精品解析：江苏南通市市区部分校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

高一年级数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合M=且，则M等于（ ） A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {，2，3，4} 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则函数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若关于的方程的一根小于，另一根大于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 有限集合中元素的个数记作，设，都是有限集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 某超市计划提高某商品的售价，已知，下列方案中，使该商品的售价最高的是（ ） A. 先提价，再提价 B. 先提价，再提价 C. 提价两次，每次都提价 D. 一次性提价 8. 某同学调查了本校名同学，以了解暑假观影情况，结果显示：有人观看了《蜘蛛侠》，有人观看了《八仙》，有人观看了《功夫女足》，有人观看了这三部电影，恰好有人观看了其中两部，则未观看任何一部电影的同学人数是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设全集，集合，是的两个子集，对于任意，定义下列选项中能推出的是（ ） A. 对于任意，都有 B. 对于任意，都有 C. 对于任意，都有 D. 对于任意，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写一个分式不等式，其解集为：________． 13. 若“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 14. 已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，．设，若，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或， （1）若求和； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 设，已知命题关于x的方程有两个不相等的正根；命题对任意实数x，恒成立． （1）若q为真命题，求实数a的取值范围； （2）证明：p是q的充分不必要条件． 17. 如图，在矩形中，已知，点P在边上，点Q为边AB的中点，． （1）若P为边的中点，求矩形的面积； （2）求边长度的取值范围； （3）求面积的最小值． 18. 设关于的不等式的解集为． （1）若，且，，求的最小值； （2）若，求集合； （3）若为单元素集，求的最大值． 19. 已知有限集（，），若中的元素满足，则称是“和谐集”． （1）证明：集合是“和谐集”； （2）若是“和谐集”且，，证明：，至少有一个大于2； （3）若为正整数，求“和谐集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可得. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选：B 2. 已知集合M=且，则M等于（ ） A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】由元素具有的性质，是6的正约数，由此可得的值． 【详解】因为集合M=且，，所以5-a可能为1，2，3，6， 即a可能为4，3，2，.所以M={，2，3，4}， 故选：D. 【点睛】本题考查集合的概念，确定集合的元素是解题关键．元素所具有的性质是解题的根据． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法可得，进而可得答案. 【详解】因为， 所以无解， 即不等式的解集是. 4. 若，则函数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】将解析式变形，再利用基本不等式即可得出． 【详解】， 函数，当且仅当时取等号． 因此函数的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题查主要基本不等式的应用，解题过程注意等号成立的条件，属于基础题． 5. 若关于的方程的一根小于，另一根大于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设方程两根分别为，，由题得，结合韦达定理求解一元二次不等式即可. 【详解】由题知，设方程两根分别为，， 则， 即， 又， 代入得，， 解得，即的取值范围是. 6. 有限集合中元素的个数记作，设，都是有限集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据和题干条件得到，从而得到答案. 【详解】因为， 又， 所以； 反之也成立. 故是的充要条件. 7. 某超市计划提高某商品的售价，已知，下列方案中，使该商品的售价最高的是（ ） A. 先提价，再提价 B. 先提价，再提价 C. 提价两次，每次都提价 D. 一次性提价 【答案】C 【解析】 【分析】分别列出四个选项中的产品最终售价，采用作差法可确定结果. 【详解】设超市商品原售价为， 对于A，最终售价为； 对于B，最终售价为； 对于C，最终售价为； 对于D，最终售价为； ， C方案售价高于A，B方案售价； ， C方案售价高于D方案售价； 综上所述：C方案售价最高. 故选：C. 8. 某同学调查了本校名同学，以了解暑假观影情况，结果显示：有人观看了《蜘蛛侠》，有人观看了《八仙》，有人观看了《功夫女足》，有人观看了这三部电影，恰好有人观看了其中两部，则未观看任何一部电影的同学人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合集合中的图直接求解即可. 【详解】由题知，记观看了《蜘蛛侠》的人为集合， 观看了《八仙》的人为集合，观看了《功夫女足》的人为集合， 作出如下的图， 所以未观看任何一部电影的同学人数为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，正确； 对于B，令，可得，错误； 对于C，，正确； 对于D，令，则，错误. 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由基本不等式，逐一判断选项，即可得到结果. 【详解】，即，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 因为， 所以， 则，当且仅当时，等号成立，故B正确； 由，可得，则，其中， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 又，取不到等号，所以，故C错误； 由，可得， ，其中， 当时，等号成立，所以，故D正确； 11. 设全集，集合，是的两个子集，对于任意，定义下列选项中能推出的是（ ） A. 对于任意，都有 B. 对于任意，都有 C. 对于任意，都有 D. 对于任意，都有 【答案】BC 【解析】 【分析】首先明确等价于对任意，当且仅当，结合的分段定义逐一分析各选项条件能否推出该结论即可. 【详解】选项A：若对任意，，则且恒成立，即，， 此时，无法推出，A错误； 选项B：若对任意，，仅存在两种情况： ①，即且；②，即且， 说明且，恰好满足，B正确； 选项C：若对任意，，首先分母即恒成立，得， 其次分子恒成立，得，此时，可推出，C正确； 选项D：若对任意，，则或， 即若则必有，仅说明，无法推出（例如满足该式，但），D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写一个分式不等式，其解集为：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论. 【详解】解集为的分式不等式， 可以是，（答案不唯一）. 13. 若“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，为真命题，然后分离参数结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，为假命题， 所以其否定，为真命题， 则对恒成立， 即对恒成立，即， 又，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即， 即实数的取值范围是. 14. 已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，．设，若，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，将定义域分为和两个区间讨论，分别代入不等式求解后取并集即可. 【详解】根据题意，因为，所以. 所以原不等式变为，即. 因为，所以分两种情况： 情况1：当时，不大于的最大整数， 此时小数部分，代入化简后的不等式得： ，整理得，解得. 结合，代入得，即. 结合当前区间，此部分解集为. 情况2：当时，不大于的最大整数，此时小数部分. 代入化简后的不等式，得. 结合当前区间，此部分的解集为. 综上：不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或， （1）若求和； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，直接进行集合的并集和交集计算即可求解； （2）由题意可得再讨论和时列不等式组，解不等式即可求解. 【小问1详解】 ，， ，； 【小问2详解】 当时，则有，解得．满足题意． 当时，有或， 由不等式组可得． 综上所述，实数a的取值范围是． 16. 设，已知命题关于x的方程有两个不相等的正根；命题对任意实数x，恒成立． （1）若q为真命题，求实数a的取值范围； （2）证明：p是q的充分不必要条件． 【答案】（1） （2）证明：若关于x的方程有两个不相等的正根，设为 则，解得， 结合（1）可知q为真命题时， 易知是的真子集， 所以p是q的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的恒成立结合判别式计算即可； （2）根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系证明即可. 【小问1详解】 由题意可知，解之得，即， 所以； 【小问2详解】 略 17. 如图，在矩形中，已知，点P在边上，点Q为边AB的中点，． （1）若P为边的中点，求矩形的面积； （2）求边长度的取值范围； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）建系，确定点的坐标，结合勾股定理求解即可； （2）由（1），结合判别式求解即可； （3）由直角三角形面积公式结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 以点为坐标原点建立平面直角坐标系如图： 则 ，，，，其中为矩形的水平边长； 由Q是中点，得； 点P在边上，设，其中， 则，，， 又， 所以，代入，，， 化简整理得：  当P是中点，P的横坐标， 代入得：  化简得：，解得，即（边长为正）， 矩形面积； 【小问2详解】 由（1）知点P存在于边AD上，等价于方程在上有实根： 方程有实根的前提是判别式非负，即  当时， 二次函数的对称轴为，且、， 因此当时，两个实根必然都落在区间内，符合P在边上的要求， 因此的取值范围是； 【小问3详解】 由勾股定理得：，， 又，可得，代入得， 因为是直角三角形（直角在P）， 所以面积：  ，当且仅当​即​时取等号； 此时由，得成立， 故面积的最小值为8. 18. 设关于的不等式的解集为． （1）若，且，，求的最小值； （2）若，求集合； （3）若为单元素集，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）代入解集端点值，再利用基本不等式求解； （2）因式分解然后分类讨论即可计算； （3）转换主元进行求解. 【小问1详解】 由题可得：当时，，解得：， 所以，当且仅当时取等号，此时取得最小值为. 【小问2详解】 令， 若，则，即：； 若，令解得，， ①当，即：时，，此时令解得或； ②当，即：时，，此时令解得； ③当，即：时，，此时令得； ④当，即：时，，此时令解得. 综上所述，解集为： 【小问3详解】 当解集为单点时，有且只有一解，且抛物线开口朝下，即：，且， 展开得：，即：关于的一元二次方程有实根，则， 解得：，当且仅当时取等号，此时的最大值为1. 【点睛】利用主元思想时候注意题意的转化. 19. 已知有限集（，），若中的元素满足，则称是“和谐集”． （1）证明：集合是“和谐集”； （2）若是“和谐集”且，，证明：，至少有一个大于2； （3）若为正整数，求“和谐集”． 【答案】（1）证明： 易知， 满足和谐集的定义，所以集合是“和谐集”； （2）证明：根据“和谐集”的定义知， 则同号， 设，所以， 若，则，不符题意； 若，则，当且仅当取得等号， 但不符集合元素的互异性，即，不能均小于等于2， 故，至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用“和谐集”的定义计算即可证明； （2）利用反证法结合定义计算即可证明； （3）利用分类讨论思想，把方程问题放缩转化为不等式问题进行变形讨论研究即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中的元素满足的正整数， 结合得，， 即，再由于， 所以当时，有，由于是正整数，则， 再由“和谐集”定义得：，显然无解，即当时，不存在“和谐集”； 当时，结合上面结论可得：， 又由于是不相等正整数，则只有， 再由“和谐集”定义得：，解得， 即当时，仅存在一个“和谐集”为； 当时，由且这些元素都是正整数又可得： ，即有， 因为，由于， 所以，即， 这与相矛盾，所以当时，不存在“和谐集”； 综合上述可得：每一个元素都为正整数的“和谐集”仅有一个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $