2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷（测试范围：第十三～十五章）

2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷 （测试范围：第十三~十五章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．机器人社团要制作三角形机械臂，现有2根金属连杆，长度分别为、，以下长度的金属连杆中，可以与其构成等腰三角形机械臂的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列结论：①；②和面积相等；③；④．其中正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 5．下列说法正确的有（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点； ③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，D，E分别是上的点，将沿折叠，使点C落在的内部点处．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是的高，是的角平分线．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则不能说明的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（     ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 10．如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，和，和是对应角，若，，则的长为________． 12．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、D，，，那么的周长_______． 13．如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为4，则的面积为______． 14．如图，将沿着直线 l 折叠，点C落在点D的位置，若，则的度数是_________ 15．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，P为y轴上一动点，且A，B，P三点不在同一条直线上，连接．当的周长最小时，点P的坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 18．如图，在中，，点为上一点，连接平分交于点，若． (1)求的度数； (2)求的度数． 19．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．如图，在中，，平分，过点E分别作、，，垂足分别为M、N、D，，连接． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求的度数． 21．如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 22．如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形．为了飞行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即被垂直平分． (1)小深通过测量得到了，还需测量得到______（不添加新的点和线的前提下，增加一个条件），即可判断制作的风筝面为轴对称图形，请说明理由． (2)若四边形是轴对称图形，且，，求的度数． 23．【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)①如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点，于点E，则线段，与之间满足的数量关系是__________； ②如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，，，则的长为__________． 【模型初探】 (2)如图3，四边形中，，，则的面积为__________． (3)如图4，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰．连接交延长线于点E．判断与的数量关系并证明． 【模型拓展】 (4)如图5，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，则的面积为__________． 24．按要求解答下列问题： 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 (2)如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：正确选项的序号是______． ①；②；③；④． 【问题拓展】 (3)如图3，与互补，连接、是的中点，求证：； (4)如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷 (测试范围：第十三~十五章) 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列图形中，不是轴对称图形的是() D 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可. 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，所以都是轴对称图形： B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，所以不是轴对称图形. 2.机器人社团要制作三角形机械臂，现有2根金属连杆，长度分别为3cm、7Cm,以下长 试卷第1页（共3页） 度的金属连杆中，可以与其构成等腰三角形机械臂的是() A.2cm B.3cm C.5cm D.7cm 【答案】D 【详解】解：'等腰三角形的两边分别为3cm和7cm, ·当腰为 cm时， 3+3<7不能构成三角形，枚舍去： 当腰为7Cm时，3+3>7满足题意，故选项D符合题意. 3.如图，AD是△ABC的中线，E,F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF,连 接BF,CE,下列结论：①CE=BF;②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE;④ △BDF≌△CDE 其中正确的个数为() B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】结合AD是△ABC的中线，可知点D是边BC的中点，可得BD=CD,所以 △1D和△1CD等底同高，据此可对@作出刘斯，再利用三有形全等的到定方法SAS司 证△BDF和△CDE全等，对④作出判断，然后由全等三角形的性质和平行线的判定定理 试卷第2页（共3页） 可得CE与BF的关系. 【详解】解：：AD是△ABC的中线， :BD=CD,S,Am=S4CD,②正确： 又.DE=DF,∠CDE=∠BDF, :△BDF≌aCDE(SAS),④正确： :.CE=BF,∠CED=∠BFD,①正确； .BF∥CE,③正确. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,D为BC上一 点，BD=3,E,F分别是AC,AB上的动点，则DE+EF的最小值为() B D A.2.4 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】作点D关于4C的对称点G,则DE+EF=GE+EF,当G,E,F三点共线，且 GF LAB时，DE+EF 取得最小值，推出BG=BC+G=5 根据等面积法计算即 可 试卷第3页（共3页） 【详解】解：BC=4,BD=3, :CD=1, 作点D关于AC的对称点G,连接AG,CG,EG, B 则DE=GE,CG=1, .DE+EF=GE+EF, 当G,E,F三点共线，且GF上AB时，DE+BF取得最小值， 此时DE+EF=GE+EF=FG, .∠ACB=90°， .a xBGXAC-1x4BXGF 2 2 .BG BC +CG =5 1 1 2×5x3=2x5xGF, . 解得：GF=3, 即DE+EF的最小值为3. 5.下列说法正确的有（) 试卷第4页（共3页） ①三角形的角平分线是射线：②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点： ③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部 分 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】区分三角形的角平分线与角的平分线，明确不同类型三角形高的位置，结合相关性 质逐一判断各说法即可· 【详解】解：①，三角形的角平分线是线段，不是射线，.该说法错误； ②，三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，.该说法正确： ③，钝角三角形有两条高在三角形外部，.该说法错误： ④.三角形中线分得的两个三角形等底同高，∴.面积相等，该说法正确. 综上，正确的说法共2个. 6.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,BC上的点，将∠C沿DE折叠，使点C落在 C的内部点C处.若∠C=40°，则1+∠2的度数是（) AAB 试卷第5页（共3页） A.80 B.100° C.1100 D.130 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出∠CDE+∠CED=140°，结合平角的定义和折叠的性 质求解即可 【详解】解：，∠C=40°， .∠CDE+∠CED=180°-40°=140°， 将∠C沿DE折叠， ∴.∠C'DE+∠C'ED=∠CDE+∠CED=140°， .:∠1+∠2=180°×2-140°×2=80° 7.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线.已知 ∠B1C=80°，∠C=38°，则∠DME的度数为（） DE A.12° B.18° C.24° D.26° 【答案】A 【分析】因为AE是角平分线，已知∠BAC的度数，所以可根据角平分线定义求出∠EAC 的度数.因为AD是高，所以∠ADC=90°，结合已知∠C的度数，根据直角三角形两锐 试卷第6页（共3页） 角互余可求出∠DAC的度数.观察角的和差关系，∠DAE等于∠EAC与∠DAC的差， 代入对应度数计算即可. 【详解】解：已知AE是△ABC的角平分线，∠BAC=80°， 可得： ∠CAE=∠BAC=x80°=40 2 已知AD是△ABC的高， 因此AD⊥BC,即∠ADC=90°. 在Rt△ADC中，两个锐角互余，结合∠C=38 可得：∠CAD=90°-∠C=90°-38°=52°. 观察图形可知∠DAE=∠CAD-∠CAE, 代入数值：∠DAE=52°-40°=12°. 8.如图，四个点B、E、C、F在同一直线上，∠A=∠D,AB=DE,则不能说明 △ABC≌ADEF 的是() 】 A.∠B=∠DEFB.BC=EF C.AB∥DE D.AC∥DF 【答案】B 试卷第7页（共3页） 【分析】已知一边一角，需根据全等三角形判定定理逐一验证各选项， 【详解】解：已知∠A=∠D,AB=DE, 对于A:,∠B=∠DEF, 根据MSM可证△MBC兰ADEF 对于B,BC=EF,此时为SSA,不能判定△ABC=ADEF; 对于C,·AB∥DE :∠B=∠DEF,根据ASA可证 ABC≥ADEF 对于D,·AC∥DF ∠ACB=∠F,根据AAS可证△MABC=△DEF 9.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角 ∠ABC=120° 支 撑臂BD为∠ABC的平分线，物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一 定的角度并伸长，此时∠ABD=3∠CBD,∠BDC减小了I0°，则△DBC的外角∠DCE的 变化情况为() 支撑臂 3机械臂 操作台 A.增大40° B. 减小40° C.增大30° D.减小30° 【答案】B 试卷第8页（共3页） 【分析】设∠BDC=x,先计算物体被吊起前∠DCE的度数，再计算物体被吊起后∠DCE 的度数，即可列式求解. 【详解】解：设∠BDC=x, 物体被吊起前， ∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线， :∠DBC=)∠ABC=60° 21 ∴.∠DCE=∠DBC+∠BDC=60°+x 物体被吊起后， ∠ABC=120°∠ABD=3∠CBD 1 ∴.∠DBC=-∠ABC=30° 4 ∠BDC 减小了10 ∴.∠BDC=x-10° ∴.∠DCE=∠DBC+∠BDC=30°+x-10°=20°+x ·∠DCE的变化情况为减小60°+x-(20°+x)=40° 10.如图，等边△ABC的边长为8，点D在边AC上，AD=2,过点D作DE1∥AB交BC 于点E,连接AE,点F在EC上，连接AF,AF=AE,则EF的长为() 试卷第9页（共3页） A.4 B.3 C.2 D.3 【答案】A 【分析】根据△ABC是等边三角形得AB=AC=BC=8,∠C=∠B=60°，则CD=6, 证明△DEC是等边三角形得CE=CD=6,则BE=2,再证明△ACF≌△ABE(AAS) 得CF=BE=2,由此可得EF=CE-CF=4. 【详解】解：，等边△ABC的边长为8， .AB=AC=BC=8,∠C=∠B=60°， ,点D在边AC上，AD=2, .CD=AC-AD=8-2=6, .DEI∥AB, ∴.∠DEC=∠B=60°， .∠DEC=∠C=60°， .△DEC是等边三角形， .'CE=CD=6, BE=BC-CE=8-6=2, AF=AE, ∴.∠AEF=∠AFE, 试卷第10页（共3页） :∠AFC+∠AFE=180°，∠AEB+∠AEF=180°， ∠AFC=∠AEB, 在△ACF和△ABE中， ∠AFC=∠AEB ∠C=∠B AF=AE :.△ACF2△ABE(AAS) .CF=BE=2, .EF=CE-CF=6-2=4, 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） l1.如图，△ABC≌aDEF,∠B和∠E,∠A和∠D是对应角，若AD=8,CF=2,则 AF 的长为 B 【答案】3 【分析】根据全等三角形对应边相等得出AC=DF,利用线段的和差关系推出AF=CD 结合AD的长度建立等式求解. 试卷第11页（共3页） 【详解】解：：△ABC≌△DEF, .AC=DF .AC=AF+CF,DF=CD+CF, .AF=CD. .AD=AF+CF+CD=8,CF=2, :AF+2+AF=8 2AF=6 解得AF=3. 12.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D,BC=8,BE=5 ,那么△BCE的周长= B D 【答案】18 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CE=BE=5即可解答. 【详解】解：：BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D,BE=5, ..CE=BE=5, BC=8, 试卷第12页（共3页） ∴.△BCE的周长=BC+BE+CE=8+5+5=18. I3.如图，D是△ABC的边BC上任意一点，BE,CE,BF分别是△ABD,△ACD, △BCE 的中线，若△BEF的面积为4，则△ABC 的面积为一 【答案】16 【分析】根据三角形的中线平分面积进行计算即可. 【详解】解：：BE,CE,BF分别为△MBD,△MCD,△BCE的中线， SABD=2SARE =2SBDE S4CD =2S.4CE =2S.CDE SAWC=+S4CD=2SWDE+2S.CDE=2S.RCE :BF是△BCE 的中线， .S.nCE=2S.mEF S.ANC=4S.BEF ·△BEF的面积为4， ∴.SM8c=4Sr=16 14.如图，将△ABC沿着直线1折叠，点C落在点D的位置，若∠C=46°，则∠1-∠2的 试卷第13页（共3页） 度数是 【答案】92° 【分析】由折叠的性质得：∠D=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C, 3=∠2+∠D,然后把3=∠2+∠D代入A=B+∠C计算即可. 【详解】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=46°， 根据外角性质得：∠I=∠3+∠C,∠3=∠2+∠D, 则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+92°， 则∠1-∠2=92°， B 15.如图，在△ABC中，己知BA=BC,∠B=120°，AB的垂直平分线DE交AC于点 D.若1C=9cm,则D=cm 试卷第14页（共3页） 【答案】3 【分析】连接BD,先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A和∠C,再根 据线段垂直平分线的性质求出AD=BD,从而推出∠DBC=9O°，最后根据Rt△DBC中 30 角所对的边等于斜边的一半求出BD的长，从而得到AD的长。 【详解】解：如图，连接BD B C ∠ABC=120°AB=BC ∠A=∠C=2（80°-∠ABC)=30 AB DE 的垂直平分线是 ∴AD=BD .∠A=∠DBA=30° ∴.∠DBC=90° ∴.CD=2BD AC=AD+CD=BD+2BD=9cm 试卷第15页（共3页） ∴.BD=3cm ∴.AD=3cm 16.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(2,6)，(4,0)，P为y轴上一动 点，且A,B,P三点不在同一条直线上，连接PA,PB,AB.当△MBP的周长最小时，点P 的坐标为 B主 【答案】(0,4) 【分析】作点B关于y轴的对称点C,连接PC,连接AC交y轴于点D,连接OA,则 C(-4,0),可证明点P与点D重合时△ABP的周长有最小值：根据SA4oc=SAcOD+SAAOD 求出OD的长即可得到答案. 【详解】解：如图所示，作点B关于y轴的对称点C,连接PC,连接AC交y轴于点D, 连接0A,则C(-4,0) 试卷第16页（共3页） 0 B末 由轴对称的性质可得PC=PB, .△ABP的周长=PA+PB+AB, .·PA+PB=PA+PC≥AC,且AB为定值， ∴.当P、A、C三点共线时，△ABP的周长有最小值，即点P与点D重合时△ABP的周长有 最小值： C(-4,0) .0C=4, SMAOC=SACOD+SAOD 1 1 ×4×6=二×4OD+二×20D .2 .OD=4, ∴点D的坐标为(0,4)，即P(0,4) 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17.如图，△ABC的边BC上的高为AF,中线为AD,AC边上的高为BG,已知 试卷第17页（共3页） AF=6 BD=10 BG=5 G F B D (I)求△ABD的面积； (2)求AC的长. 【答案】(1)5m=30 ②)AC-24 【分析】(1)根据三角形的面积公式求解即可： (2)根据三角形的中线平分三角形的面积可求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式 求解即可. 【详解】(1)解：△ABC的边BC上的高为AF,BD=10,AF=6, .S.m-BD.AF=x10x6=30 2 2 (2)解：：AD是△ABC的中线， S.4C =2S.ABD =60 :△ABC的边4C上的高为 G Smc-4cBG=60 BG=5, 试卷第18页（共3页） .AC=24 1S.如图，在△MBC中，∠ACB=90°，点D为BC上点，连接MD,DE平分∠ADC交 于点E,若∠BAD:∠DAC=4:3,∠CDE=30 AC E B (I)求∠DAC的度数： (2)求∠B的度数. 【答案】（①）30° 3300 【分析】(1)根据角平分线的定义求出∠CDA=2∠CDE,进而根据直角三角形两锐角互 余计算即可； (2)先求出∠BAD=40°，进而得到∠BAC的度数，进而根据直角三角形两锐角互余计算 即可 【详解】(1)解：DE平分∠ADC, ∴.∠CDA=2∠CDE .∠CDE=30° ∴.∠CDA=2×30°=60° 试卷第19页（共3页） .∠ACB=90° ∴.∠DAC=90°-∠CDA=30° (2)解：∠BAD:∠DAC=4:3,∠D4C=30 ∴.∠BAD=40° :.∠BAC=∠BAD+∠DAC=30°+40°=70° ∴.∠B=90°-∠BAC=90°-70°=20° 19.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE,BC∥EF,BC=EF, (I)求证：△ABC≌aDEF: (②)若∠A=60°，∠CBE=135°，求∠F的度数. 【答案】(I)证明：.AD=BE, .AD+DB=BE+DB, 即AB=DE, BC∥EF, .∠ABC=∠DEF, .BC=EF, 试卷第20页（共3页） :△ABC≌aDEF(SAS) 326 【分析】(I)先求得AB=DE,∠ABC=∠DEF,再结合已知条件运用SAS可证结论： (2)根据邻补角及全等三角形的性质求得∠FDE与∠E，再结合三角形的内角和定理即可 求解 【详解】(1)略 (2)解：·∠CBE=135°， ∴∠ABC=180°-135°=45°， .·△ABC≌△DEF, ∠A=∠FDE,∠ABC=∠E, 又.∠A=60°， ∴.∠PFDE=60°，∠E=45°， .∠F=180°-∠FDE-∠E=75°. 20.如图，在△ABC中，AB>AC,AE平分∠BAC,过点E分别作EM⊥AB、 EN⊥ACED⊥B ,垂足分别为MND,BM=CW,连接C .CE 试卷第21页（共3页） M B D (I)求证：点D为BC的中点； 2)若LBAC=76°，求∠DCE的度数. 【答案】(I)证明：连接EB, :AE平分∠BAC,EM⊥AB,EN LAC, ∴.EM=EN M B D E EM=EN ∠EMB=∠ENC=90° BM=CN ·.aEMB≌aENC(SAS) .EB=EC, .ED⊥BC ∴.BD=CD 试卷第22页（共3页） 故点D为BC的中点. g38 【分析】()连接EB,证明△BMB2aBNC(SAS),再利用等腰三角形三线合性质证 明即可； (2)利用直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的三线合一性质，解答即可. 【详解】(1)证明：略. (2)解：如图， :AE平分∠BAC,∠BMC=76, :.∠MAE=∠NAE=∠BAC=380 ,EM⊥ABEN⊥AC M D C 4 ∴.∠1+∠2=∠3+∠4=90°-38°=52° .∠1+∠2+∠3+∠4=104° 根据等腰三角形的三线合一性质，得∠1+∠4=∠3+∠2， ∴.∠2+∠3=52° 试卷第23页（共3页） .ED⊥BC ∴.∠DCE=90°-（∠2+∠3）=38° 21.如图，D为△ABC外部-一点，连接AD,CD,已知∠B=50°，∠D=100°. B (I)尺规作图：在△ABC内求作一点M,使△AMC≌△ADC: (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)①通过作图可以得到：AM= CM= ②判定△AMC≌△ADC的依据是 (从SSS、SAS、ASA或AAS中选填)： (3)求∠BAM+∠BCM. 【答案】(1)解：如图，点M即为所求， B a04D,CD:②SSS 3)50o 试卷第24页（共3页） 【分析】(1)根据题意，以点A为圆心，AD为半径画弧，再以点C为圆心，CD为半径 画弧，两弧交于点M,连接MM,CM,故M=D,MC=DC,AC=AC,所以 △AMC≌AADC (2)①根据(1)中的尺规作图，可得答案；②结合全等三角形的判定可得答案： (3)结合全等三角形的判定可得∠AMC=∠D=I00°，在△ABM中， ∠BMM=l80°-∠ABM-∠MMB,在△BCM中，∠BCM=180°-∠CBM-∠CMB 数形结合表示出∠BAM+∠BCM计算即可得到答案. 【详解】(1)略 (2)解：①通过作图可以得到： AM=AD,CM=CD ②结合作图得AM=AD,CM=CD 又，AC=AC, ∴判定△AMC≌△ADC的依据是SSS; (3)解：在△ABM中，∠BAM=180°-∠ABM-∠AMB, 在△BCM中，∠BCM=180°-∠CBM-∠CMB, .△AMC≌△ADC, ∴.∠AMC=∠D=100°， ∠BAM+∠BCM 试卷第25页（共3页） =180°-∠ABM-∠AMB+180°-∠CBM-∠CMB =360°-∠ABC-（∠AMB+∠CMB) =360°-∠ABC-(360°-∠AMC） =360°-50°-(360°-100) =50° 22.如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形ABCD.为了飞行时受力均匀，保 持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即BD被AC垂直平分. 抽象 (I)小深通过测量得到了AB=AD，还需测量得到（不添加新的点和线的前提下，增 加一个条件)，即可判断制作的风筝面ABCD为轴对称图形，请说明理由. 2)若四边形ABCD是轴对称图形，且AB⊥BC,∠BCD=50°，求∠ADB的度数. 【答案】(I)解：还需测量得到BC=DC,理由如下： 如图所示，设AC,BD 交于点O, 试卷第26页（共3页） 抽象 在△ABC和△ADC中， AB=AD AC=AC BC=DC .△ABC≌aADC(SSS) :CB=CD,∠ACB=∠ACD 在△COB和△COD中， CB=CD ∠OCB=∠OCD OC=OC :.ACOB≌aCOD(SAS) .OB=OD,∠COB=∠COD .∠COB+∠COD=180° .∠COB=∠COD=90°， .BD被AC垂直平分， ∴.制作的风筝面ABCD为轴对称图形： 试卷第27页（共3页） 还需测量得到∠BAC=∠DAC,理由如下： 如图所示，设 AC,BD 交于点O, 抽象 在△ABC和△ADC中， AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC :.△ABC≌△ADC(SAS) ,CB=CD,∠ACB=∠ACD 在△COB和△COD中， CB=CD ∠OCB=∠OCD OC=OC :.△COB≌aCOD(SAS) :OB=OD,∠COB=∠COD .∠COB+∠COD=180° .∠COB=∠COD=90°， 试卷第28页（共3页） ∴.BD被AC垂直平分， ∴.制作的风筝面ABCD为轴对称图形： 335o 【分析】(I)添加条件BC=DC或∠BAC=∠DAC,证明△ABC≌△ADC,得到 CB=CD,∠ACB=∠AC ,再证明△COB≌ACOD,得到OB=OD,∠COB=∠COD 则可证明BD被AC垂直平分，则制作的风筝面ABCD为轴对称图形： (2)设4C,BD交于点O,证明△COB≌△COD,得到 CB=CD,∠0CD=∠0CB=∠BCD=25°，则∠CD0=65:再证明aMBC2aADC 2 ,得到∠ADC=∠ABC=90°，则∠ADB=∠ADC-∠CDO=25° 【详解】(1)略 (②)解：如图所示，设AC,BD 交于点O, 抽象 :四边形ABCD是轴对称图形，即BD被AC垂直平分， :OB=OD,∠COB=∠COD=900 试卷第29页（共3页） 在△COB和△COD中， OB=OD ∠COB=∠COD OC=OC :△COB≌aCOD(SAS) .CB=CD,∠0CD=∠0CB=∠BCD=250 2 .∠CD0=180°-∠COD-∠OCD=65°. AB⊥BC, .∠ABC=90°； 在△ABC和△ADC中， CB=CD ∠ACB=∠ACD AC=AC :.△ABC2aADC(SAS) .∠ADC=∠ABC=90°， .∠ADB=∠ADC-∠CDO=25° 23.【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组 边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定 试卷第30页（共3页） 存在全等三角形， D B B 图1 图2 图3 图4 图5 (I)①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE, AD LDE于点D,BE LDE于点E,则线段AD,BE与DE 之间满足的数量关系是 ②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作 AD⊥CE 于点D,过点B作BE1CE于点E,AD=5,BE=2,则DE的长为 【模型初探】 (②)如图3，四边形ABCD中，AC=BC,∠ACB=∠ADC=90°，CD=8则△BCD的面 积为 试卷第31页（共3页） 3)如图4，在RtAAOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和 等腰RtAOBC.连接DC交OB延长线于点E.判断AO与BE的数量关系并证明. 【模型拓展】 ④如图5，在△ABC中，AB=AC,BC=4,Sa=6,以AC为直角边向右侧作一个 等腰直角三角形ACD,连接BD,则△BCD的面积为 【答案】(I)①DE=BE+AD;②3 (2)32 3)OA=2BE ，证明如下： 如图所示，过点D作DH⊥BE交BE延长线于H, :△ABD是等腰直角三角形，且AB为直角边， .AB=BD,∠ABD=90°， ∴同理可证明△DHB≌△BOA, ∴.BH=OA,DH=OB: △OBC是以OB为直角边的等腰直角三角形， .OB=BC,∠OBC=90°， 试卷第32页（共3页） .BC=DH,∠CBE=180°-∠OBC=90°， ∴.∠EBC=∠EHD=90°， 又：∠BEC=∠HED, :.ACBE≌DHE(AAS). ∴.EH=EB, ..OA=BH =2BE; ④10或4 【分析】（①根据AD⊥DE,BE⊥DE得到∠ADC=∠CEB=90°，结合 ∠4CB=90°，得到∠ACD+∠CAD=90°，∠4CD+∠BCE=90° ,从而得到 ∠CAD=∠BCE,即可得到△CMD2△BCE,即可得到答案： 同理①证明△CMD≌△BCE即可得到答案； (2)过点B作BH⊥DC交DC延长线于H,同(I)可证明△BIHC≌aCDA,则 BH=CD=8 ,再根据三角形面积计算公式求解即可： (3)过点D作DH⊥BE交BE延长线于H,同理可证明△DHB≌△BOA,得到 BH=OA,DIH=OB;再证明△CBE≌aDHE(AAS),得到EH=EB,则 OA=BH=2BE 试卷第33页（共3页） (4)分∠CAD=90°，∠ACD=90°两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合(1)的结 论求解即可得到答案. 【详解】()解：①：AD⊥DE,BE⊥DE, ∴.∠ADC=∠CEB=90° .'∠ACB=90° ∴.∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90° ∴.∠CAD=∠BCE 在△CAD和△BCE中， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC .ACAD≌△BCE(AAS) ∴.CD=BEAD=CE ∴.DE=CD+CE=BE+AD 即DE=BE+AD: ②：AD⊥DEBE⊥DE, ∴.∠ADC=∠CEB=90° ∠ACB=90° 试卷第34页（共3页） :.∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90° ∴.∠CAD=∠BCE 在△CAD和△BCE中， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC .ACAD≌ABCE(AAS) ∴.CD=BEAD=CE AD=5 BE=2 .DE=CE-CD=AD-BE=5-2=3 (2)解：如图所示，过点B作BH⊥DC交DC延长线于H, B H 同(1)可证明△BHC≌△CDA, ∴.BH=CD=8, 2 CD.BH=1 -×8×8=32 2 试卷第35页（共3页） (3)略 (4)解：以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD,∠CAD=90°，过点A作 M5LBC于E,过点D作DF1EM交BA延长线于F,如图所示： D E ·AB=ACBC=4SAc= BC.AE=6 他=3，CE-BC=2 2 由(I)得：△ACE≌△DAF, .AF=CE=2 :.5.wp-1BC.EF-x4x(2+3)=10 2 2 以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD,∠ACD=90°，过点A作AE⊥BC 于E,过点D作DF⊥BC交BC延长线于F,如图所示： D F..DC BC=44RCAE=6 2 .AE=3,CE-BC=2 2 试卷第36页（共3页） 由(1)得：△AEC≌ACFD, ∴.CE=DF=2 .S.wco-BC.DF=x4x2=4 2 综上，△BCD的面积为10或4. 24.按要求解答下列问题： B D E 图1 图2 D C E O 1 B 图3 图4 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下间题：如图1，在△MBC中，B=10,4C=6,AD是 △ABC 的中线，求AD 的取值范围. 【探究方法】 (I)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E,使得DE=AD:② 试卷第37页（共3页） 连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中：③利用三角形的三边关 系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三 角形. 【问题解决】 (②)如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，∠CAD=∠CDA,下列四个选项 中：正确选项的序号是 ①∠DAE=∠DAB;②∠CAE=∠DAE;③AB=2AE;④AE=AD. 【问题拓展】 6)如图3， OA=OB,0C=OD,∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD,E是AC的中点 求证： OE=÷BD 2 (④)如图4，在(3)的条件下，若∠AOB=90°，延长E0交BD于点F,OF=6, 0E=10 则&A10C 的面积是 【答案】(1)2<AD<8 (2)①③ (3)证明：延长OE到点H,使EH=OE,连接CH, 试卷第38页（共3页） --- B 图3 :E是AC中点， .AE=CE 在△AEO和△CEH中， AE=CE ∠AEO=∠CEH OE=HE :△AEO≌aCEH(SAS) .AO=CH,∠OAE=∠HCE AOCH ∴.∠AOC+∠OCH=180° .:·∠AOB与∠COD互补， ∴.∠AOB+∠COD=180° 又：周角为360°， ∠AOC+∠B0D=180°， ∴.∠OCH=∠BOD 试卷第39页（共3页） ...OA=OB,OC=OD,OA=CH, .CH=OB 在△OCH和△DOB中， CH =OB ∠OCH=∠BOD OC=DO AOCH≌ADOB(SAS) .OH=BD .OH=OE+EH=20E. ÷20E=BD,即0E=)BD 460 【分析】(I)采用倍长中线法延长AD至E使DE=AD,证△ADC≌△EDB得到 BE=4C=6,结合MB=10,利用三角形三边关系求出 4<AE<16 ，再换算得到 2<AD<8 (2)倍长AE到H使得EH=AE,先证△AEC≌△HED,再证△ADB≌△ADH,推出 AB=2AE∠DAE=∠DAB ,选出正确序号①③. (3)倍长OE到H使EH=OE,证明△AEO≌△CEH得到CH=AO和平行关系，结合 试卷第40页（共3页） ∠AOB∠COD互补推出 OCH=∠BOD 0CH≌aDOB,得到 ，再证 BD=OH =20E ,完成证明. (4)沿用第三问结论得到BD=2OE=20,推导出OF⊥BD,代入BD=20、OF=6算 出△BOD面积为60，再由全等面积转化得到△AOC面积等于60. 【详解】(I)解：延长AD到E,使DE=AD,连接BE. :AD是△ABC的中线， .BD=CD 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB CD=BD :△ADC≌aEDB(SAS) .BE=AC=6. 在△ABE中，由三角形三边关系： AB-BE<AE<AB+BE .AB=10,BE=6, .10-6<AE<10+6,即4<AE<16. 又·AE=2AD, 试卷第41页（共3页） .4<2AD<16, .2<AD<8 (2)解：延长AE到H,使EH=AE,连接DH. D E H 图2 :AE是△ADC的中线， .DE=CE 在△AEC和△HED中， AE=HE ∠AEC=∠HED CE=DE .△AEC≌aHED(SAS) .AC=DH,∠ACD=∠HDE. .'∠CAD=∠CDA, .AC=CD ·AD是△ABC中线， .BD=CD. 试卷第42页（共3页） :BD=CD=AC=DH :∠ADB=∠CAD+∠ACD,∠ADH=∠CDA+∠HDE,∠CAD=∠CDA, ∠ACD=∠HIDE ∴.∠ADB=∠ADH, 在△ADB和△ADH中， BD=HD ∠ADB=∠ADH AD=AD :.△ADB≌aADH(SAS) ∴.AB=AH,∠DAB=∠DAE. AH=2AE, ∴.AB=2AE. 综上，①③正确. (3)略. (4)解：由(3)得BD=2OE,△OCH2△DOB,△AEO≌ACEH,∠COE=∠D :∠AOB=90°，∠AOB与∠COD互补， ∴.∠COD=90° .∠COE+∠DOF=180°-∠C0D=90°， 试卷第43页（共3页） .∠COE=∠D. ∴.∠D+∠DOF=90° .∠OFD=90°，即OF⊥BD .OE=10, .BD=20E=20. .0F=6, :Sm-3BD.0r=)X20x6=60 由全等转化面积可知S4oc=S0D, .Sa40c=60 试卷第44页（共3页）