精品解析：福建三明市尤溪县第七中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

尤溪七中2026-2027学年上学期第一次月考试卷 高三数学 考试时间：120分钟 满分：150分 审核：高三数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知向量，若，则（ ） A. -5 B. C. D. 5 4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 8. 过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数，均不为0，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，取最小值 C. 数列是等比数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则____ 13. 数列满足，则___________． 14. 已知函数，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 16. 某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下： 50岁以下 50岁及以上 合计 支持态度的人数 160 60 220 不支持态度的人数 50 30 80 合计 210 90 300 （1）根据小概率值的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联； （2）以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 在数列中，，，． （1）证明：是等比数列； （2）求的前n项和． 18. 已知的三个内角所对的边分别为的面积为，且． （1）求角的大小． （2）若，求的值． （3）若，点是线段上一点，求内角平分线的长． 19. 已知函数，． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尤溪七中2026-2027学年上学期第一次月考试卷 高三数学 考试时间：120分钟 满分：150分 审核：高三数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义进行计算即可. 【详解】由，得． 故选：D． 2. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再由复数模长计算公式求结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知向量，若，则（ ） A. -5 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量的坐标运算求解，然后再根据向量垂直的判断条件求解参数即可. 【详解】由题意可得，则， 即，解得． 故选：C 4. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出后，利用三角函数对称性计算即可得. 【详解】， 由为偶函数，则，解得， 当时，，故的值可以是. 故选：D. 5. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，， 则，解得， 所以. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出，代入两角差的余弦公式即可. 【详解】由题意可得， 即，， 故. 故选：A. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 8. 过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出切线方程，将点代入切线方程，转化为交点问题，结合导数分析函数单调性，求出参数范围即可. 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程， 而过，将代入方程得到， 令，， 令，，此时单调递减， 令，，此时单调递增， 故有极小值，有极大值， 则得到，故A正确. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数，均不为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先依题意设，，然后根据复数的四则运算法则，复数模长公式及共轭复数的定义对选项进行逐一计算并判断正误即可. 【详解】设，，，则，． 对于A选项，因为， ，所以．故A正确． 对于B选项，因为，，所以，故B正确． 对于C选项，因为，， 所以不一定成立，故C错误． 对于D选项，因为，， 所以，故D正确． 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用，结合基本不等式，可判定A不正确；化简得到，结合基本不等式，可判定B正确；由，结合对数的运算性质，可判定C不正确；由，设，利用导数求得函数的单调性，结合，可判定D正确. 【详解】对于A，由且，因为，可得， 当且仅当，等号成立， 又由，所以A不正确； 对于B，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，由A知：，则，所以C不正确； 对于D，由，可得，则， 设，可得， 所以在上单调递增，且，所以，即，所以D正确. 故选：BD. 11. 已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，取最小值 C. 数列是等比数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式、等比数列的性质，结合韦达定理及数列的函数性质求解即可. 【详解】对于A，设等差数列的首项为，则，. 可将，看作方程的两根，解得或. 因为，所以，故，. 公差，. 故通项公式为，A正确. 对于B，，这是开口向上的二次函数，对称轴. 因为，所以当或时，均取最小值，B错误. 对于C，令，则， 所以是首项为、公比为4的等比数列，C正确. 对于D，令，解得， 当时，；当时，， 易知，，，，，，，，，， 所以，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则____ 【答案】 【解析】 【详解】因为是奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 13. 数列满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推公式求出周期，利用周期即可求解. 【详解】由， 所以，， 所以数列是以4为周期的周期数列， 又，所以， 故答案为：. 14. 已知函数，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求得函数的导数，利用导数求得函数在一个周期内的单调性，进而求得函数的最值，得到答案． 【详解】由题意，函数，则， 令，即，解得， 当时，的单调增区间为，单调减区间为， 又由，， 可得在一个周期内，函数最大值为，即函数的最大值为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，求c的值． 【答案】（1），， （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质求解即得； （2）结合条件求出角，再由余弦定理即可求得. 【小问1详解】 由 ， 故该函数的最小正周期为， 对称轴方程满足，解得，． 故函数的最小正周期为；对称轴方程为，． 【小问2详解】 由得，即， ，则，故，解得， 由余弦定理得，代入得， 化简得，解得或，经检验均符合题意． 故或. 16. 某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下： 50岁以下 50岁及以上 合计 支持态度的人数 160 60 220 不支持态度的人数 50 30 80 合计 210 90 300 （1）根据小概率值的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联； （2）以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． （2） X 0 1 2 3 4 P 【解析】 【16题详解】 零假设：所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． 根据列联表中的数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联． 【17题详解】 在50岁及以上的人群中持支持态度的频率为， 所以估计该社区50岁及以上的人群中持支持态度的概率为， 由题意知， 所以，， ，， ． 其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以（或）． 17. 在数列中，，，． （1）证明：是等比数列； （2）求的前n项和． 【答案】（1）证明：因为，所以， 又，所以，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，所以． 所以 ． 18. 已知的三个内角所对的边分别为的面积为，且． （1）求角的大小． （2）若，求的值． （3）若，点是线段上一点，求内角平分线的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，三角形面积公式及同角三角函数的关系即可求解； （2）根据三角形面积公式得出，结合及余弦定理即可求解； （3）根据平面向量数量积的定义得出，再根据角平分线的性质及平面向量线性运算得出，由平面向量数量积的运算律即可求解． 【小问1详解】 由余弦定理得，三角形面积， 代入已知等式得， 又 ，故． 【小问2详解】 由，得， 又，则， 由余弦定理得， 解得（负根舍去）． 【小问3详解】 因为， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以， 则， 故． 19. 已知函数，． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程； （2）求出函数的导数，分类讨论解不等式即可得出函数的单调区间； （3）先根据题意，得到在上恒成立，只需在上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 若，则，则，. ，所以切点坐标为，切线斜率为， 曲线在点处的切线方程为. 化简可得：. 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以， 当时，恒成立， 所以函数在单调递增； 当时，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 若，都有，即， 即在上恒成立，令，， 由题意，只需当时，即可， 令， 因为当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $