精品解析：福建莆田第五中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年莆田五中高三上学期第一次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，；则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定为特称命题求解. 【详解】，的否定：为，. 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】分析充分性： 若成立， 举反例验证：取，，此时，， 但，，显然不成立，即不成立， 因此充分性不成立. 分析必要性： 若成立， 由绝对值的性质：， 因为，所以，即a为正数， 当时，， 又因为，结合，可得， 即， 因为， 所以， 因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3. 函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数定义域，复合函数单调性结合题设可得答案. 【详解】由得：， 令，则. 时，为减函数； 时，为增函数. 又为上的增函数，故函数的单调递增区间是. 故选：D. 【点睛】点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增. 上述结论简称为“同增异减”. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合后再利用交集的定义可求. 【详解】， 故， 故选：C. 5. 曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂直计算出切线斜率，再用斜率算切点坐标. 【详解】已知曲线切线与垂直，所以，即， 又因为，令，解得，所以切点坐标为， 所以切线方程为，即. 6. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】先由对称性得，故，得到关于点成中心对称，C正确，AD错误；同理可得不关于直线对称，B错误. 【详解】服从正态分布，故 由对称性可知， 又，， 故，关于点成中心对称，C正确，AD错误； 又， 故， 不关于直线对称，B错误. 故选：C 7. 已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为， 因为，即函数为奇函数， 又因为，且函数在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 对任意的正数、，满足，则， 所以，，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 8. 已知函数,则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，得到，令，令，求得，得到在上单调递增，且函数为偶函数，进而得到上单调递减，把不等式转化为，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 所以，令， 可得 令且， 可得在上恒成立，所以， 所以在上单调递增， 又由， 所以函数为偶函数，则在上单调递减， 又由，即，即， 整理得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正相关、百分位数、的概念可判断A、B；将代入求解即可判断C；设，通过计算估算的关系即可判断D. 【详解】对于A，人工智能的市场规模随年份增大而增大，故是正相关关系，故A正确； 对于B，分位数是从小到大第9个和第10个数据的平均数，即，故B错误； 对于C，因为，即，故C错误； 对于D，设，则，故的年增长率约为，故D正确. 故选：AD. 10. 定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的周期为4 C. D. 设，则和的图象所有交点横坐标之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】A：将变形为即可判断； B：根据、的大小关系可作出判断； C：根据B中计算出的周期化简，结合的奇偶性可判断结果； D：先分析，的图象的对称性，然后作出，在同一坐标系下的图象，根据图象的交点个数作出判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为，所以. 又因为是R上的奇函数，所以，所以， 所以，所以的周期为，又因为， 所以，所以的周期不可能为，故B错误； 对于C：因为的周期为，， 因为是R上的奇函数，所以， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以的图象关于对称，， 所以，所以的图象也关于对称， 作出，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示： 由图象可知：，的交点关于对称，且交点个数为大于等于2的偶数， 所以当且仅当，的图象仅有两个交点时，所有交点横坐标之和才为，故D错误. 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是的中点，则下列结论正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点在侧面上运动路径的长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出的体积，即可判断A，过点作，则点是的中点，连接，取的中点，连接，，，即可证明平面，从而得到点的轨迹是线段，再求出的最值，即可判断BC，过作平面，利用勾股定理即可得到点的轨迹判断D. 【详解】对于A：    三棱锥的体积为， 因为点是的中点，所以的面积是定值， 且点到平面的距离是正方体的棱长， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B：    过点作，则点是的中点，连接，取的中点，连接，，， 因为且，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又，所以，又， 所以，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，因为平面平面，又， 所以点的轨迹是线段， 在中，，，， 所以的最大值为，此时与重合，故B正确； 对于C：在中，， 所以， 所以点到的距离为， 所以的最小值为，故C正确． 对于D：过作平面，交于，连接， 因为，，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧， 故点在侧面上运动路径的长度为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则______. 【答案】或2 【解析】 【分析】根据给定分段函数，分类代入求解即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得，综上，或2. 故答案为：或2. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域为， 则在中，，解得， 令，解得， 综上所述定义域为. 14. 关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程化简变形为含参数的表达式，通过分离参数，转化为函数图象的交点问题，再由导数即可求解． 【详解】因为关于的方程有3个不同的实数根， 所以 ， 可得，解得，或，解得， 令，则， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得极小值，此时，因为原方程有3个不同实根，已知为1个根， 因此需要有2个不同实根，当时，，当时，， 因此当时，无实根；当时，有1个实根，不符合题意； 当时，在，上分别有1个实根， 共2个实根，均不等于0，则原方程总根数为3，符合题意； 当时，的根为，原方程总根数为2，不符合题意； 当且时，有1个实根，原方程总根数为2，不符合题意， 当时，有1个实根为，原方程总根数为1，不符合题意， 故实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高三年级为了解学生是否喜欢数学课与性别的关系，在高三年级中随机抽取了100名学生进行调查．所有被调查学生需从“喜欢”和“不喜欢”中选择一项，调查数据如下表所示． 喜欢 不喜欢 合计 男生 20 30 50 女生 36 14 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生是否喜欢数学课与性别是否有关； （2）从上述接受调查的男生中，按照是否喜欢数学课进行分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，设抽取的2人中喜欢数学课的人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）学生是否喜欢数学课与性别有关 （2）的分布列为： 0 1 2 的数学期望为． 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验，利用卡方的计算公式求出卡方，比较判断即可； （2）通过判断随机变量服从超几何分布，利用超几何分布公式计算概率与数学期望即可． 【小问1详解】 设零假设：学生是否喜欢数学课与性别无关． ， 因为，所以依据小概率值的独立性检验，有充分证据认为学生是否喜欢数学课与性别有关． 【小问2详解】 容易知道抽取的5人中，喜欢数学的男生有2人，不喜欢数学的男生有3人， 从这5人中随机抽取2人，设为其中喜欢数学的人数，则服从超几何分布， 所以，， 于是有，，， 所以的分布列为： 0 1 2 的数学期望为． 16. 命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 17. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，求的零点个数． 【答案】（1）当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）当时，的零点个数为1． 【解析】 【分析】（1）函数定义域为，求导，讨论的范围，通过导数的正负确定函数的单调性； （2）通过求导，讨论以确定导数的正负，研究函数的单调性和极值，结合函数零点存在性定理确定函数的零点个数． 【小问1详解】 的定义域为，， 令，得或， 当时，令得，令得； 所以在单调递减，在单调递增； 当时，令得，令得或； 所以在单调递减，在单调递增； 当时，，所以在单调递增； 当时，令得，令得或； 则在单调递减，在单调递增； 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 由（1）得，因为，所以 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极小值为，极大值为； 以下讨论的正负， ，设， 则，得；，得； 所以在单调递增，在单调递减； 所以恒成立， 所以在单调递减，因为，所以恒成立； 又当时，，故在上只有一个零点； 当时，在单调递增且连续，，， 故在上只有一个零点； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以极大值为，极小值为，又当时，， 故在上只有一个零点； 综上所述，当时，函数的零点个数为1． 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在四棱锥中，由正方形，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则，由为的中点，， 得，又平面，所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理得证. （2）（ⅰ）利用线面平行的判定、性质，结合线线角的意义确定所求角，再利用余弦定理求解；（ⅱ）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由，平面，平面，得平面， 又平面与平面的交线为，平面，则， 则直线与直线所成的角是或其补角， 在平面内过点作交的延长线于点，连接， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，而，， 则， 在中，由余弦定理得，， 所以直线与直线所成角的正弦值. （ⅱ）作，由（ⅰ）得平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，设平面的法向量， 则，令，得，而， 由直线与平面所成的角为，得，解得， 所以存在点使直线与平面所成的角为，此时. 19. 两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为． （1）求和； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1）， （2） 用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件， 则有． 对相同字母的卡片进行交换可知． 假设第一个盒子里装有卡片X，Y，Y，第二个盒子里装有卡片X，Z，Z， 注意到两个盒子中都有两张相同字母的卡片， 因此，只需用第一个盒子中的任意一张写有字母Y的卡片交换第二个盒子中的任意一张写有字母Z的卡片即可变为两个盒子中都是A，B，C三种字母的卡片各一张的状态． 所以． 再由全概率公式可得， 于是，．故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，． 从而有． （3） 由于， 于是． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，当1次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母，则为两个盒子中相同字母的卡片进行交换，从而求得概率；当2次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母，分别求得两次都交换相同字母的卡片的概率和第1次交换的是不同字母的卡片，第二次将其换回的概率，求和即可求得概率； （2）用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件，则有，可知，．再由全概率公式可得，由递推关系求得，即可进行证明. （3）利用放缩法可得，故，再结合等比求和公式，即可进行证明. 【小问1详解】 对两个盒子中相同字母的卡片进行交换，则． 若第1次交换的是相同字母的卡片，则第二次仍需将两个盒子中相同字母的卡片进行交换， 此时概率为． 若第1次交换的是不同字母的卡片，有种情况， 不妨设将第一个盒子中的A和第二个盒子中的B进行交换， 则第二次需要将第一个盒子中的B和第二个盒子中的A进行交换， 此时概率为．于是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年莆田五中高三上学期第一次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，；则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 7. 已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数,则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 10. 定义在R上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的周期为4 C. D. 设，则和的图象所有交点横坐标之和为 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是的中点，则下列结论正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点在侧面上运动路径的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，则______. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 14. 关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高三年级为了解学生是否喜欢数学课与性别的关系，在高三年级中随机抽取了100名学生进行调查．所有被调查学生需从“喜欢”和“不喜欢”中选择一项，调查数据如下表所示． 喜欢 不喜欢 合计 男生 20 30 50 女生 36 14 50 合计 56 44 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生是否喜欢数学课与性别是否有关； （2）从上述接受调查的男生中，按照是否喜欢数学课进行分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，设抽取的2人中喜欢数学课的人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，求的零点个数． 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，为的中点，且，． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为． （ⅰ）求直线与直线所成角的正弦值； （ⅱ）若为直线上的动点，且满足，是否存在点使直线与平面所成的角为？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由． 19. 两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母，大小相同的卡片各一张．每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为． （1）求和； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $