期中复习压轴专题02 解答题分类训练（15种类型60道）（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新苏科版九年级，15种类型60道） 范围：第1章（一元二次方程）—第3章（圆） 知识点一 一元二次方程根的情况与韦达定理 1．已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值及方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，另一根为 (2) 证明：∵ ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根 【分析】（1）把代入可求出，再把代入原方程，解方程即可； （2）先计算出根的判别式的值，再进行配方得到，则根据非负数的意义得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程（k为常数）的一个根为2， ∴把代入得：， 解得：； 把代入原方程得， 解得：， 所以，方程的另一个根是； （2）略 2．已知关于的方程． (1)当该方程的一个根为时，求方程的另一个根； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) 方程的另一个根为； (2) 证明：∵方程中，，，， ∴， ∵不论取何实数，， ∴，即， ∴ 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】（1）将已知根代入方程求出参数，再解方程得到另一根； （2）计算一元二次方程的判别式，配方后证明其恒大于0． 【详解】（1）解：将代入方程， 则， ， 解得， ∴ 原方程为， ， ， 或， ，， ∴方程的另一个根为． （2）略 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数k的取值范围； (2)是否存在k值使方程的两实数根，满足，若存在，求实数k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)实数的取值范围是且 (2)不存在满足条件的值． 理由：假设存在k值使方程的两实数根，满足， ∵，，， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解， 将代入中，得， ∵， ∴此方程没有实数根， 故不存在满足条件的值． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，由方程有实数根得到，进而求解即可； （2）由根与系数的关系代入条件解得，此时，方程无实数根，不符合题设，故不存在． 【详解】（1）解：∵方程是一元二次方程， ∴，解得； ∵该一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得， 故实数的取值范围是且； （2）略 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ，，， ∴ ， ， ， 该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）写出一元二次方程判别式，化简证明，即可证明方程总有两个实数根． （2）设方程两根为，利用韦达定理写出两根之和、两根之积；结合，利用恒等式建立关于的方程，结合求出 【详解】（1）略； （2）解：设方程两根为， ，． ， ， ， ， 解得，， ， ． 知识点二 圆周角定理证明 5．如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． (1)求证：平分； (2)若，，求半径． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； (2)半径为． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，再得到，再进一步得到，再根据，得到，即可得出结论； （2）作于点，连接，如图：设的半径为，得到，，再根据勾股定理得到，即，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：作于点，连接，如图： 设的半径为，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴半径为． 6．如图，是的直径，是的一条弦，于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的直径，于， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）首先利用垂径定理得到，然后利用圆周角定理证明即可； （2）连接，利用圆周角定理求出，证明是等边三角形，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，于， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 7．如图，的直径，弦，E是劣弧上一点，连接交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径，， 垂直平分， ，， ． ， ． (2)的长为6或8 【分析】（1）由垂径定理可知垂直平分，故，再根据等腰三角形三线合一知，又由对顶角相等即可证明； （2）连接，，根据已知条件可说明，解直角三角形可得，设，则，在中，根据勾股定理列式即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接，． ， ． 由（1）得， ， ． ， ， ． ， ， ． 由（1）知， 设，则． 在中，由勾股定理可得， 即， 解得或， 的值为或， ，， 或8， 即的长为6或8． 8．如图，是的直径，点，是圆上两点（在直径两侧），连接，，，，如果，，连接交圆的直径于点． (1)求证：平分； (2)已知，求长度； 【答案】(1)证明：是的直径，点，在上， ， 又， ， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可知，又因为，所以，可证，从而可证平分； （2）过点作于点，于点，可得四边形是正方形，根据可以设，则，根据勾股定理求出，则，求出，，根据三角形的面积公式可以求出，根据正方形的性质可以求出的长度. 【详解】（1）略 （2）解：如下图所示，过点作于点，于点， 则四边形是矩形， 平分， ， 四边形是正方形， ， 设，则， ， 又， ， 解得， ，， 在中，， ， ， ， 在正方形中，对角线. 知识点三 圆的尺规作图 9．如图，点为直线外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点，与直线相切于点Q； (2)过点，与直线相切于点P，的度数为； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1) 由切线的性质可得垂直于直线l，而点O在线段的垂直平分线上，故点O即为圆心； (2) 是等边三角形，则，由，推出，则，根据结合三角形内角和定理可推出（同（1）可证明点O是圆心）． 【分析】（1）过点Q作直线l的垂线，作线段的垂直平分线交过点Q且与直线l垂直的直线于点O，以点O为圆心，的长为半径作圆即可； （2）过点A作直线l的垂线交直线l于点B，以点B为圆心，的长为半径画弧交直线于点C，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线l于点D，作线段的垂直平分线交直线l于点P，过点P作直线l的垂线，作线段的垂直平分线交过点P且与直线l垂直的直线于点O，以点O为圆心，的长为半径作圆即可． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，已知及圆外一点P． (1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长． 【答案】(1) (2)截下的的周长为20 【分析】（1）要过圆外一点P作的切线，核心原理是利用“直径所对的圆周角是直角” ．首先连接线段，作线段的垂直平分线，找到的中点，以中点为圆心，到点O为半径画弧，交于A、B两点，连接、，、即为所求的两条切线，点A、B为切点． （2）首先找切线相等关系，设与圆相切于点D，根据切线长定理，从同一点引出的两条切线段长度相等；然后将的边拆分为，然后利用上面的相等关系进行替换即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如答图②，设D是与劣弧相切的点， ∵、是的两条切线， ∴． ∵是的切线，切点为D，且点M在上，点N在上， ∴和是从点M引出的两条切线段，和是从点N引出的两条切线段， ∴，． ∴，， 的周长． 11．如图，在中，，D是边上一点． (1)尺规作图：作，使圆心O在边上，且⊙O经过A，D两点，交于另一点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）作的垂直平分线，与的交点为点，再以的长为半径画圆，与交于点即可； （2）先得到，再通过等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：为的直径， ．直径所对的圆周角为 ，， ． 为等腰直角三角形． ， ． 12．在学习完《切线的性质与判定》后，数学老师布置一题：“已知：如图所示，及外一点．求作：直线，使与相切于点．”李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：连接，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点（、分别位于直线的上下两侧）；②作直线，交于点；③以点为圆心，为半径作，交于点（点位于直线的上侧）；④连接，交于点，则直线即为所求． (1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合图形，说明是切线的理由； (3)若半径为2，，依据作图痕迹求的长． 【答案】(1)解：按照步骤完成作图如下； (2)证明：连接，如图， 由作图可知：为的直径， ∴． ∴ ∵为的半径， ∴直线为的切线； (3) 【分析】（1）根据题意步骤做出图形即可． （2）根据作图步骤证明即可证明直线为的切线． （3）根据直径对应圆周角是直角得到直角三角形利用勾股定理求出，设，利用垂直平分线定理，表示出，再次利用勾股定理求出即可求出长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，如图， ∵， 在中根据勾股定理得． 由图知为的垂直平分线， ∴ 设，则． 在中根据勾股定理，， ∴，解得， 故的长为． 知识点四 证明直线与圆相切 13．如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； (2)6 【分析】（1）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （2）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：为的直径， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，由等弧所对的圆周角相等得，再由等腰三角形三线合一知，从而说明，结论得证； （2）由勾股定理可求的长，根据面积法即可求． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， 15．已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到，再由平行线的性质得到为，从而得到与相切； （2）过点作于点，结合上一问可得四边形为矩形，设，，由勾股定理列方程可求出的长，再由垂径定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 设，，， ， ， 解得（舍去）， ， ， ． 16．如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 (2) 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【详解】（1）略； （2）解：设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 知识点五 一元二次方程降（增）价问题 17．网络直播为农产品销售开辟了重要渠道，不少果农借助直播带货实现销售转型．河阴石榴是我省极具代表性的特色果品，已知该石榴若按每箱70元销售，平均每天可售出100箱；扣除种植与人工成本后，每箱可获利26元，另外每日需支付直播推广费300元，每箱还需额外支付纸箱打包费2元．经直播大数据统计：每箱石榴售价每降低1元，日销售量就增加10箱．为提升经营收益，果农决定下调售价． (1)设每箱降价元，则每天可以售出__________箱．（用含的代数式表示） (2)若果农希望每日纯利润达到2550元，那么每箱石榴的售价应该定为多少元？ 【答案】(1) (2)每箱石榴的售价应定为61元或65元 【分析】（1）根据降价金额与日销量增加量的关系，结合原销量列代数式； （2）以每日纯利润为等量关系列一元二次方程，求解后计算对应售价． 【详解】（1）解：∵原日均销售量为100箱，每箱降价1元日销售量增加10箱， ∴降价元时，日销售量增加箱 ∴每天可以售出箱； （2）解：由题意，每箱降价元后，扣除种植与人工成本的单箱利润为元，扣除每箱2元的打包费后，单箱实际利润为元，每日需支付固定推广费300元，纯利润为2550元， 列方程得：， 整理得：， 解得：，， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， 均符合下调售价的要求， 答：每箱石榴的售价应该定为61元或65元． 18．某商场以每盒120元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为160元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出__________盒；（用含的代数式表示） (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元？ 【答案】(1) (2)当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元． 【分析】（1）根据每盒月饼降价元，商场每天就可以多售出盒，列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，根据“每天的销售利润恰好能达到元”列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设售价每盒下降元，则每天能售出盒； （2）解：设月饼每盒售价下降元，则月饼每盒售价为元，每天能售出盒， 依题意得：， 解得：，， 当时，（元）； 当时，（元）； 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元． 19．某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克． (1)若该水果每千克涨价2元，则每千克盈利为______元，日销量为______千克，每天售出水果的利润为______元； (2)如果该水果批发商要保证每天盈利8000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)12；480；5760 (2)该水果每千克应涨价10元 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据每天的盈利每千克的盈利销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，若该水果每千克涨价2元，则每千克盈利为元，日销量为千克，每天售出水果的利润为元； （2）解：设该水果每千克应涨价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要让顾客得到实惠， ∴， 答：该水果每千克应涨价10元． 20．某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每降价元，平均每天可多售出箱． (1)若降价元，每天能售出______箱饮料，若降价元（），每天能售出______箱饮料； (2)若要使每天销售该饮料获利元，为了扩大销售，则每箱应降价多少元？ 【答案】(1)； (2)元 【分析】（1）根据等量关系填空即可； （2）根据等量关系列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：每降价元，平均每天可多售出箱，加上原来每天可售出的箱可得（箱）； 每降价元，平均每天可多售出箱， 降价元（），多售出箱， 总共售出箱． （2）解：设每箱应降价元，根据题意得： 整理得， 解得，， 当时，销售量为箱，当时，销售量为箱， 要扩大销售，取 答：每箱应降价元 知识点六 一元二次方程的图形问题 21．学校为了让学生观察植物的生长习性.打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米. (1)的长为________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米， 故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； 22．【问题背景】为美化校园，某学校打算利用一面长度为的墙，用长度为的建筑材料围建一个如图所示的面积为的矩形花园，且在与墙平行的一侧开设两扇宽度均为的门． 【建立模型】设矩形花园与墙垂直的一边长为． (1)请用含的式子表示矩形花园与墙平行的一边的长度； 【解决问题】 (2)当时，求的值； (3)矩形花园的面积能否达到？若能达到，请求出的值；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)矩形花园的面积能否达到，理由如下： 当 整理得， 此时 因此这个方程无实数根， ∴矩形花园的面积不能达到． 【分析】（1）根据总材料减去2个与墙垂直的边长，再加上两扇门宽即可； （2）根据矩形面积建立方程求解，并且检验是否符合题意即可； （3）先假设能达到，然后根据判别式判断这个方程的根的情况即可． 【详解】（1）解：由题意得，矩形花园与墙平行的一边的长度为 （2）解：由题意得， 整理得， 解得或 若，则矩形花园与墙平行的一边的长度为，不符合题意； 若，则矩形花园与墙平行的一边的长度为，符合题意 ∴； （3）略 23．如图，利用一面墙（墙长），用总长度为的栅栏围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个宽的小门，设栅栏的长为． (1)__________（用含的代数式表示）． (2)若矩形鸡舍的面积为，求栅栏的长． (3)矩形鸡舍的面积是否有可能达到？若有可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)解：矩形鸡舍的面积不可能达到，理由如下： 当矩形鸡舍的面积是时，根据题意得： ， 化简整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴矩形鸡舍的面积不能达到． 【分析】（1）根据四边形是矩形，即可得，再根据栅栏的总长度为，，即可求出的长． （2）根据列方程，解出即可得矩形鸡舍的面积为时，栅栏的长． （3）当矩形鸡舍的面积是时，再根据列方程，计算得此方程的，即可得矩形鸡舍的面积不能达到． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵栅栏的总长度为，， ∴（）， ∴（）． （2）解：根据题意得： ， 化简整理得：，解得：，， 当时，，符合题意． 当时，，超出了墙长，不符合题意，故舍去． ∴矩形鸡舍的面积为时，栅栏的长为． （3）略 24．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为．若该电动车停放区的占地面积为，求的值． 【答案】 【分析】利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． 【详解】解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个 宽的门． 所以平行于墙的边长为 ∴， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得， 整理得 解得 因为 必须满足 ，所以 不符合题意，舍去． 所以， 所以当该电动车停放区的占地面积为时， 的值为 ． 知识点七 一次函数与反比例函数结合 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数．的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时， 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先根据求出反比例函数解析式，再据此求出B点坐标，再根据A、B两点坐标求出一次函数解析式即可作答； （2）问题转换为求不等式的解集，即：一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，自变量x的取值范围，结合A、B两点坐标以及函数图象即可作答． 【详解】（1）解：根据题意可知， 解析式为． ∵在上， ∴， ∴． 将、代入： ， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值． 所以，当或时， 26．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据点在直线上，得到，继而根据待定系数法得到反比例函数的解析式，联立反比例函数和直线的解析式，得到点的坐标； （2）根据直线的解析式得到，进而得到，，设，进而得到表示面积的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得，解得，， ∵点位于第一象限， ∴，， ∴； （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，即，解得， ∴，， ∵， ∴，， ∵反比例函数的解析式为， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，或， ∴点的坐标为或． 27．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． (1)直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． (2)请结合图像回答，时，的取值范围______． (3)如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据反比例函数的图象与性质及一次函数的性质进行计算即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）根据三角形的面积公式，求出的长，据此可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ∵点和点关于坐标原点对称， ∴点的坐标为． 将点代入反比例函数得，， ∴反比例函数的解析式为． 将点代入得，， ∴点坐标为． 将点和代入一次函数得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由函数图象可知， 当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， ∴时，的取值范围是或． （3）解：∵的面积为， ∴， 解得， ∴点坐标为或． 28．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)不等式的解集为或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）先根据已知条件求出两点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）根据两图象的交点，观察得出的解集； （3）先求出的面积，然后分当点在轴上和在轴上，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，， ， 两点的坐标分别为， 把两点的坐标分别代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：两点的坐标分别为， 根据两函数的图象可得：不等式的解集为或． （3） 解：设直线交轴于点，交轴于点， 在中，令，得：，令，得： 点的坐标为，点的坐标为 ， ， 当点在轴上时，设点的坐标为，则， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 当点在轴上时，设点的坐标为，则， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 综上所述：点的坐标为或或或． 知识点八 反比例函数的实际应用 29．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 【答案】(1) (2)当时，与之间的函数关系式为，当时， (3)消毒有效 【分析】（1）求出线段的解析式，代入，即可求出第6分钟时消毒效果． （2）代入点B、C的坐标，即可求出线段的解析式． （3）先求出深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，再求出降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，用降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间减去深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，与28分钟比较，比28分钟长则有效，反之无效．渐消毒阶段没有达到4效力，不做分析． 【详解】（1）解：根据图像知，线段过点B， 设线段的解析式为（）， 代入点B得到线段解析式： ，解得， ∴线段解析式： ， ∴当6分钟时，为（效力）． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和， 根据题意，得，解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为，故， 解得，故， ∴当时，与之间的函数关系式为，当时，． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为， 故本次消毒有效． 30．工人往一艘货船上装载货物．装完货物所需时间y（单位：分钟）与装载速度x（单位：吨/分钟）之间的函数关系如图所示． (1)这批货物的质量为多少？ (2)轮船到达目的地后开始卸货，如果要在2小时内（包含2小时）将货物卸完，则卸货速度至少为每分钟多少吨？ (3)每名工人卸货的平均速度为吨/分钟，250分钟后卸完，则共有多少名工人参与卸货？ 【答案】(1)这批货物的质量为400吨 (2)卸货速度至少为吨/分钟 (3)共有40名工人参与卸货 【分析】（1）根据货物的质量为，将代入，即可求解； （2）根据反比例函数的性质解答即可； （3）当时，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：x代表装载速度，y代表装完货物所需时间，货物的质量为， 将代入，得货物的质量为（吨）． 答：这批货物的质量为400吨． （2）解：由题意知y与x之间的函数解析式为：， 2小时分钟， 因为， 所以当时，y随x的增大而减小， 当时，即， 解得：， 故如果要在2小时内（包含2小时）将货物卸完，则卸货速度至少为吨/分钟． （3）解：当时，即， 解得， （名）， ∴共有40名工人参与卸货． 31．为了更好助推乡村振兴，某单位驻村工作队立足本地特色，以“互联网+电商+销售大集”的模式，帮助果农进行为期天的销售，经过大量的广告宣传，该商品的日销售量（万箱）随着天数（天）的变化而变化，变化规律如图所示：在宣传开始阶段，销售量逐步上升，中间保持不变，当广告宣传停止后，销售量开始下降，其中，为线段，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在直线的函数解析式； (2)开始销售第几天，商品的日销售量与第天的日销售量相等； (3)在销售期间，若某天的日销售量低于万箱，则需要对该日的水果进行保鲜处理．已知保鲜处理需要额外成本，驻村工作队计划最多安排天进行保鲜处理．请通过计算说明：按照当前的销售情况，工作队能否将保鲜处理的天数控制在计划范围内？ 【答案】(1) (2)开始销售第天，商品的日销售量与第天的日销售量相等 (3)解：由题意可知，当日销售量不低于万箱时，当日不用保鲜处理， 把代入，得，解得． 把代入，得，解得． ∵， ∴按照当前的销售情况，工作队能将保鲜处理的天数控制在计划范围内． 【分析】（1）利用待定系数法确定其解析式即可； （2）先确定反比例函数的解析式，从而得到第天的销售量，再令直线的解析式，即可得解； （3）分别求出一次函数与反比例函数当时对应的值，进而判断保鲜处理的天数与天进行大小比较，即可得解． 【详解】（1）解：设所在直线的函数解析式为， 将点，代入，得， 解得， 所在直线的函数解析式为； （2）解：设反比例函数的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴反比例函数的解析式为． 把代入解析式，得， ∴第天的销售量为万箱． 把代入中，得． 答：开始销售第天，商品的日销售量与第天的日销售量相等； （3）略． 32．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【答案】(1)6 (2)线段的函数关系式为，双曲线的函数关系式为 (3)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题 【分析】本题结合分段函数的图像性质分步求解，先根据图像给出的特殊点坐标求出各段函数解析式，再通过等式计算即可． （1）分别计算第6分钟和第30分钟对应的注意力指数数值，比较两个数值的大小即可； （2）根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式； （3）分别在段和段计算注意力指数的时间点，再求得时长，将该时长与需要讲题的15分钟进行比较即可． 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中； （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为； （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 知识点九 圆锥展开图求最短路径 33．如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图，侧面积、弧长的计算，勾股定理； （1）利用圆锥侧面积公式直接计算即可求解． （2）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：这个圆锥的侧面积为（平方米）； （2）解：设此圆锥侧面扇形的圆心角为， 底面周长为 解得： （3）解：如图所示，在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，过点作 依题意，， ∴， ∴ ∴米 故答案为：． 34．已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求圆锥全面积，勾股定理，弧长公式， 对于（1），先根据勾股定理求出圆锥的母线，再根据得出答案； 对于（2），先根据弧长公式求出圆心角，可知该三角形是直角三角形，结合两点之间线段最短，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵． ∴在中，由勾股定理，得母线， ∴； （2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，， 而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 解得，即是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理，得， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 35．圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长是解题的关键． （1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式即可求出圆心角的度数； （2）如图2，连接，先证明为等边三角形，再证，最后根据勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵底面圆的半径为， ∴侧面展开图的弧长， ， ，解得：， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，则线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 的长为，，令， ，解得， ， ， ∴为等边三角形，即， ， ， 在中，， 即蚂蚁爬行的最短距离为． 36．圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是_______． (2)如图①，为母线的中点，点在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点爬行到点的最短路径，并求它的长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长是解题的关键． （1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式即可求出圆心角的度数； （2）如图2，连接，先证明为等边三角形，再证，最后根据勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：底面圆的半径为， 侧面展开图的弧长， ，解得， 故答案为：； （2）如图2，连接， 的长为，，令， ，解得， ， ， 为等边三角形，即， ， ， 在中，， ． 知识点十 圆的几何新定义 37．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 【答案】(1)， (2)证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）略 38．新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，弦与弦交于点，，． ①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵，是的等垂弦，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，是的等垂弦， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴矩形是正方形； (2) ①证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、是的等垂弦． ②． 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）①连接，由圆心角、弦的关系及全等三角形的判定和性质可得，由圆周角定理可得，，可得结论； ②连接并双向延长交于点F，交于点G，根据题意得出为等腰直角三角形，再由垂直平分线的判定和性质得出，利用平行线的判定和性质及全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示： 由①得，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 39．定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （    ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（   ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（   ） (2)如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①×； ②√；③√ (2)①∵四边形是“等对”四边形， ， ， ， 又∵四边形是“垂对”四边形， ， ，为等腰直角三角形， 设，， 则，，， ， ② 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，圆周角，“等对”四边形定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据“等对”四边形和“垂对”四边形定义，判断即可求解； （2）①根据“等对”四边形的性质可知，从而推导出，为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解； ②根据M为的中点，可得，进而根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：①矩形也是平行四边形，矩形的对角线相等， 平行四边形也可能是“等对”四边形，故该说法错误； ②“垂对”四边形的对角线垂直，所以“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；故正确； ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是萎形，所以是“垂对”四边形；故正确； 故答案为：①×； ②√；③√； （2）① 略 ②， 在中， ， 又∵为的中点， ， ，，， ， 即， ， ， 即， 将代入， 得， 解得： 40．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)①；② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，等边三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点； （2）①根据圆内接四边形的性质得到，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；②)根据圆内接四边形的性质得到推出是等边三角形，得到．连接．根据圆周角定理得到， ，求得，，根据等边三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：过作直线的垂线交于，，分别以和为圆心，为半径作弧与圆的交点就是所求的点；如图所示： 满足条件的点C共有4个， 故答案为：4； （2）解∶①， ， 为圆等三角形，且， ， ②， ， 为“圆等三角形”， 是等边三角形， ， 连接，，交于， ，， ， ，， ， 四点共线， ， 与是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积的面积 ． 知识点十一 矩形最大半圆与最小覆盖圆 41．【给出定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】如图1，2，3，小莹发现任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，从而得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 (1)结合以上三个图形，你同意小莹的观点吗？若不同意请写出你的发现． (2)在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______． (3)如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且，求的最小覆盖圆的半径． (4)如图5，在四边形中，，，，且，，，若点是四边形最小覆盖圆上的一点，求的最小值． 【答案】(1)不同意小莹的观点，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆,若钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据外接圆的性质，分别证明即可； （2）连接，交于点O，由矩形的性质得到，，点A、B、C、D四点共圆，由勾股定理求出即可； （3）取外接圆的圆心O，连接，由圆周角定理得，即可求出，得到的最小覆盖圆的半径是； （4）作的外接圆，则四边形最小覆盖圆是，连接并延长交于点，则此时取得最小值，勾股定理求得的长，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：不同意小莹的观点， 在图1中设锐角外接圆圆心为点O，连接， ∴锐角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆； 如图，设直角外接圆圆心为点O，连接， 则，且为外接圆的直径， ∴直角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆； 在图3中设钝角中， 作以最长边为直径的圆，则由下图可知，点C在此圆内， 故钝角三角形的外接圆不是覆盖该三角形的最小覆盖圆，以最长边为直径的圆是钝角三角形的最小覆盖圆； 综上所述，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆,若钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆.故小莹的说法不正确. （2）连接，交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点A、B、C、D四点共圆， ∴， ∴该矩形的最小覆盖圆的直径为； （3）取外接圆的圆心，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的最小覆盖圆的半径是； （4）解：如图，作的外接圆， ∵， ∴在的内部， ∴四边形最小覆盖圆是， 连接并延长交于点，则此时取得最小值， ∵，，， ∴ ∴， 过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中， ∴ 42．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； （3）如图3，有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是______（只填序号）； 【深入研究】 （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点、，点C是y轴正半轴上的一个动点，当时，求的最小覆盖圆的半径以及点C的坐标． 【生活应用】 （5）某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为_______． 【答案】（1）；（2）；（3）①②③；（4），点C的坐标是；（5） 【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，正方形和矩形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由勾股定理，得正方形的对角线长为，即可求出答案； （2）边长为的两个正方形并列在一起得矩形，由勾股定理，得矩形的对角线长为，据此即可得到答案； （3）根据题意可知识；①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆； （4）求出点N的坐标是，点M的坐标是，则，即，得到则，即可求出答案； （5）作直径，连，中，，，得到，即，则，即四边形的最小覆盖圆半径为． 【详解】解（）∵正方形的边长为， ∴由勾股定理，得正方形的对角线长为：， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （）∵边长为的两个正方形并列在一起得矩形，由勾股定理，得矩形的对角线长为， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （3）有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是①②③， 故答案为：①②③ （4）设圆心为点M，连接 过点M作于点N，于点D， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴点N的坐标是，点M的坐标是， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴点C的坐标是 （5）解：∵的最小覆盖圆可以将四边形覆盖， ∴四边形的最小覆盖圆是的外接圆， 作直径，连，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ∴，即， ∴ ∴四边形的最小覆盖圆半径为． 故答案为： 43．综合与实践 【情境】在矩形内画一个最大的半圆． 【模型】操作一：如图1，选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为．以点为圆心，的长为半径作，可知与两边同时相切，切点分别为G、F两点； 操作二：如图2，沿射线方向移动圆心，使逐渐变大．当与矩形的两边分别交于点H、I且圆心落在弦上时，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【探究】 (1)在图2中，顶点C 上？（填“在”或“不在”）； (2)如图3，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长； 【拓展】 (3)如图4，在矩形中，，请用无刻度的直尺和圆规作出矩形内最大的半圆，圆心记为（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)在 (2) (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，再根据直角三角形的性质得出答案即可； （2）设的半径为与分别相切于点，则连接，延长交于点G，根据切线的性质和正方形的性质说明四边形为矩形，可得，再根据垂径定理得，可得，然后根据勾股定理求出答案即可； （3）以点A为顶点作的平分线，交于点O，再以点O为圆心，为半径画圆，则答案可得． 【详解】（1）解：在； 如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴． 在中，， ∴点C在上； （2）解：如图，连接，延长交于点G， 设的半径为与分别相切于点，则 与分别相切于点， ，即． ∵四边形是正方形， ， ∴四边形为矩形， ，即， ， 在Rt中，，即， 解得（舍去），， ∴正方形内最大半圆O的半径的长为； （3）略 44．【阅读理解】 任务：在矩形内画一个最大的半圆． 操作：（1）选取矩形的一个顶点A，作的平分线，交于点E，在线段上任取一点O，过点O作，垂足为G；以点O为圆心、长为半径作，则必与两边同时相切，切点分别为G，F两点，如图①． （2）沿着线段向下拖动圆心O，逐渐变大，当足够大时，与矩形另外的边相交，如图②，设与边交于点H，与边交于点I，连接，则为的一条弦，当点O落在弦上时，则弦为的直径，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【实践操作】 （1）如图③，已知矩形，，用直尺和圆规作出矩形内最大半圆．（不写作法，保留作图痕迹） 【探索发现】 （2）如图④，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长． （3）如图⑤，在矩形中，，则矩形内最大半圆的直径______．（直接写出答案）    【答案】 （1）如图，半圆为所求作的半圆；    （2）； （3）10 【分析】 本题考查了矩形的性质，直线和圆的位置关系，切线的判定，尺规作图，圆周角定理，正确尺规作图是解题的关键． （1）作角平分线，交于O，以O为圆心作，与相切于点E，即可得到最大半圆； （2）如图，正方形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作 ，先证四边形为正方形，在中，由列方程求解即可； （3）矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作于点 ，作于点 ，需证，令的半径为，则，在中，根据勾股定理，列方程求出即可求出直径． 【详解】解：（1）略 （2）如图，正方形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作 ， ∴M、O、G三点共线，    设正方形内最大半圆的半径为， ∵四边形是正方形， ∴， 由作图可知：， ∴四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴, ∵， ∴， 在中，， 即， 解得，； （3）如图，矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，， 作于点，作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， 四边形是矩形， ， 令的半径为，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得（不合题意，舍去）， ；    知识点十二 圆的无刻度作图 45．如图，内接于，且点，，，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中的圆上找一点，使得点平分； (2)在图中的圆上找一点，使得平分； (3)在图中的圆上找一点，使得平分． 【答案】(1)解：如图，点D即为所求； (2)解：如图，点即为所求； (3)解：如图，点即为所求． 【分析】（1）取格点M，由网格可得，推出四边形是菱形，由菱形的性质得，即可得出点平分； （2）取格点N，交于点E，由得，则，可得平分； （3）取格点G，H，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得平分． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 46．如图，已知，，三点均在上，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1若是弧的中点，请作出的边上的中线． (2)如图2，若，请作出中的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点，由垂径定理可得为的中点，连接，线段即为所求； （2）连接，交于点，连接、，连接并延长交于点，连接交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接，交于点，连接，线段即为所求． （2）解：如图2，连接，交于点，连接、，连接并延长交于点，连接交于点，线段即为所求， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴平分． 47．如图，已知点在直角三角形的斜边上，以为直径的与直角边相切于点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中过点作的平行线； (2)在图2中过点作的平行线． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：即为所求． 【分析】（1）与的交点即为点，由直径所对的圆周角为直角可得，那么，即可得到此时； （2）设与的交点为点，连接，交于点，交于点，连接并延长交即为点，连接，则即为所求． 由圆的切线的性质可得，结合可得，则，可证明四边形是矩形，则，那么，可由证明，则，再由可证明，则，结合可得四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 48．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点，，．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图（1），先画圆心，再在上画点，使； (2)如图（2），点是上一点，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使． 【答案】(1) 如图1，点，即为所求； (2) 如图2所示，点，即为所求 【分析】本题考查了垂径定理，平行弦的应用，圆的对称性，圆周角定理． （1）根据网格特点，先找到的中点，根据网格的特点以及平移的性质作，交于点，连接并延长交于点，作直线交于点（），即可求解；理由如下，根据平移可得，则弧等于弧，进而可得弧弧，则，根据三线合一可得垂直平分； （2）取的格点，连接交于点，由网格可知，结合垂径定理可知B、E关于对称，连接交于点，连接并延长交于点，连接，结合等边对等角和同弧所对的圆周角相等可得，则． 【详解】（1）略 （2）略 知识点十三 一元二次方程的新定义 49．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断下列一元二次方程为“C方程”的是__________； ①；②；③；④； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”． ①__________；（用含有b的代数式表示）②求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)① ② 【分析】（1）根据定义，把各方程的常数项 作为 的值代入方程，能使等式成立的就是“C方程”； （2）把 代入 ，整理得 ，由 得 ；再代入 ，用配方法求最小值． 【详解】（1）解：根据定义，把 （即方程中的常数项）代入各方程，看等式是否成立． ①在 中，，把 代入，左边 ，等式成立，是“C方程”； ②在 中，，把 代入，左边 ，等式不成立，不是“C方程”； ③在 中，，把 代入，左边 ，等式成立，是“C方程”； ④在 中，，把 代入，左边 ，等式不成立，不是“C方程”． 故答案为：①③． （2）解：①∵方程 是“C方程”， ∴把 代入方程，得 ， 即 ． ∵， ∴， ∴， 即用含 的代数式表示 ； ②把 代入，得 ． ∵， ∴当 时， 取得最小值 ， 此时 ，符合题意， ∴代数式 的最小值为 ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义及配方法求最值．理解“C方程”后，关键是把 代入方程，整理得 ，结合 求出 ；求 的最小值时，关键是将其配方为 ． 50．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)1或 (3)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 51．【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 【答案】(1)②③ (2)的值是3或 (3)或． 【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义“同伴方程”．熟练掌握以上知识点是关键． （1）分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：①解方程， 可得：； ②解方程， 可得：，； ③解方程， 可得：，； 其中方程②和方程③有且只有一个相同的实数根， 方程②③是“同伴方程”； 故答案为：②③； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：； 此时方程为， 可得，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入可得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是3或； （3）解：由条件可知方程的解是，， 方程可整理为 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 52．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． (3)若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)②④ (2)①②或 (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键； （1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可；②利用，求得，，分两种情况，代入即可求得的值； （3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）解：①方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； ②方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，， 解得，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； ，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； 故一次函数的解析式为或； （3）解：由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 知识点十四 圆的函数新定义 53．对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“对称点”；当时，称点为线段的“完美对称点”． (1)①如图，，下列各点中，线段的对称点是______；，， ②如图，为线段的“完美对称点”，点为线段的中点，点为线段的一个“对称点”，直接写出的最小值为______． (2)如图，为线段的“完美对称点”，在轴的正半轴上有一个点，且满足，求的值．（写出求解过程）； (3)若点为轴正半轴上一点，点为线段的“对称点”，点在轴上，且满足，直接写出______（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)9 (3) 【分析】（1）①根据定义进行解答即可；②证明点在上时，的值最小，最小值为的长，据此进行解答即可； （2）根据等边三角形的性质和点，点，点，点四点共圆得到，即可求出答案； （3）分三种情况画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：①若点满足，则称点为线段的“对称点”； 在的垂直平分线上， 线段的对称点在的垂直平分线上，且，， 线段的对称点横坐标为， 符合题意， 故答案为， ②如图，连接， 为线段的“完美对称点”， ， 是等边三角形， 点为线段的中点， ，，， ， 点为线段的一个“对称点”， 点在的垂直平分线上， ， ， 点在上时，的值最小，最小值为的长， 的最小值为． 故答案为：． （2）为线段的“完美对称点”， 是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ； （3）如图，当点与点在轴上方， ， 点，点，点，点四点共圆， ， 是直径， 点为线段的“对称点”， 垂直平分，，， 点是圆心， ，且， ， ； 如图，当点与点在轴下方， 同理可求：； 如图，当点在轴下方，点在轴上方， 作点关于轴的对称点， 同理可求：， 点与点关于轴对称， ，， ， 当点在轴上方，点在轴下方， 同理可得：， 综上所述： 54．在平面直角坐标系中，的半径为，点，点均在上．给出如下定义：若满足，且与有个公共点，则称为关于点的点－镶嵌三角形，点叫做关于点的点－镶嵌关联点． (1)如图，若点，． ①在点，，，，点________是关于点的点－镶嵌关联点； ②点为直线上一点，若是关于点的点－镶嵌三角形，则的取值范围为________； (2)点，为直线与的交点（点在点左侧），已知点是关于点的（）点－镶嵌关联点，若存在点，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或． (2)存在点，的取值范围为或. 【分析】（1）①根据点－镶嵌关联点的定义：，且与有个公共点，逐点判断即可； ②根据定义可得，符合条件的点在以为圆心，为半径的圆上，画出图像，再根据图像平移直线分析符合是关于点的点－镶嵌三角形时，的取值范围． （2）由为以点为直角顶点的等腰直角三角形，可得点在第一、三象限或第二、四象限的平分线上，将求的取值范围，转换成的长度范围，再结合图象和镶嵌关联点的定义对点的位置分类讨论即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：①点，， ， 对于，， 轴，由图可知，与有个公共点， 点是关于点的点－镶嵌关联点； 对于，， 由图可知，与有个公共点， 点不是关于点的点－镶嵌关联点； 对于，， 由图可知，与有个公共点， 点是关于点的点－镶嵌关联点； 对于，， 点不是关于点的点－镶嵌关联点； ②若是关于点的点－镶嵌三角形， 则，点在以为圆心，为半径的圆上， 又点为直线上一点， 如图，以为圆心，为半径作出圆，作轴， 线段与有个交点，当两条线段与只有个交点时，符合题意， 点坐标为，代入，得， 点坐标为，代入，得， 将代入，得， 将代入，得， 由图象可知， 当时，与只有个交点，不符合题意； 当或时，与有个交点，符合题意； 的取值范围为或． （2）解：点是关于点的（）点－镶嵌关联点， ，即点在以为圆心，为半径的圆上， 若存在点，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形， 则点在第一、三象限或第二、四象限的平分线上， 当点在第一象限时，如图 直线为，与轴交点为，与轴交点为， 与轴较小的夹角为，且直线为第一、三象限平分线， ，且在上， 为的垂直平分线， ，且， 为等边三角形． 当与圆相切时，不符合题意， 此时，则，即， 当沿第一、三象限平分线向下移动时，直到在上时，符合题意， 当点在上时，符合题意， 此时，， 点在第一象限时，． 当点在第三象限时，如图 同理可得，； 当点在第二象限时，如图 当为直径时，不成立，不符合题意， 此时，则，即， 当点沿第二、四象限平分线向下移动时，直到在上时，符合题意， 当点在上时，符合题意， 此时，， 点在第二象限时，． 当点在第四象限时， 直线在内平移时，点始终在内， ，不符合题意； 综上，的取值范围为或. 【点睛】本题考查了新定义——“镶嵌三角形”、“镶嵌关联点”、等概念，熟练掌握点与圆的位置关系、三角形与圆的公共点个数分析、分类讨论思想、数形结合思想、动点轨迹分析、特殊位置（临界值）的选取是解题的关键． 55．在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【详解】（1）解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． （2）解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． （3）过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 56．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和轴上的点，给出如下定义：将线段绕点旋转可以得到的弦（分别为的对应点），则称线段为以点为中心的“关联线段”．    (1)如图，已知点，在线段中，以点为中心的“关联线段”是__________． (2)已知点，线段是以点为中心的“关联线段”，求点的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点，使得线段是以点为中心的“关联线段”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】（1）由题知“关联线段”是关于M成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点M中心的“关联线段”． （2）由与点关于M点成中心对称，且M点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，M点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围． （3）设，，根据中心对称得到、的坐标，由在上得到与的关系，再结合在上的条件，将问题转化为直线与圆有交点的问题，通过距离公式求出的取值范围。 【详解】（1）解：如图，    ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”； ∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦， ∴线段是以点为中心的“关联线段”， 则与关于M点成中心对称， 则， 而的坐标只能是， ∴不可能在上， ∴线段不是以点中心的“关联线段”， 综上，以点M中心的“关联线段”是和， 故答案为：和． （2）解：∵与点关于M点成中心对称，且M点在x轴上， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴点的坐标为，M点坐标为． ∵是的弦， ． ∵与F点关于对称， ． （3）解：设， ∵为与的中点 ∴ ∵在上 ∴， ， ， ， ∵为与的中点， ∴， ∵在上， ∴代入得， ， ， ∵直线上存在点满足条件， ∴关于的方程有实数解，判别式， ， ∴， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用、一次函数的图像的性质，熟练掌握以上知识和数形结合思想、分类讨论思想和解题的关键． 知识点十五 圆中的一元二次方程 57．【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，．在中，，所以． 化简得：．同理可得：________． 所以为方程的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、． （3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是________． 【答案】（1）； （2）先在坐标系内找到，，连接，则线段中点为， 以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示： （3）与x轴相切，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （4） 【分析】（1）根据题目中给定的解法求解即可； （2）用尺规作图法作出以为直径的圆即可； （3）先根据题意得出方程，再根据判别式，得出圆与x轴的位置关系； （4）仿照（1）的过程即可求得． 【详解】解：（1），，， 在中，， ∴， 化简得：， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）如图，由勾股定理得，，， 在中，， ∴， 化简得：， 同理可得：． ∴m、n为方程的两个实数根． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，解答本题的关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 58．我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程__________（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为是位于圆心异侧的两条平行弦，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 【答案】(1)是 (2) 证明：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． (3) 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，再利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题． 【详解】（1）解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； （2）略 （3）解：连接，，作于，作的延长线交于，如下图：    ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，构成直角三角形，是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 59．【发现结论】 一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊，小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何解法后，也有了他自己的新发现：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若与轴交于点、，则为关于的方程的两个实数根． 【探究思考】 （1）由题意得：，，，． 在中，由得：． 化简得：______．同理可得：______． 所以为方程的两个实数根． 【灵活运用】 （2）如图2，为方程______的两个实数根． （3）在图3中所给网格图的轴上画出以方程两根为横坐标的点． （4）已知点、，以为直径作．根据小聪的发现判断与轴的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）如图所示，、即为所求 （4）与轴相切； 理由如下： ∵点、， 结合题意可得与轴两个交点的横坐标为方程的两个根， ， ∴方程有两个相等的实数根， 对应地，与轴只有一个交点，即与轴相切． 【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决； （2）根据题干即可求得． （3）以及两点为端点的线段为对角线画正方形，连接交于，再以为圆心，为半径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点、即为所求的点； （4）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与轴只有一个交点，即与轴相切； 【详解】（1）由题意得：，，，． 在中，由得：． 化简得：， 同理可得：． 所以为方程的两个实数根． （2）从图2可得点、， ∴， ∴为方程的两个实数根． （3）以及两点为端点的线段为对角线画正方形，连接交于，再以为圆心，为半径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点、即为所画的点； （4）略 【点睛】本题是材料问题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念、正方形的性质、直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 60．关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； (2)如图，已知、是半径为4的的两条平行弦，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”； ①求的度数； ②直接写出的长（用含、的式子表示）． 【答案】(1) 证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”， 且，， ， ， ， 方程必有实数根； (2)①；② 【分析】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是明白“勾系方程”的定义． （1）根据一元二次方程根的判别式即可判断； （2）①作于，延长交于，连接，，由垂径定理可得，，有勾股定理得，再由关于的方程是“2倍—勾系方程”，得到，即可证明，最后证明得到，最后根据求解即可； ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，根据得出，进而利用勾股定理列式解答，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：①作于，延长交于，连接，，如图， ∵， ， ，， ， ， 关于的方程是“2倍—勾系方程”， ∴， ， ，， ∴ ， ， ， ， ； ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，如图， ， ∵， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新苏科版九年级，15种类型60道） 范围：第1章（一元二次方程）—第3章（圆） 知识点一 一元二次方程根的情况与韦达定理 1．已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值及方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 2．已知关于的方程． (1)当该方程的一个根为时，求方程的另一个根； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数k的取值范围； (2)是否存在k值使方程的两实数根，满足，若存在，求实数k的值，若不存在，请说明理由． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 知识点二 圆周角定理证明 5．如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． (1)求证：平分； (2)若，，求半径． 6．如图，是的直径，是的一条弦，于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．如图，的直径，弦，E是劣弧上一点，连接交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．如图，是的直径，点，是圆上两点（在直径两侧），连接，，，，如果，，连接交圆的直径于点． (1)求证：平分； (2)已知，求长度； 知识点三 圆的尺规作图 9．如图，点为直线外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点，与直线相切于点Q； (2)过点，与直线相切于点P，的度数为； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 10．如图，已知及圆外一点P． (1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长． 11．如图，在中，，D是边上一点． (1)尺规作图：作，使圆心O在边上，且⊙O经过A，D两点，交于另一点E．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长． 12．在学习完《切线的性质与判定》后，数学老师布置一题：“已知：如图所示，及外一点．求作：直线，使与相切于点．”李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：连接，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点（、分别位于直线的上下两侧）；②作直线，交于点；③以点为圆心，为半径作，交于点（点位于直线的上侧）；④连接，交于点，则直线即为所求． (1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合图形，说明是切线的理由； (3)若半径为2，，依据作图痕迹求的长． 知识点四 证明直线与圆相切 13．如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 14．如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 15．已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 16．如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 知识点五 一元二次方程降（增）价问题 17．网络直播为农产品销售开辟了重要渠道，不少果农借助直播带货实现销售转型．河阴石榴是我省极具代表性的特色果品，已知该石榴若按每箱70元销售，平均每天可售出100箱；扣除种植与人工成本后，每箱可获利26元，另外每日需支付直播推广费300元，每箱还需额外支付纸箱打包费2元．经直播大数据统计：每箱石榴售价每降低1元，日销售量就增加10箱．为提升经营收益，果农决定下调售价． (1)设每箱降价元，则每天可以售出__________箱．（用含的代数式表示） (2)若果农希望每日纯利润达到2550元，那么每箱石榴的售价应该定为多少元？ 18．某商场以每盒120元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为160元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒． (1)设售价每盒下降元，则每天能售出__________盒；（用含的代数式表示） (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元？ 19．某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克． (1)若该水果每千克涨价2元，则每千克盈利为______元，日销量为______千克，每天售出水果的利润为______元； (2)如果该水果批发商要保证每天盈利8000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？ 20．某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每降价元，平均每天可多售出箱． (1)若降价元，每天能售出______箱饮料，若降价元（），每天能售出______箱饮料； (2)若要使每天销售该饮料获利元，为了扩大销售，则每箱应降价多少元？ 知识点六 一元二次方程的图形问题 21．学校为了让学生观察植物的生长习性.打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米. (1)的长为________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； 22．【问题背景】为美化校园，某学校打算利用一面长度为的墙，用长度为的建筑材料围建一个如图所示的面积为的矩形花园，且在与墙平行的一侧开设两扇宽度均为的门． 【建立模型】设矩形花园与墙垂直的一边长为． (1)请用含的式子表示矩形花园与墙平行的一边的长度； 【解决问题】 (2)当时，求的值； (3)矩形花园的面积能否达到？若能达到，请求出的值；若不能达到，请说明理由． 23．如图，利用一面墙（墙长），用总长度为的栅栏围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个宽的小门，设栅栏的长为． (1)__________（用含的代数式表示）． (2)若矩形鸡舍的面积为，求栅栏的长． (3)矩形鸡舍的面积是否有可能达到？若有可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由． 24．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为．若该电动车停放区的占地面积为，求的值． 知识点七 一次函数与反比例函数结合 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数．的图像与反比例函数的图像交于和两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像，直接写出当x为何值时， 26．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 27．如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． (1)直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． (2)请结合图像回答，时，的取值范围______． (3)如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 28．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的倍，直接写出点的坐标． 知识点八 反比例函数的实际应用 29．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 30．工人往一艘货船上装载货物．装完货物所需时间y（单位：分钟）与装载速度x（单位：吨/分钟）之间的函数关系如图所示． (1)这批货物的质量为多少？ (2)轮船到达目的地后开始卸货，如果要在2小时内（包含2小时）将货物卸完，则卸货速度至少为每分钟多少吨？ (3)每名工人卸货的平均速度为吨/分钟，250分钟后卸完，则共有多少名工人参与卸货？ 31．为了更好助推乡村振兴，某单位驻村工作队立足本地特色，以“互联网+电商+销售大集”的模式，帮助果农进行为期天的销售，经过大量的广告宣传，该商品的日销售量（万箱）随着天数（天）的变化而变化，变化规律如图所示：在宣传开始阶段，销售量逐步上升，中间保持不变，当广告宣传停止后，销售量开始下降，其中，为线段，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在直线的函数解析式； (2)开始销售第几天，商品的日销售量与第天的日销售量相等； (3)在销售期间，若某天的日销售量低于万箱，则需要对该日的水果进行保鲜处理．已知保鲜处理需要额外成本，驻村工作队计划最多安排天进行保鲜处理．请通过计算说明：按照当前的销售情况，工作队能否将保鲜处理的天数控制在计划范围内？ 32．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 知识点九 圆锥展开图求最短路径 33．如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米． (1)求这个圆锥的侧面积． (2)求此圆锥侧面扇形的圆心角． (3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米． 34．已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 35．圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 36．圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是_______． (2)如图①，为母线的中点，点在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点爬行到点的最短路径，并求它的长（结果保留根号）． 知识点十 圆的几何新定义 37．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 38．新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，弦与弦交于点，，． ①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 39．定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形． (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”） ①平行四边形一定不是“等对”四边形； （    ） ②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（   ） ③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（   ） (2)如图1，已知四边形既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶点都在上，连接四边形的对角线，交于点P． ①记，，四边形的面积分别为，，求证： ； ②如图2，点为的中点，连接并延长交于点N，若 ，求的半径（用含，的式子表示）． 40．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到_________个； (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且，． ①当时，求度数； ②如图③，当，时，求阴影部分的面积． 知识点十一 矩形最大半圆与最小覆盖圆 41．【给出定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】如图1，2，3，小莹发现任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，从而得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 (1)结合以上三个图形，你同意小莹的观点吗？若不同意请写出你的发现． (2)在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______． (3)如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是y轴正半轴上的一个点，且，求的最小覆盖圆的半径． (4)如图5，在四边形中，，，，且，，，若点是四边形最小覆盖圆上的一点，求的最小值． 42．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； （3）如图3，有3个三角形，分别是：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是______（只填序号）； 【深入研究】 （4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点、，点C是y轴正半轴上的一个动点，当时，求的最小覆盖圆的半径以及点C的坐标． 【生活应用】 （5）某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为_______． 43．综合与实践 【情境】在矩形内画一个最大的半圆． 【模型】操作一：如图1，选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为．以点为圆心，的长为半径作，可知与两边同时相切，切点分别为G、F两点； 操作二：如图2，沿射线方向移动圆心，使逐渐变大．当与矩形的两边分别交于点H、I且圆心落在弦上时，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【探究】 (1)在图2中，顶点C 上？（填“在”或“不在”）； (2)如图3，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长； 【拓展】 (3)如图4，在矩形中，，请用无刻度的直尺和圆规作出矩形内最大的半圆，圆心记为（保留作图痕迹，不写作法）． 44．【阅读理解】 任务：在矩形内画一个最大的半圆． 操作：（1）选取矩形的一个顶点A，作的平分线，交于点E，在线段上任取一点O，过点O作，垂足为G；以点O为圆心、长为半径作，则必与两边同时相切，切点分别为G，F两点，如图①． （2）沿着线段向下拖动圆心O，逐渐变大，当足够大时，与矩形另外的边相交，如图②，设与边交于点H，与边交于点I，连接，则为的一条弦，当点O落在弦上时，则弦为的直径，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【实践操作】 （1）如图③，已知矩形，，用直尺和圆规作出矩形内最大半圆．（不写作法，保留作图痕迹） 【探索发现】 （2）如图④，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长． （3）如图⑤，在矩形中，，则矩形内最大半圆的直径______．（直接写出答案）    知识点十二 圆的无刻度作图 45．如图，内接于，且点，，，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图中的圆上找一点，使得点平分； (2)在图中的圆上找一点，使得平分； (3)在图中的圆上找一点，使得平分． 46．如图，已知，，三点均在上，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1若是弧的中点，请作出的边上的中线． (2)如图2，若，请作出中的平分线． 47．如图，已知点在直角三角形的斜边上，以为直径的与直角边相切于点，请仅用无刻度直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中过点作的平行线； (2)在图2中过点作的平行线． 48．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点，，．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． (1)如图（1），先画圆心，再在上画点，使； (2)如图（2），点是上一点，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使． 知识点十三 一元二次方程的新定义 49．定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断下列一元二次方程为“C方程”的是__________； ①；②；③；④； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”． ①__________；（用含有b的代数式表示）②求代数式的最小值． 50．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 51．【阅读理解】 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值． 52．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． (3)若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 知识点十四 圆的函数新定义 53．对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“对称点”；当时，称点为线段的“完美对称点”． (1)①如图，，下列各点中，线段的对称点是______；，， ②如图，为线段的“完美对称点”，点为线段的中点，点为线段的一个“对称点”，直接写出的最小值为______． (2)如图，为线段的“完美对称点”，在轴的正半轴上有一个点，且满足，求的值．（写出求解过程）； (3)若点为轴正半轴上一点，点为线段的“对称点”，点在轴上，且满足，直接写出______（用含，的式子表示）． 54．在平面直角坐标系中，的半径为，点，点均在上．给出如下定义：若满足，且与有个公共点，则称为关于点的点－镶嵌三角形，点叫做关于点的点－镶嵌关联点． (1)如图，若点，． ①在点，，，，点________是关于点的点－镶嵌关联点； ②点为直线上一点，若是关于点的点－镶嵌三角形，则的取值范围为________； (2)点，为直线与的交点（点在点左侧），已知点是关于点的（）点－镶嵌关联点，若存在点，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 55．在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 56．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和轴上的点，给出如下定义：将线段绕点旋转可以得到的弦（分别为的对应点），则称线段为以点为中心的“关联线段”．    (1)如图，已知点，在线段中，以点为中心的“关联线段”是__________． (2)已知点，线段是以点为中心的“关联线段”，求点的横坐标的取值范围； (3)已知点，若直线上存在点，使得线段是以点为中心的“关联线段”，直接写出的取值范围． 知识点十五 圆中的一元二次方程 57．【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，，，．在中，，所以． 化简得：．同理可得：________． 所以为方程的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、． （3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是________． 58．我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程__________（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为是位于圆心异侧的两条平行弦，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 59．【发现结论】 一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊，小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何解法后，也有了他自己的新发现：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若与轴交于点、，则为关于的方程的两个实数根． 【探究思考】 （1）由题意得：，，，． 在中，由得：． 化简得：______．同理可得：______． 所以为方程的两个实数根． 【灵活运用】 （2）如图2，为方程______的两个实数根． （3）在图3中所给网格图的轴上画出以方程两根为横坐标的点． （4）已知点、，以为直径作．根据小聪的发现判断与轴的位置关系，并说明理由． 60．关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”，请解决下列问题： (1)求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； (2)如图，已知、是半径为4的的两条平行弦，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”； ①求的度数； ②直接写出的长（用含、的式子表示）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $