精品解析：甘肃平凉市崆峒区广成学校2026-2027学年度第一学期第一次阶段性检测九年级数学试卷

2026～2027学年度第一学期第一次阶段性检测 九年级数学试卷（满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后所得方程是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象与轴的交点坐标是 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 当取和时，所得到的的值相同 D. 当时，有最大值是 9. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________． 12. 若是方程的一个根，则实数______． 13. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 14. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 15. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 __________________． 16. 已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4） 18. 二次函数图像的顶点坐标是(-2，3)，并经过点(1，2)，求这个二次函数的函数关系式． 19. 抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求、、三点的坐标； （2）求的面积； 20. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙足够长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为26米的栅栏围成，边上开了一个2米的门（如图所示）．如何设计才能使花园面积达到48平方米？ 21. 某市周末夜晚的音乐喷泉表演吸引了大量市民前往观赏．如图，以喷头所在处为原点、水平方向为轴建立平面直角坐标系，水柱的竖直高度（米）与水柱离喷头的水平距离（米）满足． （1）水柱的最大高度是多少米？ （2）水柱落地点到喷头的水平距离是多少米？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 23. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套．求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． 四、解答题 24. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 25. 文化商场经营某种新型电子产品．购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件． （1）当售价定为多少元/件时，销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）若要实现销售获利4420元，同时又让消费者得到实惠，则每件降价多少元？ 26. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 27. 如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； （3）若点是抛物线的顶点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第一次阶段性检测 九年级数学试卷（满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项，当时，无二次项，不是一元二次方程，不符合题意； B选项，是关于的一元二次方程，符合题意； C选项，含， 是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； D选项，含x，y两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 3. 用配方法解方程，配方后所得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 4. 将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减． 根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：． 故选A． 5. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 7. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 8. 已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象与轴的交点坐标是 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 当取和时，所得到的的值相同 D. 当时，有最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】在中，令得，可判定A不符合题意；由，对称轴直线可判断B不符合题意；根据当时，；当时，，可判定C符合题意；由，根据函数性质可判定D不符合题意． 【详解】解：令，则， 二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故A不符合题意； 二次函数的对称轴为，开口向上， 当时，随的增大而增大， 故B不符合题意； 当时，，当时， 故C符合题意； 二次函数的对称轴为，开口向上， 当时，有最小值， 故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握抛物线与轴交点、抛物线增减性及函数的最值等知识． 9. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 10. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2−7＝2；再根据一元二次方程中二次项系数不等于零，即可确定m的值． 【详解】解：∵该方程为一元二次方程， ∴m2−7＝2， 解得m＝±3； 当m＝3时，m-3＝0，则方程的二次项系数是0，不符合题意； ∴m＝-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），解题的关键是特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12. 若是方程的一个根，则实数______． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入方程得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解，掌握相关概念是解题的关键． 13. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 14. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 15. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 __________________． 【答案】(32-x)(20-x)=540 【解析】 【分析】如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了，进而列出方程即可． 【详解】解：如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了， 由题意可知长为(32-x)米，宽为(20-x)米， 由矩形的面积公式则可得：(32-x) (20-x)=540． 故答案为：(32-x) (20-x)=540． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是列出正确的方程． 16. 已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，二次函数的图象位于一次函数的图象下方， 不等式的解集为． 故答案为：． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程即可； （3）用因式分解法解一元二次方程即可； （4）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 【小问4详解】 ， ， ， ， ． 18. 二次函数图像的顶点坐标是(-2，3)，并经过点(1，2)，求这个二次函数的函数关系式． 【答案】y=-(x+2)2+3 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式，然后把（1，2）代入即可得到抛物线解析式． 【详解】解：设二次函数解析式为y＝a（x＋2）2＋3， 把（1，2）代入得9a＋3＝2，解得a＝， 所以二次函数解析式为：y＝(x+2)2+3． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 19. 抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求、、三点的坐标； （2）求的面积； 【答案】（1） ，，； （2） 的面积为． 【解析】 【分析】（1）分别令、，解方程得到抛物线与轴、轴的交点坐标； （2）以为底，点到轴的距离为高，代入三角形面积公式计算． 【小问1详解】  解：令，得， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，； 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵点到轴的距离为， ∴． 20. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙足够长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为26米的栅栏围成，边上开了一个2米的门（如图所示）．如何设计才能使花园面积达到48平方米？ 【答案】当米，米时，才能使花园面积达到48平方米 【解析】 【分析】设米，则米，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设米，则米， 由题意得：， 解得：（舍去）或， ； 答：当米，米时，才能使花园面积达到48平方米． 21. 某市周末夜晚的音乐喷泉表演吸引了大量市民前往观赏．如图，以喷头所在处为原点、水平方向为轴建立平面直角坐标系，水柱的竖直高度（米）与水柱离喷头的水平距离（米）满足． （1）水柱的最大高度是多少米？ （2）水柱落地点到喷头的水平距离是多少米？ 【答案】（1）水柱的最大高度是4米 （2）水柱落地点到喷头的水平距离是4米 【解析】 【分析】（1）先化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （2）令，解方程求得x值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴当时，y取得最大值，最大值为4， 答：水柱的最大高度是4米； 【小问2详解】 解：令，解方程得，（舍去）， 答：水柱落地点到喷头的水平距离是4米． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：该方程的判别式 ， ∵， ∴，即， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2） 的值为2，方程的另一个根为1． 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式并配方，证明其恒大于0即可得证； （2）将已知根代入方程求出，再求解方程得到另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 将代入原方程，得， 整理得，解得； 将代入原方程，得， 因式分解得， 解得，， ∴ 方程的另一个根为1． 23. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套．求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设月平均增长率为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． 四、解答题 24. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在的值，使得的面积等于，理由如下： ∵的面积等于， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∴方程无实数根， ∴不存在的值，使得的面积等于． 【解析】 【分析】（1）首先表示出，，然后根据勾股定理列方程求解； （2）根据的面积等于，可得到关于t的方程，然后利用判别式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ∵，， ∴， ∵的长度等于，， ∴， ∴， 解得或； 【小问2详解】 略 25. 文化商场经营某种新型电子产品．购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件． （1）当售价定为多少元/件时，销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）若要实现销售获利4420元，同时又让消费者得到实惠，则每件降价多少元？ 【答案】（1）当售价定为35元/件时，销售利润最大，最大利润是4500元 （2）每件降价7元 【解析】 【小问1详解】 解：设降低元，销售利润为元，则售价为每件元，销售量为件， ，整理得， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为35元/件时，销售利润最大，最大利润是4500元； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得，， 让消费者得到实惠， ， 答：每件降价7元． 26. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【小问1详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； 【小问3详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 27. 如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； （3）若点是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）面积为3． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点和的坐标代入解析式，建立方程组求解和． （2）利用抛物线的对称性，将转化为，从而将求的最小值转化为求的最小值．根据“两点之间线段最短”，当三点共线时，和最小，此时点即为直线与对称轴的交点． （3）先求出顶点的坐标，利用割补法（或铅锤法）将的面积转化为两个以轴为底的三角形面积之和进行计算． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 将点和代入，得， ， ， ， ， 该抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：由可知，对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 当三点共线时，最小，即最小， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 当时，， 此时点坐标为． 【小问3详解】 解：当时，， 顶点的坐标为， 设直线与对称轴交于点，由（2）知， ， 答：面积为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $