江苏苏州市2026-2027学年上学期九年级数学期中模拟卷（1）

苏州市2026-2027学年第一学期初三数学期中模拟卷（1） 命题：汤志良；试卷分值：130；内容涵盖：九上：第二章至第四章； 一．选择题（共8小题，共24分） 1．若一组数据4，5，，6，7的平均数是6，则的值为……………………………………………………（　　） A．6 B．7 C．8 D． 2．下列各点中，在反比例函数图象上的点是…………………………………………………………（　　） A． B． C． D． 3．某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处．某篮球队有队员12人，大课间活动时，队员进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7．这组数据的下四分位数为…………………………………………………………………………………………………………………（　　） A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．9 4．已知正比例函数为常数，且与反比例函数为常数，且的图象交于、两点，则点的坐标是…………………………………………………………………………………………（　　） A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列说法错误的是………………………………………………………………（　　） A．点，均在其图象上 ； B．函数图象在第二、四象限 ； C．若，则的取值范围是 ； D．该函数图象上有两点，，，，若，则； 6．如图，是的直径，点，在上．若，，则………………（　　） A． B． C． D． 7．如图，正六边形内接于，半径为4，则这个正六边形的边心距的长为………………（　　） A．2 B． C． D． 8．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为……………………………………………………………（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题，共24分） 9．某次射击练习，甲、乙二人各射靶5次，命中的环数如表，通过计算可知，，，所以射击成绩比较稳定的是　　 ． 10．若函数是反比例函数，则的值为 　　 ． 11．已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的弧长为　　 ． 12．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是　　 ． 13．如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是　　 ． 14．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形弧长为　　． 15．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为 　　 ． 16．如图，在矩形中，，，动点在矩形内且，连接，则长度的最小值为 　　． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题满分7分）已知反比例函数图象经过． （1）求反比例函数解析式； （2）若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 18．（本题满分7分）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 19．（本题满分6分）某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了20名七年级学生，调查结果如图所示： （1）被调查的20名学生课外阅读图书数量的众数为　　 本，中位数为　　 本，平均数为　　 本； （2）该中学七年级共有400名学生，学校决定对本学期课外阅读图书数量达到5本以上（含5本）的学生给予表彰，请估计七年级获得表彰的学生人数． 20．（本题满分8分）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 21．（本题满分9分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点 （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）求△的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 22．（本题满分8分）如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 23．（本题满分8分）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少； （2）若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 24．（本题满分9分）如图，在△中，，以为直径的与边、分别交于、两点，过点作于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 25．（本题满分10分） 直线与双曲线交于点，与轴交于点，点是线段上一点． （1）求，的值； （2）如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）双曲线上是否存在点，使得△是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（本题满分10分）在△中，，，以为圆心作．点是上一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若与相切，则的度数是　　 ；（直接写答案） （3）连接，，，求线段的最大长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $答案与解析 一． 选择题（共 8 小题） 1． 若一组数据 4， 5， x， 6， 7 的平均数是 6，则 x 的值为( ) A． 6 B． 7 C． 8 D． 22 【分析】根据平均数的定义，可得 5 个数相加为 30，再减去其他数，即可求得x． 【解答】解：根据平均数的定义，可得 5 个数相加的总和为 6x5 = 30， :x = 30 一 4 一 5 一 6 一 7 = 8． 故选： C． 【点评】本题考查了平均数的计算， 正确进行计算是解题关键． 2． 下列各点中，在反比例函数 y 图象上的点是( ) A． (2, 一1) B． (1, 2) C． (1, 一2) D． (一2,1) 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数 k．把各个点代入检验即可． 【解答】解：反比例函数 y 中 k = 2， 四个答案中只有 B 的横纵坐标的积等于 2， 故选： B． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征， 所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 3． 某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处． 某篮球队有队员 12 人，大课间活动时， 队员进行投篮训练，每人投篮 10 个， 投中球数如下： 8， 9， 6， 7， 6， 6， 7， 10， 9， 9， 8， 7． 这组数据的下四分位数为 ( ) A． 5.5 B． 6.5 C． 7.5 D． 9 【分析】把一组数据从小到大排好序后， 把所有数据平均分成 4 等份， 处在三个分割点上的数值，就是四分位数． 【解答】解：方法一：首先将这 12 个数据从小到大排序， 得： 6， 6， 6， 7， 7， 7， 8， 8， 9， 9， 9， 10， Q 前半部分数据的中位数即为整组数据的下四分位数，前半部分数据为 6， 6， 6， 7， 7， 7， :下四分位数． 方法二：首先将这 12 个数据从小到大排序，得： 6， 6， 6， 7， 7， 7， 8， 8， 9， 9， 9， 10， Q 数据个数 n = 12，下四分位数为 25% 分位数，计算位置得 i = 12x 25% = 3， i 是整数， :下四分位数为第 i 项与第(i +1) 项数据的平均数， 即； 故选： B． 【点评】本题考查四分位数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4． 已知正比例函数 y = mx(m 为常数， 且 m ≠ 0) 与反比例函数 y n 为常数， 且 n ≠ 0) 的图象交于 A(一2,3) 、B两点， 则点 B 的坐标是( ) A． (2,3) B． (2, 一3) C． (一2, 一3) D． (3, 一2) 【分析】此题由题意可知 A 、 B 两点关于原点对称，则根据对称性即可得到 B 点坐标． 【解答】解：Q 正比例函数 y = mx(m 为常数，且 m ≠ 0) 与反比例函数 y n 为常数，且 n ≠ 0) 的图象交于 A(一2,3)， B 两点， 第1页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 :点 B 与点 A 关于原点对称， :点 B 的坐标为 (2,_3)，故选： B． 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性，熟知反比例函数的图象关于原点对称是解题的关键． 5． 关于反比例函数 y ，下列说法错误的是( ) A． 点 (2,_2)， (_4,1) 均在其图象上 B． 函数图象在第二、四象限 C． 若 y< _2，则 x 的取值范围是 0< x< 2 D． 该函数图象上有两点 A(x1， y1)， B(x2， y2) ，若 x1 < x2 ，则 y1 < y2 【分析】根据反比例函数的图象与性质， 逐个判断各选项的说法， 即可得到答案． 【解答】解： A：将 x = 2代入 y ，得 y ，所以点 (2,_2) 在图象上；将 x= _4 代入，得 y 所以点 (_4,1) 也在图象上， 正确，不符合题意； B ：因为 k= _4< 0，所以反比例函数图象位于第二、四象限， 正确， 不符合题意； C ：令 y = _2，代入得 _2 = _ 4 ，解得 x = 2，因为 k< 0， 在第四象限内 y 随 x 增大而增大，所以当 y< _2时， x x 的取值范围是 0< x< 2，正确，不符合题意； D ：反比例函数 y仅在每个象限内满足 y 随 x 增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取x1 = _2， x2 = 1，满足 x1 < x2 ，此时 y1 = 2， y2 = _4 ，有 y1>y2 ，不满足 y1 < y2 ，错误， 符合题意． 故选： D． 【点评】本题考查反比例函数的性质，正确进行计算是解题关键． 6． 如图， CD是e O 的直径，点 A， B 在e O 上． 若 C = C， LAOC = 36o，则 LD = ( ) A． 9o B． 18o C． 36o D． 45o 【分析】连接 OB， 如图，先根据相等的弧所对的圆心角相等得到 LBOC = LAOC = 36o， 然后根据圆周角定理求解． 【解答】解：连接 OB ，如图， Q C = C， :LBOC = LAOC = 36o， 故选： B． 第2页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 也考查了圆心角、弧、弦的关系． 7． 如图， 正六边形 ABCDEF 内接于 e O ，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 的长为( ) A． 2 B． C． D． 【分析】连接 OC 、 OB ，证出△ BOC 是等边三角形， 根据锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】解：如图所示， 连接 OC 、 OB Q 多边形 ABCDEF 是正六边形， :LBOC = 60o， Q OA = OB， :△ BOC 是等边三角形， :LOBM = 60o， 故选： B． 【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质， 由三角函数求出 OM 是解决问题的关键． 8． 如图， 正方形 ABCD的顶点 B 在 x 轴上， 点 A，点 C 在反比例函数 yk >0, x >0) 图象上． 若直线 BC 的函数表达式为 y ，则反比例函数表达式为( ) 第3页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 A． y B． y C． y D． y 【分析】解方程求得 B(8,0)， G(0,一4)，得到 OB = 8， OG = 4，过 A 作 AE 丄 x 轴于 E，过 C 作 CF 丄 x 轴于 F ，根据正方形的性质得到 AB = BC， LABC = 90o， 根据全等三角形的性质得到 AE = BF， BE = CF ，根据相似三角形的性质得到 ，设 CF = a， BF = 2a， 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【解答】解：在 y 中， 令 y = 0 ，则 x = 8， 令 x = 0，则 y = 一4， :B(8,0)， G(0,一4)， :OB = 8， OG = 4， 过 A 作 AE 丄 x 轴于 E ，过 C 作 CF 丄 x 轴于 F， Q 四边形 ABCD是正方形， :AB = BC， LABC = 90o， :LEAB + LABE = LABE + LCBF = 90o， :LEAB = LCBF， 在△ AEB 与△ BFC 中， :△ AEB 三 △ BFC(AAS)， :AE = BF， BE = CF， QLBOG = LBFC = 90o， LOBG = LCBF， :△ OBG∽△ FBC， :设 CF = a， BF = 2a， :AE = 2a， BE = a， :A(8 一 a,2a)， C(8 + 2a, a)， 第4页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 Q 点 A ，点 C 在反比例函数 y k >0, x >0) 图象上， :2a(8 _ a) = a(8 + 2a)， :a = 2， a = 0 （不合题意舍去）， :A(6, 4)， :k = 4x6 = 24， :反比例函数表达式为 y 故选： D． 【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式， 一次函数的性质，全等三角形的判定和性质， 正方形的性质， 相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 二． 填空题（共 8 小题） 9． 某次射击练习， 甲、乙二人各射靶 5 次， 命中的环数如表， 通过计算可知 x甲 = x乙 = 7， S甲 (2) = 0.8， S乙 (2) = 2， 所以射击成绩比较稳定的是 甲 ． 【分析】根据方差的意义判断即可， 方差越大，数据波动越大；方差越小， 数据波动越小． 【解答】解： Q S甲 (2) = 0.8， S乙 (2) = 2， : S甲 (2) < S乙 (2)， : 甲更稳定． 故答案为： 甲． 【点评】本题考查了方差和算术平均数， 正确计算是解题关键． 10． 若函数 y = (k _ 3)xk2 _10 是反比例函数，则 k 的值为 _3 ． 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【解答】解：由题意得 ，解得 k = _3， 故答案为： _3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知一般地， 形如 y = kx_1 （其中 k 为常数， 且 k ≠ 0) 的函数叫做反比例函数是解题的关键． 11． 已知扇形的圆心角为 60o，半径为 3，则扇形的弧长为π . 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【解答】解：由弧长公式可得， l 故答案为： π . 【点评】本题考查弧长的计算， 掌握弧长的计算公式是正确解答的关键． 12． 已知圆锥的底面半径为 5cm，母线长为12cm，则这个圆锥的侧面积是 60πcm2 ． 【分析】直接运用圆锥的侧面积公式求解即可． 【解答】解： S侧 = πrl = π x 5 x12 = 60πcm2．故答案为： 60πcm2． 第5页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题主要考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式 S侧 = πrl 是解题的关键． 13．如图，已知直线 y = mx 与双曲线y 的一个交点坐标为 (3, 4)，则它们的另一个交点坐标是 (一3,一4) ． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形， 则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：因为直线 y = mx 过原点， 双曲线 y 的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称， 一个交点坐标为 (3, 4)，另一个交点的坐标为(一3,一4)． 故答案为： (一3,一4)． 【点评】此题考查了函数交点的对称性， 通过数形结合和中心对称的定义很容易解决． 14． 已知扇形的圆心角为150o ，面积为15π ,则扇形弧长为 5π . 【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式 S扇形 lR（其中 l 为扇形的弧长），求得扇形的弧长． 【解答】解：设扇形的半径是 R ，则 ，解得： R = 6， 设扇形的弧长是 l ，则 lR = 15π ,即 3l = 15π ,解得： l = 5π . 故答案为： 5π . 【点评】 本题考查了扇形面积的计算： 设圆心角是 no， 圆的半径为 R 的扇形面积为 S ，则 S扇形 或S扇形 lR （其中 l 为扇形的弧长）． 15． 如图，反比例函数 y 的图象经过平行四边形 ABCO 的顶点 A， OC 在 x 轴上，若点 B(一1,3) ，若平行四边形 ABCO 的面积为 4， 则实数 k 的值为 一7 ． 【分析】作 BD 丄 x 轴，垂足为点 D ，作 AE 丄 x 轴，垂足为点E ，根据平行四边形的性质、反比例函数 k 值的 第6页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 几何意义解答即可． 【解答】解：如图， 作 BD 丄 x 轴，垂足为点 D ，作 AE 丄 x 轴， 垂足为点E， Q 点 B(_1,3) ，平行四边形 ABCO的面积为4， :OC . BD = 4，即 3OC = 4， Q 反比例函数 y 的图象经过平行四边形 ABCO的顶点 A， 故答案为： _7． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数 k 值的几何意义，熟练掌握以上知识点是关键． 16． 如图， 在矩形 ABCD中， AB = 2， AD = 3， 动点 P 在矩形 ABCD 内且 LAPB = 120O， 连接 DP，则 DP 长度的最小值为 ． 【分析】作 ΔABP 的外接圆 e O， 过点 O 作 OE 丄 AB 于 E，作 OF 丄 DA交 DA的延长线于 F， 连接 OA 、OB 、 OD，当 B 、P 、D 共线时，DP 的长度最小，根据垂径定理求出e O 的半径为 OE ，证明四边形 AEOF是矩形，则 OF = AE = 1， AF = OE ，利用勾股定理求出 OD ，即可得 DP 长度的最小值． 【解答】解：作 ΔABP 的外接圆 e O，过点 O 作 OE 丄 AB 于 E，作 OF 丄 DA交 DA 的延长线于 F，连接 OA 、OB 、 OD， OD 交e O 于点P,， QLAP,B = LAPB = 120O， :当 O 、 P 、 D 共线时， DP 的长度最小，为 DP, 的长， LAOB = 120O， Q OE 丄 AB， AB = 2， 第7页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 : AE AB = 1， LAOE = 60o， :LOAE = 30o， :e O 的半径为 Q 四边形 ABCD是矩形， :LFAE = 90o， Q OE 丄 AB， OF 丄 DA， : 四边形 AEOF 是矩形， :OF = AE = 1， AF = OE 即 DP 长度的最小值为．故答案为： 【点评】本题是圆的综合题，考查了矩形的性质、圆周角定理、垂径定理， 勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质、垂径定理，求出 OD 的长是解决问题的关键． 三． 解答题（共 12 小题） 17． 已知反比例函数 y 图象经过 A(1,1)． （1） 求反比例函数解析式； （2） 若点 (2, y1)， (4, y2) 是反比例函数图象上两点，试比较 y1， y2 大小． 【分析】（1）将点 A(1,1) 代入 y 之中，求出 k 的值即可． 第8页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 （2） 将点 (2, y1)， (4, y2)分别代入（1）中所求的函数解析式求出 y1， y2 ，进而再比较它们的大小即可． 【解答】解：（1）将点 A(1,1) 代入 y ，得 k = 1， :反比例函数解析式为： y （2） Q 点 (2, y1)， (4, y2) 是反比例函数图象上两点， :当 x = 2 时， y ，当 x = 4 时， y :y1 > y2． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象， 熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数图象上的点都满足反比例函数的解析式，满足反比例函数的解析式得点都在反比例函数图象上是解决问题的关键． 18． 如图， 点 A 、 B 、 D 、 C 都在圆上， AD 是e O 的直径， OB 丄 AC 交 AC 于点E． （1） 求证： AB = BC； （2）若 AE = 4， CD = 6 ，求 BE． 【分析】（1）由垂径定理即可得出结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得 LC = 90o，由垂径定理可得 AC，根据勾股定理可得 AD，从而可得 OA， OB ，根据勾股定理可得 OE ，从而可得 BE． 【解答】（1）证明： Q OB 丄 AC 于点E， : B = C， :AB = BC； （2） 解： Q 点 C 在圆上， AD 是e O 的直径， :LC = 90o， Q 点 E 在 AC 上， AE = CE， :AC = 2AE， Q AE = 4， :AC = 4x 2 = 8，又QCD = 6， :OB _ OE = 5 _ 3 = 2， :BE = 2． 第9页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理， 熟知以上知识是解题的关键． 19． 某中学为了解七年级学生本学期的课外阅读情况，随机调查了 20 名七年级学生，调查结果如图所示： （1） 被调查的 20 名学生课外阅读图书数量的众数为 3 本，中位数为 本，平均数为 本； （2） 该中学七年级共有 400 名学生， 学校决定对本学期课外阅读图书数量达到 5 本以上（含 5 本） 的学生给予表彰， 请估计七年级获得表彰的学生人数． 【分析】（1）根据中位数、众数以及平均数的定义计算即可； （2） 利用样本估计总体即可． 【解答】解：（1） 由统计图可知， 被调查的 20 名学生课外阅读图书数量的众数是 3 本， 中位数为 （本 故答案为： 3， 4， 3.8； 答：估计七年级获得表彰的学生人数约 120 人． 【点评】本题主要考查了条形统计图、平均数、中位数、众数、用样本估计总体， 从统计图中有效的获取信息是解题的关键． 20． 如图， 四边形 ABCD内接于e O， AC 为e O 的直径， B = C． （1）求 7ADB 的度数． （2）若 AB = 2， CD = 5 ，求 AD 的长度． 【分析】（1）根据圆周角定理得到 7ADC = 90o，根据圆心角、弧、弦的关系得到 7ADB = 45o； （2） 根据圆心角、弧、弦的关系得到 AB = BC = 2 ，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1） Q AC 为e O 的直径， :7ADC = 90o， 第10页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 Q B = C， :LADB = LCDB = 45o； （2） Q AC 为e O 的直径， :LABC = 90o， Q B = C， :AB = BC = 2， 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质， 熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 21． 如图， 反比例函数 y 的图象与一次函数 y2 = kx + b(k ≠ 0) 的图象交于点 A(一4, 一1) 和点 B(n, 4) （1） 求反比例函数表达式 y1 和一次函数表达式 y2； （2） 求△ AOB 的面积； （3） 直接写出 y1>y2 时， x 的取值范围． 【分析】（1）将 A 点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式， 再求解 B 的坐标， 再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2） 令直线与 x 轴的交点为 M． 由 SVAOB = SVAOM + SVMOB ，再计算即可； （3） 直接利用函数图象解答即可． 【解答】 解：（1）， 反比例函数 y 的图象与一次函数 y2 = kx + b(k ≠ 0) 的图象交于点 A(一4, 一1) 和点B(n, 4)， 将点 A(一4, 一1) 代入反比例函数 y ，得： 解得 m = 4， :反比例函数 y 将点 B(n, 4) 代入反比例函数 y ，得： 第11页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 解得 n = 1， :B(1, 4)， 将点 A(一4, 一1)， B(1,4) 分别代入一次函数 y2 = kx + b(k ≠ 0) ，得 解得 : 一次函数 y2 = x + 3； 答：反比例函数表达式 y和一次函数表达式 y2 = x + 3． （2） 令直线 AB 交 x 轴于点 M ，如图 将 y = 0 代入 y2 = x + 3，得 x + 3 = 0， 解得 x= 一3， :M(一3,0)， Q A(一4, 一1)， B(1,4)， （3） 由图象及 A(一4, 一1)， B(1,4)，可知， 当 x < 一4 或 0< x <1时， y1 > y2． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式， 坐标与图形面积， 利用函数图象解不等式； 熟练的利用数形结合的思想解题是关键． 22． 如图， AB 为e O 的直径， AC 为e O 的弦， AD 平分 LBAC，交e O 于点 D， DE 丄 AC，交 AC 的延长线于点 E． （1） 求证：直线 DE 是e O 的切线； （2）若 AE = 8， e O 的半径为 5，求 DE 的长． 第12页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1） 连接 OD， 由角平分线和等腰三角形的性质得出 LODA = EAD， 证出 EA //OD ，再由已知条件得出 DE 丄 OD，即可得出结论． （2）作 DF 丄 AB ，垂足为 F ，由 AAS 证明ΔEAD 三 ΔFAD ，得出 AF = AE = 8， DF = DE ，求出 OF = 3，由 勾股定理得出 DF ，即可得出结果． 【解答】（1）证明： 连接 OD ，如图 1 所示： Q AD 平分 LBAC， :LEAD = LOAD， QOA = OD， :LODA = LOAD， :LODA = EAD， :EA //OD， Q DE 丄 EA， :DE 丄 OD， Q 点 D 在e O 上， :直线 DE 与e O 相切． （2）作 DF 丄 AB ，垂足为 F ，如图 2 所示： :LDFA = LDEA = 90o，在 ΔEAD 和 ΔFAD 中， :ΔEAD 三 ΔFAD(AAS)， :AF = AE = 8， DF = DE， QOA = OD = 5， :OF = 3， 在 RtΔDOF 中， DF :DE = DF = 4． 第13页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查圆与直线相切的判定、平行线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等是解决问题（2） 的关键． 23． 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果， 如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后， 大棚内的温度 y(。C) 与时间 x(h) 之间的函数关系， 其中线段 AB 、 BC 表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分 CD 表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1） 这个恒温系统设定的恒定温度为多少 。C； （2） 若大棚内的温度低于12。C 时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【分析】（1）设线段 AB 解析式为 y = kx +b(k ≠ 0) ，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2） 根据图象可知整个图象由三部分组成： 一次函数、反比例函数、恒温， 根据题意设函数解析式， 利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； 根据各时间段的函数解析式算出 y = 12 时 x 的值，进而即可求解． 【解答】解：（1）设线段 AB 解析式为 y = kx +b(k ≠ 0)， Q 线段 AB 过点 (0,10)， (2,14)， 解得 :线段 AB 的解析式为： y = 2x +10(0 x 5)，当 x = 5 时， y = 20， :这个恒温系统设定的恒定温度为： 20。C． （2） 根据解析（1） 可知，线段 AB 的解析式为： y = 2x +10(0 x 5)，当 x = 5 时， y = 20， :B 坐标为 (5,20)， :点 C 的坐标为 (10, 20)， :线段 BC 的解析式为： y = 20(5 x 10)，设双曲线 CD 解析式为： y Q C(10,20)， 第14页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 : . m = 200， ：双曲线 CD的解析式为： y Q 当0 x 5 时， 12 = 2x +10， ：x = 1， Q 当10 x 24 时， ：气温不低于12O C 的适宜温度是： 答：这天内有 47 小时水果生长不受伤害． 3 【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键． 24．如图，在△ ABC 中， AB = AC， 以 AB 为直径的e O 与边 BC 、AC 分别交于 D 、E 两点，过点 D 作 DF 丄 AC于点 F． （1） 判断 DF 与e O 的位置关系， 并说明理由； （2）若e O 的半径为4， LC = 67.5O，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接 OD ，先证 LODB = LC ，得 OD //AC，再由 DF 丄 AC ，得 DF 丄 OD，即可得出结论； （2） 连接 OE， 求出 LA = 45O， 由等腰三角形的性质得出 LOEA = 45O，则 LAOE = 90O， 由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出答案． 【解答】解：（1） DF 与e O 相切，理由如下： 连接 OD，如图所示： Q OB = OD， ：LODB = LB （等边对等角）， 又Q AB = AC， ：LC = LB （等边对等角）， ：LODB = LC （等量代换）， ：OD //AC （同位角相等， 两直线平行）， QDF 丄 AC， 第15页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 :DF 丄 OD， Q 点 D 在e O 上， :DF 是 e O 的切线； （2） 连接 OE ，如图所示： Q LC = 67.5O， AB = AC， :LB = LC = 67.5O （等边对等角）， :LA = 45O， 又QOA = OE = 4， :LOEA = 45O， :LAOE = 90O， 所以阴影部分的面积为 4π_8． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 25． 直线 y= _x + b 与双曲线y 交于点 A(_1,6)，与 x 轴交于点B ，点 C 是线段 AB 上一点． （1）求 k， b 的值； （2） 如图，过点 C 作 y 轴的垂线 l， l 与y 的图象交于点 D ，当线段 CD = 10时，求点 D 的坐标； （3） 双曲线y 上是否存在点 E， 使得△ COE 是以 OC 为直角边的等腰直角三角形， 若存在， 求出点E 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【分析】（1）将 A(_1,6) 代入 y= _x + b 和y 解方程得到结论； （2）设 C(5 _ m, m)， 求得 xC _ xD = 10， 得到 xD = xC _10 = 5 _ m _10 = _5 _ m， 求得 D(_5 _ m, m)， 解方程得到D(6,1)； （3）设 C(n, _n + 5)， ①当 C 为直角顶点时， 过点 C 作 x 轴的垂线CN， 垂足为 N， 过点 E 作 EM 丄 CM， 垂足为 M，得到 LEMN = LONM = 90O，根据全等三角形的性质得到 CM = ON = n，yE = yC + n = 5，求得 E ②当 O 为直角顶点时，过点 C 作 CN 丄 x 轴，垂足为 N，过点 E 作 EM丄 x 轴，垂足为 M， 根据全等三角形的性质得到 EM = ON = n， OM = CN = 5 _ n ，求得 E(n _ 5, n) ，解方程得到 E2 (_3, 2)， E3 (_2,3)． 【解答】解：（1）将 A(_1,6) 代入 y = _x + b 得： 6 = 1+ b， b = 5， 将 A(_1,6) 代入 y = k 得： k = _6； x （2） Q ky = _x + 5， 第16页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 :x = 5 _ y， 设 C(5 _ m, m)， Q CD = 10， :xC _ xD = 10， xD = xC _10 = 5 _ m _10 = _5 _ m， :D(_5 _ m, m)， Q 点 D 在双曲线上， :m(_m_ 5) = _6， 解得： m1 = 1， m2 = _6 （舍去）， :D(_6,1)； （3） 存在． 设 C(n, _n + 5)， ①当 C 为直角顶点时， 过点 C 作 x 轴的垂线CN ，垂足为 N ，过点 E 作 EM 丄 CM ，垂足为 M， 则 LEMN= LONM = 90o， QLECO = 90o， :LECM+ LOCN = 90o， QLEMC = 90o， :LMEC + LECM = 90o， :LOCN= LMEC， 又Q 等腰直角三角形 ECO 中， CE = CO， :△ EMC 三△ CNO(AAS)， :CM = ON = n， yE = yC + n = 5， ②当 O 为直角顶点时， 过点 C 作 CN 丄 x 轴， 垂足为 N，过点 E 作 EM丄 x 轴，垂足为 M， 同理可得： △ EMO 三△ ONC， :EM = ON = n， OM = CN = 5 _ n， :E(n _ 5, n)， :(n _ 5)n = _6， 第17页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 解得： n1 = 2， n2 = 3， 此时 E2 (一3, 2)， E3 (一2,3)， 综上所述： 满足条件的 E 点的坐标为或 (一3, 2) 或 (一2,3)． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质， 待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 26． 在△ ABC 中， LACB = 90。， AC = BC，以 B 为圆心作e B． 点 P 是e B 上一动点， 连接 CP，将 CP 绕点C顺时针方向旋转 90。得到线段 CQ，连接 BP， AQ． （1） 求证： BP = AQ； （2） 连接 PQ，若 PQ 与e B 相切， 则 LBPC 的度数是 45。或 135。；（直接写答案） （3） 连接 BQ， AC = 3， BP = 2 ，求线段 BQ 的最大长度． 【分析】（1） 根据已知条件以及旋转的性质， 在△ PCB 和△ QCA 中，利用LQCA 证明△ PCB 三 △ QCA(SAS) ，从而证得 BP = AQ； （2）由 PQ 与e B 相切，分为两种情况分别计算； （3） 由（1） 中证明的△ PCB 三△ QCA(SAS)， 可知 BQ = AP， 分析当点 Q 在 BA 的延长线上时， BQ 取得最大值． 【解答】（1）证明： Q 将 CP 绕点 C 顺时针方向旋转 90。得到线段 CQ， :LPCQ = 90。， CP = CQ， :LPCQ = LACB = 90。， :LPCB + LBCQ = LQCA + LBCQ， :LPCB = LQCA， 在△ PCB 和△ QCA 中， :△ PCB 三 △ QCA(SAS)， :BP = AQ； （2） 解： LBPC 的度数是 45。或135。；理由如下： PQ 与e B 相切时， 分两种情况讨论： ①如图 1， 第18页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 Q 将 CP 绕点 C 顺时针方向旋转 90o 得到线段 CQ， :LPCQ = 90o， CP = CQ， :△ CPQ 是等腰直角三角形， :LCPQ = 45o， Q PQ 与e B 相切， :LBPQ = 90o， :LBPC = LBPQ _LCPQ = 45o； ②如图 2， Q 将 CP 绕点 C 顺时针方向旋转 90o 得到线段 CQ， :LPCQ = 90o， CP = CQ， :△ CPQ 是等腰直角三角形， :LCPQ = 45o， Q PQ 与e B 相切， :LBPQ = 90o， :LBPC = LBPQ + LCPQ = 135o， 综上所述： 当 PQ 与e B 相切时， LBPC 的度数为 45o 或135o，故答案为： 45o 或135o； （3） 解： 如图 3， 当点 Q 在 BA 的延长线上时， BQ 取得最大值．由（1）知△ PCB 三 △ QCA(SAS)， 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 :AQ = BP = 2， Q 7ACB = 90o， AC = BC = 3， : AB = 2AC = 32， : BQ = AB + AQ = 2 + 32，即 BQ 的最大值为 2 + 32． 【点评】本题属于圆的综合题， 主要考查了等腰直角三角形的性质与判定， 全等三角形的证明， 圆的切线性质以及动点问题中线段最值的求解，解答本题的关键是添加正确的辅助线． 第20页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $