精品解析：浙江省杭州第二中学富春学校2026-2027学年高一上学期10月考试数学试题

2026—2027学年第一学期杭州第二中学富春学校 高一年级10月考试 数学试题 命题：黄跃龙 校对、审核：马文豪 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出集合，再与集合求交集即可. 【详解】，， 所以， 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及解一元二次不等式，属于基础题. 2. 如图所示的Venn图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合， 则， 由韦恩图得或. 故选：D 3. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由命题的否定是改变量词，否定结论可知，原命题的否定为：，. 4. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可. 【详解】命题“,”为真命题的充要条件：,恒成立. 即,.故其必要不充分条件为. 故选：D 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题. 5. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买20g黄金，售货员先将10g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（    ） A. 小于等于20g B. 等于20g C. 小于20g D. 大于20g 【答案】D 【解析】 【详解】设天平左臂长，右臂长，可知， 设第一次称黄金，第二次称黄金， 可得，解得， 可得，解得， 则， 当且仅当时，即时取得等号，因为，所以. 6. 若，是两个实数，且，有如下三个式子：① ，②，③ .其中恒成立的有. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法以及举例的方法证明每个不等式是否恒成立. 【详解】① 不恒成立； ②恒成立； ③当时，，所以不恒成立.故选B. 【点睛】本题考查不等式的证明，难度一般.利用作差法证明不等式时，可通过因式分解的方式然后判断与的大小关系得出结果. 7. 已知，则的最小值是（ ） A. 14 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，用含x的式子表示，再运用基本不等式求解作答. 【详解】因为，则， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以当时，取最小值14. 故选：A 8. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据勾股定理得，根据中间最小的正方形的面积为1得，从而求得，即可得解. 【详解】中，设，则由题意， 则中间小正方形的边长为，因为， 所以，所以，所以， 即正方形的面积为49. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：直接由基本不等式求解出最大值；B：转化为二次函数通过配方法求解出最小值；C：利用“”的代换求解出最小值；D：通过平方运算和配凑法求解出最大值. 【详解】对于A：由，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由，当且仅当时，取最小值，故B错误； 对于C：， 因为， 当且仅当时，等号成立，所以，故C正确； 对于D：因为， 又因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以最大值为，故D正确． 故选：ACD． 10. 在下列结论中，正确的有（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C. 若，则“”是“，不全为0”的充要条件 D. 一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，可得，所以充分性不成立， 反之：由，可得，可得，所以必要性成立， 所以是的必要不充分条件，所以A正确； 对于B中，在中，由，可得为直角三角形， 反之：由为直角三角形，不一定得到， 所以是为直角三角形的充分不必要条件，所以B不正确； 对于C中，若，由，可得不全为， 反之：当不全为，可得，所以是不全为0”的充要条件， 所以C正确； 对于D中，若一个四边形是正方形，可得它一定是菱形，所以充分性成立， 反之：菱形不一定是正方形，所以必要性不成立， 所以一个四边形是正方形是它是菱形的充分不必要条件，所以D不正确. 故答案为：AC 11. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则一定有 【答案】BCD 【解析】 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D 【详解】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合,则________ 【答案】； 【解析】 【分析】直接根据集合的运算求解即可 【详解】，. 13. 已知，求的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 14. 定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个. 【答案】15 【解析】 【分析】 由新定义可得集合的子集中，、、、一定成组出现，再由子集的概念即可得解. 【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现， 当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个； 当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个. 当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个. 则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个. 故答案为：15. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）求； （2）求； （3）定义，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由交集定义解之即可； （2）先求集合B的补集，再与集合A取并集； （3）先求集合B的补集，再与集合A取交集. 【小问1详解】 故 【小问2详解】 由得 【小问3详解】 16. （1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）证明：必要性：因为，，均为正实数， 所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号． 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以若，则，必要性成立． 充分性：若， 则，， 所以若，则，充分性成立． 所以成立的充要条件是． （2）7 【解析】 【分析】（1）证明必要性利用三组基本不等式相加，等号同时成立推出；证明充分性直接代入验证等式成立； （2）先对式子变形凑出，由，判断为负，提取负号构造正数，再使用基本不等式求最大值． 【详解】（1）略 （2）因为，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为7． 17. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． （1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 【答案】（1）国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损； （2）处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少. 【解析】 【分析】（1）求二次函数最大值即可判断； （2）根据基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 当时，设该工厂获利为， 则， 所以当时，， 因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损． 【小问2详解】 二氧化碳的平均处理成本， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值为， 所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少． 18. 集合，集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果； （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解. 【小问1详解】 ①当时，， 此时,解得， ②当时，为使，需满足，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 先求时，实数的取值范围，再求其补集， 当时，由（1）知， 当时，为使，需满足或， 解得， 综上知，当或时，， 所以若，则实数的取值范围是. 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称A具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1）， （2）由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，故B中最大元素与中的最大元素相等，即，解得， 故， 但中有4个元素为0，，，， 故与0，或或重复，又不是最大元素， 且，故即； （3）1350 【解析】 【分析】（1）根据集合定义计算即可； （2）根据集合定义计算结合集合相等即可得出得证； （3）根据集合定义先求出的最大值，再根据孪生性质证明即可． 【小问1详解】 因为集合， 所以由,可得， ，，，，，， 可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设满足题意，设， 则， ∴，又，∴， ∵，∴，即， ∴， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即， ∴. 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故m的最小值为675， 于是当时，C中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期杭州第二中学富春学校 高一年级10月考试 数学试题 命题：黄跃龙 校对、审核：马文豪 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的Venn图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. 或 D. 或. 3. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买20g黄金，售货员先将10g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（    ） A. 小于等于20g B. 等于20g C. 小于20g D. 大于20g 6. 若，是两个实数，且，有如下三个式子：① ，②，③ .其中恒成立的有. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 已知，则的最小值是（ ） A. 14 B. C. 8 D. 8. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 10. 在下列结论中，正确的有（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C. 若，则“”是“，不全为0”的充要条件 D. 一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件 11. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则一定有 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合,则________ 13. 已知，求的取值范围__________． 14. 定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）求； （2）求； （3）定义，求. 16. （1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是； （2）已知，求的最大值． 17. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品． （1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 18. 集合，集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称A具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $