专题4.1 平均数【导图+知识卡片+知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册同步讲练

本讲义聚焦算术平均数与加权平均数核心知识点，系统梳理算术平均数的定义、计算及简化公式，加权平均数的权重意义与运算方法，构建数据集中趋势分析的基础框架，为后续离散程度学习提供知识支架。 资料含精编思维导图助力抽象能力培养，8个题型讲练（如利用平均数决策）强化运算与推理意识，中考真题及分层训练（基础夯实、培优拔高）提升数据应用能力。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生分层巩固，有效查漏补缺。

专题4.1 平均数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【苏科版数学新教材•九年级上册•第四章《数据的集中趋势和离散程度》】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 算术平均数加权平均数 2 知识点二 算术平均数加权平均数 3 题型讲练 3 题型一 求一组数据的平均数 3 题型二 已知平均数求未知数据的值 3 题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数 4 题型四 利用平均数做决策 4 题型五 求加权平均数 5 题型六 利用加权平均数求未知数据的值 6 题型七 运用加权平均数做决策 6 题型八 出错情况下的平均数问题 8 中考真题演练 9 难度分层训练 10 【基础夯实】 10 【培优拔高】 13 知识点一 算术平均数加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 特别说明：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 知识点二 算术平均数加权平均数 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平 均数. 特别说明：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 题型一 求一组数据的平均数 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）从新宁县月中随机抽取天的中午，记录这天时的气温（单位：），结果如下：，可估计该地这一个月中午时的平均气温为______． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·周测）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454g，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：g）如下：，，0，，0，0，，0，，．估计这批罐头质量的平均数为____________g． 题型二 已知平均数求未知数据的值 【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期末）若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为______． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北承德·期末）已知一组数据，2，4，1，6的平均数是3，则______． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）一组数据：4，5，5，6，a的平均数为5，则a的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若数据、、的平均数是2，则数据、、的平均数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是________ 【变式训练2】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知一组数据的平均数是3，那么另一组数据，，，，的平均数是___________． 题型四 利用平均数做决策 【典例精讲】（24-25八年级下·江西赣州·期末）根据需要，学校招聘一名老师，对A、B两名应聘者分别进行了教学能力、科研能力和表达能力三项测试，其中A、B两名应聘者的成绩如下表：（单位：分） 教学能力 科研能力 表达能力 A 83 87 88 B 94 82 76 (1)若根据三项测试的平均成绩在A、B两人中录用一人，那么谁将被录用； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和表达能力三项测试得分按5：3：2的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在A、B两人中录用一人，谁将被录用？ 【变式训练1】（2025·山西吕梁·三模）五一期间，文旅团举办了“孝义·最爱妈妈的城市”活动，数百名志愿者“红马甲”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“红马甲”，必须经过层层考验，下面是志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）． 项目 语言能力 综合素质 形象礼仪 服务经验 甲 10 9 9 8 乙 9 7 10 9 (1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“红马甲”？ (2)如果语言能力、综合素质、形象礼仪、服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选？ 【变式训练2】（24-25八年级下·江西新余·期末）在体操比赛中，往往在所有裁判给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分，个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）为：，，，，，． (1)请按照以上方法计算这组数据的平均数（结果精确到）； (2)请你解释用以上方法计算平均分的合理性． 题型五 求加权平均数 【典例精讲】今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小芳这四项的得分依次为88，95，92，90，则她的最后得分是________分． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）小明参加了学校广播站招聘广播员的三项素质测试，成绩（百分制）如下：写作65分、朗诵70分、创意设计80分．若写作、朗诵和创意设计的成绩分别按、、计算，则他的素质测试的最终成绩为（    ） A．71 B．72 C．73 D．74 【变式训练2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）某校学期末进行优秀学生评定，王花的“德”“智”“体”“美”得分分别是分、分、分、分，若按的比来计算加权平均分，则王花的得分是（　　） A．分 B．分 C．分 D．分 题型六 利用加权平均数求未知数据的值 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 【变式训练1】（2024·广东深圳·二模）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（　　） 环数 7 8 9 人数 2 ？ 3 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【变式训练2】（23-24八年级上·山西太原·阶段检测）坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列的知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表： 成绩 86 90 98 100 人数 1 3 1 已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型七 运用加权平均数做决策 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）学校需招聘一名教师，从专业知识、语言表达、组织协调三个方面对甲、乙两名应聘者进行了三项素质测试，他们各项测试成绩如表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 专业知识 75 93 语言表达 81 79 组织协调 84 72 (1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80分，请计算乙的平均成绩，如果按三项测试成绩的平均成绩较高的确定录用人选，那么谁将被录用？ (2)根据工作需要，学校将专业知识、语言表达、组织协调得分依次按的比例确定各人的最终测试成绩，再按得分较高的录用，那么谁将被录用？ 【变式训练1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中________将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 (1)若通过平均分来确定最终评分，小明会选择___________型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） (2)小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 题型八 出错情况下的平均数问题 【典例精讲】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【变式训练1】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【真题演练1】（2025·浙江温州·中考真题）学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小蒙 92 80 90 若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（    ） A．86 B．87 C．88 D．89 【真题演练2】（2025·河南·中考真题）某出租车公司共有、、三种型号的出租车若干台，其中型号的出租车8万元每台，型号的出租车10万元每台，型号的出租车12万元每台，、、三种型号的出租车所占比例为10％，30％，60％，则该出租车公司的所有出租车的平均成本为（    ）万元 A．11.2 B．9 C．10 D．11 【真题演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）本学期小明平时测验、期中考试和期末考试的数学成绩分别为92分、100分和110分，如果分别按、、的份额计算他本学期的数学总评分，那么他本学期的数学总评分是______分． 【真题演练4】（2025·江苏南通·中考真题）某校体育成绩考核采取综合评分法，由体育与健康行为、体能、知识与技能三个部分组成，分别按照，，的考核权重进行计算．已知某位同学的体育与健康行为得92分、体能得90分、知识与技能得86分，则这位同学的最终成绩为________分． 【真题演练5】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某工厂生产A、B、C、D四种产品．下面是该工厂这四种产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． 各产品年产量条形统计图 各产品年产量扇形统计图 根据上面的信息，回答下列问题： (1)求该工厂四种产品年产量一共多少万件？ (2)通过计算补全条形图； (3)若A、B、C、D四种产品的成本分别是每件4元、3元、7元、6元，求这四种产品制作的平均成本是多少元？ 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为88分，92分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的成绩是（   ） A．89.2分 B．90分 C．90.4分 D．89.6分 2．有7个数排成一列，它们的平均数是20，前5个数的平均数是15，后3个数的平均数是30，那么第5个数是　　 A．15 B．20 C．25 D．30 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某同学用计算器计算30个数据的平均数时，错将其中一个数据108错输成18，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（   ） A．3.6 B．3 C．0.6 D． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是________ ． ①第所用的时间最长； ②第的平均速度最大； ③第和第的平均速度相同； ④前的平均速度大于最后的平均速度． 5．有6位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，平均分为该运动员的得分．若取一位小数，经四舍五入后得9.2分，若取两位小数，经四舍五入后为_________． 6．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段检测）小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是______． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 7．（24-25八年级下·吉林长春·期末）老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占，考试成绩占”的比例计算．若小明的平时成绩为95分，考试成绩为90分，则他的总评成绩为______分． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 9．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）某班为了从甲乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班位同学参与民主测评，结果如表：规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分”的方法确定；民主测评得分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；综合得分演讲答辩得分民主测评得分． 演讲答辩得分情况（单位：分） 民主测评票数统计表（单位：张） A B C D E 好 较好 一般 甲 90 92 94 95 88 甲 40 7 3 乙 89 86 87 94 91 乙 42 4 4 (1)当时，两人的综合得分分别是多少？ (2)分别求出两人的综合得分关于的函数表达式； (3)如果让甲做班长，请你确定的取值范围． 10．（25-26九年级上·全国·单元测试）台州某校七（1）班同学分三组进行数学活动，对七年级400名同学最喜欢喝的饮料情况、八年级300名同学零花钱的最主要用途情况、九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据．根据以上信息，请回答下列问题： 九年级同学完成家庭作业时间情况统计表 时间 1小时左右 1.5小时左右 2小时左右 2.5小时左右 人数 50 80 120 50 (1)七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少？ (2)补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图； (3)九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时（结果保留一位小数）？ 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·重庆长寿·开学考试）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②第三次操作后，从左往右第2个整式为：； ③经过四次操作后，若，则所有整式的值之和为15； ④经过7次操作后，将得到128个整式． 以上四个结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③．该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（k为正整数）； 戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（  ） A．-3 B．4 C．5 D．9 4．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“神奇数”，例如：四位数1428，∵，∴1428是“神奇数”；又如四位数3526，因为，∴3526不是“神奇数”．若一个“神奇数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的所有“神奇数”的平均数是 _________． 5．（2024·重庆江津·模拟预测）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位十位个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到，记．例如：128满足，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记． 若p是一个“步步高升数”，则的最大值为______，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为______． 6．对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个，数中最小的数．例如：，，如果，那么__________． 7．某商家为迎接“10周年购物狂欢节”，准备将编号为l号，2号，…，60号的奖券分别对应60份奖品．现将奖券不均匀分配放置在，，三个抽奖盒中，若将盒中的26号奖券调换到盒，将盒中的44号奖券调换到盒，此时，、两盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.6，盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.9，同时经计算发现，盒中编号平均数调换前低于36，调换后编号平均数却高于36，则调换前盒中有_________张奖券． 8．某村启动“乡村振兴”项目，根据当地的地理条件，在村里利用大棚技术种植一种经济作物．农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下： ①天气寒冷，大棚加温可改变经济作物生长率．大棚恒温时每天的成本为100元，但加温导致每天成本增加，根据实地调查，发现一个大棚加温时30天的成本情况如图1，采用30天的平均成本作为加温至时的成本． ②经济作物的生长率p与温度t（℃）有如（图2）关系； ③按照经验，经济作物提前上市的天数m（天）受生长率p的影响，大致如下表： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 20    请根据上面信息完成下列问题： (1)求加温至的平均每天成本． (2)用含t的代数式表示m． (3)计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但若欲加温到摄氏度，要求成本太高，所以计划加温至．请问加温多少摄氏度时增加的利润最大？并说明理由．（注：经济作物上市售出后大棚暂停使用） 9．一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角． （1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角； （2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物高度为，放置文物的展台高度为，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的），则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高） 10．（2025·广东梅州·一模）已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分． (1)求A地考生的数学平均分． (2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高？请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题4.1 平均数『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【苏科版数学新教材•九年级上册•第四章《数据的集中趋势和离散程度》】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 算术平均数加权平均数 2 知识点二 算术平均数加权平均数 3 题型讲练 3 题型一 求一组数据的平均数 3 题型二 已知平均数求未知数据的值 4 题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数 5 题型四 利用平均数做决策 6 题型五 求加权平均数 9 题型六 利用加权平均数求未知数据的值 10 题型七 运用加权平均数做决策 11 题型八 出错情况下的平均数问题 13 中考真题演练 15 难度分层训练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】 24 知识点一 算术平均数加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 特别说明：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 知识点二 算术平均数加权平均数 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平 均数. 特别说明：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 题型一 求一组数据的平均数 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南益阳·期末）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可． 【详解】解：， 本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为． 故选：B 【变式训练1】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）从新宁县月中随机抽取天的中午，记录这天时的气温（单位：），结果如下：，可估计该地这一个月中午时的平均气温为______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数，根据算术平均数的计算方法直接计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 估计该地这一个月中午时的平均气温为， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·周测）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454g，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：g）如下：，，0，，0，0，，0，，．估计这批罐头质量的平均数为____________g． 【答案】455 【分析】计算质量差值的和，再求差值的平均数，最后加上标准质量得到平均质量． 本题主要考查了平均数的求法，正确理解定义是关键． 【详解】解：质量差值的和为：． 差值的平均数为：． 因此，平均质量为：． 故答案为：． 题型二 已知平均数求未知数据的值 【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期末）若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平均数的概念和一元一次方程的解法，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键． 根据平均数的定义，先求出这组数据的总和，再列出关于的方程，通过解方程求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北承德·期末）已知一组数据，2，4，1，6的平均数是3，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查平均数的计算，根据平均数的定义，建立方程求解． 【详解】解：数据有5个，平均数为3， ， 解得． 故答案为：2． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）一组数据：4，5，5，6，a的平均数为5，则a的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查平均数的计算，直接利用平均数公式即可求解． 根据平均数的定义，数据总和除以个数等于平均数，由此列出方程求解． 【详解】解：∵ 数据4，5，5，6，a的平均数为5， ， ， ． 故选：． 题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）若数据、、的平均数是2，则数据、、的平均数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平均数的计算方法，熟练掌握平均数的计算方法和整体代入的方法是解决本题的关键．根据平均数的计算方式“所有数据之和除以数据的个数”表示出的平均数，再表示出的平均数整体代换即可． 【详解】解：∵数据、、的平均数是2， ∴， ∴数据、、的平均数为：， 故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是________ 【答案】8 【分析】本题考查了求平均数． 根据平均数的定义，原数据之和为50，新数据每个加3，和增加30，再求平均数． 【详解】解：由题意，原数据平均数为5，故数据之和为． 新数据之和为． 新数据的平均数为． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知一组数据的平均数是3，那么另一组数据，，，，的平均数是___________． 【答案】12 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的定义是解题的关键．由题意得，再根据平均数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴数据，，，，的平均数是12． 故答案为：12． 题型四 利用平均数做决策 【典例精讲】（24-25八年级下·江西赣州·期末）根据需要，学校招聘一名老师，对A、B两名应聘者分别进行了教学能力、科研能力和表达能力三项测试，其中A、B两名应聘者的成绩如下表：（单位：分） 教学能力 科研能力 表达能力 A 83 87 88 B 94 82 76 (1)若根据三项测试的平均成绩在A、B两人中录用一人，那么谁将被录用； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和表达能力三项测试得分按5：3：2的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在A、B两人中录用一人，谁将被录用？ 【答案】(1)A被录用，见解析 (2)B被录用，见解析 【分析】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式． （1）根据平均数的计算公式分别进行计算，平均数大的将被录用； （2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答，加权平均数大的将被录用； 【详解】（1）解： A的平均成绩为（分）； B的平均成绩为（分）， 的平均成绩高于的平均成绩， 被录用． （2）根据题意，A的平均成绩为（分）， 的平均成绩为（分）， 的平均成绩低于的平均成绩， 被录用． 【变式训练1】（2025·山西吕梁·三模）五一期间，文旅团举办了“孝义·最爱妈妈的城市”活动，数百名志愿者“红马甲”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“红马甲”，必须经过层层考验，下面是志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）． 项目 语言能力 综合素质 形象礼仪 服务经验 甲 10 9 9 8 乙 9 7 10 9 (1)如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“红马甲”？ (2)如果语言能力、综合素质、形象礼仪、服务经验按的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选？ 【答案】(1)甲将成为“红马甲” (2)乙将被录取，理由如下： 甲的平均分（分）； 乙的平均分（分） ∵， ∴乙将被录取． 【分析】本题考查了算术平均数和加权平均数，并利用算术平均数和加权平均数作决策，掌握算术平均数和加权平均数的计算公式是解题的关键． （）利用算术平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断； （）利用加权平均数公式计算出两人的平均分，根据两人的平均分即可判断； 【详解】（1）解：甲的平均分（分）； 乙的平均分（分）； ∵， ∴甲将成为“红马甲”． 【变式训练2】（24-25八年级下·江西新余·期末）在体操比赛中，往往在所有裁判给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分，个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）为：，，，，，． (1)请按照以上方法计算这组数据的平均数（结果精确到）； (2)请你解释用以上方法计算平均分的合理性． 【答案】(1) (2)去掉一个最高分和最低分统计平均分可以减少极端值对结果的影响 【分析】本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键． （1）直接根据算术平均数的定义进行计算即可； （2）去掉一个最高分和一个最低分统计平均分的方法更合理，这样可以减少极端值对数据的影响． 【详解】（1）解：分； （2）解：去掉一个最高分和最低分统计平均分可以减少极端值对结果的影响． 题型五 求加权平均数 【典例精讲】今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小芳这四项的得分依次为88，95，92，90，则她的最后得分是________分． 【答案】91.4 【分析】根据加权平均数的计算公式，代入各项得分与对应权重计算即可． 【详解】解：（分）． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）小明参加了学校广播站招聘广播员的三项素质测试，成绩（百分制）如下：写作65分、朗诵70分、创意设计80分．若写作、朗诵和创意设计的成绩分别按、、计算，则他的素质测试的最终成绩为（    ） A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的公式． 根据加权平均数的计算公式，将各项成绩乘以对应权重后求和即可得到最终成绩． 【详解】解：最终成绩为（分）， 故选：B． 【变式训练2】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）某校学期末进行优秀学生评定，王花的“德”“智”“体”“美”得分分别是分、分、分、分，若按的比来计算加权平均分，则王花的得分是（　　） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的计算，需根据加权平均数的计算公式，将各维度得分乘以对应权重后求和，再除以权重总和得到结果． 【详解】解：权重比为， 权重总和为， 王花的加权平均分为(分)． 故选：B． 题型六 利用加权平均数求未知数据的值 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的求法，熟记定义是解题的关键．设男、女生的人数分别为人，根据加权平均数的概念列式整理即可得解． 【详解】解：设男生人数为人，女生人数为人， 则有， 即， ． 男，女生人数之比为． 【变式训练1】（2024·广东深圳·二模）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（　　） 环数 7 8 9 人数 2 ？ 3 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数、解一元一次方程，设成绩为8环的人数是x人，根据加权平均数公式列方程求解即可． 【详解】解：设成绩为8环的人数是x人， 根据题意，得， 解得， ∴成绩为8环的人数是5人， 故选：B． 【变式训练2】（23-24八年级上·山西太原·阶段检测）坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列的知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表： 成绩 86 90 98 100 人数 1 3 1 已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数的定义，分式方程的应用，加权平均数：（其中）；理解定义，掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根； 故选：B. 题型七 运用加权平均数做决策 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）学校需招聘一名教师，从专业知识、语言表达、组织协调三个方面对甲、乙两名应聘者进行了三项素质测试，他们各项测试成绩如表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 专业知识 75 93 语言表达 81 79 组织协调 84 72 (1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80分，请计算乙的平均成绩，如果按三项测试成绩的平均成绩较高的确定录用人选，那么谁将被录用？ (2)根据工作需要，学校将专业知识、语言表达、组织协调得分依次按的比例确定各人的最终测试成绩，再按得分较高的录用，那么谁将被录用？ 【答案】(1)乙的平均成绩是分，应聘者乙将被录用； (2)应聘者甲将被录用 【分析】本题考查了算术平均数和加权平均数． （1）先根据题意求出乙的平均成绩，再进行比较即可； （2）按加权平均数求出甲、乙的测试成绩，再进行比较即可． 【详解】（1）解：乙的平均成绩是（分）， ∵， ∴应聘者乙将被录用； （2）解：根据题意，两人的测试成绩如下： 甲的最终测试成绩为：（分）， 乙的最终测试成绩为：（分）， ∵， ∴应聘者甲将被录用． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中________将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，理解加权平均数的定义以及求解方法是解题关键．分别计算出两名候选人的加权平均数，比较即可得出结论． 【详解】解：甲的加权平均成绩： （分） 乙的加权平均成绩： （分） 由于， 故乙将被录用． 故答案为：乙． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 (1)若通过平均分来确定最终评分，小明会选择___________型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） (2)小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 【答案】(1)乙 (2)甲 【分析】本题考查了平均数和加权平均数： （1）分别求出甲乙的平均分，比较大小即可作答； （2）用加权平均数公式计算． 【详解】（1）解：甲的平均分：， 乙的平均分：， ， 小明会选择乙型号的小汽车． 故答案为：乙． （2）解：甲的加权平均分为， 乙的加权平均分为， ， 小明会选择甲型号的小汽车． 题型八 出错情况下的平均数问题 【典例精讲】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 【变式训练1】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【分析】本题考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可； （2）求出10分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可． （3）计算平均数解答即可． 【详解】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 【真题演练1】（2025·浙江温州·中考真题）学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小蒙 92 80 90 若把读、听、写的成绩按的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（    ） A．86 B．87 C．88 D．89 【答案】C 【分析】利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可． 【详解】解：小莹的个人总分， 故选：C． 【真题演练2】（2025·河南·中考真题）某出租车公司共有、、三种型号的出租车若干台，其中型号的出租车8万元每台，型号的出租车10万元每台，型号的出租车12万元每台，、、三种型号的出租车所占比例为10％，30％，60％，则该出租车公司的所有出租车的平均成本为（    ）万元 A．11.2 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据加权平均数求解即可． 【详解】解∶ 该出租车公司的所有出租车的平均成本为(万元)． 故选∶D． 【真题演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）本学期小明平时测验、期中考试和期末考试的数学成绩分别为92分、100分和110分，如果分别按、、的份额计算他本学期的数学总评分，那么他本学期的数学总评分是______分． 【答案】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数是解题的关键．根据加权平均数进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·江苏南通·中考真题）某校体育成绩考核采取综合评分法，由体育与健康行为、体能、知识与技能三个部分组成，分别按照，，的考核权重进行计算．已知某位同学的体育与健康行为得92分、体能得90分、知识与技能得86分，则这位同学的最终成绩为________分． 【答案】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的公式求解即可得到答案，读懂题意，熟记加权平均数求解公式是解决问题的关键． 【详解】解：依题意，这位同学的最终成绩为： （分）， 故答案为：． 【真题演练5】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某工厂生产A、B、C、D四种产品．下面是该工厂这四种产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． 各产品年产量条形统计图 各产品年产量扇形统计图 根据上面的信息，回答下列问题： (1)求该工厂四种产品年产量一共多少万件？ (2)通过计算补全条形图； (3)若A、B、C、D四种产品的成本分别是每件4元、3元、7元、6元，求这四种产品制作的平均成本是多少元？ 【答案】(1)200万件 (2)图见解析 (3)元 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数，从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）根据D产品的年产量为40万件，占比，列式计算即可得到四种产品的年产量； （2）根据（1）中求得的总年产量和C产品的占比，先求得C产品的年产量，再求得A产品的年产量，据此补全条形统计图即可； （3）先根据四中产品的每件成本价，求得这四种产品的总成本，然后除以总量即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，（万件）， 答：该工厂四种产品年产量一共200万件． （2）解：C产品的年产量：（万件）， A产品的年产量：（万件）， 补全条形统计图如下： （3）解：（元）， 答：这四种产品制作的平均成本是元． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为88分，92分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的成绩是（   ） A．89.2分 B．90分 C．90.4分 D．89.6分 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是根据加权平均数的公式，结合给定的权重计算成绩． 根据加权平均数公式，用演唱技巧得分乘对应权重、舞台表现得分乘对应权重，求和后除以总权重，得到选手成绩． 【详解】这是加权平均数的计算问题，权重比为， 总权重为． 选手成绩为：（分） 故选A． 2．有7个数排成一列，它们的平均数是20，前5个数的平均数是15，后3个数的平均数是30，那么第5个数是　　 A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了平均数的定义，解决本题的关键是明确：总数量平均数总个数， 根据前5个数的和与后三个数的和加起来比7个数的和多计算了第五个数的值． 【详解】解： 答：第5个数是25． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某同学用计算器计算30个数据的平均数时，错将其中一个数据108错输成18，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（   ） A．3.6 B．3 C．0.6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键．设输入正确的29个数的和为，根据平均数的计算公式可得求出的平均数与实际平均数，由此即可得． 【详解】解：设输入正确的29个数的和为， 则实际平均数为，求出的平均数为， 所以求出的平均数与实际平均数的差是， 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是________ ． ①第所用的时间最长； ②第的平均速度最大； ③第和第的平均速度相同； ④前的平均速度大于最后的平均速度． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，根据折线统计图逐个判断即可求解，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：①由图可知，第所用的时间最长，该选项说法正确； ②由图可知，第所用的时间最短，所以它的平均速度最大，该选项说法正确； ③由图可知，第和第所用的时间相同，所以它们的平均速度相同，该选项说法正确； ④由图可知，前所用的时间分别为和，平均速度为；最后所用的时间分别为和，平均速度为，所以前的平均速度小于最后的平均速度，该选项说法错误； ∴说法中正确的是①②③， 故答案为：①②③． 5．有6位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，平均分为该运动员的得分．若取一位小数，经四舍五入后得9.2分，若取两位小数，经四舍五入后为_________． 【答案】9.17 【分析】本题考查近似数，根据取一位小数经四舍五入后得9.2分，可得平均分最高为9.24分，最低为9.15分，进而根据总分为整数可得总分为55分，求出平均数，四舍五入取两位小数即可． 【详解】解：取一位小数，经四舍五入后得9.2分， 平均分最高为9.24分，最低为9.15分， ，， 总分在54.9和55.44之间， 6位裁判给的分数都是整数， 总分也是整数， 总分是55， 平均分为：， 若取两位小数，经四舍五入后为9.17． 故答案为：9.17． 6．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段检测）小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是______． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【答案】 【分析】本题考查平均数，设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y，根据平均数列二元一次方程，根据，y是正数且，，求出x和y的值解答即可． 【详解】解：设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y， ， 解得， ∵，y是正数且，， ∴，， ∴小马的数学成绩是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·吉林长春·期末）老师在计算学生每学期的总评成绩时，按照“平时成绩占，考试成绩占”的比例计算．若小明的平时成绩为95分，考试成绩为90分，则他的总评成绩为______分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，根据总评成绩平时成绩考试成绩即可求解，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【详解】解：总评成绩为：， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 【答案】(1)甲的平均成绩为分，乙的平均成绩为分，不能确定两人的名次； (2)甲为第一名，乙为第二名． 【分析】本题考查算术平均数与加权平均数的计算及实际应用．关键是掌握算术平均数和加权平均数的计算公式，理解不同权重对结果的影响． 解题思路：根据算术平均数的计算公式，分别求出甲、乙两名选手的平均成绩，若平均成绩相等则无法确定名次； 解题思路：根据加权平均数的计算公式，按照的权重分别计算甲、乙的加权平均成绩，比较成绩大小确定名次． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为(分)； 乙的平均成绩为(分)； ∵甲、乙两名选手的平均成绩相同， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：根据题意，权重总和为， 甲的加权平均成绩为(分)； 乙的加权平均成绩为(分)； ∵， ∴甲为第一名，乙为第二名． 9．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）某班为了从甲乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班位同学参与民主测评，结果如表：规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分，再算平均分”的方法确定；民主测评得分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；综合得分演讲答辩得分民主测评得分． 演讲答辩得分情况（单位：分） 民主测评票数统计表（单位：张） A B C D E 好 较好 一般 甲 90 92 94 95 88 甲 40 7 3 乙 89 86 87 94 91 乙 42 4 4 (1)当时，两人的综合得分分别是多少？ (2)分别求出两人的综合得分关于的函数表达式； (3)如果让甲做班长，请你确定的取值范围． 【答案】(1)甲的综合得分是分，乙的综合得分是分 (2)， (3) 【分析】本题考查了平均数，加权平均数，一次函数，解一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法分别计算每人的平均演讲答辩得分；根据民主测评得分 “好”票数分 “较好”票数分 “一般”票数分，得到每人的民主测评得分；再计算他们的综合得分． （2）根据综合得分演讲答辩得分民主测评得分，分别计算每人的综合得分关于的函数表达式； （3）甲做班长即甲的综合得分大于乙的综合得分，再根据，即可求出的取值范围． 【详解】（1）甲的综合得分： 分； 乙的综合得分： 分； （2）解：甲的综合得分：分， 故； 乙的综合得分： 分， 故； （3）解：甲做班长即甲的综合得分大于乙的综合得分， ∴ 解得， 又 ∵， ∴． 10．（25-26九年级上·全国·单元测试）台州某校七（1）班同学分三组进行数学活动，对七年级400名同学最喜欢喝的饮料情况、八年级300名同学零花钱的最主要用途情况、九年级300名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据．根据以上信息，请回答下列问题： 九年级同学完成家庭作业时间情况统计表 时间 1小时左右 1.5小时左右 2小时左右 2.5小时左右 人数 50 80 120 50 (1)七年级400名同学中最喜欢喝“冰红茶”的人数是多少？ (2)补全八年级300名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图； (3)九年级300名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时（结果保留一位小数）？ 【答案】(1)160人 (2) 补全频数分布直方图如图所示． (3)1.8小时 【分析】本题考查了统计表、条形统计图、扇形统计图、平均数，能够准确从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）先求出喝红茶的百分比，再乘总数； （2）先让总数减其它三种人数，再根据数值画直方图； （3）用加权平均公式求即可． 【详解】（1）解：， （人）． 答：七年级同学最喜欢喝“冰红茶”的人数是160人． （2）解：（人）； （3）解：（小时）． 答：九年级300名同学完成家庭作业的平均时间约为1.8小时． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·重庆长寿·开学考试）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②第三次操作后，从左往右第2个整式为：； ③经过四次操作后，若，则所有整式的值之和为15； ④经过7次操作后，将得到128个整式． 以上四个结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数、整式的加减、数字规律等知识点，根据操作方式找出变化规律是解题的关键． ①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②求出第二次操作后的第二整式，即可判断②；③代入，求出经过4次操作后所得数据，并求和判断即可；④根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过7次操作后所得整式个数即可判断． 【详解】解：①第一次操作后：， ∵， ∴第二次操作后：，即第二次操作后，从左往右第四个整式为，故①正确，符合题意； ∵， ∴第三次操作后：，即第三次操作后，从左往右第2个整式为，故②正确，符合题意； 若，初始和为2， 第一次操作后：和3； 第二次操作后：和为； 第三次操作后数为：， 则第三次操作后和为， 第四次操作后数为：， 则第四次操作后：，即和为17，故③不符合题意； 第1次操作后有3个整式，第2次操作后有5个整式，第3次操作后有9个整式，第4次操作后有17个整式，由此发现第n次操作后有个整式， ∴第7次操作后得到个整式，故④不符合题意． 综上，①②正确，即正确的有2个． 故选：B． 2．有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③．该小组成员分别得到一个结论： 甲：取，5个正整数不满足上述3个条件； 乙：取，5个正整数满足上述3个条件； 丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件； 丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（k为正整数）； 戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是（p为正整数）； 以上结论正确的个数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】当时，再根据条件分别求解，，，，从而可判断甲；当时，再根据条件分别求解，，，，从而可判断乙；当是4的倍数，设，再根据条件分别求解，，，，可判断丙；设（k是正整数），再同时满足三个条件的情况下分别求解，，，，可判断丁；设（m是正整数），同时满足三个条件的情况下分别求解，，，，可得，，的平均数为，，的平均数为，得到，，的平均数与，的平均数之和为，从而可判断戊． 【详解】解：甲：若， 由条件①可得： ，， 由条件②得： ， 由条件③得： ， 解得：， 而是奇数， ∴“甲：取，5个正整数不满足上述3个条件”，结论正确； 乙：若， 由条件①可得： ，， 由条件②得： ， 由条件③得： ， 解得：，，符合题意， ∴“乙：取，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确； 丙：若是4的倍数，设 （n是正整数）， 由条件①知： ，， 由条件②知： ， 由条件③，得 ， 解得：， 是奇数，符合题意， ∴“丙：当满足是4的倍数时，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确； 丁：设（k是正整数）， 由条件①知： ，， 由条件②知： ，、是奇数， 由条件③，得 ， 解得：， ∵k是正整数， ∴也是正整数， ∴“丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（k为正整数）”，结论正确； 戊：设（m是正整数）， 由条件①知： ，， 由条件②知： ，、是奇数， 由条件③，得： ， 解得：， ∴， ∴，，的平均数为， ，的平均数为 为偶数， ∴，，的平均数与，的平均数之和为， ∵m是正整数， ∴是5的倍数，也是10的倍数， ∴“戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与， 的平均数之和是（p为正整数）”结论正确． 综上所述，结论正确的个数有5个． 故选：D． 3．A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（  ） A．-3 B．4 C．5 D．9 【答案】D 【分析】设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推，最后建立方程，解方程即可． 【详解】如图所示 设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推： 于是报1的人心里想的数是10-(6- x)=4 +x， 报3的人心里想的数是4-(4+x)=-x, 报5的人心里想的数是8-(-x)=8+x 报4的人心里想的数是2-(8+x)=-6- x， 于是得-6-x=x 解得：x=-3 所以D同学报4的人心里想的数应是: 6-x=6-(-3)= 9， 答:D同学心里想的数应是9． 故选：D 4．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“神奇数”，例如：四位数1428，∵，∴1428是“神奇数”；又如四位数3526，因为，∴3526不是“神奇数”．若一个“神奇数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的所有“神奇数”的平均数是 _________． 【答案】4725 【分析】本题考查新定义和整式加减的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．注意要综合利用所给条件进行推理．根据，可得这个“神奇数”的各个数字之间的第一个关系，进而根据与的和能被9整除可得“神奇数”各个数字的另一个关系，结合各个数位上数字的特点和两个关系式，可判断出这个四位数各个数位上可能的数，也就得到了这些“神奇数”，进而求出这些数的平均数即可． 【详解】解：由题意可得，“神奇数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d． ∴， ∴， ∴； ∵，． ∴ ， ∵与的和能被9整除， ∴ ， ∴是9的倍数， ∴． ∵，a，b，c，d均为1到9之间的数， ∴当时，，则， ∴，， 当时，，则， ∴，； 当时，，则， ∴，． ∴这些“神奇数”为：6813，4725，2637． ∴这些“神奇数”的平均数为：． 故答案为：4725． 5．（2024·重庆江津·模拟预测）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位十位个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到，记．例如：128满足，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记． 若p是一个“步步高升数”，则的最大值为______，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为______． 【答案】 8 【分析】本题考查了实数的新定义运算，求一个数的平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先表示和，结合，得出，因为是一个完全平方数，得出，最后根据p是3的倍数，列式计算即可作答． 【详解】解：依题意，p是一个“步步高升数”，设这个“步步高升数”为 ∴将“步步高升数”的个位与百位交换得到 ∵ ∴ 则 ∵，且都是正整数 ∴则的最大值为 ∵是一个完全平方数 ∴ ∵，且都是正整数 ∴都舍去 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ 故当时，则 ∴ ∵一个“步步高升数”p是3的倍数， ∴ ∴ ∴满足条件的p的平均值为 故答案为：8， 6．对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个，数中最小的数．例如：，，如果，那么__________． 【答案】2或-4/-4或2 【分析】依据定义分别求出和，再分三种情况讨论，即可得到x的值． 【详解】 当时，，解得， ∵ ∴，解得，符合条件； 当时，，解得， ∵ ∴，解得，不符合条件； 当时，，解得， ∵ ∴，解得，符合条件； 综上所述：或 故答案为：2或-4 7．某商家为迎接“10周年购物狂欢节”，准备将编号为l号，2号，…，60号的奖券分别对应60份奖品．现将奖券不均匀分配放置在，，三个抽奖盒中，若将盒中的26号奖券调换到盒，将盒中的44号奖券调换到盒，此时，、两盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.6，盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.9，同时经计算发现，盒中编号平均数调换前低于36，调换后编号平均数却高于36，则调换前盒中有_________张奖券． 【答案】24 【分析】设调换前A盒中有x张奖券，编号平均数为a，B盒中有y张奖券，编号平均数为b，C盒中有z张奖券，编号平均数为c，利用B盒中平均数增加了0.9可求出B盒中的奖券数，再根据A、C盒中的编号平均数增加0.6建立等式，根据B盒中编号平均数调换前低于36，调换后编号平均数却高于36，可得出B盒中编号数的总和范围，进而得到A、C盒中编号数的范围，从而建立不等式求解． 【详解】设调换前A盒中有x张奖券，编号平均数为a，B盒中有y张奖券，编号平均数为b，C盒中有z张奖券，编号平均数为c， 由题意可得：， ∵调换后B盒中平均数增加了0.9 ∴，解得 ∵盒中编号平均数调换前低于36，调换后编号平均数却高于36 ∴调换前B盒中的编号平均数 则调换前B盒中的编号总和范围： ∵调换后、两盒奖券的编号平均数比调换前增加了0.6 ∴， 整理得， ∵，即 ∴，整理得 由调换前，，可得： ，即 将，，代入得： 整理得： 解得 ∵为正整数， ∴ 即调换前A盒中有24张奖券， 故答案为：24． 8．某村启动“乡村振兴”项目，根据当地的地理条件，在村里利用大棚技术种植一种经济作物．农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下： ①天气寒冷，大棚加温可改变经济作物生长率．大棚恒温时每天的成本为100元，但加温导致每天成本增加，根据实地调查，发现一个大棚加温时30天的成本情况如图1，采用30天的平均成本作为加温至时的成本． ②经济作物的生长率p与温度t（℃）有如（图2）关系； ③按照经验，经济作物提前上市的天数m（天）受生长率p的影响，大致如下表： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 20    请根据上面信息完成下列问题： (1)求加温至的平均每天成本． (2)用含t的代数式表示m． (3)计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但若欲加温到摄氏度，要求成本太高，所以计划加温至．请问加温多少摄氏度时增加的利润最大？并说明理由．（注：经济作物上市售出后大棚暂停使用） 【答案】(1)200元 (2) (3)25摄氏度，理由见解析 【分析】（1）根据加权平均数定义求解即可； （2）分，两种情况讨论即可； （3）设利润为元，列出w关于t的一次函数解析式，然后利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ∴加温至的平均每天成本是200元； （2）解：由表格知：m是p的一次函数， 设， 则，解得， ∴， 当时， 设， 则，解得， ∴， ∴， 当时， 设， 则，解得， ∴， ∴， 综上，； （3）解：设利润为元， 则当时， ， 即， ∵， ∴w随t的增大而增大， 又， ∴当时，w取最大值， ∴加温25摄氏度时增加的利润最大． 9．一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角． （1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角； （2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物高度为，放置文物的展台高度为，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的），则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高） 【答案】（1）见解析；（2）围栏应摆在距离展台处，见解析 【分析】（1）写出“已知”“求证”，设BP交⊙O于点Q，连接AQ，画出图象，用三角形外角大于不相邻的内角即可证明； （2）先计算120名队员平均身高，再根据题意把实际问题“数学化”，画出图形，在QO上取一点B，使得BO＝152cm，则BQ＝16cm，过B作射线l⊥QO于B，过P，Q两点作⊙C切射线l于M，由（1）的结论可知队员的眼睛A与M重合时，观看该展品的视角最大，此时队员站在MN处，故求出ON长度即可． 【详解】解：（1）已知：如图所示，点A，B，C在⊙O上，点P在⊙O外． 求证：． 证明：设交⊙O于点Q，连接， ∵与同对， ∴． ∵在中，， ∴， ∴； （2）解：设合唱队员平均身高为，则 ． 在上取一点B，使得，则， 过B作射线于B，过P，Q两点作⊙C切射线l于M． 依题意可知，参观的队员的眼睛A在射线上． 而此时，射线l上的点只有点M在⊙C上，其他的点在⊙C外． 根据（1）的结论，视角最大，即队员的眼睛A与M重合（也即队员站在MN处）时，观看该展品的视角最大． 所以围栏应摆放在N处． 连接并延长交地面于N， 过C作于H，连接，， 从而四边形和四边形均为矩形． ∵在⊙C中，，， ∴． ∴． ∵在中，，， ∴． ∴．     即围栏应摆在距离展台处． 10．（2025·广东梅州·一模）已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分． (1)求A地考生的数学平均分． (2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高？请说明理由． 【答案】(1)86分 (2) 解：不能判断地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高．理由如下： 地甲、乙两类学校考生人数未知，若地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为85（分）． ∵， ∴不能判断地考生的数学平均分一定比地考生的数学平均分高．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了求平均数，熟知求平均数的方法是解题的关键． （1）计算出A地考生甲、乙两类学校所有考生的总得分，再除以A地考生的人数即可得到答案； （2）地甲、乙两类学校考生人数未知，则B地的平均分一定大于82分，小于94分，那么B地考生的数学平均分可能比A地考生的数学平均分低，例如地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人可得到B地考生的数学平均分可能比A地考生的数学平均分低，据此可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，得A地考生的数学平均分为86（分）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $