精品解析：甘肃定西市渭源县北寨中学等校2026-2027学年第一学期第一次阶段考试试题九年级数学

2026-2027学年第一学期第一次阶段考试试题九年级 数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】将一元二次方程化成一般形式，利用一元二次方程的定义确定各项系数． 【详解】解：将移项，得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：移项得 ，两边同时加上 9， 得 ， 即 ，故选 C． 3. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2，二次项系数不为0，联立求解a的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数． ∴，且， 由得 ． 由得 ， ∴． 4. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线有最低点，得出，再解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点，则二次函数图象开口向上， ∴， 解得：． 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【详解】解：∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误． 6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】已知根代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得 ， ∴， ∴． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，计算出判别式，判断符号即可判断方程根的情况. 【详解】解：根据一元二次方程得： 此方程的二次项系数，一次项系数，常数项， ∴， ∴该方程没有实数根. 8. 若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数，． ∴对称轴为直线，抛物线开口向上． ∵三点到对称轴的距离分别为，，，且． ∴． 9. 当时，函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】时，即其中一个为负数，另一个即为正数，再结合图像分析即可． 【详解】解：当时，则， 则开口向下，，随的增大而增大，且与轴交于负半轴； 看图，选项符合． 当时，则 则开口向上，，随的增大而减小，且与轴交于正半轴； 发现没有选项符合． 则为正确选项． 10. 如图，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意均有；⑤方程一定有实数根；⑥若点、点、点在该函数图像上，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质依次进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：开口向上，即，对称轴在y轴的右侧，根据“左同右异”可知：，抛物线与y轴交于负半轴，则有， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，3， ∴根据二次函数的对称性可知：抛物线的对称轴为直线， ∴，则，故②正确； 根据图象可知：当时，则，故③错误； 当时，y有最小值，即， ∴对于任意均有，即，故④错误； 当方程要有实数根，则可把该方程看作是抛物线与直线的交点横坐标，由图象可知：当时，方程不一定有实数根，故⑤错误； ∵点、点、点在该函数图像上，且， ∴根据开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值也就越小可知：，故⑥错误； 综上所述：其中正确的有①②，共2个． 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若方程的两个实数根分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．一般地，若一元二次方程的解为，，则，，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴． 故答案为：． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的根满足原方程，将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入原方程得：， 整理得，解得． 13. 若点在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的横纵坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴将，代入，得． 14. 已知反比例函数的图象经过点，当时，取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先代入已知点求出反比例系数，再根据反比例函数的增减性，结合的范围计算得到的取值范围． 【详解】解：把点代入， 可得：， 反比例函数的解析式为， ， 反比例函数的图象经过二、四象限， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ， ． 15. 2024年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2026年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为，根据题意，列出方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设每年市政府投资的增长率为，根据到2026年投资亿元人民币建设廉租房，列方程求解． 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为， ∵ 2024年投资亿元，每年增长率为， ∴ 2025年投资为亿元， ∴ 2026年投资为亿元， ∵ 预计2026年投资亿元， ∴ 列方程得． 16. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 【答案】## 【解析】 【分析】先用待定系数法求出二次函数的表达式为，当时，解方程求出即可． 【详解】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， ∵抛物线过，代入，， 解得， ∴这个二次函数的表达式为：， 当时，， 解得：（不合题意舍去），， ∴铅球落地点到出手点的时间为秒． 三．解答题（本大题有10小题，共72分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）先移项，再利用直接开平方法解一元二次方程即可； （4）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 配方得，， 解得，即或， ，． 【小问2详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解：， 移项得，， 系数化为得，， 直接开平方得，， ∴，． 【小问4详解】 解：， ， ， ， 或， ∴，． 18. 某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价4元 【解析】 【分析】设每件降价x元，根据“每天要盈利1600元”列出方程，求解即可． 【详解】解：设每件降价x元，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去） 答：每件应降价4元． 19. 某年会昌县城某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售，由于受周边地区及炒房的影响，会昌县城的房价在两年内疯涨，至第3年该楼盘的均价为每平方米5760元，设每年的增长率相同． （1）求平均每年增长的百分率； （2）假设第4年该楼盘的均价仍然增长相同的百分率，李老师准备在第4年底购买一套100平方米的住房，他持有现金40万元，可在银行贷款30万元，李老师的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其他因素） 【答案】（1）平均每年增长的百分率为 （2）李老师的愿望能实现 【解析】 【分析】（1）根据初始房价和第3年的房价，结合增长率的等量关系列一元二次方程求解； （2）利用（1）中求得的增长率计算第4年的房价，进而计算100平方米住房的总房款，与李老师的可用资金比较判断． 【小问1详解】 解：设平均每年增长的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴平均每年增长的百分率为； 【小问2详解】 解：第4年该楼盘的均价为（元/平方米）， 100平方米住房的总房款为（元）（万元）， 李老师的可用资金为（万元）， ∵， ∴李老师的愿望能实现． 20. 已知二次函数的图象经过点、、． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 【答案】（1） （2） 对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法，结合已知三点坐标求解二次函数解析式． （2）利用二次函数的性质求对称轴、顶点坐标，判断增减性． 【小问1详解】 解： ∵二次函数的图象经过点、， ∴设该二次函数的解析式为（）． 将代入解析式， 得 ， 解得． ∴该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵二次函数图象与轴交于、， ∴对称轴为直线． 将代入， 得 ， ∴顶点坐标为． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大． 21. 已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． （1）设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值． （2）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）根据点A的横坐标和点B的纵坐标可求出A、B两点的坐标，再把点A的坐标代入一次函数解析式求出a的值即可； （2）设直线交x轴于点C，求出点C的坐标，根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 当时，，解得， ∴， 把点A的坐标代入得，解得； 【小问2详解】 解：如图所示，设直线交x轴于点C， 由（1）得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）直线的函数表达式为，双曲线的函数表达式为 （2） 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，解得， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， 点的坐标为，则， ∴ ， ． ∵ ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． （1）用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； （2）根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】（1）含的代数式为，二次函数一般形式为 （2）该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【解析】 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 【小问2详解】 解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 24. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】（1）． （2）（）． 【解析】 【分析】（1）由篱笆总长 m 且只围 、 两边，得 ，矩形面积 ； （2）树 距墙 为 m、距墙 为 m，把树围在花园内需 且 ，得 ；配方 ，由对称轴位置知 在 上随 的增大而增大，故 时取最大值． 【小问1详解】 解：∵ 篱笆只围 、 两边，篱笆总长 m， ， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵ 点 与墙 的距离是 ，花园在墙 上方的竖直宽度为 ，要把树围在花园内，需 ； ∵ 点 与墙 的距离是 ，花园从墙 起的水平宽度为 ，需 ，即 ， ∴ ． ∵ ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大， ∴ 当 时， 取最大值 （）． 25. 如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，然后把分别代入抛物线对应的函数解析式解方程组即可； （2）先求出拱顶到x轴的距离，即顶点坐标的纵坐标，然后求出点的横坐标，代入表达式，求出纵坐标即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，． 把分别代入抛物线对应的函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为． 【小问2详解】 解：， ∴顶点坐标为， ∴拱顶到x轴的距离为． 由题意得， 将代入中， 解得， ， ∴除湿板与仓顶间的距离为． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式，并求出它的顶点C的坐标． （2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线介于点M，N之间的部分（包含M，N两点）为图象G．设M，N两点的水平距离为d，规定；记图象G上点的纵坐标的最大值与最小值的差为h． ①当，时，则d的值为； ②当，时，则m的值为； ③当直线过定点时，且，求点M的坐标． 【答案】（1），顶点； （2）①；②或；③或． 【解析】 【分析】（1） 将两点坐标代入抛物线解析式，列二元一次方程组求出、，再配方求顶点坐标． （2）①由确定左端点，判断顶点是否在图象上，由反推右端点，从而求． ②由得，分顶点在上和不在上两种情况，由列方程求． ③利用、横坐标相同得轴，以为底将面积转化为，联立抛物线用一元二次方程根与系数关系表示，解出后求坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和， ， 解得，， 抛物线的函数表达式为， ， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 ①解：当时，． 抛物线开口向下，顶点为最高点． 当顶点在图象上，，，不符合题意， ∴顶点不在图象上， ， ．即， 整理得， 解得或（舍去）． ． ． ②解：， ， 当顶点在图象上时，即，， 此时，， 若时，，则， 解得或， ， ， 若时，，则， 解得或， ， ， 当顶点不在图象上时， 若，图象在对称轴右侧，随x增大而减小， ， 由得，不满足，舍去， 若即，图象在对称轴左侧，随x增大而增大， ， 由得，不满足，舍去， 综上所述，或． ③解：由题意，与横坐标相同，轴且． 设直线的解析式为， 联立解析式，得，， 消去得， 设、的横坐标分别为、（）， 由一元二次方程根与系数关系：，，， 在直线上，以为底，、到直线的水平距离为高，， 、在两侧，， ， ， ， 则， 当时，方程为， 解得，， 的横坐标为，， ， 当时，方程为， 解得，， 的横坐标为，， ， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次阶段考试试题九年级 数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是( ) A. B. C. D. 3. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 2或 4. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 当时，随的增大而增大 6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 当时，函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意均有；⑤方程一定有实数根；⑥若点、点、点在该函数图像上，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若方程的两个实数根分别为，，则________． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值是________． 13. 若点在反比例函数的图象上，则的值为________． 14. 已知反比例函数的图象经过点，当时，取值范围是______． 15. 2024年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2026年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为，根据题意，列出方程为_______． 16. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 三．解答题（本大题有10小题，共72分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 19. 某年会昌县城某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售，由于受周边地区及炒房的影响，会昌县城的房价在两年内疯涨，至第3年该楼盘的均价为每平方米5760元，设每年的增长率相同． （1）求平均每年增长的百分率； （2）假设第4年该楼盘的均价仍然增长相同的百分率，李老师准备在第4年底购买一套100平方米的住房，他持有现金40万元，可在银行贷款30万元，李老师的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其他因素） 20. 已知二次函数的图象经过点、、． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 21. 已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． （1）设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值． （2）连接，求的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． （1）用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； （2）根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 24. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 25. 如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式，并求出它的顶点C的坐标． （2）抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线介于点M，N之间的部分（包含M，N两点）为图象G．设M，N两点的水平距离为d，规定；记图象G上点的纵坐标的最大值与最小值的差为h． ①当，时，则d的值为； ②当，时，则m的值为； ③当直线过定点时，且，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $