第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据题目条件，利用导数的定义即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 2．（5分）（2026高二·全国·专题练习）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【解题思路】由函数的平均变化率定义进行求解． 【解答过程】由题意， ， ， 故． 故选：B. 3．（5分）（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 【答案】C 【解题思路】根据的图象，可得的正负情况，得的单调性，结合极值点的概念判断各个选项. 【解答过程】根据的图象，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，仅， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对A，左右两侧导函数符号不变，故A错误； 对B，在内有增有减，故B错误； 对C，的单调递减区间是，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：C. 4．（5分）（25-26高二下·重庆·期末）若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【解答过程】因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：B． 5．（5分）（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【解答过程】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 6．（5分）（25-26高二下·河南驻马店·期末）定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用构造偶函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【解答过程】根据题意可构造函数， 则， 因为当时，，则， 所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 则在区间上为减函数， 又，即， 所以，解得或， 则不等式的解集为. 故选：A. 7．（5分）（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得恒成立，构造函数，求导根据函数单调性可得的最大值即可得答案. 【解答过程】因为函数， 在上恒成立， 所以恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 所以当时，取得极大值，也是最大值， 因为 ，所以. 故选：B. 8．（5分）（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用函数零点的意义，将问题转化为函数的图象与直线有3个公共点求解，再利用导数研究函数单调性并作出图象，数形结合求得答案. 【解答过程】由函数恰有3个零点，得函数的图象与直线有3个公共点， 函数，当时，求导得， 由，得；由，得， 当时，求导得，由，； 由，得，函数在上递增，在上递减， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值为， 作出函数的大致图象，如图， 观察图象，当且仅当或，即或时， 函数的图象与直线有3个公共点，即函数恰有3个零点， 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高三上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（   ） A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称 C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据给定等式推理可得，得的一个周期为4，又可得，得为偶函数，结合为偶函数和周期函数，再逐项判断作答. 【解答过程】对于A，由，得， 由，得，所以， 则，所以， 则，所以的一个周期为4， 由与， 得，即，所以为偶函数，故A正确； 由，得，所以的图象关于点中心对称， 又，所以的图象关于中心对称，故B正确； 因为当时，，所以当时，， 因为，所以的图象关于直线对称， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以，故C不正确； 因为，又， 所以，又，， 所以，故D不正确. 故选：AB. 10．（6分）（25-26高二下·江西·期中）已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【解题思路】根据求导法则以及导数的几何意义可得答案. 【解答过程】由题意可得，曲线在处的切线方程为. 令，则，即，A正确. ，曲线在处的切线方程为， 即，所以 解得，，B错误，C正确. 曲线在处的切线方程为，D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高二下·四川遂宁·期中）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数拐点处的切线方程为 B．当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】AD 【解题思路】求出函数的二阶导数，求出拐点处的横坐标，再由导数的几何意义求出切线方程，即可判断A，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极小值点，即可得到不等式组，从而判断B，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，得到，再转化为交点问题，即可判断C，联立直线与曲线方程，消元，即可判断D. 【解答过程】对于A：当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：当时，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值，又， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得， 即的取值范围是，故B错误； 对于C：因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C错误； 对于D：由，可得， 即， 显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二下·上海黄浦·阶段检测）若在上单调递增，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【解答过程】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 13．（5分）（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）已知曲线与的公切线为，则实数___________. 【答案】 【解题思路】设切点坐标为，求得切线方程，根据题意，求得，得到切线方程为，再设切点为，结合切点在切线上和，列出方程组，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二下·安徽合肥·期末）若不等式对任意正数x恒成立，则的最大值为___________． 【答案】 【解题思路】先求出不合要求，故，推出要使对任意正数x恒成立，有且只有即，故，令，求导得到其单调性，求出最大值，得到答案. 【解答过程】由题意得， 当时，， 又对任意正数x恒成立， 故恒成立， 因为的值域为R，故不可能恒成立，不合要求； 所以，由得，由得， 由得，由得， 因此，若，则当时，，， 故，不合题意； 若，当时，，， 故，不合题意， 因此，要使对任意正数x恒成立， 有且只有即，因为，所以， 此时，令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求实数的值及在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1)， (2)递增区间为、，的递减区间为 【解题思路】（1）求导，利用导数的几何意义，结合直线垂直关系列方程求出实数，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数讨论函数的单调性，求出函数单调区间． 【解答过程】（1） ， ， 求导得， ， 在点处的切线与直线垂直， ， 解得， ，切点坐标为， 切线方程为：，即． （2），定义域， 求导得，， 令，解得，， 当时，， 当时，， 当时，， 的递增区间为、，的递减区间为． 16．（15分）（25-26高二下·河南南阳·期中）已知函数． (1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围； (2)当时，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1) (2)或． 【解题思路】（1）求出函数的导数，由解不等式得出结果. （2）分成点为切点和不是切点两种情况分别求解切线方程. 【解答过程】（1）由题意可得． 因为曲线的切线斜率不小于，所以恒成立， 即恒成立，则， 解得，即a的取值范围是． （2）当时，，则． 当是切点时，所求切线斜率， 则所求切线方程为． 当不是切点时，设所求切线与曲线的切点为， 由导数的几何意义可得， 整理得，即， 解得或(舍去)， 则切点，所求切线斜率，. 故所求切线方程为． 综上，所求切线方程为或． 17．（15分）（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值，并求的单调区间； (2)若,求的最大值与最小值． 【答案】(1)，的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)，. 【解题思路】（1）求导，再根据极值点处导数为0求出，再将代回导函数求解单调区间； （2）根据函数在给定区间内的单调性，得出函数最值. 【解答过程】（1）. 在处有极小值， ， 即， 解得. 当时，， ，令，得. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，在处取得极小值. 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）得，在单调递减，在单调递增， ， 又， ， . 综上所述，当时，的最大值为，最小值为. 18．（17分）（25-26高二下·湖北·期中）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)①；②． 【解题思路】（1）先化简，求导得，按与分类，根据导数的正负判断单调区间； （2）①有两个零点等价于，求的单调性与最大值，结合图象得； ②由零点条件将不等式转化为，代入，换元，构造函数，求导分析单调性得． 【解答过程】（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 19．（17分）（25-26高二下·广东·阶段检测）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)①； ②证明见解析 【解题思路】（1）求出函数的一阶导函数和二阶导函数，由凸函数定义判断即可. （2）①求出函数的一阶导函数和二阶导函数，根据凹函数的定义将问题转化为恒成立，构造，利用导数研究其单调性并求出最大值，解不等式即可求解； ②由题意，结合的单调性得，欲证，即证，结合的单调性得，即证，转化为证明；欲证，即证，结合的单调性得，转化为证明，构造，，利用导数得在上单调递增，从而由，即可证明. 【解答过程】（1）证明：因为， 所以， 所以是上的凸函数． （2）①因为， 所以． 因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即． 令，则． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． ，所以，解得， 所以实数的取值范围是． ②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点， 所以方程在内有两个根，即． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以． 欲证，即证 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证． 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立． 欲证，即证．因为，所以只需证， 即证即需证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以则原不等式得证． 故． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江苏南京·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（5分）（2026高二·全国·专题练习）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 3．（5分）（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 4．（5分）（25-26高二下·重庆·期末）若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二下·河南驻马店·期末）定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高三上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（   ） A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称 C． D． 10．（6分）（25-26高二下·江西·期中）已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D．曲线在处的切线方程为 11．（6分）（25-26高二下·四川遂宁·期中）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数拐点处的切线方程为 B．当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二下·上海黄浦·阶段检测）若在上单调递增，则的取值范围是___________． 13．（5分）（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）已知曲线与的公切线为，则实数___________. 14．（5分）（25-26高二下·安徽合肥·期末）若不等式对任意正数x恒成立，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求实数的值及在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 16．（15分）（25-26高二下·河南南阳·期中）已知函数． (1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围； (2)当时，求曲线过点的切线方程． 17．（15分）（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值，并求的单调区间； (2)若,求的最大值与最小值． 18．（17分）（25-26高二下·湖北·期中）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 19．（17分）（25-26高二下·广东·阶段检测）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $