专题4.1 平均数（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题4.1 平均数（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 求一组数据的算术平均数】 2 【题型2 由算术平均数求未知数据的值】 3 【题型3 利用已知算术平均数求相关数据的算术平均数】 5 【题型4 利用算术平均数进行决策】 7 【题型5 求一组数据的加权平均数】 10 【题型6 由加权平均数求未知数据的值】 11 【题型7 利用加权平均数进行决策】 13 【题型8 出错情况下的平均数问题】 16 【题型9 分布式计算】 18 考点1 算术平均数 知识点1 算术平均数 1. 一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 【题型1 求一组数据的算术平均数】 【例1】（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【详解】解：． 【变式1-1】（25-26七年级下·北京石景山·期末）某班20名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如下所示： 服务时长 15 16 20 人数 4 10 6 这20名同学社区服务的平均时长是__________． 【答案】17 【详解】解：这名同学社区服务的平均时长为：． 【变式1-2】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了3次，成绩如图所示，则这3次射击成绩的平均数是____________． 【答案】8 【分析】根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：这3次射击成绩为7，9，8， ∴这3次射击成绩的平均数是 ． 【变式1-3】（25-26七年级上·北京·阶段检测）已知有4个数，从这4个数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，对所有不同的组合进行这样的操作，可以得到4个数：4，6， 和，则原来给定的4个数中最大的那个数是 ________． 【答案】4 【分析】本题考查了平均数相关的知识点，设四个数分别为 ，和为 ，根据操作可得四个表达式之和为 ，代入给定值求和得 ，再根据每个表达式与对应数的关系，求出四个数分别为 1、2、3、4，最大值为 4． 【详解】解：设四个数分别为 ，和为 ， 任意选出三个数求平均值后与余下数相加，可得四个表达式： ， 这些表达式的值分别为 4、6、、， 四个表达式之和为： 给定值之和为：， 所以，解得， 由每个表达式（其中 为某个数， 为对应值），代入 得， 解得， 分别代入给定值： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故四个数为 1、2、3、4，最大值为 4． 故答案为：4． 【题型2 由算术平均数求未知数据的值】 【例2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）某班六个兴趣小组的人数如下：．已知这组数据的平均数是5，则x的值为______． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，这组数据的总和除以这组数据的个数即得5，列方程求解的值． 【详解】解： 这组数据的平均数是，数据个数为， 根据平均数的定义可得 ， 等式两边同乘得 ， 移项解得 ． 故答案为． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川自贡·期末）若一组数据的平均数为，数据总和为，则这组数据的个数为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， 这组数据的个数为． 【变式2-2】（25-26七年级上·重庆·开学考试）小强练习投铅球，共投了5次，去掉一个最好成绩和一个最差成绩，则平均成绩为9.37米；去掉一个最好成绩，则平均成绩为9.51米；去掉一个最差成绩，则平均成绩为9.77米．小强最好成绩与最差成绩相差______米． 【答案】 【分析】通过去掉不同成绩后的平均成绩，求出相应的总成绩，进而得出最好成绩和最差成绩，最后计算两者差值．本题主要考查了平均数的应用，熟练掌握平均数与总成绩的换算关系（总成绩 = 平均成绩×次数）是解题的关键． 【详解】解：设5次成绩分别为（最差）、、、、（最好）． 去掉最好和最差，总成绩为 ，即 ． 去掉最好，总成绩为 ，即 ， 所以 ． 去掉最差，总成绩为 ，即 ， 所以 ． 最好成绩与最差成绩相差： 故答案为： ． 【变式2-3】（2026·江苏镇江·中考真题）将一组数据从左到右按序排列，第1个数是，第2个数是，从第2个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数．这组数据中前10个数的和为__________． 【答案】 【分析】根据题目条件，可依次求出前10个数，再计算求和即可． 【详解】解：设这组数据从左到右依次为， 由题意得，， ∵从第个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数， ∴对任意，有，整理得， 依次计算得：， ， ， ， ， ， ， ， 则前10个数的和： ． 【题型3 利用已知算术平均数求相关数据的算术平均数】 【例3】（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 【答案】7 【分析】先根据平均数的定义求出原数据的总和，再整理得到新数据的总和，最后根据平均数定义计算新数据的平均数． 【详解】解：由题意，根据平均数的定义，原数据满足 新数据的总和为 新数据共有个，因此新数据的平均数为． 【变式3-1】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）若一组数据，，…，的平均数是5，则数据，，…，的平均数是________． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，原数据之和为50，求出，再求平均数． 【详解】解：的平均数是5， ， ， ， ， ， 数据的平均数是2． 【变式3-2】（25-26八年级下·河南许昌·期末）已知一组数据，，的平均数是8，方差是3，则另一组数据，，的平均数和方差分别是（     ） A．17，12 B．17，11 C．16，12 D．16，11 【答案】A 【详解】解：∵一组数据，，的平均数是8，方差是3， ∴，， ∴，， ∴新三个数据的平均数为； 新三个数据的方差为 ． 【变式3-3】数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【答案】A 【分析】此题考查了平均数的定义，首先根据题意得到，求出，然后根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵，，的平均值是333， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 【题型4 利用算术平均数进行决策】 【例4】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）四位同学练习投实心球，每人投3次．下图记录了他们每人投球的情况，3次投球的平均成绩最接近的同学是（     ） A．小伟 B．小军 C．小华 D．小亮 【答案】A 【分析】利用平均数反映数据集中趋势的特点，通过观察数据点相对于基准线的分布位置进行估算． 【详解】解：观察图形可知，小军、小华、小亮的投球成绩点主要分布在线的左侧， ∴他们的平均成绩明显小于， 而小伟的投球成绩点分布在线的两侧，且偏离程度较小， ∴小伟的平均成绩最接近． 【变式4-1】（25-26八年级下·云南临沧·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩（单位：分）如下表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 乙 如果公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，则被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．两人均可能 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵笔试成绩与面试成绩同等重要， 甲的平均成绩为（分），乙的平均成绩为（分）， ∴两人平均成绩相同， 两人均可能被录用． 【变式4-2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）甲、乙、丙、丁四位同学去超市购买糖果，他们各自购买糖果的种类、价格和数量如下表所示．若要比较他们购买糖果的平均价格，则平均价格最低的同学是（     ） 甲 乙 丙 丁 10元/包 1 1 2 3 8元/包 2 1 2 2 6元/包 3 4 2 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据平均数的概念求解即可． 【详解】解：甲的平均价格为：.（元） 乙的平均价格为：（元） 丙的平均价格为：（元） 丁的平均价格为：（元） 则平均价格最低的同学是：乙． 【变式4-3】（2025·浙江温州·三模）2022年温州市初中毕业升学考试各学科及满分值情况如下表： 科目 语文 数学 英语 科学 社会 体育 满分值 150 150 120 180 80 40 若以去年三校录取分600分为参考，以此算出平均得分率，则数学这门学科能上三校的平均得分至少是______分． 【答案】 【分析】先计算所有科目的总满分，再根据参考录取总分算出平均得分率，最后用数学满分乘平均得分率得到结果； 【详解】解：先计算所有科目的总满分：， 平均得分率为参考录取总分除以总满分：， 数学满分是， 因此数学能上三校的平均得分至少为：． 考点2 加权平均数 知识点2 加权平均数 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 【题型5 求一组数据的加权平均数】 【例5】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 【答案】92 【详解】解：根据权重计算总评成绩，列式得 ， 因此小丽本学期的总评成绩为92分． 【变式5-1】（25-26八年级下·北京丰台·期末）某学校为了引入一款适合学生使用的智能学习助手，决定从五个维度对候选产品进行测试评分，相关信息如下： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重（比例） 候选产品实测打分 根据以上信息，候选产品的最终得分是_________分． 【答案】 【分析】将每个维度的得分乘以对应权重，再求和即可得到最终加权得分． 【详解】解：据图表可知， 最终得分， 故候选产品的最终得分为分． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图是我国古代的一种铜制货币，其中质量为的有2枚，的有2枚，的有1枚，则这组铜钱质量的平均数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：这组铜钱质量的平均数为． 【变式5-3】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）某校按德、智、体、美、劳五个方面，占比为确定期末操行的最终成绩，王红本学期五方面的得分如图所示（单位：分），则王红期末操行的最终成绩为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从雷达图中读取德、智、体、美、劳五个方面的得分，结合给定的权重比，利用加权平均数公式计算即可得出最终成绩． 【详解】解：由图可知，王红在德、智、体、美、劳五个方面的得分分别为 分 德、智、体、美、劳的占比为 ， （分）． 【题型6 由加权平均数求未知数据的值】 【例6】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 【变式6-1】（25-26八年级下·湖南怀化·期末）一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出方程解决，因此掌握加权平均数的计算公式是关键． 【变式6-2】（2025八年级上·全国·专题练习）王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下∶ 西瓜质量/千克 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜个数/个 1 2 3 2 1 1 根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是________千克． 【答案】3125 【分析】根据表格，算出加权平均数，然后再估计这亩地的西瓜质量即可. 【详解】解:（千克）， （千克）． 故答案为：3125 【点睛】本题考查加权平均数的应用，根据公式解题是关键． 【变式6-3】（25-26八年级下·山西·期末）小敏同学第二学期数学前三次考试的成绩的分别是：阶段一得分：90分；期中的得分100分，阶段三得分95分，如果按照如图所示的权重，小敏同学第二学期总评成绩要想不低于98分，则期末数学至少要考______________分（满分120分） 【答案】100； 【分析】根据平均成绩的求解方法列出不等式计算即可； 【详解】设期末数学成绩为x， 则， ， ∴至少需要考100分． 故答案是100． 【点睛】本题主要考查了数据的分析知识点应用，准确理解计算是解题的关键． 【题型7 利用加权平均数进行决策】 【例7】（25-26八年级上·福建三明·阶段检测）某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是A，B两个商家四项得分的情况：如果某顾客将以上四项得分按计算，那么他会选择商家________（填“A”或“B”） 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.6 4.8 4.5 4.1 【答案】 B 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据给定的权重比例计算商家A和B的综合得分，并比较大小． 【详解】解：商家A的加权总分：， 商家B的加权总分：， ∵， ∴顾客会选择商家B． 故答案为：B． 【变式7-1】（2021·福建·中考真题）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：          项目作品 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】利用加权平均数计算总成绩,比较判断即可 【详解】根据题意,得: 甲：90×60%+90×40%=90； 乙：95×60%+90×40%=93； 丙：90×60%+95×40%=92； 丁：90×60%+85×40%=88； 故选B 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 【变式7-2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）某公司招聘职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行测试．测试结果如下表（各项满分均为10分)； 应聘者 项目 甲 乙 丙 丁 学历 7 9 7 8 学历 9 8 8 8 工作态度 9 7 9 8 如果将学历、经验和工作态度三项得分按的比例确定各人的最终得分，并以此为依据录取得分最高者，那么将被录取的是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据加权平均数的概念分别计算出四人的平均得分，从而得出答案． 【详解】解：甲的平均得分为（分， 乙的平均得分为（分， 丙的平均得分为（分， 丁的平均得分为（分， 甲将被录取， 故选：． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【变式7-3】（2026·河南平顶山·三模）某汽车杂志使用计分系统对新车进行评价，综合得分最高的汽车被授予“年度风云汽车”称号，规定非常好赋3分，良好赋2分，一般赋1分，安全性能、省油、外观、内部配饰各项得分按的比例计算最终得分，有四款新车参与评价，结果如下： 参评汽车 评分项 安全性能 省油 外观 内部配饰 A 非常好 一般 良好 一般 B 一般 非常好 非常好 非常好 C 非常好 良好 一般 一般 D 良好 非常好 非常好 良好 则获得“年度风云汽车”称号的汽车是_____．（请填写A，B，C或D） 【答案】D 【详解】解：汽车最终得分为（分）， 汽车最终得分为（分）， 汽车最终得分为（分）， 汽车最终得分为（分）， ∵， ∴D汽车综合得分最高，则获得“年度风云汽车”称号的汽车是D． 【题型8 出错情况下的平均数问题】 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为150，那么由此求出的平均数比实际平均数多____． 【答案】1.5 【详解】求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为150，即使总和多了45， 那么由此求出的这组数据的平均数与实际平均数的差是45÷30=1.5． 故答案为1.5． 【点睛】本题考查了平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标． 【变式8-1】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 【变式8-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）在某市一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分(如下表)，但他记得这组运动员成绩的众数为1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是x＝____米(精确到0.01米)． 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数/人 2 3 2 3 1 1 【答案】1.69 【分析】根据已有12人的成绩，且这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员，可知成绩为1.75米的有4人，成绩为1.90米的有1人，根据这些信息，就可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩． 【详解】根据题意可知，成绩为1.75米的有4人，成绩为1.90米的有1人， 所以这17名运动员的平均跳高成绩是 x＝(1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4+1.80+1.85+1.90)÷17≈1.69(米). 故答案为1.69. 【点睛】本题考查加权平均数, 众数. 【变式8-3】下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%”小林核算了语文成绩：80×30%＋80×40%＋70×30%＝77，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林数学平时成绩是__________分． 学科 期中成绩 期末成绩 平时成绩 学期总成绩 语文 80 80 70 77 数学 80 75 78 英语 90 85 90 88 【答案】80 【分析】设小林数学平时成绩是分，根据小林学期总成绩期中成绩平时成绩期末成绩，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】设小林数学平时成绩是分，由题意，得 ， 解得． 即小林数学平时成绩是80分． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，平均数等于所有数据的和除以数据的个数，权的大小直接影响结果． 考点3 分布式计算 知识点3 分布式计算 1. 分布式计算：先把任务分配给各个市场，由各个市场分别抽样，算出各市场样本的平均数，然后整合各个市场的样本数据，得到一个大样本的平均数． 2. 在大数据的情况下，分布式计算可以“把一个大任务分成许多小任务，分配给许多计算机进行处理”，从而“大大提高工作效率”． 3. 分布式计算中各子任务的“结果汇总”本质上就是加权平均；各子任务的数据量（或样本量）即为“权重”；子任务的局部平均数即为“数据值”． 分布式计算是加权平均数思想在信息技术领域的具体应用． 【题型9 分布式计算】 【例9】（25-26八年级下·全国·课后作业）某市初中毕业生进行了一项技能测试，有4万名学生的成绩都是不小于70的两位数，从中随机抽取4000名学生的成绩，统计如表，请根据表格中的信息，估计这4万名学生成绩的平均数为（    ） 成绩x/分 个数 800 2000 1200 平均数/分 78 85 92 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】先计算抽取的4000名学生成绩的样本平均数，再利用样本平均数估计4万名学生成绩的总体平均数即可得． 【详解】解：∵样本平均数为 ． ∴用样本平均数估计总体平均数，这4万名学生成绩的平均数约为85.7分． 故选：B． 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的1500户家庭中随机抽取了30户家庭的月用水量（一个月按30天计算），结果如下表所示： 月用水量/t 3 4 5 7 8 9 10 户数 4 3 5 11 4 2 1 (1)求这30户家庭月用水量的平均数． (2)根据上述数据，试估计该社区的月用水量． 【答案】(1) (2)9300t． 【分析】本题主要考查平均数的计算方法，以及利用样本估计总体，正确计算是解题的关键． （1）根据加权平均数计算平均数即可； （2）根据样本平均数估计总体平均数，从而计算该社区的月用水量． 【详解】（1）解：． 答：这户家庭月用水量的平均数为． （2）， 估计该社区的月用水量是． 【变式9-2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)问这次被抽检的电动汽车共有几辆？ (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中C等级的圆心角的度数？ (3)估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？ 【答案】(1)100辆 (2)补全条形统计图见详解， (3)这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为 217 千米 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图和加权平均数的定义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据条形统计图和扇形统计图可知，将一次充电后行驶的里程数分为等级的有 30 辆电动汽车，所占的百分比为，用即可求出电动汽车的总量； （2）根据各组频数之和等于总数求得的频数，即可补全统计图，用 360 乘以等级所占比例； （3）用总里程除以汽车总辆数，即可解答． 【详解】（1）解：这次被抽检的电动汽车共有辆； （2）解：等级汽车数量为辆， 补全条形图如下： 等级对应的圆心角度数为； （3）解：估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为（千米）， 答：估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为 217 千米． 【变式9-3】（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，从初中三个年级随机抽取了30名学生，进行了航天知识竞赛，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，部分信息如下： 【收集数据】 测试成绩在这一组的是：71，72，74，74，75，75，76，79 【整理数据】 30名学生航天知识测试成绩的频数分布直方图如下： （数据分成6组：，，，，，）： 【分析数据】所抽取的30名学生中，各年级被抽取学生测试成绩的平均数如下表： 年级 七 八 九 人数 8 12 10 平均数 69.5 72.0 77.0 根据以上信息回答下列问题： (1)测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级618名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数； (3)求被抽取30名学生的平均测试成绩． 【答案】(1)74 (2)206 (3)73分 【分析】本题考查了频数分布直方图，掌握统计的基本量的意义是解题的关键． （1）根据样本的优秀率估计总体的优秀率； （2）根据平均数的意义求解． 【详解】（1）解：， 答：估计优秀的学生大约为206人； （3）解：（分）， 答：被抽取30名学生的平均测试成绩为73分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 平均数（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 求一组数据的算术平均数】 2 【题型2 由算术平均数求未知数据的值】 2 【题型3 利用已知算术平均数求相关数据的算术平均数】 3 【题型4 利用算术平均数进行决策】 3 【题型5 求一组数据的加权平均数】 5 【题型6 由加权平均数求未知数据的值】 6 【题型7 利用加权平均数进行决策】 7 【题型8 出错情况下的平均数问题】 8 【题型9 分布式计算】 9 考点1 算术平均数 知识点1 算术平均数 1. 一般地，对于n个数，，，，我们把叫作这n个数的算术平均数，简称平均数，记为，即． 2. 算术平均数的意义 反映一组数据的集中趋势，是度量一组数据波动大小的基准． 3. 算术平均数的特征 （1）一组数据的平均数是唯一的，与数据的排列顺序无关； （2）平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动，且容易受极端值的影响． 4. 若，，，的平均数为，则有如下结论： （1），，，的平均数为； （2），，，的平均数为； （3），，，的平均数为． 【题型1 求一组数据的算术平均数】 【例1】（2026·江苏徐州·模拟预测）每年6月6日是全国爱眼日，在迎接第31个全国“爱眼日”来临之际，某校开展“用眼有度，‘睛’彩一生”手抄报评比，其中七年级8个班得分为：9，8，8，9，7，9，10，8，那么这组数据的平均数为（     ） A．8 B．8.5 C．9.5 D．10 【变式1-1】（25-26七年级下·北京石景山·期末）某班20名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如下所示： 服务时长 15 16 20 人数 4 10 6 这20名同学社区服务的平均时长是__________． 【变式1-2】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了3次，成绩如图所示，则这3次射击成绩的平均数是____________． 【变式1-3】（25-26七年级上·北京·阶段检测）已知有4个数，从这4个数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，对所有不同的组合进行这样的操作，可以得到4个数：4，6， 和，则原来给定的4个数中最大的那个数是 ________． 【题型2 由算术平均数求未知数据的值】 【例2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）某班六个兴趣小组的人数如下：．已知这组数据的平均数是5，则x的值为______． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川自贡·期末）若一组数据的平均数为，数据总和为，则这组数据的个数为___________． 【变式2-2】（25-26七年级上·重庆·开学考试）小强练习投铅球，共投了5次，去掉一个最好成绩和一个最差成绩，则平均成绩为9.37米；去掉一个最好成绩，则平均成绩为9.51米；去掉一个最差成绩，则平均成绩为9.77米．小强最好成绩与最差成绩相差______米． 【变式2-3】（2026·江苏镇江·中考真题）将一组数据从左到右按序排列，第1个数是，第2个数是，从第2个数开始，每个数都是与它相邻的两个数的平均数．这组数据中前10个数的和为__________． 【题型3 利用已知算术平均数求相关数据的算术平均数】 【例3】（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一组数据，，，的平均数为7，则另一组数据，，7，，的平均数是_______． 【变式3-1】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）若一组数据，，…，的平均数是5，则数据，，…，的平均数是________． 【变式3-2】（25-26八年级下·河南许昌·期末）已知一组数据，，的平均数是8，方差是3，则另一组数据，，的平均数和方差分别是（     ） A．17，12 B．17，11 C．16，12 D．16，11 【变式3-3】数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【题型4 利用算术平均数进行决策】 【例4】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）四位同学练习投实心球，每人投3次．下图记录了他们每人投球的情况，3次投球的平均成绩最接近的同学是（     ） A．小伟 B．小军 C．小华 D．小亮 【变式4-1】（25-26八年级下·云南临沧·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，成绩（单位：分）如下表： 应聘者成绩 应聘者 笔试 面试 甲 乙 如果公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，则被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．两人均可能 D．无法确定 【变式4-2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）甲、乙、丙、丁四位同学去超市购买糖果，他们各自购买糖果的种类、价格和数量如下表所示．若要比较他们购买糖果的平均价格，则平均价格最低的同学是（     ） 甲 乙 丙 丁 10元/包 1 1 2 3 8元/包 2 1 2 2 6元/包 3 4 2 1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式4-3】（2025·浙江温州·三模）2022年温州市初中毕业升学考试各学科及满分值情况如下表： 科目 语文 数学 英语 科学 社会 体育 满分值 150 150 120 180 80 40 若以去年三校录取分600分为参考，以此算出平均得分率，则数学这门学科能上三校的平均得分至少是______分． 考点2 加权平均数 知识点2 加权平均数 1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．“权”是一组数据中各数据所占的比重，反映了某个数据的重要程度． 2. 若n个数中，出现次，出现次，，出现次（其中），则由平均数的定义可得其平均数为，该平均数称为该组数据的加权平均数．其中的权为，的权为，，的权为． 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 用法的区别 ①在实际问题中，当各数据的权相等时，计算平均数要采用算术平均数；②在实际问题中，当各数据的权不相等时，计算平均数就要采用加权平均数 影响因素的区别 ①算术平均数易受极端值的影响；②加权平均数受总体中各数据所占权重的大小和各数据出现的次数（频数）的影响 联系 算术平均数是各数据的权相等时的加权平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况，但加权平均数不一定是算术平均数 【题型5 求一组数据的加权平均数】 【例5】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为90分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是___________分． 【变式5-1】（25-26八年级下·北京丰台·期末）某学校为了引入一款适合学生使用的智能学习助手，决定从五个维度对候选产品进行测试评分，相关信息如下： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重（比例） 候选产品实测打分 根据以上信息，候选产品的最终得分是_________分． 【变式5-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图是我国古代的一种铜制货币，其中质量为的有2枚，的有2枚，的有1枚，则这组铜钱质量的平均数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）某校按德、智、体、美、劳五个方面，占比为确定期末操行的最终成绩，王红本学期五方面的得分如图所示（单位：分），则王红期末操行的最终成绩为（     ） A． B． C． D． 【题型6 由加权平均数求未知数据的值】 【例6】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-1】（25-26八年级下·湖南怀化·期末）一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【变式6-2】（2025八年级上·全国·专题练习）王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下∶ 西瓜质量/千克 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜个数/个 1 2 3 2 1 1 根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是________千克． 【变式6-3】（25-26八年级下·山西·期末）小敏同学第二学期数学前三次考试的成绩的分别是：阶段一得分：90分；期中的得分100分，阶段三得分95分，如果按照如图所示的权重，小敏同学第二学期总评成绩要想不低于98分，则期末数学至少要考______________分（满分120分） 【题型7 利用加权平均数进行决策】 【例7】（25-26八年级上·福建三明·阶段检测）某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和环境．以下是A，B两个商家四项得分的情况：如果某顾客将以上四项得分按计算，那么他会选择商家________（填“A”或“B”） 商家 口味 服务 性价比 环境 A 4.5 4.7 4.2 4.8 B 4.6 4.8 4.5 4.1 【变式7-1】（2021·福建·中考真题）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：          项目作品 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式7-2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）某公司招聘职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行测试．测试结果如下表（各项满分均为10分)； 应聘者 项目 甲 乙 丙 丁 学历 7 9 7 8 学历 9 8 8 8 工作态度 9 7 9 8 如果将学历、经验和工作态度三项得分按的比例确定各人的最终得分，并以此为依据录取得分最高者，那么将被录取的是（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式7-3】（2026·河南平顶山·三模）某汽车杂志使用计分系统对新车进行评价，综合得分最高的汽车被授予“年度风云汽车”称号，规定非常好赋3分，良好赋2分，一般赋1分，安全性能、省油、外观、内部配饰各项得分按的比例计算最终得分，有四款新车参与评价，结果如下： 参评汽车 评分项 安全性能 省油 外观 内部配饰 A 非常好 一般 良好 一般 B 一般 非常好 非常好 非常好 C 非常好 良好 一般 一般 D 良好 非常好 非常好 良好 则获得“年度风云汽车”称号的汽车是_____．（请填写A，B，C或D） 【题型8 出错情况下的平均数问题】 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为150，那么由此求出的平均数比实际平均数多____． 【变式8-1】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【变式8-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）在某市一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送组委会时不慎被墨水污染掉一部分(如下表)，但他记得这组运动员成绩的众数为1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是x＝____米(精确到0.01米)． 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数/人 2 3 2 3 1 1 【变式8-3】下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%”小林核算了语文成绩：80×30%＋80×40%＋70×30%＝77，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林数学平时成绩是__________分． 学科 期中成绩 期末成绩 平时成绩 学期总成绩 语文 80 80 70 77 数学 80 75 78 英语 90 85 90 88 考点3 分布式计算 知识点3 分布式计算 1. 分布式计算：先把任务分配给各个市场，由各个市场分别抽样，算出各市场样本的平均数，然后整合各个市场的样本数据，得到一个大样本的平均数． 2. 在大数据的情况下，分布式计算可以“把一个大任务分成许多小任务，分配给许多计算机进行处理”，从而“大大提高工作效率”． 3. 分布式计算中各子任务的“结果汇总”本质上就是加权平均；各子任务的数据量（或样本量）即为“权重”；子任务的局部平均数即为“数据值”． 分布式计算是加权平均数思想在信息技术领域的具体应用． 【题型9 分布式计算】 【例9】（25-26八年级下·全国·课后作业）某市初中毕业生进行了一项技能测试，有4万名学生的成绩都是不小于70的两位数，从中随机抽取4000名学生的成绩，统计如表，请根据表格中的信息，估计这4万名学生成绩的平均数为（    ） 成绩x/分 个数 800 2000 1200 平均数/分 78 85 92 A．分 B．分 C．分 D．分 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的1500户家庭中随机抽取了30户家庭的月用水量（一个月按30天计算），结果如下表所示： 月用水量/t 3 4 5 7 8 9 10 户数 4 3 5 11 4 2 1 (1)求这30户家庭月用水量的平均数． (2)根据上述数据，试估计该社区的月用水量． 【变式9-2】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200千米，210千米，220千米，230千米，获得不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)问这次被抽检的电动汽车共有几辆？ (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中C等级的圆心角的度数？ (3)估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？ 【变式9-3】（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）为激发广大青少年了解航天知识的热情，某校组织了航天知识的相关讲座和课程，从初中三个年级随机抽取了30名学生，进行了航天知识竞赛，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，部分信息如下： 【收集数据】 测试成绩在这一组的是：71，72，74，74，75，75，76，79 【整理数据】 30名学生航天知识测试成绩的频数分布直方图如下： （数据分成6组：，，，，，）： 【分析数据】所抽取的30名学生中，各年级被抽取学生测试成绩的平均数如下表： 年级 七 八 九 人数 8 12 10 平均数 69.5 72.0 77.0 根据以上信息回答下列问题： (1)测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级618名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数； (3)求被抽取30名学生的平均测试成绩． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $