第二十七章 反比例函数 单元复习讲义 2026-2027学年人教版 数学九年级上册

第二十七章《反比例函数》五星版单元复习讲义 人教版（2026）九年级数学上册 · 第二十七章 反比例函数（约7课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目 · 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 27.1 反比例函数的概念；27.2 反比例函数的图象和性质；27.3 反比例函数与一次函数的综合；综合与实践：高铁列车运行中的数量关系 核心素养 抽象能力、几何直观（数形结合）、模型观念、推理能力 本单元不涉及 二次函数的图象与性质（第二十六章已学，仅作对比）；相似、锐角三角函数等九下内容；反比例函数图象与圆的位置关系综合 课标对接 “数与代数”领域“函数”板块；“综合与实践”领域项目式学习（高铁列车运行中的数量关系，见第四部分） 单元知识导航 本单元的知识主线：认识反比例函数（k≠0）及其等价形式xy=k→研究图象（双曲线）的两支分布、对称性与增减性→理解|k|的几何意义（矩形面积）→用方程组求反比例函数与一次函数的交点→用反比例模型解决速度、压强、工程等实际问题。与上一章二次函数对照学习：二次函数图象是抛物线，反比例函数图象是双曲线，性质都从图象“读”出来。 知识网络图 图1　第二十七章《反比例函数》知识网络 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 反比例函数 形如（k为常数，k≠0），也可写成xy=k；自变量x≠0 漏k≠0；不是反比例函数 图象（双曲线） 两支曲线；k>0时在一、三象限，k<0时在二、四象限；图象与坐标轴永不相交 两支都要画；x≠0导致两支分开 增减性 k>0时，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时，在每个象限内y随x增大而增大 必须说“在每个象限内”，跨象限不能直接比较 对称性 双曲线是中心对称图形，对称中心为原点；也是轴对称图形，对称轴为直线y=x和y=-x 两支关于原点中心对称 |k|的几何意义 过双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|；连接该点与原点所得三角形面积为 面积取|k|；与x、y轴的垂线段乘积＝|k| 与一次函数 求交点坐标即解方程组；交点个数由联立后的一元二次方程判别式决定 交点须同时在两图象上，代回检验 实际问题 路程=速度×时间、压强=力/面积、工作效率=工作量/时间等反比例关系 单位统一；自变量范围符合实际 一、基础巩固（概念过关） A1（选择·★）下列函数中，是反比例函数的是（　） A．　B．y=2x　C．　D． A2（填空·★）反比例函数中，k＝(　　　)，它的图象位于第(　　　)象限。 A3（填空·★）反比例函数，当x=2时，y＝(　　　)。 A4（选择·★）反比例函数（k>0）的图象位于（　） A．第一、三象限　B．第二、四象限　C．第一、二象限　D．第三、四象限 A5（填空·★）反比例函数，当x<0时，y(　　　)0（填“>”或“<”），此时y随x的增大而　　　。 A6（填空·★）反比例函数的图象经过点P(2,m)，则m＝(　　　)。 A7（填空·★）反比例函数的图象经过点(-1,2)，则k＝(　　　)。 A8（填空·★）反比例函数的图象的对称中心是(　　　)。 A9（选择·★★）已知点A(-2,y₁)、B(3,y₂)都在反比例函数的图象上，则y₁与y₂的大小关系是（　） A．y₁>y₂　B．y₁=y₂　C．y₁<y₂　D．无法确定 A10（填空·★）反比例函数（k>0），在每个象限内，y随x的增大而　　　。 二、能力提升（方法进阶） B1（解答·★★）已知y与x成反比例，当x=2时，y=6。 (1) 求y与x的函数解析式； (2) 当x=3时，求y的值。 B2（填空·★★）反比例函数的图象经过点(2,3)和(m,6)，则m＝(　　　)。 B3（解答·★★）如图2，反比例函数的图象与一次函数y=x+1的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为(-2,-1)。 (1) 求k的值； (2) 求点B的坐标。 图2　与y=x+1的交点（B3） B4（填空·★★）反比例函数（k>0）的图象上有一点P，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为M、N。若矩形PMON的面积为4，则k＝(　　　)。 B5（解答·★★）点P(3,2)在反比例函数的图象上。 (1) 求k的值； (2) 过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，求矩形PMON的面积和△OPM的面积。 B6（解答·★★★）在平面直角坐标系中，直线y=x与双曲线交于A、B两点（A在第一象限）。 (1) 求A、B两点的坐标； (2) 求线段AB的长； (3) 过A作x轴的垂线，垂足为M，求△AOM的面积。 三、综合应用（素养落地） C1（应用·高铁·综合与实践·★★★）某高铁列车从甲站到乙站，全程约1200千米。设列车以速度v（千米/小时）行驶，全程所需时间为t（小时）。 (1) 写出t与v的函数关系式，并判断它是什么函数； (2) 若列车按设计速度300千米/小时运行，求所需时间； (3) 若列车提速至400千米/小时，时间比按300千米/小时运行缩短多少小时？ C2（跨学科·物理·★★）某气球内气体的压强p（千帕）与体积V（升）成反比例关系，当V=2升时，p=50千帕。 (1) 求p与V的函数关系式； (2) 当V=4升时，压强是多少千帕？ (3) 若压强不超过100千帕，体积至少为多少升？ C3（应用·综合·★★★）如图3，反比例函数的图象与直线y=x+2交于A、B两点。 (1) 求A、B两点的坐标； (2) 求△AOB的面积。 图3　与y=x+2的交点（C3） C4（应用·工程·★★）某工厂计划生产12000件产品，设每天生产m件，完成全部订单需要t天。 (1) 写出t与m的函数关系式，并判断函数类型； (2) 若每天生产600件，需要多少天完成？ (3) 若要15天完成，每天需要生产多少件？ 四、综合与实践 · 项目式学习（附加） 【项目名称】高铁列车运行中的数量关系 任务1　收集数据：查一条你熟悉的高铁线路（如京沪高铁、徐兰高铁）的里程S，以及几种运行速度v（千米/小时）。 任务2　建立模型：写出运行时间t与速度v的关系式，判断函数类型并说明k的取值。 任务3　对照计算：分别计算不同速度下（如250、300、350千米/小时）的运行时间，制成统计表，观察“速度翻倍，时间减半”的规律。 任务4　分析讨论：列车提速后全程能“节省”多少时间？为什么速度越快，再提速的“收益”越小？（可结合图象解释） 任务5　成果汇报：把数据表与结论做成小报，在班级交流。 课标对接：本部分呼应教材“综合与实践”中“高铁列车运行中的数量关系”主题，融合地理（线路里程）、物理（运动学）、信息科技（数据检索）与数学建模。 评价维度 分值 评价标准 数据收集 20 里程、速度数据真实且注明来源 建立模型 30 关系式正确、k值说明清楚 计算与图表 20 计算准确、统计表规范 分析与结论 20 规律总结正确、原因分析合理 汇报表达 10 小报要素齐全、讲解清晰 延伸思考：反比例函数“速度越大、时间越短”的图象特征，与上一章二次函数“先减后增”的图象形成对比；两种函数都是刻画“两个量之间关系”的重要模型。 五、月考加油站 · 高频考点清单与仿真小测 【高频考点清单】 1．反比例函数的概念与等价形式xy=k（k≠0）。 2．图象两支的象限分布与增减性（注意“在每个象限内”）。 3．待定系数法求解析式。 4．|k|的几何意义（矩形面积）。 5．反比例函数与一次函数的交点及综合应用。 M1（选择·★）下列函数中，是反比例函数的是（　） A．y=3x　B．　C．　D． M2（填空·★）反比例函数的图象位于第(　　　)象限。 M3（填空·★）反比例函数，当x<0时，y（　　　）0（填“>”或“<”），此时y随x的增大而　　　。 M4（选择·★）反比例函数（k<0）的图象位于（　） A．第一、三象限　B．第二、四象限　C．第一、二象限　D．第三、四象限 M5（填空·★）反比例函数的图象经过点(2,-1)，则k＝（　　　）。 M6（填空·★）反比例函数的图象上一点P(1,4)，过P向两坐标轴作垂线，围成的矩形面积为（　　　）。 M7（解答·★★）已知y与x成反比例，当x=3时，y=2。求函数解析式，并求x=6时y的值。 M8（解答·★★★）求双曲线与直线y=x-1的交点坐标。 六、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．主线先行：概念→图象→性质→几何意义→综合应用，先默写主线再动笔。 2．图象辅助：每题先想图象在哪两个象限，再判断增减性与大小比较。 3．对比记忆：与一次函数、二次函数列表对比图象形状、增减性、解析式；牢记反比例函数“在每个象限内”的限定。 4．几何意义活用：见到“围成矩形/三角形面积”，立刻联想|k|。 5．错题三分类：概念不清／方法不会／粗心大意，每类重做1道典型题并口述理由。 衔接展望（教师参考）：本章为初中函数学习的收尾章之一，反比例模型在物理（压强、电阻）、工程（效率）中应用广泛；其“渐近”思想为高中学习双曲线与极限奠基。学生题目中不涉及九下内容。 七、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它分析考查的知识点 不发送真实姓名、学校、家庭住址等隐私信息 2 变式 请AI出2道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 用图象逐条检验AI解析（重点核查象限、增减性限定、|k|几何意义） AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤、评分要点与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固（A1–A10） A1　A。解析：符合（k=2）；D中x的次数是2，不是反比例函数。 A2　-6；二、四。解析：k=-6<0，图象在第二、四象限。 A3　。解析：。 A4　A。解析：k>0时图象在第一、三象限。 A5　>；增大。解析：k=-4<0，图象在二、四象限；x<0时图象在第二象限，y>0，且在每个象限内y随x增大而增大。 A6　3。解析：。 A7　-2。解析：k=(-1)×2=-2。 A8　原点。解析：双曲线是中心对称图形，对称中心是原点。 A9　C。解析：代入得，，所以y₁<y₂。注意不能直接用“每个象限内递减”跨象限比较（A、B在不同象限）。 A10　减小。解析：k>0时在每个象限内y随x增大而减小。 （二）能力提升（B1–B6） B1　(1) 设，把x=2，y=6代入得k=12，故。(2) 当x=3时，。评分要点：设式与求k 3分，代值2分。 B2　1。解析：k=2×3=6，6=m×6，m=1。 B3　(1) 把A(-2,-1)代入：k=(-2)×(-1)=2，故。(2) 联立与y=x+1：，x²+x-2=0，(x-1)(x+2)=0，x=1或-2；x=1时y=2，B(1,2)（x=-2对应A）。评分要点：求k 2分，交点4分。 B4　4。解析：矩形面积=|k|=4（k>0），k=4。 B5　(1) k=3×2=6。(2) 矩形面积=|k|=6；△OPM面积为矩形面积的一半=3。 B6　(1) 联立y=x与：，x²=4，x=±2；A(2,2)、B(-2,-2)。(2) AB=√[(2-(-2))²+(2-(-2))²]=√(16+16)=4√2。(3) M(2,0)，。评分要点：交点3分，距离2分，面积1分。 （三）综合应用（C1–C4） C1　，是反比例函数（k=1200>0）。（小时）。(3) 提速后（小时），缩短4-3=1小时。评分要点：关系式2分、计算各1分、结论1分。 C2　(1) 设，k=2×50=100，故。(2) V=4时，（千帕）。(3) 由得V≥1（升），体积至少1升。 C3　(1) 联立与y=x+2：，x²+2x-8=0，(x-2)(x+4)=0，x=2或-4；A(2,4)、B(-4,-2)。。评分要点：交点4分，面积2分。 C4　，是反比例函数。（天）。(3) 由得m=800（件/天）。 （四）月考仿真小测（M1–M8） M1　C。解析：是反比例函数；D中x-1使分母变化，不是形式。 M2　一、三。解析：k=5>0。 M3　>；增大。解析：k=-3<0，x<0时在第二象限，y>0且y随x增大而增大。 M4　B。解析：k<0时图象在第二、四象限。 M5　-2。解析：k=2×(-1)=-2。 M6　4。解析：矩形面积=|k|=4。 M7　；y=1。解析：k=3×2=6；x=6时。 M8　(3,2)和(-2,-3)。解析：，x²-x-6=0，(x-3)(x+2)=0，x=3或-2；对应y=2或-3。 说明：本讲义题目为原创命制；情境数据（高铁里程、压强、产量等）为示例或公共常识性约值，教师可替换为当地真实数据；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $