类讨论压轴】 86 【题型 32·一线三垂直模型全等综合】 94 【选填高频】 【题型 1·三角形三边关系、三角形识别】 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的长度和与最长线段长度的大小，根据三角形三边关系即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A．，不能组成三角形，故该选项不符合题意， B．，不能组成三角形，故该选项不符合题意， C．，不能组成三角形，故该选项不符合题意， D．，能组成三角形，故该选项符合题意． 3．如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（     ） A．10米 B．70米 C．110米 D．115米 【答案】A 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，解答即可． 【详解】解：连接， 米，米， ， ， 选项A错误． 【题型 2·三角形高、中线、角平分线识别;中线等分面积】 4．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：过顶点向边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是边上的高， 观察四个选项可知，只有选项D符合． 5．下列说法中，正确的是（     ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 【答案】A 【详解】解：A. 三角形的三条中线交于一点，说法正确； B. 直角三角形有三条高，两条直角边为高，斜边上有一条高，说法错误； C. 三角形的角平分线是线段，不是射线，说法错误； D. 钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高在边上，并非三条高都在三角形内部，说法错误． 6．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是8，则的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵是的边上的中线，且的面积是8， ∴， ∵是的边上的中线， ∴． 7．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线、角平分线、高线性质，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解： 是的中线， ， 故A正确，不符合题意； 是的角平分线， 故B正确，不符合题意； 是的高线， ， 故C正确，不符合题意； 由现有条件，推不出，故D错误，符合题意； 【题型 3·三角形内角、外角基础计算】 8．如图，是的一个外角，，，则是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴． 9．如图，在中，，平分．若＝，＝，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义结合可得出的值，进而可得出、的值，在中利用三角形内角和定理可求出的值，此题得解． 【详解】解：平分，， ， ， ． ， ， ． 10．已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型 4·全等三角形的性质:对应边、对应角相等】 11．如图，与全等，顶点与与与分别对应．已知，，那么中等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 12．如图，，，，则（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据线段的加减即可解答． 【详解】解：， ， ．即． ，， ． 13．如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】根据全等三角形的对应边相等，以及线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴. 【题型 5·全等判定条件辨析】 14．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点；（2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图痕迹，得，，， ∴． 15．如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定出，结合，确定可以的条件即可． 【详解】解：∵ ∴，即 ∵ ∴时，或者时， 选项A、C的条件不能使得欲证， 故B符合题意． 16．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 【题型6·角平分线的性质与判定基础】 17．三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 18．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为（     ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵平分，于点， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵，， ∴的面积为. 19．如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可求解． 【详解】解：过点作于，如图： ∵是的平分线，，， ∴， 即点到的距离是． 【题型 7·轴对称图形识别、对称轴条数判断】 20．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，，故A、B、D选项正确， ∵不一定成立，故C选项错误， 因此不一定正确的是C． 21．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、C、D选项图形无法找到一条直线，使折叠后两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形；B选项图形可以找到直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形． 22．如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 【题型 8·垂直平分线性质】 23．如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于D点，交于E点， ∴， ∴的周长． 24．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 25．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【详解】解：∵要在内部区域放置一个音响，且要求音响到三个顶点的距离相等， ∴三条边的垂直平分线的交点处，故选项D符合题意． 【题型 9 点关于坐标轴对称的坐标变化】 26．点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 27．已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，依据该特征即可求出x的值． 【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 又点与关于y轴对称， ． 28．已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称特点，根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此列式求解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：B． 【题型 10·等腰三角形基础性质:等边对等角、三线合】 29．如图，在中，，，P是边上一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ． ， ，， ， ． 30．如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则可求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵边的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 31．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【详解】解：，， ， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质． 32．如图，在中，是高，，则_________． 【答案】 【分析】先求出，可求出的长，再求出的长，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 是高， ， ， ， ． 【选填压轴 】 【题型 11.·三角形内外角模型】 33．如图，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过三角形内角和和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 由图可得，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ． 34．如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，和的角平分线相交于点 ∴， ∴． 35．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义和外角性质可以得到，根据三角形外角性质可得到，将其代入可以得到，同理得出，，…，，将代入即可． 【详解】解：平分，平分， ，． ， 即， ， ， ， ． 同理可得，，，…，， ， ． 36．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 【题型 12·等腰三角形分类讨论压轴】 37．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 【答案】A 【分析】分两种情况：若腰长为5，底边长为10；若腰长为10，底边长为5，即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 若腰长为5，底边长为10，三边长为5，5，10， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ② 若腰长为10，底边长为5，三边长为10，10，5， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴周长为， 即该等腰三角形的周长为25． 38．如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点应该有（     ）个 A．7 B．8 C．9 D．1 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 39．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得． 【详解】解：如图， 则除此之外还能画出符合条件的点共有4个， 故选：C． 【题型 13·全等多结论判断题】 40．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③；④的面积为．其中正确结论的序号是（     ） A．②③④ B．①③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴． 41．如图，和中，，，，连接，交于点K，连接，下列结论：①；②；③平分；④点A到和到的距离相等．上述说法中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可知和都是等腰三角形，先说明，从而①正确；根据全等三角形对应角相等可知，从而说明②正确；根据全等三角形对应边上的高相等可知④正确；③不能确定． 【详解】解：在和中， ， ， 即， 在和中， ，故①正确； 设与交于点， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ，故②正确； ，， 边上的高等于边上的高， 即点A到和到的距离相等，故④正确； 与大小关系不确定，， 故无法确定平分，故③不正确． 综上可知，正确的说法有个． 42．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 【题型 14·角平分线·+平行线构造等腰模型】 43．如图，在中，平分，平分，过点作，分别交于点，若，则的周长是（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】D 【分析】本题考查求三角形周长，涉及角平分线定义、平行线性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 先由角平分线定义及平行线的性质得到，，进而由等腰三角形的判定与性质确定，数形结合表示出的周长，代值计算即可得到答案． 【详解】解： 平分， ， 平分， ， ， ，， ，， 即， ， ， 故选：D． 44．如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的性质可得，然后结合周长是24，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵周长是24， ∴， ∴． 【题型 15·最短路径(将军饮马)】 45．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，与三角形的高相关的计算． 延长至点，使得，连接，由线段垂直平分线的性质，可得，作于点，由垂线段最短，可得，连接，由的面积，可得，即可得的最小值． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， 作于点，则， ∴当点P，Q，M三点共线时，且时，即点H和点P重合时，取得最小值，即的长度， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 46．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值． 47．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 48．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【答案】B 【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可． 【详解】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH， 则AM=MG，AN=NH， ∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH， 由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小， ∵∠BAE=152°， ∴∠G+∠H=28°， ∵AM=MG，AN=NH， ∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN， ∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键． 【题型 16·折叠问题角度】 49．如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 50．如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，利用三角形的外角的性质，折叠的性质，计算即可．解题的关键是掌握三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和． 【详解】解：∵， ∴， ∵将三角形纸片沿折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 51．如图，长方形为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型；由题意，根据平行线的性质得，根据已知，易得；由图可得，等量代换即可解答问题． 【详解】解：如图： 由翻折的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由图可得；， ∴， ， ∴ ∴． 故选：C． 【题型 17·等腰直角、等边三角形边角综合小题】 52．如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论： 是等腰三角形； ； 平分； 垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及线段垂直平分线的判定，首先根据等角对等边得出，再利用全等三角形的判定与性质逐一判断各个结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，只有当时，，题目未给出的度数，故不一定是等腰三角形，即错误； ∵，， ∴，即，即正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即正确； ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，即正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 53．如图，在中，，过点作于点D，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点E，若点是的中点，则下列结论中： ； ； ； ．正确结论的个数是（     ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可证，再证明，可判定结论；过点作于点，证明与的关系，可判定结论；根据题意证明与的全等关系，可判断结论；结合上述证明可得，则可判断，进而可判定结论． 【详解】解： ， ， 又 ， ； 又 ， ， ，， ， 又 ， ， 又 ， ， 则与中， ， ， ， 又 ， 是等腰直角三角形， ， ， 又 ， ， ， ， 故错误，不符合题意； 如图，过点作于点，则， 由①可得，，，是等腰直角三角形， ， 点是中点， ， 又 ， 则在与中， ， ， ，， ， 又 ， ，故正确，符合题意； ， ， 由可知，，， 在与中， ， , ，故正确，符合题意； ， ， 又， ， , , , 又 ， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有，共个． 54．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用．①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断；②求出和的度数，从而得出度数，据此可判断；③根据证明即可判断；④由即可判断． 【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴是等腰三角形，且顶角， ∴，故①正确； ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∴三个内角都不相等， ∴不是等腰三角形，故②错误； 由且知， 则， 在和中， ，，， ∴， ∴，故③正确； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：B． 【题型 18·动点角度/边长分类讨论选填压轴】 55．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，点D为的中点，可得，，设点、的运动时间为，分别表示出，，分和两种情况，即可求解． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴，， ∴点的对应点是点， 设点、的运动时间为，点Q的运动速度为， ∴，， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 56．如图，中，，，，为的中点，动点以的速度从点出发，向着点的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，的值（     ） A．4 B．4或5 C．4或6 D．4或7 【答案】D 【分析】先根据直角三角形性质求出的长，用表示出的长，再分和两种情况，利用含角的直角三角形性质建立方程求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， 为的中点， ， 由题意得，则， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得． 综上所述，的值为或． 【解答高频】 【题型 19·三角形角度基础计算】 57．如图所示，在中，，平分，若，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的定理和性质，由三角形的内角和定理可知，角平分线的定义可知，由三角形外角的定义可求出，再由余角的定义可求出，最后根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 58．如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形的高与底边垂直是解题关键． （1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出； （2）根据，求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，然后利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ， ． 答：． （2）解：由（1）知，， ， ， ， 平分， ， ． 答：． 【题型 20·中线求周长、中线等分面积】 59．如图，已知，分别是的高和中线，，，求：的面积． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 根据三角形的中线得到，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：∵分别是的高线和中线，， ∴， ∴． 60．如图，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求与的周长差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形高、中线的计算，掌握高的定义，中线的定义是关键． （1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据中线得到，分别表示出的周长，的周长，列式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴的周长减去的周长表示为 ， ∴与的周长差为． 【题型 22·基础全等证明】 61．已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：在和中， ， ． 【详解】略 62．如图，已知A、E、B、F共线，，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵，BCDE， ∴，， 又∵， ∴； (2)3 【分析】（1）利用平行线的性质及角角边即可证明； （2）由全等三角形的性质及即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴． 63．如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，再证明，即可利用证明； （2）根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型 23·角平分线性质/判定证明、距离求值】 64．已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； (2) 证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）略 （2）略 65．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1) 证明：连接，   ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型 24·垂直平分线性质证明与计算】 66．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求周长． 【答案】(1) 证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，进而得，再根据周长，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴周长． 67．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； (3)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； (3) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论； （3）根据，得出，即可求出结果． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【题型 25·等腰三角形基础证明、角度边长计算】 68．已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由等边三角形的性质可得的度数，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 69．如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等即可． 【详解】（1）略 （2）略 70．如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 【解答压轴】 【题型 26·全等证明·+线段相等/平行综合(二次全等)】 71．如图 ，在中，为 边上的中线，延长 到点，使；连接，． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明： 是边上中线， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （2）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， 在中，用三边关系， 即， 化简得． 72．如图，点，在线段上，，，. (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵ ∴． (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质，结合三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等三角形的性质，线段的和差解答即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 73．已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)，理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴； (3)解：，理由如下： 由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴，， ∴． 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解； （3）由同角的余角相等可得，再利用即可证明，从而可得，，即可得解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【题型 27·8字、飞镖模型角度探究大题】 74．如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则______度，若，则______度（用含的式子表示）： ②如图③，平分，平分，若，，的度数是______． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由（1）可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，分别将、代入计算即可； ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又∵， ． （2）解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 当时，； 当时，； ②由（1）可得，， ， 又∵平分平分， ， ． 75．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 76．如图1，线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”． (1)求证：； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，求 的度数； (3)如图3，点E是延长线上一点，与的平分线交于点P，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵和的内角和都为， ∴， ∵， ∴． (2) (3)， 理由：由（1）知，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义及角平分线的性质． （1）在和中，分别利用三角形内角和定理，再结合对顶角相等来推导； （2）先在中得到与的关系，再在中利用三角形内角和定理来求解； （3）利用角平分线的性质和“8字形”的结论，通过等量代换和化简来找出，与之间的关系． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 在中，， ∴． （3）略 77．【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【答案】 （1）证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型 28·手拉手，中线倍长法，半角模型全等综合大题】 78．已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． (1)如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． (3)如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长到点，使，连接，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ． (3)，理由如下： 如图3，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，证明，再根据三角形三边关系求解即可； （2）延长到点，使，连接，，证明和，得到，根据三角形三边关系求解即可； （3）延长，交于点，证明，得到，根据是的平分线得到，即可得证． 【详解】（1）如图，延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ． （2）略 （3）略 79．【问题情境】在和中，，，． (1)【初步探究】如图①，当点，，在同一条直线上时，连接，，延长交于点，则与之间有什么关系？ (2)【类比探究】如图②，当点，，不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图③，在（2）的条件下，连接并延长交于点，的大小确定吗？若确定，求出的度数；若不确定，请说明理由． 【答案】(1)，且 (2)（1）中的结论仍然成立． 理由如下： 设与相交于点，如图所示： ， ，即． 在和中， ， ． ，； 在和中，由三角形内角和定理可得， ，， ． ； 综上所述，与之间关系为，且； (3)的大小确定， 【分析】（1）由三角形全等的判定与性质得出，且，再由三角形内角和定理推出即可得证； （2）类比（1）中求解过程即可确定答案； （3）过点作，，垂足分别为，，如图所示，由全等性质得到，，结合三角形面积公式得出，最后由角平分线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ． ，； 在和中，由三角形内角和定理可得， ，， ， ； 综上所述，与之间关系为，且； （2）略 （3）解：的大小确定． 过点作，，垂足分别为，，如图所示： 由（2）知， ，． ，， ． ，， 平分． ， ， ， ． 80．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3)解：结论：． 证明：如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，求出，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）在上截取，使，连接，证明，可得，再证明，然后由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【题型 29·等腰(等边)三角形综合证明探究】 81．综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 82．如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ． (2)证明：如图，作于，作于． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴平分． (3)，证明如下： 如图，设与交于点， 设， ∵平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先证明，再根据证明结论即可； （2）作于，作于，由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可证明； （3）设与交于点，，由角平分线的定义、全等三角形的性质、等边对等角可得，，，由（2）可得，证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 83．综合与实践：在等边中，，点是直线上一动点（不与，重合），以为边在的右侧作等边，连接．探究图中与之间的数量关系． (1)特例研究：如图1，当点在线段上时， ①求证：； ②判断与有什么样的位置关系，并说明理由； (2)类比探究：在（1）的条件下，探究与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展延伸：当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】(1)①证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②；理由如下： 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)； 证明如下：由（1）①得， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； (3)当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，；当点D在线段的反向延长线上时， 【分析】（1）①证明即可； ②；由①的证明得，从而，由平行线的判定即可得到； （2）；由（1）①得，结合等边三角形的性质及线段的和差关系即可证明； （3）分三种情况：点D在线段上；点D在线段的延长线上；点D在线段的反向延长线上；利用三角形全等的判定与性质即可求解． 【详解】（1）①证明：略； ② ；理由略； （2）解：；证明略； （3）解：当点D在线段上时； 由（2）知； 当点D在线段的延长线上时，如图2； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点D在线段的反向延长线上时，如图3； 同理得， ∴， ∵， ∴； 综上，当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，；当点D在线段的反向延长线上时，． 【题型 30·将军饮马作图·+最值解答大题】 84．【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】 （1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证 是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①略 ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 85．在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）    （2）解：. 证明：与都是等边三角形， ，，， . 即. 在和中， ， . ， . （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题： （1）由等边三角形的性质可得，，，推出，进而根据“SAS”证得，由全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）证明，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得，进而根据等边三角形的性质可得，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， . 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 等边中，是中线，且， ，，， 点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，   ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值. 【题型 31·动点全等、动点等腰分类讨论压轴】 86．如图，的两条高与交于点O，，． (1)若，求的度数； (2)①求证：； ②的长为________； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①证明：∵的两条高与交于点， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②6 (3)或时，与全等． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键． （1）根据的两条高与交于点，利用同角的余角相等得出即可得答案； （2）①先利用等角的余角相等求得，利用可证明即可； ②利用全等三角形的性质即可得答案； （3）分点在延长线上和点在线段上两种情况，利用全等三角形的性质，分别用表示出、，解方程求出值，即可得答案． 【详解】（1）解：∵的两条高与交于点， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：①略 ②∵， ∴； （3）解：与全等时， ①如图，当点在延长线上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． ②如图，当点在线段上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． 综上所述：或时，与全等． 87．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)运动的速度为或或或． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得 ； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得 ； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ∴运动的速度为或或或． 88．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况二： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 【题型 32·一线三垂直模型全等综合】 89．“一线三垂直”属于“一线三等角”模型的特例，特点是三个相等的角都是直角，对应有三组边相互垂直．若该模型内有一组对应边相等，则一定能找到一对全等三角形．（如图：） (1)如图，在等腰直角中，，．过点作直线，于，于．若，， ①求证：； ②求的长． (2)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． ①连接、，则是等腰直角三角形吗？请判断，并说明理由． ②第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ② (2)①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ，即， ∴是等腰直角三角形； ②存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或 【分析】（）利用余角性质可证，再根据判定定理“”即可求证；②由全等三角形的性质得，，再根据线段的和差关系解答即可； （）①过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得到，，进而得到，即可求证；②分三种情况，分别画出图形，同理（）①证明三角形全等，再根据全等三角形的性质并结合点的坐标解答即可． 【详解】（1）略 ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 ②解：第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，分三种情况： 当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴，， ∵， ， ∴，， ∴，， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； 当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴；   当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴， ， 设， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 90．平面直角坐标系中，点、分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，若，则_________，_________，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，若平分，，过点B作轴于点E，并延长交的延长线于点F，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，F为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段AG上一点，且，连接，，若点F的坐标为，求的值． 【答案】(1)；4； (2)点 B的纵坐标为 (3) 【分析】（）先求出，，再过点作轴于点，由同角的余角相等，证明，所以，，得，从而可得； （）证明，则，又，则，然后证明，所以，又，则，从而可得点的纵坐标为； （） 作于点，于点，证明，所以，则有，则，故有，由折叠可知，所以，由，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 解得， ∴，， 如图，过点作轴于点， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 在和中，           ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点的纵坐标为； （3）解：如图，作于点，于点， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴． 91．在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，试求点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分． (3)若点C在x轴正半轴上运动，当时，求的度数．（温馨提示：等腰三角形的两个底角相等） 【答案】(1)点的坐标为 (2)证明：过点作于点，作于点， ∵， ，， ，， ∴， ， 平分； (3) 【分析】（1）证明，得到，即可求解； （2）过点作于点，作于点，根据得到，，根据面积公式得到，根据角平分线的判定定理即可证明； （3）在上截取，连接，证明，得到，，根据，得到，因此，从而，根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，，， ， ∴ ，， ， ，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：在上截取，连接， ∵平分 ∴， ∵，， ， ，， ， ，即， 等腰三角形的两个底角相等 ， ， ∴， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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