第二十七章 反比例函数章末重难点复习（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义以“7知识点+11题型”框架系统构建反比例函数章末复习体系，通过分考点细化概念、图像与性质、k的几何意义等核心内容，用要点列表呈现反比例函数与一次函数、几何综合的内在联系，清晰标注增减性需“在每个象限内”等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，典例结合变式题覆盖基础到综合，如物理公式型实际应用培养模型意识，几何存在性问题用坐标法强化推理意识。巩固与强化训练满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生提升抽象能力与应用能力。

第二十七章 反比例函数章末重难点复习 7知识点+11题型+巩固训练+强化训练 1.理解反比例函数的概念并熟练掌握求反比例函数的解析式； 2.熟悉反比例函数的图象与性质； 3.掌握反比例函数、一次函数与二次函数的图象问题； 4.掌握反比例函数系数k的几何意义并应用； 5.掌握一次函数与反比例函数综合应用问题（交点问题、函数值大小问题）； 6.掌握反比例函数与几何问题综合应用问题（面积问题、特殊图形存在性问题）； 7. 反比例函数的实际应用问题。 1. 反比例函数的概念与解析式 （1）定义： 形如（为常数，）的函数叫做反比例函数。 （2）三种等价形式： · （）；（）；（）。 （3）自变量取值范围： （全体非零实数）；函数值 。 （4）解析式确定： 只需一个点的坐标，代入 求出 （待定系数法），。 （5）判断要点： · 形如且 · 的次数为 （或分母只含 的一次式） · 自变量 不能为 2. 反比例函数的图像 （1）图像形状： 双曲线，有两个分支。 （2）图像位置（由 的符号决定）： · ：图像的两个分支分别在第一、三象限 · ：图像的两个分支分别在第二、四象限 （3）图像特征： · 图像关于原点中心对称（两个分支关于原点对称） · 图像关于直线 和直线 轴对称 · 图像无限接近 轴和 轴，但永远不与坐标轴相交（，） · 图像是断开的两支，不是连续曲线 （4）画图步骤（描点法）： · 列表： 取非零值，正负对称取值 · 描点：在坐标系中描出各点 · 连线：用平滑曲线连接，注意分支不相连、不与坐标轴相交 3. 反比例函数的性质 （1）图像位置 · ：分支在一、三象限 · ：分支在二、四象限 （2）增减性（必须在每个象限内或每个分支上讨论） · ：在每个象限内， 随 的增大而减小 · ：在每个象限内， 随 的增大而增大 · 注意： 不能笼统说“ 随 增大而减小（或增大）”，必须强调“在每个象限内” （3）对称性 · 关于原点中心对称：若点 在图像上，则 也在图像上 · 关于 对称：若 在图像上，则 也在图像上 · 关于 对称：若 在图像上，则 也在图像上 （4）函数值大小比较 · 同一象限内的点：按增减性比较 · 不同象限的点： 时第一象限点的函数值恒大于第三象限点； 时第二象限点的函数值恒大于第四象限点 · 不能跨象限直接用增减性 （5） 的大小与图像位置 · 越大，双曲线离坐标轴越远（图像越“靠外”） · 越小，双曲线离坐标轴越近 4. 反比例函数系数 的几何意义 （1）核心结论： 过反比例函数图像上任意一点 作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、，则： · 矩形 的面积 · 三角形 （或 ）的面积 推导： 设 ，则 ，矩形面积 。 （2）常见图形与面积： · 一点向一条坐标轴作垂线，连接原点：三角形面积 · 一点向两条坐标轴作垂线：矩形面积 · 图像上两点与原点构成的三角形：利用坐标和割补法计算 · 同一反比例函数图像上的点，对应的矩形面积都相等（都等于 ） （3）由面积求 ： · 已知面积 可求 ，再根据图像所在象限确定 的符号 · 一、三象限 ；二、四象限 （4）易错提醒： 面积是 ，不是 ；求 时要根据象限判断正负。 5. 反比例函数的实际应用问题 （1）物理公式型 · 路程一定：（速度与时间成反比） · 压力一定：（压强与受力面积成反比） · 电压一定：（电流与电阻成反比） · 密度：（质量一定时密度与体积成反比） · 功一定：（力与距离成反比） （2）工程/行程问题 · 工作总量一定：工作效率 工作时间 总量 · 路程一定：速度 时间 路程 （3）解题步骤： · 审题，找出两个变量之间的乘积为定值的关系 · 设解析式 ，由已知条件求 · 根据实际意义确定自变量取值范围（通常 ，只取一个分支） · 利用解析式求值、比较大小或分析变化趋势 （4）关键提醒： · 实际问题中自变量通常为正，图像只取第一象限的一支 · 注意自变量取值范围的实际限制 · 增减性分析要结合实际意义 6. 一次函数与反比例函数综合 （1）交点问题 · 联立两个函数解析式： 与 联立 · 消去 得：，整理为 （一元二次方程） · 解方程求交点横坐标，再求纵坐标 · 交点个数： 两个交点， 一个交点， 无交点 （2）函数值大小比较（图像法） · 以交点横坐标和 为分界点，将 轴分成若干区间 · 在每个区间内看哪个函数图像在上方，上方的函数值大 · 注意 处反比例函数无定义，必须作为分界点 （3）交点的对称性 · 正比例函数 与反比例函数 的两个交点关于原点对称 · 若一个交点为 ，另一个为 · 一般一次函数与反比例函数的交点不具有此对称性 （4）三角形面积问题 · 两函数交点与坐标轴上点构成的三角形面积 · 常用方法：割补法、铅垂高法、以坐标轴上的线段为底 · 设交点坐标，用坐标表示底和高 （5）解题步骤 · 待定系数法：利用已知点分别（或联立）求两个函数解析式 · 联立方程求交点坐标 · 结合图像分析函数值大小、方程的解、不等式的解集 · 用坐标法计算面积 （6）方程与不等式的几何意义： · 两函数图像交点的横坐标 联立方程的解 · 的解集 一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的 范围 7. 反比例函数与几何问题综合 （1）与三角形、四边形结合 · 几何图形顶点在反比例函数图像上 · 利用 建立坐标关系 · 结合图形性质（全等、相似、特殊四边形）求解 （2） 的几何意义综合应用 · 利用矩形面积 、三角形面积 建立等量关系 · 多个反比例函数图像：分别用各自的 计算面积 · 面积的和差转化：将不规则图形面积转化为几个规则图形面积的和差 （3）常见模型 模型一：双曲线上一点作双垂线 · 矩形面积 ，两个三角形面积各为 模型二：双曲线上两点与原点 · 两点向 轴（或 轴）作垂线，利用面积相等转化 · 可通过梯形面积 两个三角形面积的和差计算 模型三：反比例函数与一次函数围成图形 · 交点坐标联立求出 · 用割补法或铅垂高法求三角形面积 模型四：矩形/正方形顶点在双曲线上 · 设点坐标，利用 和图形边长关系列方程 · 正方形常用邻边相等且垂直的条件 （4）解题方法 · 坐标法：设图像上点坐标为 ，用一个变量表示 · 面积法：利用 的几何意义直接得面积 · 方程思想：结合几何条件列方程求点坐标或 · 割补法：不规则图形转化为规则图形面积和差 （5）易错提醒 · 用 的几何意义时面积是 ，注意 的符号 · 不同分支上的点坐标正负不同，计算长度用绝对值 · 动点问题注意点在不同分支上的分类讨论 题型01 反比例函数的定义与解析式 【典例】（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 解题梳理 解题核心： 紧扣定义特征，一个点即可确定解析式。 定义判断： · 形如 （），等价形式 、 · 的次数为 ，， 求解析式（待定系数法）： · 设 · 代入图像上一个已知点坐标，求 · 写出解析式 常见考法： · 判断函数是否为反比例函数：化为标准形式，检验 · 含参数的定义题：令 的次数为 且系数 · 已知一点求解析式；或已知 、 的一组对应值求 易错提醒： 不能忘；分母只能是 的一次式； 带坐标符号计算。 【变式1-1】（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）若函数是反比例函数，则的值为（） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知函数是反比例函数，则的值为________． 【变式1-4】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）若反比例函数的图象经过点，则m的值是________________． 题型02 反比例函数的图象与性质综合问题 【典例】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 解题梳理 解题核心： 图像位置、增减性、对称性综合运用。 图像特征： · 双曲线，两支不相连，不与坐标轴相交 · 在一、三象限； 在二、四象限 · 关于原点中心对称，关于 、 轴对称 性质要点： · 增减性必须在“每个象限内”讨论 · ：每象限内 随 增大而减小 · ：每象限内 随 增大而增大 · 越大，图像离坐标轴越远 常见考法： · 由图像位置判断 符号，或由 判断图像位置 · 利用对称性求点坐标（关于原点、 对称） · 图像上点的坐标特征：横纵坐标乘积恒等于 易错提醒： 增减性不能跨象限使用；两支不连续，不能连成一条曲线。 【变式2-1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【变式2-2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【变式2-3】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型03 反比例函数、一次函数、二次函数的综合判断问题 【典例】（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 同一坐标系中，各函数的公共系数符号必须一致。 解题方法： · 分别根据每个函数的图像判断其系数符号 · 检查公共系数（如 、）符号是否一致 · 逐一排除矛盾选项 判断依据： · 一次函数 ： 看直线升降， 看与 轴交点 · 反比例函数 ： 在一三象限， 在二四象限 · 二次函数 ： 看开口， 看 轴交点， 看对称轴 常见考法： · 判断同一坐标系中多个函数图像是否可能共存 · 由一个函数图像推断其他函数图像的大致位置 · 函数解析式含相同参数时，符号一致性检验 易错提醒： 只验证一个函数就下结论；公共系数符号前后矛盾未发现。 【变式3-1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知一次函数与反比例函数，则两个函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型04 比例系数k的几何意义 【典例】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 解题梳理 解题核心： 图像上点向坐标轴作垂线，矩形面积 ，三角形面积 。 基本结论： · 点 在 上，向两坐标轴作垂线围成矩形： · 点 向一条坐标轴作垂线并连接原点： · 同一图像上任意点对应的矩形面积都相等 常见考法： · 已知 求图形面积：直接用 或 · 已知面积求 ：，再由图像所在象限定 的正负 · 多个反比例函数图像：分别用各自的 计算面积后和差 解题步骤： 设点坐标 作垂线表示面积 建立面积与 的关系 求解。 易错提醒： 面积等于 不是 ；求 时忘记根据象限判断符号。 【变式4-1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式4-2】（25-26九年级下·福建·阶段检测）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【变式4-4】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 题型05 根据已知条件求反比例函数值或自变量的范围 【典例】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 解题梳理 解题核心： 结合解析式与图像，分象限讨论取值范围。 常见类型： 1. 已知 范围求 范围 · 先判断 的符号 · 同一象限内按增减性确定 范围 · 跨象限时分区间讨论，注意 2. 已知 范围求 范围 · 解不等式 的范围，注意 正负影响不等号方向 · 或借助图像，看对应部分的横坐标范围 3. 已知函数值大小关系求 范围 · 图像法：画出草图，找交点，分区间比较 · 代数法：分 和 两种情况解不等式 解题技巧： · 优先画草图，用图像法直观判断 · 以 和交点横坐标为分界点划分区间 · 每个区间内结合增减性分析 易错提醒： 忽略 ；解不等式两边乘（除以）含 的式子时不分类讨论；跨象限误用增减性。 【变式5-1】（2026·湖北孝感·三模）如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东河源·期末）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海崇明·阶段检测）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【变式5-4】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）函数中，当时，，如果的取值范围为，则的取值范围是______． 题型06 反比例函数过象限问题 【典例】（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 解题梳理 解题核心： 的符号决定分支所在象限。 判断规律： · ：两支分别在第一、三象限 · ：两支分别在第二、四象限 · 图像永远不经过坐标轴（，） 常见考法： · 已知 符号（或解析式）判断经过哪些象限 · 已知图像所在象限求 的符号或范围 · 已知点在图像上，由点所在象限推断 符号及另一支位置 · 含参数时，由过象限条件列不等式求参数范围 点与象限： · 图像上一点在第一象限 ，另一支在第三象限 · 图像上一点在第二象限 ，另一支在第四象限 易错提醒： 反比例函数只过两个象限，不是三个；判断 时看点的横纵坐标乘积正负。 【变式6-1】（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【变式6-4】（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 题型07 反比例函数的增减性运用 【典例】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 解题梳理 解题核心： 增减性必须在每个象限内使用，比较函数值先判断点是否在同一象限。 增减规律： · ：每个象限内 随 增大而减小 · ：每个象限内 随 增大而增大 比较函数值大小： · 两点在同一象限（横坐标同号）：按增减性直接比较 · 两点在不同象限（横坐标异号）： ：第一象限的 恒为正，第三象限的 恒为负，第一象限点函数值大 ：第二象限的 恒为正，第四象限的 恒为负，第二象限点函数值大 解题步骤： · 判断 的符号 · 判断各点横坐标的正负（确定在哪个象限） · 同象限按增减性比较，异象限按正负直接判断 已知增减性求参数： · 由“在每象限内 随 增大而减小”得 ，列不等式 · 结合图像所在象限综合确定参数范围 易错提醒： 不判断象限直接套增减性；异象限点错误地按增减性比较。 【变式7-1】（2026·山西长治·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·湖北襄阳·一模）已知点，在反比例函数的图象上，若，请写出一个符合条件的的值是___． 【变式7-4】（2026·四川成都·二模）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而减小．则k的取值范围是________． 题型08 反比例函数与一次函数的交点与大小问题 【典例】（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 解题梳理 解题核心： 联立求交点，图像分区间比较大小。 求交点： · 联立 和 · 消 得 ，化为一元二次方程求解 · 两个交点， 一个， 无交点 交点对称性： · 正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称：一个为 ，另一个为 函数值大小比较： · 求出交点横坐标 · 以交点横坐标和 为分界点划分区间 · 每个区间内看哪个图像在上方，上方者函数值大 · 写出不等式（如 ）的解集 解题步骤： 求两函数解析式 联立求交点 画草图 以交点和 分界 分区间写解集。 易错提醒： 漏掉 这个分界点；区间划分不全；正比例与反比例交点的对称性记错。 【变式8-1】（2026·甘肃嘉峪关·二模）反比例函数的图象与直线相交于点，， (1)求反比例函数与直线的解析式； (2)连接，，求的面积S． (3)直接写出当x取何值时，． 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． (1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标； (3)观察图象，直接写出时，x的取值范围． 【变式8-3】（25-26九年级上·新疆哈密·期中）如图，已知点，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求方程的解（请直接写出答案）； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． 【变式8-4】（2026·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．与y轴交于点，的面积为6． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围． 题型09 反比例函数的实际应用问题 【典例】（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ 解题梳理 解题核心： 两变量乘积为定值即反比例关系，注意实际取值范围。 常见类型： · 物理：、、、杠杆平衡 · 工程：效率 时间 总量（定值） · 行程：速度 时间 路程（定值） · 几何：面积一定时长 宽 定值 解题步骤： · 审题找乘积为定值的两个变量 · 设 ，由已知条件求 · 确定自变量实际范围（通常 ，只取第一象限一支） · 利用解析式求值、比较或分析变化趋势 关键提醒： · 实际问题自变量通常为正，只画第一象限的一支 · 结合实际意义解释增减性（如速度越大用时越短） · 注意单位统一 易错提醒： 忽略实际取值范围画出整支双曲线；单位不统一。 【变式9-1】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【变式9-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【变式9-3】（2026·河南安阳·一模）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米与其两腿迈出的步长之差厘米（）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)若小昆两腿迈出的步长之差为0.5厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？ (3)若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于70米，求其两腿迈出的步长之差的取值范围． 【变式9-4】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式； (2)救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 题型10 反比例函数中的面积问题 【典例】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 解题梳理 解题核心： 用好 的几何意义，结合割补法和坐标法。 基本面积结论： · 点向两轴作垂线：矩形 · 点向一轴作垂线连原点：三角形 常见类型： 1. 单点面积 · 直接用 或 2. 两点与原点构成的三角形 · 两点向坐标轴作垂线，用面积和差（梯形 三角形） · 或用割补法、铅垂高法 3. 反比例函数与一次函数围成的图形 · 先联立求交点坐标 · 以坐标轴上线段为底，或用割补法求面积 4. 两个反比例函数图像之间的面积 · 分别用两个 计算面积，再求差 解题步骤： 设点坐标 作辅助线（向坐标轴作垂线） 用 或坐标表示面积 列方程求解。 易错提醒： 面积用 ；不同分支点坐标有正负，长度取绝对值；割补时和差关系搞错。 【变式10-1】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【变式10-2】（2026·安徽·二模）如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点．将直线沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数的图象分别交于，两点，直线与轴交于点．已知点和的横坐标分别为和． (1)求一次函数图象在反比例函数图象上方时，的取值范围； (2)连接，，若的面积为，求点的坐标． 【变式10-3】（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【变式10-4】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，O为坐标原点，点和点均在直线和反比例函数图象上． (1)求m，的值； (2)直接写出当x满足什么条件时，； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 题型11 反比例函数中的特殊图形存在性问题 【典例】（25-26九年级下·广东惠州·阶段检测）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集； (4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标． 解题梳理 解题核心： 设点坐标，按图形条件列方程，分类讨论。 常见类型： 1. 等腰三角形存在性 · 设动点，已知两定点 · 分三种情况：哪两边相等 · 用距离平方列方程，结合 求解 2. 直角三角形存在性 · 分三种情况：哪个角为直角 · 用勾股定理逆定理或坐标垂直条件列方程 3. 平行四边形存在性 · 分三种情况讨论哪条为对角线 · 用中点坐标公式（对角顶点坐标和相等），结合 求解 4. 特殊点存在性（如面积相等、线段相等） · 设点坐标，将几何条件转化为方程 · 解方程并检验点是否在指定分支或范围内 解题步骤： · 设图像上动点坐标为（只用一个变量 ） · 按图形性质分类列方程 · 解方程求 ，进而求点坐标 · 检验：点是否在指定分支、是否在指定范围、是否与已知点重合 关键技巧： · 动点在双曲线上，横纵坐标满足 ，用一个变量表示 · 距离用平方避免根号 · 分类讨论要全面，不同分支都要考虑 易错提醒： 分类讨论遗漏；求出的点不在指定分支或范围；忽略 的约束导致多解。 【变式11-1】（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，一次函数和交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图形，请直接写出时，x的取值范围； (3)在y轴上取一点P，连接PA、PB，请问能否恰好构成直角三角形？如能，请求出P点坐标；如不能，请说明理由． 【变式11-2】（2025·辽宁丹东·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 【变式11-3】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)点是平面内任意一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【变式11-4】（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，． (1)求k的值； (2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长； (3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由． 【巩固训练】 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）反比例函数的图象经过点，若点在反比例函数图象上，则m等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 3．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过点 C．图象位于第一、三象限 D．若，则函数值取值范围是 4．（25-26九年级上·江西上饶·期末）物理中，当用电器两端电压保持不变时，用电器中的电流（单位：A）与用电器的电阻（单位：）成反比例关系，其函数解析式为（为非零常数）．某同学绘制了该电路的图象（如图所示，横轴为电阻，纵轴为电流），已知图象经过点．下列说法正确的是（   ） A．电压 B．当时，电流 C．电阻每增大，电流就减小 D．若电流的取值范围是，则电阻的取值范围是 5．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 7．（2026·新疆·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 9．（25-26九年级上·山东东营·期末）已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 10．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则______． 11．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 12．（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． (1)求一次函数和反比例函数的解释式． (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 13．（25-26九年级上·江西南昌·期末）细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．在生物学中，细胞的相对表面积（单位：）与细胞的半径R（单位：）成如图所示的反比例函数关系． (1)当细胞的相对表面积为时，求R的值． (2)当细胞的半径R大于时，直接写出细胞的相对表面积的取值范围． 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象．对于函数，可列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 0 2 2 … (1)表中_____，_____；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的大致图象； (2)观察函数图象，请写一条该函数的性质：_____； (3)结合函数图象，请直接写出不等式的解集：_____． 15．（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，点，，…在反比例函数的图象上，点，，…在y轴上，且…，直线与双曲线交于点，，，…，则（为正整数）的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象有两个不同的交点分别为，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知的图象上有两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， 则 D．若，则 5．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数的图象上，若，，则k的值为______． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为，双曲线经过点A和的中点D，连接，，则______． 7．（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）如图，在函数的图象上有点，点的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为，则___________．(用含n的代数式表示)    8．（25-26九年级下·浙江衢州·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，，反比例函数的图象分别交，于点C，D，连接并延长交x轴于点E．若的面积和的面积相等，则：    （1）的面积为______． （2）点C的坐标是______． 9．（25-26九年级上·山西晋中·期末）项目化试题“制作形视力表” 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． （1）已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示，其中视力值是该行字母的宽度值（）的______函数，若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是______． 宽度值（） 视力值 （2）在同一行的“”______（填“全等”或“相似”）不在同一行的“”______（填“全等”或“相似”） 【课题结论】 一：如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． 二：大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用它们测得的视力就相同． 　　　 （3）问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． （4）问题2：小明想制作一张测试距离为米的“”形视力表，如图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其测试距离为，其高度为，求小明在制作视力表中视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少？（在一条直线上，在一条直线上） 10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．将矩形绕原点O顺时针旋转，得到矩形． (1)求经过点的反比例函数解析式； (2)点P是直线上的动点，过点P作x轴的平行线，交反比例函数图象于点Q．设点P的横坐标为t，线段的长为d． ①用含t的代数式表示d； ②当时，求点P的坐标． (3)在（1）的条件下，在过点的反比例函数图象上求点M，且M在第一象限，使的所有满足条件的点M的坐标． 11．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值； (3)若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 12．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P是反比例函数第二象限上一点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求P点坐标． 13．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·重庆·期中）在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 15．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数章末重难点复习 7知识点+11题型+巩固训练+强化训练 1.理解反比例函数的概念并熟练掌握求反比例函数的解析式； 2.熟悉反比例函数的图象与性质； 3.掌握反比例函数、一次函数与二次函数的图象问题； 4.掌握反比例函数系数k的几何意义并应用； 5.掌握一次函数与反比例函数综合应用问题（交点问题、函数值大小问题）； 6.掌握反比例函数与几何问题综合应用问题（面积问题、特殊图形存在性问题）； 7. 反比例函数的实际应用问题。 1. 反比例函数的概念与解析式 （1）定义： 形如（为常数，）的函数叫做反比例函数。 （2）三种等价形式： · （）；（）；（）。 （3）自变量取值范围： （全体非零实数）；函数值 。 （4）解析式确定： 只需一个点的坐标，代入 求出 （待定系数法），。 （5）判断要点： · 形如且 · 的次数为 （或分母只含 的一次式） · 自变量 不能为 2. 反比例函数的图像 （1）图像形状： 双曲线，有两个分支。 （2）图像位置（由 的符号决定）： · ：图像的两个分支分别在第一、三象限 · ：图像的两个分支分别在第二、四象限 （3）图像特征： · 图像关于原点中心对称（两个分支关于原点对称） · 图像关于直线 和直线 轴对称 · 图像无限接近 轴和 轴，但永远不与坐标轴相交（，） · 图像是断开的两支，不是连续曲线 （4）画图步骤（描点法）： · 列表： 取非零值，正负对称取值 · 描点：在坐标系中描出各点 · 连线：用平滑曲线连接，注意分支不相连、不与坐标轴相交 3. 反比例函数的性质 （1）图像位置 · ：分支在一、三象限 · ：分支在二、四象限 （2）增减性（必须在每个象限内或每个分支上讨论） · ：在每个象限内， 随 的增大而减小 · ：在每个象限内， 随 的增大而增大 · 注意： 不能笼统说“ 随 增大而减小（或增大）”，必须强调“在每个象限内” （3）对称性 · 关于原点中心对称：若点 在图像上，则 也在图像上 · 关于 对称：若 在图像上，则 也在图像上 · 关于 对称：若 在图像上，则 也在图像上 （4）函数值大小比较 · 同一象限内的点：按增减性比较 · 不同象限的点： 时第一象限点的函数值恒大于第三象限点； 时第二象限点的函数值恒大于第四象限点 · 不能跨象限直接用增减性 （5） 的大小与图像位置 · 越大，双曲线离坐标轴越远（图像越“靠外”） · 越小，双曲线离坐标轴越近 4. 反比例函数系数 的几何意义 （1）核心结论： 过反比例函数图像上任意一点 作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、，则： · 矩形 的面积 · 三角形 （或 ）的面积 推导： 设 ，则 ，矩形面积 。 （2）常见图形与面积： · 一点向一条坐标轴作垂线，连接原点：三角形面积 · 一点向两条坐标轴作垂线：矩形面积 · 图像上两点与原点构成的三角形：利用坐标和割补法计算 · 同一反比例函数图像上的点，对应的矩形面积都相等（都等于 ） （3）由面积求 ： · 已知面积 可求 ，再根据图像所在象限确定 的符号 · 一、三象限 ；二、四象限 （4）易错提醒： 面积是 ，不是 ；求 时要根据象限判断正负。 5. 反比例函数的实际应用问题 （1）物理公式型 · 路程一定：（速度与时间成反比） · 压力一定：（压强与受力面积成反比） · 电压一定：（电流与电阻成反比） · 密度：（质量一定时密度与体积成反比） · 功一定：（力与距离成反比） （2）工程/行程问题 · 工作总量一定：工作效率 工作时间 总量 · 路程一定：速度 时间 路程 （3）解题步骤： · 审题，找出两个变量之间的乘积为定值的关系 · 设解析式 ，由已知条件求 · 根据实际意义确定自变量取值范围（通常 ，只取一个分支） · 利用解析式求值、比较大小或分析变化趋势 （4）关键提醒： · 实际问题中自变量通常为正，图像只取第一象限的一支 · 注意自变量取值范围的实际限制 · 增减性分析要结合实际意义 6. 一次函数与反比例函数综合 （1）交点问题 · 联立两个函数解析式： 与 联立 · 消去 得：，整理为 （一元二次方程） · 解方程求交点横坐标，再求纵坐标 · 交点个数： 两个交点， 一个交点， 无交点 （2）函数值大小比较（图像法） · 以交点横坐标和 为分界点，将 轴分成若干区间 · 在每个区间内看哪个函数图像在上方，上方的函数值大 · 注意 处反比例函数无定义，必须作为分界点 （3）交点的对称性 · 正比例函数 与反比例函数 的两个交点关于原点对称 · 若一个交点为 ，另一个为 · 一般一次函数与反比例函数的交点不具有此对称性 （4）三角形面积问题 · 两函数交点与坐标轴上点构成的三角形面积 · 常用方法：割补法、铅垂高法、以坐标轴上的线段为底 · 设交点坐标，用坐标表示底和高 （5）解题步骤 · 待定系数法：利用已知点分别（或联立）求两个函数解析式 · 联立方程求交点坐标 · 结合图像分析函数值大小、方程的解、不等式的解集 · 用坐标法计算面积 （6）方程与不等式的几何意义： · 两函数图像交点的横坐标 联立方程的解 · 的解集 一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的 范围 7. 反比例函数与几何问题综合 （1）与三角形、四边形结合 · 几何图形顶点在反比例函数图像上 · 利用 建立坐标关系 · 结合图形性质（全等、相似、特殊四边形）求解 （2） 的几何意义综合应用 · 利用矩形面积 、三角形面积 建立等量关系 · 多个反比例函数图像：分别用各自的 计算面积 · 面积的和差转化：将不规则图形面积转化为几个规则图形面积的和差 （3）常见模型 模型一：双曲线上一点作双垂线 · 矩形面积 ，两个三角形面积各为 模型二：双曲线上两点与原点 · 两点向 轴（或 轴）作垂线，利用面积相等转化 · 可通过梯形面积 两个三角形面积的和差计算 模型三：反比例函数与一次函数围成图形 · 交点坐标联立求出 · 用割补法或铅垂高法求三角形面积 模型四：矩形/正方形顶点在双曲线上 · 设点坐标，利用 和图形边长关系列方程 · 正方形常用邻边相等且垂直的条件 （4）解题方法 · 坐标法：设图像上点坐标为 ，用一个变量表示 · 面积法：利用 的几何意义直接得面积 · 方程思想：结合几何条件列方程求点坐标或 · 割补法：不规则图形转化为规则图形面积和差 （5）易错提醒 · 用 的几何意义时面积是 ，注意 的符号 · 不同分支上的点坐标正负不同，计算长度用绝对值 · 动点问题注意点在不同分支上的分类讨论 题型01 反比例函数的定义与解析式 【典例】（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 解题梳理 解题核心： 紧扣定义特征，一个点即可确定解析式。 定义判断： · 形如 （），等价形式 、 · 的次数为 ，， 求解析式（待定系数法）： · 设 · 代入图像上一个已知点坐标，求 · 写出解析式 常见考法： · 判断函数是否为反比例函数：化为标准形式，检验 · 含参数的定义题：令 的次数为 且系数 · 已知一点求解析式；或已知 、 的一组对应值求 易错提醒： 不能忘；分母只能是 的一次式； 带坐标符号计算。 【变式1-1】（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）若函数是反比例函数，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式为，其中是解题的关键． 根据反比例函数的定义列式方程计算即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合． 【详解】解：①符合形式，，是反比例函数； ②是正比例函数形式，不是反比例函数； ③符合形式，，是反比例函数； ④，即，符合形式，，是反比例函数 ⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数； ⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数； 故是反比例函数的有①、③、④，共3个， 故选：C． 【变式1-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知函数是反比例函数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则且即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）若反比例函数的图象经过点，则m的值是________________． 【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数中为定值．直接根据反比例函数中的特点进行解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即． 故答案为：． 题型02 反比例函数的图象与性质综合问题 【典例】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故A选项不符合题意； 因为反比例函数的图象不关于y轴对称， 故B选项不符合题意； 因为点在函数图象上， 则， 所以， 所以点和点都在图象上， 故C选项符合题意； 当时，， 故D选项 不符合题意． 解题梳理 解题核心： 图像位置、增减性、对称性综合运用。 图像特征： · 双曲线，两支不相连，不与坐标轴相交 · 在一、三象限； 在二、四象限 · 关于原点中心对称，关于 、 轴对称 性质要点： · 增减性必须在“每个象限内”讨论 · ：每象限内 随 增大而减小 · ：每象限内 随 增大而增大 · 越大，图像离坐标轴越远 常见考法： · 由图像位置判断 符号，或由 判断图像位置 · 利用对称性求点坐标（关于原点、 对称） · 图像上点的坐标特征：横纵坐标乘积恒等于 易错提醒： 增减性不能跨象限使用；两支不连续，不能连成一条曲线。 【变式2-1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 【变式2-3】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴函数的图象位于一、三象限， ∵， ∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， ∴函数的图象为 . 【变式2-4】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 题型03 反比例函数、一次函数、二次函数的综合判断问题 【典例】（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 解题梳理 解题核心： 同一坐标系中，各函数的公共系数符号必须一致。 解题方法： · 分别根据每个函数的图像判断其系数符号 · 检查公共系数（如 、）符号是否一致 · 逐一排除矛盾选项 判断依据： · 一次函数 ： 看直线升降， 看与 轴交点 · 反比例函数 ： 在一三象限， 在二四象限 · 二次函数 ： 看开口， 看 轴交点， 看对称轴 常见考法： · 判断同一坐标系中多个函数图像是否可能共存 · 由一个函数图像推断其他函数图像的大致位置 · 函数解析式含相同参数时，符号一致性检验 易错提醒： 只验证一个函数就下结论；公共系数符号前后矛盾未发现。 【变式3-1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系是解题的关键． 分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定m的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，判断反比例函数图象所在象限，一次函数与反比例函数图象综合判断等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据，分、两种情况讨论，分别得出两个函数图象的大致位置，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，一次函数过第一、二、三象限， 反比例函数在第一、三象限，故A符合； 当时，一次函数过第二、三、四象限， 反比例函数在第二、四象限，没有选项符合， 故选：A． 【变式3-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象分布，根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】解：根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在y轴左侧，，图象与y轴交于负半轴，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 【变式3-4】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知一次函数与反比例函数，则两个函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知反比例函数与一此函数的图象与比例系数的关系是解答此题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象经过一、二、三象限可知，由反比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象经过一、三、四象限可知，函数图象经过y轴负半轴与相矛盾，故本选项不合题意， C、由一次函数图象经过一、三、四象限可知，函数图象经过y轴负半轴与相矛盾，，故本选项不合题意； D、由一次函数的图象经过一、二、四象限可知，由反比例函数的图象可知，故本选项合题意． 故选∶D． 题型04 比例系数k的几何意义 【典例】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义可得，即，再根据为中点可得，进而求出矩形面积． 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 解题梳理 解题核心： 图像上点向坐标轴作垂线，矩形面积 ，三角形面积 。 基本结论： · 点 在 上，向两坐标轴作垂线围成矩形： · 点 向一条坐标轴作垂线并连接原点： · 同一图像上任意点对应的矩形面积都相等 常见考法： · 已知 求图形面积：直接用 或 · 已知面积求 ：，再由图像所在象限定 的正负 · 多个反比例函数图像：分别用各自的 计算面积后和差 解题步骤： 设点坐标 作垂线表示面积 建立面积与 的关系 求解。 易错提醒： 面积等于 不是 ；求 时忘记根据象限判断符号。 【变式4-1】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 【变式4-2】（25-26九年级下·福建·阶段检测）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的中心对称性可得点的坐标，再设点的坐标为，利用平行四边形的性质，表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到与的关系，最后根据三角形面积公式和平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 四边形是平行四边形，且边经过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且为的中点， ∴ ， ∴ ， 设， ∵ 四边形是平行四边形，且设点， ， 整理得：， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得：，即， ∴，即． ∵在轴负半轴， ∴，符合题意． ∴． ∴． 故选：C． 【变式4-3】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【答案】 【分析】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 【变式4-4】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型05 根据已知条件求反比例函数值或自变量的范围 【典例】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据反比例函数的增减性，结合求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且， 分两种情况讨论： （1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件； （2）当时，令，， 解得， 在第三象限，y随着x的增大而减小， 时， 综上，自变量的取值范围是或． 解题梳理 解题核心： 结合解析式与图像，分象限讨论取值范围。 常见类型： 1. 已知 范围求 范围 · 先判断 的符号 · 同一象限内按增减性确定 范围 · 跨象限时分区间讨论，注意 2. 已知 范围求 范围 · 解不等式 的范围，注意 正负影响不等号方向 · 或借助图像，看对应部分的横坐标范围 3. 已知函数值大小关系求 范围 · 图像法：画出草图，找交点，分区间比较 · 代数法：分 和 两种情况解不等式 解题技巧： · 优先画草图，用图像法直观判断 · 以 和交点横坐标为分界点划分区间 · 每个区间内结合增减性分析 易错提醒： 忽略 ；解不等式两边乘（除以）含 的式子时不分类讨论；跨象限误用增减性。 【变式5-1】（2026·湖北孝感·三模）如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象在点上方部分对应的的取值范围，即为时，x的取值范围． 【详解】解：由图可得，当时，x的取值范围是． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东河源·期末）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系为，由图象可把点代入得：， ∴， ∴函数关系为， 当时，则有，即， ∴若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海崇明·阶段检测）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 【变式5-4】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）函数中，当时，，如果的取值范围为，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的性质，先代入已知数据求出是求解的关键．先把“当时，”代入函数解析式，求出值，再根据反比例函数图象的性质代入函数值的范围即可求出的取值范围． 【详解】解：当时，， ， 函数解析式为，在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 解得或． 故答案为：或． 题型06 反比例函数过象限问题 【典例】（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 解题梳理 解题核心： 的符号决定分支所在象限。 判断规律： · ：两支分别在第一、三象限 · ：两支分别在第二、四象限 · 图像永远不经过坐标轴（，） 常见考法： · 已知 符号（或解析式）判断经过哪些象限 · 已知图像所在象限求 的符号或范围 · 已知点在图像上，由点所在象限推断 符号及另一支位置 · 含参数时，由过象限条件列不等式求参数范围 点与象限： · 图像上一点在第一象限 ，另一支在第三象限 · 图像上一点在第二象限 ，另一支在第四象限 易错提醒： 反比例函数只过两个象限，不是三个；判断 时看点的横纵坐标乘积正负。 【变式6-1】（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数比例系数的符号即可判断图象所在象限． 【详解】解：中，， ∴ 反比例函数的图象位于第二、第四象限． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数的比例系数，图象在第一、三象限，，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， ， 故选：A． 【变式6-3】（2026·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 【变式6-4】（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 题型07 反比例函数的增减性运用 【典例】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 解题梳理 解题核心： 增减性必须在每个象限内使用，比较函数值先判断点是否在同一象限。 增减规律： · ：每个象限内 随 增大而减小 · ：每个象限内 随 增大而增大 比较函数值大小： · 两点在同一象限（横坐标同号）：按增减性直接比较 · 两点在不同象限（横坐标异号）： ：第一象限的 恒为正，第三象限的 恒为负，第一象限点函数值大 ：第二象限的 恒为正，第四象限的 恒为负，第二象限点函数值大 解题步骤： · 判断 的符号 · 判断各点横坐标的正负（确定在哪个象限） · 同象限按增减性比较，异象限按正负直接判断 已知增减性求参数： · 由“在每象限内 随 增大而减小”得 ，列不等式 · 结合图像所在象限综合确定参数范围 易错提醒： 不判断象限直接套增减性；异象限点错误地按增减性比较。 【变式7-1】（2026·山西长治·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定反比例函数的比例系数符号，再根据x的取值范围判断两点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较与的大小． 【详解】解：将反比例函数整理为的形式，可得． ∵， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． 又∵， ∴点，都位于第四象限，根据增减性可得． 【变式7-2】（2026·江苏徐州·中考真题）若点，都在函数的图象上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 【变式7-3】（2026·湖北襄阳·一模）已知点，在反比例函数的图象上，若，请写出一个符合条件的的值是___． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据已知点的横坐标和纵坐标的大小关系，判断的取值范围，即可得到符合条件的值． 【详解】解：∵，， ∴在同一象限内随的增大而减小， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴（答案不唯一）． 【变式7-4】（2026·四川成都·二模）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而减小．则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性判断出的符号，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解： 反比例函数的图象在所在象限内，的值随值的增大而减小，，解得． 题型08 反比例函数与一次函数的交点与大小问题 【典例】（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A，点B的坐标，取中点D，易得点D的坐标，分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为，求出，证明，可得，进而得到点C的坐标，即可解答； （2）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． 解题梳理 解题核心： 联立求交点，图像分区间比较大小。 求交点： · 联立 和 · 消 得 ，化为一元二次方程求解 · 两个交点， 一个， 无交点 交点对称性： · 正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称：一个为 ，另一个为 函数值大小比较： · 求出交点横坐标 · 以交点横坐标和 为分界点划分区间 · 每个区间内看哪个图像在上方，上方者函数值大 · 写出不等式（如 ）的解集 解题步骤： 求两函数解析式 联立求交点 画草图 以交点和 分界 分区间写解集。 易错提醒： 漏掉 这个分界点；区间划分不全；正比例与反比例交点的对称性记错。 【变式8-1】（2026·甘肃嘉峪关·二模）反比例函数的图象与直线相交于点，， (1)求反比例函数与直线的解析式； (2)连接，，求的面积S． (3)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得直线与y轴的交点坐标，再利用坐标与图形的性质，结合三角形的面积公式求解即可； （3）找出函数的图象位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， ∴； 将代入中，得， ∴， 将，代入中，得， 解得， ∴； （2）解：如图，设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，当或时，． 【变式8-2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． (1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标； (3)观察图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点A分别代入到两个函数解析式即可解答； （2）联立一次函数和反比例函数的表达式即可解答； （3）观察函数图象得出反比例函数在一次函数上方或相等时x的取值范围即可； 【详解】（1）解：将点代入中得， ， ∴一次函数表达式为， 将点代入中得，解得：， ∴反比例函数表达式为； （2）解：联立与，得，即， 解得：或2， 经检验均是方程的解， 当时，， ∴点B的坐标为； （3）解：∵，， 根据函数图象可得，当时，或． 【变式8-3】（25-26九年级上·新疆哈密·期中）如图，已知点，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求方程的解（请直接写出答案）； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为； (2)，； (3)或． 【分析】（1）先将点B坐标代入反比例函数解析式，再将点A坐标代入所求反比例函数解析式，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 将点代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． 将点A坐标代入得，， ∴点A坐标为． 将A，B两点坐标代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：方程的解可看成函数与函数交点的横坐标， ∴方程的解为，． （3）解：由所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为：或． 【变式8-4】（2026·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．与y轴交于点，的面积为6． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先利用三角形的面积求出点的坐标，然后利用待定系数法求函数表达式； （2）结合函数图象交点横坐标，得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为6，且点，， ∴， 解得， ∴，代入得， ， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入得， ， ∴， 将和代入得， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数和反比例函数的交点坐标为和， ∴由图象可得，当或时，直线位于双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 题型09 反比例函数的实际应用问题 【典例】（25-26九年级上·云南德宏·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ 【答案】(1) (2)以上的范围内． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：电流I与电阻R是反比例函数，设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即用电器可变电阻应控制在以上的范围内． 解题梳理 解题核心： 两变量乘积为定值即反比例关系，注意实际取值范围。 常见类型： · 物理：、、、杠杆平衡 · 工程：效率 时间 总量（定值） · 行程：速度 时间 路程（定值） · 几何：面积一定时长 宽 定值 解题步骤： · 审题找乘积为定值的两个变量 · 设 ，由已知条件求 · 确定自变量实际范围（通常 ，只取第一象限一支） · 利用解析式求值、比较或分析变化趋势 关键提醒： · 实际问题自变量通常为正，只画第一象限的一支 · 结合实际意义解释增减性（如速度越大用时越短） · 注意单位统一 易错提醒： 忽略实际取值范围画出整支双曲线；单位不统一。 【变式9-1】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可； （2）根据（1）所求，求出时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 【变式9-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是 (3)气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据实际问题解释点坐标的意义即可； （3）根据函数解析式求出函数值，然后求解即可． 【详解】（1）解：设压强与体积的函数表达式为， 将代入得：， ， ∴压强与体积的函数表达式为； （2）解：当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是； （3）解：当时，，解得． 当时，，解得． ， 答：气体体积压缩了． 【变式9-3】（2026·河南安阳·一模）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米与其两腿迈出的步长之差厘米（）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)若小昆两腿迈出的步长之差为0.5厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？ (3)若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于70米，求其两腿迈出的步长之差的取值范围． 【答案】(1) (2)当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米 (3)某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差 【分析】（1）设反比例函数解析式为，将图象中的点代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式求解，即可解题； （3）根据题意建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数过点， ， ， 与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）解：当时，即， ， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差． 【变式9-4】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． (1)求爆炸后y与x之间的函数表达式； (2)救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 【答案】(1)y＝，自变量x的取值范围是 (2)救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井 【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是求出反比例函数的关系式． （1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）求出时，对应的反比例函数的函数值，然后减去7即可求解． 【详解】（1）解：因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为， 由图像知过点，则． 解得：， 所以，此时自变量x的取值范围是； （2）当时，由，得 解得：， （小时）， 故救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井． 题型10 反比例函数中的面积问题 【典例】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，即可求出的值； （2）根据，设直线的解析式为，根据平行线间距离相等得出，结合的面积为求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线过点， ， 解得：． （2）解：如图，连接， ∵将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点， ∴， ∴设直线的解析式为，， 当时，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ， ， 直线的解析式为． 解题梳理 解题核心： 用好 的几何意义，结合割补法和坐标法。 基本面积结论： · 点向两轴作垂线：矩形 · 点向一轴作垂线连原点：三角形 常见类型： 1. 单点面积 · 直接用 或 2. 两点与原点构成的三角形 · 两点向坐标轴作垂线，用面积和差（梯形 三角形） · 或用割补法、铅垂高法 3. 反比例函数与一次函数围成的图形 · 先联立求交点坐标 · 以坐标轴上线段为底，或用割补法求面积 4. 两个反比例函数图像之间的面积 · 分别用两个 计算面积，再求差 解题步骤： 设点坐标 作辅助线（向坐标轴作垂线） 用 或坐标表示面积 列方程求解。 易错提醒： 面积用 ；不同分支点坐标有正负，长度取绝对值；割补时和差关系搞错。 【变式10-1】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 【变式10-2】（2026·安徽·二模）如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点．将直线沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数的图象分别交于，两点，直线与轴交于点．已知点和的横坐标分别为和． (1)求一次函数图象在反比例函数图象上方时，的取值范围； (2)连接，，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）通过观察图象即可求解； （2）过点作轴交于点，易得，根据的面积为列方程可得的值，进而确定点的坐标． 【详解】（1）解：点和的横坐标分别为和． 根据函数图象可得：一次函数图象在反比例函数图象上方时，的取值范围为或； （2）解：点和的横坐标分别为和，且，在上， 当时，，当时，， ，， 代入得，， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 如图，过点作轴交于点， 直线沿轴向上平移个单位长度， ， ， ， ，解得， ， ， ，即． 【变式10-3】（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2)17 【分析】（1）利用待定系数法，逐一求解即可； （2）根据，解答即可； 【详解】（1）解：反比例函数（）经过点， ， 解得， 故反比例函数的解析式为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为， 当时，， 故点B的坐标为； （2）解：点在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， ， 解得， ， ， ． 【变式10-4】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，O为坐标原点，点和点均在直线和反比例函数图象上． (1)求m，的值； (2)直接写出当x满足什么条件时，； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)P或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、函数与不等式、坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由点在反比例函数图象上，可得，即；将点代入反比例函数即可求得m的值； （2）由（1）可知两函数的交点坐标为点和点，然后再结合函数图象即可解答； （3）利用待定系数法得出直线的解析式为，则直线交y轴于，设，然后根据坐标与图形列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵将点代入反比例函数． ∴，解得：． （2）解：∵点和点是直线和反比例函数的交点， 观察图象可知：当或时，． （3）解：∵点和点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线交y轴于， 设， ∵的面积是面积的2倍， ∴，解得或， ∴P或． 题型11 反比例函数中的特殊图形存在性问题 【典例】（25-26九年级下·广东惠州·阶段检测）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集； (4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）图象法求出不等式的解集即可； （4）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵都在一次函数的图像上, ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：设直线与y轴交于点C， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由图象可知：的解集为：或； （4）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时，， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 解题梳理 解题核心： 设点坐标，按图形条件列方程，分类讨论。 常见类型： 1. 等腰三角形存在性 · 设动点，已知两定点 · 分三种情况：哪两边相等 · 用距离平方列方程，结合 求解 2. 直角三角形存在性 · 分三种情况：哪个角为直角 · 用勾股定理逆定理或坐标垂直条件列方程 3. 平行四边形存在性 · 分三种情况讨论哪条为对角线 · 用中点坐标公式（对角顶点坐标和相等），结合 求解 4. 特殊点存在性（如面积相等、线段相等） · 设点坐标，将几何条件转化为方程 · 解方程并检验点是否在指定分支或范围内 解题步骤： · 设图像上动点坐标为（只用一个变量 ） · 按图形性质分类列方程 · 解方程求 ，进而求点坐标 · 检验：点是否在指定分支、是否在指定范围、是否与已知点重合 关键技巧： · 动点在双曲线上，横纵坐标满足 ，用一个变量表示 · 距离用平方避免根号 · 分类讨论要全面，不同分支都要考虑 易错提醒： 分类讨论遗漏；求出的点不在指定分支或范围；忽略 的约束导致多解。 【变式11-1】（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，一次函数和交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图形，请直接写出时，x的取值范围； (3)在y轴上取一点P，连接PA、PB，请问能否恰好构成直角三角形？如能，请求出P点坐标；如不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)x的取值范围是：或； (3)为直角三角形时，点坐标为或或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法即可求解； （2）观察图象可知，当，直线在反比例函数的下方，即可求解； （3）设点，分别求出，，，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数过点、， 把代入中，得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入中，得：， ∴， 把，代入中，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：观察图象可知，当，直线在反比例函数的下方， 又∵，， ∴，， ∴x的取值范围是：或； （3）解：设点， ∵，， ∵， ， ， 当时，如图： ∴，即， 解得：， ∴点， 当时，如图： ∴，即， 整理得： 解得：或， ∴点或， 当时，如图： ∴，即， 解得：， ∴点， 综上所述，为直角三角形时，点坐标为或或或． 【变式11-2】（2025·辽宁丹东·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Р的坐标为或或或 【分析】（1）把点坐标代入求得值即可； （2）根据（1）中反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式，设一次函数与轴交于点，求得，最后利用即可得到答案； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时，利用两点坐标求两点距离的公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． （2）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； 设一次函数与轴交于点，如图， 对于，当时，， ， ， ，， 的面积为． （3）解：点在轴上， ①当时，如图所示， ， ， ， 点的坐标为或； ②当时，如图所示， 设点， ，由①可知， ， 解得或（不合题意，舍去） 点的坐标为； ③当时，如图所示， 设点， ， ，， ， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点Р的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． 【变式11-3】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)点是平面内任意一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)，， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数、反比例函数的解析式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入，求出，再求出，然后把和都代入，求出，即可作答． （2）运用数形结合思想以及一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，即可作答． （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，将点的坐标代入， 得：， ； ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， ∴把代入反比例函数， 得：， ∴， 则将和分别代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 根据图象可知： ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， 不等式的解集为：或． （3）解：①以为对角线时：， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， 点坐标为． ②当为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， 点坐标为， ③以为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， ∴点坐标分别为． 满足条件的点有三个，坐标分别是，，． 【变式11-4】（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，． (1)求k的值； (2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长； (3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等，分类求解是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可求出，得点坐标，从而求出的值； （2）由得，求出，从而可求出； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ，， ∴， ， 点， ； （2）解：四边形为平行四边形 ， 解得，（不合题意舍去） ； （3）①当时， ∴, 又， ∴，， ∴， ∴， ∴， ，即 ， ； ②当时， 又 ， ； 综上所述，点P的坐标为或． 【巩固训练】 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）反比例函数的图象经过点，若点在反比例函数图象上，则m等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数图象上的点满足函数解析式，先求出k的值，再代入待求点计算得到m的值. 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， ∴ 将代入解析式得 ， 解得 ， ∴ 反比例函数解析式为 ， 又∵ 点在反比例函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 解得 3．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过点 C．图象位于第一、三象限 D．若，则函数值取值范围是 【答案】C 【分析】本根据k的正负判断图象所在象限、增减性，再逐一验证选项即可． 【详解】解：由于反比例函数为， 则其图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 故A错误，C正确， 当时，，则图象经过点，而非， 故B错误， ∵当时，，当时，， ∴当时，或， 故D错误． 4．（25-26九年级上·江西上饶·期末）物理中，当用电器两端电压保持不变时，用电器中的电流（单位：A）与用电器的电阻（单位：）成反比例关系，其函数解析式为（为非零常数）．某同学绘制了该电路的图象（如图所示，横轴为电阻，纵轴为电流），已知图象经过点．下列说法正确的是（   ） A．电压 B．当时，电流 C．电阻每增大，电流就减小 D．若电流的取值范围是，则电阻的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：A：将代入中，得， 解得，故该选项不合题意； B：函数解析式为，当时，，故该选项不合题意； C：设，则，不是定值，故该选项不合题意； D：由图像可知，随着的增大，减小，当时，；当时，； ∴当时，，故该选项符合题意． 故选：D ． 5．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】 9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 7．（2026·新疆·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 【答案】 【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解． 【详解】解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 【答案】1.2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设h关于ρ的函数解析式为，将，代入求出解析式，把代入解析式即可得到结论． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为， 将，代入解析式，得， ∴h关于ρ的函数解析式为， 将代入，得， 解得：， 即乙液体的密度为， 故答案为：1.2． 9．（25-26九年级上·山东东营·期末）已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质和定义，熟练掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义，指数需为，且系数需大于0以保证函数在每一象限内y随x的增大而减小． 【详解】解：由反比例函数的定义，得， 解得或， ∵图象在每一个象限内y随x的增大而减小， ∴， 当时，，满足条件， 当时， ，不满足条件， ∴， ∴函数的表达式为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点，三角形的面积，熟练掌握反比例函数的图象，理解反比例函数图象上的点满足函数的表达式是解决问题的关键．首先设点的坐标为，则点，，，，…，，进而得，，，，，…，，然后根据直角三角形的面积公式可求出． 【详解】解：设点的坐标为， ∵…， ∴点，，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 12．（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图，已知A(-4，n)，B(2，-4)是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、D． (1)求一次函数和反比例函数的解释式． (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先把代入可得反比例函数解析式，再把点代入反比例函数关系式求出坐标，然后将两个点的坐标代入直线关系式，求出一次函数的解析式； （2）求出C点的坐标，结合得出答案； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：把代入得到， 所以反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 把和代入得， 解得． 所以一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， 所以C点坐标为， 则， ； （3）解：由图象得不等式的解集为或． 13．（25-26九年级上·江西南昌·期末）细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．在生物学中，细胞的相对表面积（单位：）与细胞的半径R（单位：）成如图所示的反比例函数关系． (1)当细胞的相对表面积为时，求R的值． (2)当细胞的半径R大于时，直接写出细胞的相对表面积的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设，代入，得到，然后将代入，即可求得答案； （2） 当时，，结合反比例函数的性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：设，代入， 那么有， ∴， ∴， 那么当细胞的相对表面积为时，； （2）解：当时，， ∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∴当半径R大于时，细胞的相对表面积的取值范围为：． 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）通过列表、描点、连线的方法可以画出函数的图象．对于函数，可列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 0 2 2 … (1)表中_____，_____；请在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的大致图象； (2)观察函数图象，请写一条该函数的性质：_____； (3)结合函数图象，请直接写出不等式的解集：_____． 【答案】(1) ；；如图所示： (2)函数图象是中心对称图形 (3)或 【分析】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． （1）分别将和代入，求出的值，再描点连线可得函数的图象； （2）根据函数图象可得函数性质； （3）画出的图象，结合函数图象可得不等式的解集． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 依据表格中的数据，描点，连线， 故答案为：；； （2）解：观察函数图象得：该函数的一条性质：函数图象是中心对称图形， 故答案为：函数图象是中心对称图形； （3）解：画出函数的图象，知两函数图象交点横坐标为和2， 所以，不等式的解集为或． 15．（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）设函数表达式为​，先求得，再结合，求出I关于R的函数表达式； （2）先得出，再得出，然后分别求出当与时的值，从而可分别求得的值，结合反比例函数的增减求解即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为​， ∵，， ∴， ∵， ∴​， 解得：， ∴I关于R的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，点，，…在反比例函数的图象上，点，，…在y轴上，且…，直线与双曲线交于点，，，…，则（为正整数）的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，…作轴垂线，垂足为，，…，如图所示，先联立直线与反比例函数表达式求出，再由勾股定理求出，结合直线的图象与性质和题中条件，判定均为等腰直角三角形，在中，求出即可得到；设，则由等腰直角三角形性质可知，即，由点在反比例函数的图象上，将代入反比例函数表达式解方程即可得到，则；同理求出，得；求出，得；；猜想（为正整数）的坐标规律为即可得到答案． ． 【详解】解：过点，，…作轴垂线，垂足为，，…，如图所示： 联立，则， 即，解得， ， ，即， 则， 直线是第一、三象限的角平分线， ， ， ，，， 均为等腰直角三角形， 在中，，，，则， 由勾股定理可得，则； 设，则由等腰直角三角形性质可知， 即， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， 则，即； 同理，设，则由等腰直角三角形性质可知， 即， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， 则； 同理，设，则由等腰直角三角形性质可知， 即， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， 则； 综上所述，可以得到，则（为正整数）的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标规律，综合性较强，难度比较大，涉及一次函数与反比例函数综合、求函数图象的交点坐标、解一元二次方程、勾股定理、一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，求出的长，找到点的坐标规律是解决问题的关键． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象有两个不同的交点分别为，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及利用函数图象解不等式，先利用一次函数图象上的点求出a的值，再代入反 比例函数求出k，最后分和两种情况解分式不等式确定解集． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴交点为和， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则不等式为， 分两种情况讨论： ①当时，不等式两边同乘x（不等号方向不变） 得，即 ∵， ∴， ②当时，不等式两边同乘x（不等号方向改变） 得，即， ∵， ∴， 综上，不等式的解集为或， 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点、点作轴的垂线，垂足分别为、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足分别为、， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴，如图所示，负值舍去，则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知的图象上有两点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， 则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数性质，由点A和点B在函数图象上，可得与关于t的表达式，再通过t的取值范围判断和的符号及大小关系． 【详解】解：∵点和在的图象上， ∴，， ∴，. 对于选项B：若，则， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴，故选项B正确； 其他选项均可通过反例排除：选项A，当时，，，不满足；选项C，当时，，不满足；选项D，当时，，，，不满足， 故选：B． 5．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数的图象上，若，，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为， 点在函数的图象上， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 又， ， ， 点在函数的图象上， ， （函数图象经过第二象限）， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为，双曲线经过点A和的中点D，连接，，则______． 【答案】8 【分析】过点D作于点E，延长交x轴于点F，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，根据，得出，根据，得出，求出A点的纵坐标为4，D点的纵坐标为2，证明，根据平行线分线段成比例，得出，得出，设，则，求出，根据两个点在反比例函数图像上，得出，求出m的值，得出答案即可． 【详解】解：过点D作于点E，延长交x轴于点F，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N，如图所示： ∵点C在x轴上，坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴A点的纵坐标为4，D点的纵坐标为2， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵点A、D均在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何综合，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 7．（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）如图，在函数的图象上有点，点的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1，过点分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为，则___________．(用含n的代数式表示)    【答案】 【分析】由已知信息可得，阴影部分均为矩形，根据反比例函数图象上点的坐标特征和已知条件，用含n的代数式表示出，的坐标，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：由已知信息可得，阴影部分均为矩形， 点的横坐标为1，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是1， ，的横坐标分别为n，， ，在函数的图象上， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是用含n的代数式表示出，的坐标． 8．（25-26九年级下·浙江衢州·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，，反比例函数的图象分别交，于点C，D，连接并延长交x轴于点E．若的面积和的面积相等，则：    （1）的面积为______． （2）点C的坐标是______． 【答案】 【分析】（1）理由的面积和的面积相等，转化为的面积即为的面积即可； （2）利用，设，，，待定系数法求出直线的含有的解析式，继而知道，根据三角形面积是，列出关于的方程求出的值，则点坐标随之求出． 【详解】解：（1）∵的面积和的面积相等， ∴． ∴， 故答案为：； （2）∵是等腰直角三角形， ∴， 设，其中，即， 设，即， 设直线的解析式为：，将坐标代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 根据题意可知点在第一象限，舍去负值，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，设含参解析式是本题突破的关键． 9．（25-26九年级上·山西晋中·期末）项目化试题“制作形视力表” 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． （1）已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示，其中视力值是该行字母的宽度值（）的______函数，若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是______． 宽度值（） 视力值 （2）在同一行的“”______（填“全等”或“相似”）不在同一行的“”______（填“全等”或“相似”） 【课题结论】 一：如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． 二：大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用它们测得的视力就相同． 　　　 （3）问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． （4）问题2：小明想制作一张测试距离为米的“”形视力表，如图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其测试距离为，其高度为，求小明在制作视力表中视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少？（在一条直线上，在一条直线上） 【答案】（1）反比例； （2）全等；相似 （3）证明：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①号“”字与②号“”字测试的视力相同 （4）②号“”的高度应为 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、反比例函数的定义，关键是熟练应用相似三角形的性质列比例线段求解； （1）根据表格所给数据表得出为定值即可得到结论，由可计算出结果； （2）观察视力表得出结论； （3）通过论证，得到，即可说明； （4）将数值代入上一问的比例式即可求得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴是的反比例； 当时，， 故答案为：反比例；； （2）解：由图形可知：在同一行的“”全等；不在同一行的“”相似； 故答案为：全等；相似； （3）略 （4）解：问题2：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 答：②号“”的高度应为． 10．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．将矩形绕原点O顺时针旋转，得到矩形． (1)求经过点的反比例函数解析式； (2)点P是直线上的动点，过点P作x轴的平行线，交反比例函数图象于点Q．设点P的横坐标为t，线段的长为d． ①用含t的代数式表示d； ②当时，求点P的坐标． (3)在（1）的条件下，在过点的反比例函数图象上求点M，且M在第一象限，使的所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质和点的坐标得到，由旋转的性质得到，则可得到点在y轴上，据此求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出，则直线的函数解析式为，进而可得点P的坐标为，点Q的坐标为，由此可得答案；②把代入（2）①所求的式子中，解方程即可得到答案； （3）可求出；连接，可证明，则，可求出直线的解析式为，联立，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A，C的坐标分别为，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴三点共线，即点在y轴上， ∴， 设经过点的反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点的反比例函数解析式为； （2）解：∵矩形的顶点A，C的坐标分别为，， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∵点P的横坐标为t， ∴点P的坐标为 轴， ∴点Q的纵坐标为， 在中，当时，， ∴点Q的坐标为， ∴； ②当时，则， ∴， ∴或， 解方程可知此方程无解， 解方程得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：由（1）得，， ∴，， ∴； 如图所示，连接， 由旋转的性质可得，则点在x轴上， ∴， ∴， ∵点M在第一象限， ∴点M和点A在直线的同侧， ∴， 同理可得直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或． 11．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值； (3)若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义等；能利用全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义进行求解是解题的关键． （1）联立两个函数的解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点，由反比例函数比例系数的几何意义得，由平移得，由即可求解； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，由判定，由全等三角形的性质得，，即可求解． 【详解】（1）解：联立得，， 解得，； ，． （2）解：过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点， ，四边形是矩形， 将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故的值为； （3）解：存在； 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， （）， ，， ， ， ， 即， 在反比例函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， ． 12．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P是反比例函数第二象限上一点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求P点坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题为反比例函数综合，涉及到了一次函数的图像性质，反比例函数的图像性质，相似三角形的判定及性质等知识点，合理做出辅助线是解题的关键． （1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （2）先理解题意，再进行分类讨论，且每个情况进行作图，设到的距离是，则因为，得，再运用平行线分线段成比例进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出， 解得， ∴， 把代入中，得出， ∴， 则把和分别代入 得出 解得 ∴； （2）解：∵点P是反比例函数第二象限上一点，过点P作轴，交直线于点Q， ∴当时，如图所示： 设到的距离是， 则 ，， ∵， ∴， 即， 过点作平行于轴的直线，交过点作平行于轴的直线于点 ∵轴， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴ ∴ ∵轴， ∴, 把代入，得 ∴； 当时，如图所示： 设到的距离是， 则 ∵， ∴， 即， 观察图中，当时，， 故此种情况不存在，故舍去， 综上，． 13．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点P，使得，点P的坐标为或 【分析】（1）把代入，即可求解出反比例函数的表达式，根据点A，B关于原点对称，即可求出点B的坐标； （2）根据勾股定理得到，再有，并证得， 根据相似三角形的性质求得的长，再求矩形的面积，最后根据分类讨论即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：，， 反比例函数的表达式为， 点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O， 点A，B关于原点对称， 点B的坐标为， （2）解：矩形的对角线垂直于x轴，点A的坐标为， ，， ，， 又， ， ，即，， ， 设点P的纵坐标为m， ①当点P在第一象限时，，解得，此时点P坐标为， ②当点P在第三象限时，，解得，此时点P坐标为， 存在点P，使得，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的面积的计算，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 14．（25-26九年级上·重庆·期中）在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2) 函数，的图象如图所示， 的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． (3) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数，根据题意求出一次函数和反比例函数是解题的关键． （1）根据运动时间的变化，的面积表示方法不同，分别根据当时和当时，表示出即可；先表示出的运动路程，再根据的长与点的运动路程之比为，解答即可； （2）根据函数，的解析式画出图象即可；根据的图象，写出函数的一条性质即可； （3）先求出和的交点，再根据图象求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为， 当时，， 当时，， ∴， ∵，的运动路程为， ∴． （2）略 （3）解：当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， 当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， ∴由图可知，当时，的取值范围约． 15．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)3 (3)点的坐标为或． 【分析】（1）解方程或方程组即可得到结论； （2）根据中心对称的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）求得中点的坐标为，，设点，点，①当为菱形的对角线时，，，②当为菱形的对角线时，③当为菱形的对角线时，，根据菱形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 解得，， ； （2）直线交反比例函数的图象于另一点， 点与点关于原点对称， ， ，； 过作轴，过作于，过作于， ，， 的面积四边形的面积的面积； （3），； 中点的坐标为，， 设点，点， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，，， ， ， 解得， ； ②当为菱形的对角线时，，， ， 解得或（此时，点在直线上，不合题意舍去） ； ③当为菱形的对角线时，， ， 此方程组无实数根，这种情况不存在， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $